1. RAZÃO

Dados os números “a” e “b” reais, com b # 0,
temos:
a  a n teced en te
b  co n seq u en te
lê  se :  a
para b 
Exercício Resolvido

1)Um automóvel flex percorre 400 km com 40 L de
álcool e 600 km com 50 L de gasolina, determine:
a)qual dos dois combustíveis é o mais econômico.
RESOLUÇÃO
 Para a gasolina:
600 Km
 12 Km / l
50 l

Para o álcool:
400 km
40 l
 10 km / l

b) a relação entre o preço do litro da gasolina e o
preço do litro do álcool, para que o proprietário se
sinta indiferente na hora do abastecimento.
preço / litro ( gasolina )

K m / litro ( gasolina )
preço / litro ( álcool )
km / litro ( gasolina )
km / litro ( álcool )
km / litro ( álcool )

12 km / l
10 km / l
 1, 2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
RAZÃO
• 2. (Ufrj 2008) Um produtor de café embalou, para venda no varejo,
3750 kg de sua produção. Metade desse café foi distribuída em
sacos com capacidade de 3/4 de quilograma cada. Determine
quantos sacos foram usados.
• Resolução:
• Metade do café = 3750 / 2 = 1875Kg
• Massa de cada saco = 3/4 de Kg
• Total de sacos:
1875 kg
(3 / 4) kg
 2500 sa cos
• 6. ÁLCOOL, CRESCIMENTO E POBREZA
O lavrador de
Ribeirão Preto recebe em média R$ 2,50 por tonelada de cana cortada.
Nos anos 80, esse trabalhador cortava cinco toneladas de cana por dia.
A mecanização da colheita o obrigou a ser mais produtivo. O cortacana derruba agora oito toneladas por dia.
•
O trabalhador deve cortar a cana rente ao chão, encurvado. Usa
roupas mal-ajambradas, quentes, que lhe cobrem o corpo, para que
não seja lanhado pelas folhas da planta. O excesso de trabalho causa a
"birola": tontura, desmaio, cãibra, convulsão. A fim de agüentar dores
e cansaço, esse trabalhador toma drogas e soluções de glicose, quando
não farinha mesmo. Tem aumentado o número de mortes por exaustão
nos canaviais.
•
O setor da cana produz hoje uns 3,5% do PIB. Exporta US$ 8
bilhões. Gera toda a energia elétrica que consome e ainda vende
excedentes. A indústria de São Paulo contrata cientistas e engenheiros
para desenvolver máquinas e equipamentos mais eficientes para as
usinas de álcool. As pesquisas, privada e pública, na área agrícola
(cana, laranja, eucalipto, etc.) desenvolvem a bioquímica e a genética
no país.
• Folha de S. Paulo, 11/3/2007 (com adaptações).
• Considere-se que cada tonelada de cana-de-açúcar permita a produção
de 100 litros de álcool combustível, vendido nos postos de
abastecimento a R$ 1,20 o litro. Para que um corta-cana pudesse, com
o que ganha nessa atividade, comprar o álcool produzido a partir das
oito toneladas de cana resultantes de um dia de trabalho, ele teria de
trabalhar durante
a) 3 dias.
b) 18 dias.
c) 30 dias.
d) 48 dias.
e) 60 dias.
• Resolução:
• Renda por dia→ 8 x 2,5 = 20 reais
• Litros de álcool produzidos por um dia de corte→ 8 x 100 = 800 L
• Preço de venda dos 800L nos postos → 800 x 1,2 = 960 reais
• Número de dias trabalhados → 960 / 20 = 48 dias
• 8. Paulo comprou um automóvel flex que pode ser
abastecido com álcool ou com gasolina. O manual da
montadora informa que o consumo médio do veículo é de 8
km por litro de álcool ou 12 km por litro de gasolina e
recomenda que, em hipótese alguma, o usuário utilize uma
mistura dos dois combustíveis, sob pena de suspender a
garantia.Considerando que Paulo respeite a recomendação
do fabricante e que os preços por litro de álcool e de
gasolina sejam, respectivamente, x e y reais, a utilização de
gasolina será economicamente mais vantajosa quando:
a)
x
y
 1 b)
x
y
 0, 5 c )
y
x
 1, 5 d )
y
x
 1, 6 e )
x
y
 0, 6
Resolução:
p re ç o / litro ( g a so lin a )
p re ç o / litro ( á lc o o l )
p re ç o / l ( g a so lin a )
p re ç o / l ( á lc o o l )

k m / l ( g a so lin a )
k m / l ( á lc o o l )
 1, 5 
y
x
 1, 5

12
8
• 10. Uma operadora de telefone celular cobra uma tarifa de
R$ 0,40 por minuto de ligação e uma de telefone fixo, R$
0,16 pelo pulso de 4 minutos. Comparando-se os dois
valores, conclui- se que a razão entre a tarifa do celular e a
do fixo é:
a) 8 b) 10 c) 15 d) 29
• Resolução:
• Tarifa do fixo por minuto
• R$ 0,16 / 4→R$0,04
• Razão entre as tarifas
tarifa do celular
tarifa do fixo

0, 4
0, 04
 10
• 11. A capacidade do tanque de combustível de um carro é
de 56 litros. As figuras mostram o medidor nos momentos
de partida e chegada de uma viagem feita por esse veículo
cuja média de consumo, na estrada, foi de 14 km/l
legenda:
c – cheio
v - vazio
A distância percorrida pelo carro, em km, foi de:
a) 380 b) 450 c) 490 d) 550
5
do tan que 
8
D is tan cia
5
8
percorrida :
35  14  490km
 56  35 litros
• 14.Ao longo dos 3.000 km do percurso de um rali, um
competidor usou os quatro pneus e mais o estepe de seu
carro. Se todos os cinco pneus rodaram a mesma
quilometragem, o número de quilômetros que cada um deles
percorreu foi
• a) 60 b) 750 c) 1.200 d) 1.500
e) 2.400
• Resolução:
• Sendo x o número de quilômetros rodados por pneu
e, lembrando que sempre são usados 4 pneus, temos:
• 5 ⋅ x = 4 ⋅ 3000, logo x = 2400
2 VAZÃO
É uma razão entre duas grandezas “x” e “y’.
x  m assa , produtividade , volum e
y
 tem po
PROBLEMAS PROPOSTOS
VAZÃO
• 1. Três torneiras enchem um tanque: a primeira em 15
horas; a segunda em 20 horas; e a terceira em 30 horas. Há
um escoadouro que pode esvaziar o tanque em 40 horas.
Estando as três torneiras e o escoadouro a funcionar, calcule
em quantas horas o tanque poderá ficar cheio.
• Resolução:
v

15
1
15
1
t
v

20

1
20


v

30
1

30
15
120
1
40
v

40

1
t

v
t
1
t

8643
120
 t  8 h o ra s
• 2. Uma caixa d'água pode ser abastecida por duas bombas,
A e B. Estando a caixa vazia, a bomba A leva 5 horas para
enchê-la e a bomba B, 7,5 horas. Certo dia, às 7 horas da
manhã, a caixa estava totalmente vazia e, naquele momento,
a bomba A foi ligada. Após 1,5 horas, ligou-se também a
bomba B, permanecendo as duas ligadas até encher
completamente a caixa. Considerando que no período em
que as bombas estavam ligadas, não houve nenhuma saída
de água da caixa, a que horas as bombas terminaram de
encher totalmente a caixa?
• Resolução:
v o lu m e
v a zã o
c a ix a  v
da
de
A 
v
5
v a zã o
de
B 
v
7, 5
v
 ( t  1, 5) 
5
v
t  v
7, 5
1
5
 ( t  1, 5) 
t
7, 5
1
• Multiplicando os dois membros por 15, temos:
3  ( t  1, 5)  2  t  1 5
5 t  4, 5  15  t  2,1  2 h e 6 m in
• 3.Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente,
levam cada um 9 e 10 horas, respectivamente, para construir
um mesmo muro de tijolos. Trabalhando juntos no serviço,
sabe-se que eles assentam 10 tijolos a menos por hora em
relação ao que se esperaria da combinação da velocidade de
trabalho de cada um. Se juntos os dois trabalhadores
constroem o muro em 5 horas, o número de tijolos assentados no serviço é igual a:
a) 450. b) 600. c) 900. d) 1 550. e) 1 800.
• Resolução:
• Número de tijolos no muro→n tijolos.
p ro d u tiv id a d e
A 
de
n
9
produtividade de B 
n
10
produtividade de
A e B
juntos 
n
9
te m p o
n
9

n
d e c o n stru ç ã o

10
n  900
10
1

n
5
do

n

10
10
1

n
t
m u ro  t  5 h o ra s
 10 n  9 n  900  18 n
•
PORCENTAGEM
Porcentagem , ou taxa percentual , é a
razão entre um número real e o número
100.
Exemplo : 10% = 1/100 = 0,10
1- A seção de controle de qualidade de uma industria reprovou 4% dos 800
ferros elétricos fabricados em um determinado dia . Quantos ferros elétricos
foram reprovados nesse dia ?
Resolução :
Devemos calcular 4% de 800 . Como nesse contexto a preposição de indica
multiplicação , temos :
4% . 800 = 0,04 . 800 = 32
Logo , foram reprovados 32 ferros elétricos nesse dia .
2- No vestibular de medicina do ano passado de uma
universidade pública , foram aprovados 270 candidatos .
Calcular o número total de candidatos que prestaram esse
exame sabendo que o número de aprovados corresponde
a 6% desse total .
RESOLUÇÃO :
Sendo n o número total de candidatos que participaram
desse vestibular , temos :
0,06 . n = 270 → n = 270/0,06 = 4 500
Portanto , 4 500 candidatos prestaram esse vestibular .
3 – Após um reajuste de 8% , um livro passou a custar R$ 48,00 . Qual
era o preço desse livro antes do reajuste ?
Resolução
Sendo p o preço antes do reajuste , temos :
p + 0,08p = 48,60 → 1,08p = 48,60
p = 48,60/1,08 = 45
Assim , o livro custava R$ 45,00 antes do reajuste .
AUMENTO E DESCONTOS SUCESSIVOS . Considere Vi o valor
inicial de um produto .
Após um aumento por uma taxa percentual i : VF = ( 1 + i) . Vi
Após um desconto por uma taxa percentual i : VF = ( 1 - i) . Vi
Exemplo : Uma jaqueta de R$ 120,00 teve um aumento de 10% . No
inverno seu preço aumentou 5% . No verão o preço teve um desconto
de 15% . Quanto custava a jaqueta no verão ?
Resolução : Sendo Vf e Vi os valores final e inicial da jaqueta :
Vf = ( 1+ 0,10). (1 + 0,15) . ( 1 – 0,15) . Vi
Vf = 1,07525 . 120 = 129,03
Então : A jaqueta custava R$ 129,03
Exemplo 2 – (PUC – SP) Em março de 2011, a garrafa de 500 ml de
suco de laranja custava R$ 5,00 . Em abril , o valor subiu 10% e , em
maio , caiu 10% . Qual o preço da garrafa em junho ?
A) R$ 4,50
B) R$ 4,95
C) R$ 5,00
D) R$ 5,50
E) R$ 6,00
Resolução :
Temos Vf = ( 1 + 0,1) ,( 1 – 0,1). 5
Vf = 1,1 . 0,9 . 5 = 4,95
Resposta : Letra B
3) (UFMG) preço de venda de determinado produto tem a seguinte
composição: 60% referentes ao custo, 10% referentes ao lucro e 30%
referentes a impostos. Em decorrência da crise econômica, houve um
aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao mesmo tempo,
ocorreu uma redução de 20% no valor dos impostos. Para aumentar as
vendas do produto, o fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à
metade.
É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas essas alterações,
o preço do produto sofreu redução de:
A) 5%.
B) 10%.
C) 11%.
D) 19%.
E) 20%
Resolução :
Sendo x o preço inicial do produto , temos que 0,6x são referentes ao
custo, 0,1x ao lucro e 0,3x a impostos . Com o aumento de 10% no custo,
esse passa a ser 1,1 . 0,6x = 0,66x , com redução de 20% nos impostos ,
esse passa a ser 0,8 . 0,3x = 0,24x ; e com a redução do lucro à metade ,
esse passa a ser 0,5 . 0,1x = 0,05x .
Então , ao todo o produto passou a custar 0,66x + 0,24x + 0,05x = 0,95x .
Logo , o preço do produto sofreu uma redução de 5% .
Resposta : Alternativa : A
RELAÇÕES COMERCIAIS : Lucro e Prejuízo
Sendo C, V e L o preço de custo , o preço de venda e o lucro de certa
mercadoria , tem-se :
L=V–C
Exemplo : Um comerciante comprou um produto por R$ 84,00 e o vendeu
por R$ 105,00 .
A) Calcular o percentual de lucro sobre o preço de custo .
B) Calcular o percentual de lucro sobre o preço de venda .
Resolução :
a) O percentual de lucro sobre o preço de custo é dado por :
(V – C) / C = ( 105 – 84)/ 84 = 21/84 = 0,25 = 25%
Logo, o comerciante teve um lucro de 25% sobre o preço de custo .
Resolução :
a) O percentual de lucro sobre o preço de custo é dado por :
(V – C) / C = ( 105 – 84)/ 84 = 21/84 = 0,25 = 25%
Logo, o comerciante teve um lucro de 25% sobre o preço de custo .
b) O percentual de lucro sobre o preço de venda é dado por :
(V – C) / V = ( 105 - 84)/ 105 = 21/ 105 = 0,2 = 20%
Logo, o comerciante teve um lucro de 20% sobre o preço de venda .
JUROS SIMPLES
No regime de capitalização simples (juro simples), o juro gerado em
cada período é constante e é igual ao produto do capital pela taxa de
juros . Portanto , o valor pago pelos juros em cada período será dado
por :
J = C . i. t
e, assim , o montante M a ser pago após o período total t do
empréstimo é dado por :
M=C.(1+i.t)
Exemplo 1 - Um capital de R$ 2 400 , 00 foi aplicado durante 5 meses
à taxa de juro de 2% ao mês .
A) Qual foi o juro simples produzido nesse período ?
B) Qual foi o montante acumulado nesse período ?
A) Resolução : J = cit
J = 2 400 . 0,02 . 5 = 240
Logo , o juro produzido no período foi de R$ 240 ,00
B) O montante M é a soma do capital inicial C com o juro produzido :
M=C+J
M = R$ 2 400, 00 + R$ 240,00 = R$ 2 640, 00
Logo , o montante acumulado no período foi de R$ 2 . 640,00
Exemplo 2 – Durante quanto tempo um capital de R$600,00 aplicado à
taxa de 1,8% ao mês produz juro simples de R$ 54,00 ?
Resolução :
J=C.i.t
54 = 600 . 0,018 . t
54 = 10,8. t
t = 54/10,8
t = 5 meses
JURO COMPOSTO
No regime de juro composto, o juro gerado em cada período é incidente
sobre o montante do período anterior . Assim , o montante M a ser pago
após o período total t do empréstimo é dado por :
M = C. ( 1 + i)t
Exemplo 1 – Um capital inicial de R$ 5 000, 00 foi aplicado a juro
composto, durante 7 meses , à taxa de 2% ao mês . Dado (1,02)7 ≈ 1,15 ,
calcular :
a) o montante acumulado ao fim dos 7 meses de aplicação
b) o juro produzido durante o período que durou a aplicação .
Resolução :
a) Cálculo do montante
M = C. (1 + i)t
M = 5000 . ( 1+ 0,02)7
M = 5000. (1,02)7
M = 5000 . 1,15
M≈ 5 . 750
b) M = C + J
5 750 = 5 000 + J
J = 750
Logo , o juro produzido durante o período da aplicação foi de R$ 750,00
Exemplo 2 – Um automóvel novo que foi comprado por R$ 40. 000,00
sofreu , em cada ano, desvalorização de 10% . Calcular seu valor , em
real , depois de 3 meses de uso .
Resolução :
M = C . ( 1 + i )t
M = 40 000 . ( 1 – 0,1)3
M = 40 000. (0,9)3
M = 40 000 . 0,729
M = 29. 160
Logo , após 3 anos de uso, o valor do automóvel é de R$ 29 .160,00
Boa prova !!!
Que Deus ilumine a todos !!