Cilindro
Matemática 2
Pré vestibular Frei Seráfico
Prof.: Thiago Azevedo
Cilindro
Base
eixo
*O
b
R
g
g h
*O
a
Base
a
90º
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
A Fig. mostra um
Cilindro Oblíquo.
Cilindro
Cilindro Circular Reto
ou Cilindro de Revolução
A
* O’
B
g
h
g
C
R
R
*O
D
1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
2) g = h
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
B
D
C
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
D
C
Cilindro
Seção Meridiana
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
Seção
Meridiana
A
h
* O’
B
C
*
O
2R
D
Se ABCD
é um
quadrado 
cilindro
eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que
h = 2R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
h
x
R
Cilindro
Planificação :
R
h
x
R
2pR
R
Cilindro
Áreas e Volumes
Área Base
( Ab )
Ab = p R2
Área Lateral AL = 2p Rh
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V)
At = AL+ 2 Ab
V = p R 2. h
OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos
(BASES) e congruentes através de segmentos de reta.
aresta lateral
c
Face lateral
b
a
Base
aresta da base
Obs: a, b e c são as
dimensões do prisma.
Tipos de prismas retos
Prisma
triangular
Prisma
Quadrangular
Prisma
Pentagonal
Prisma
Hexagonal
Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são
paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
Polígonos Regulares
Quando o prisma é reto e suas bases são
polígonos regulares, o prisma é
denominado regular.
Fórmulas dos Prismas
Área Lateral
A lateral  (nº de faces)  (Área de cada face)
Área Total
A total  A lateral  2.A base
Volume
V  A base .h
Caso Especial: Paralelepípedo
Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma
particular chamado paralelepípedo.
Área Total
At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
c
c
D
c
b
Volume
At  2.a.b  2.a.c  2.b.c
V = Ab.h
d
b
a
V= a.b.c
Diagonal da base
2 = a2 + b2
dPITÁGORAS
Note que em um paralelepípedo
podemos tomar qualquer uma das
faces com base.
Diagonal do Paralelepípedo
D2DPITÁGORAS
=2 a=2c+2 +
b2d+2 c2
Caso Especial : Cubo
Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.
a
Área da Base (AB) Área Lateral (AL)
a
a
D
a
a
d
a
a
AB = a²
AL = 4a²
Área Total (AT)
Volume (V)
AT = 6a²
VV V
== A
=aB2a³. a
H
Diagonal da Base (d)
d a 2
Todo cubo é um paralelepípedo,
mas nem todo paralelepípedo é
cubo. (Somente quando a = b = c).
Diagonal do Cubo (D)
Da 3
Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um
paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.

UFMG- Observe a figura:
Essa figura representa uma piscina cujo fundo
é inclinado. As faces ABCD e EFGH são
trapézios retângulos e as demais são
retângulos. Determine o volume total da
piscina;
(UFV) Um recipiente, contendo água, tem a
forma de um paralelepípedo retangular, e
mede 1,20m de comprimento, 0,50m de
largura e 2,00m de altura. Uma pedra de
forma irregular é colocada no recipiente,
ficando totalmente coberta pela água.
Observa-se, então, que o nível da água sobe
1m. Assim é CORRETO concluir que o
volume da pedra, em m³, é?
eixo
g’
R
a
V
g
h
V é vértice
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
A Fig. mostra um
Cone Oblíquo.
*O
a
90º
Cone Circular Reto
ou Cone de Revolução
V
1) O eixo é perpendicular ao
plano da base.
2) No DVOA :
g
h
B
O*
R
A
g2 = h 2 + R 2
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
C
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4 Cone de Revolução:
4)
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
Seção Meridiana
O DVBA é a seção meridiana do cone.
V
Seção
Meridiana
g
B
*
2R O
A
Se o triângulo
VBA é
eqüilátero, o
cone é um
Cone
Eqüilátero.
g=2R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto :
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
Angulo q
q
g
h
x
R
2p R
R
2pR
q=
g
Áreas e Volume
Área Base
( Ab )
Ab = p R2
Área Lateral
( AL )
AL = p R g
Área Total
( At )
Volume
( V)
At = AL+ 2 Ab
1
V=
3
p
2
R
h