1a Lista de Exercı́cios de Tópicos de Matemática Elementar
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 6o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Seja f : X → X. Dizemos que x0 ∈ X é um ponto fixo de f se, e somente se, f (x0 ) = x0 .
(a) Seja f uma função afim. Estude a existência de pontos fixos de f .
(b) Em quais casos uma função afim possui um único ponto fixo?
(c) Suponha que f seja uma função linear. Mostre que x0 = 0 é o único ponto fixo de
f se, e somente se f =
6 Id, onde Id(x) = x.
2. Dadas as PA´s (an )n∈N e (bn )n∈N , mostre que existe uma, e somente uma, função afim
f : R → R, tal que f (ai ) = bi , i ∈ N.
3. Os termos a1 , a2 , . . . , an de uma P.A. são os valores f (1), f (2), . . . , f (n) de uma função
afim.
(a) Mostre que cada ai é igual à área de um trapézio delimitado pelo gráfico de f , pelo
eixo OX e pelas retas verticais de equações x = i − 21 e x = i + 12 .
(b) Mostre que a soma S = a1 + a2 + . . . + an é igual à área do trapézio delimitado pelo
gráfico de f , pelo eixo OX e pelas retas verticais x = 21 e x = n + 12 .
n
(c) Conclua que S = n · a1 +a
.
2
4. Em uma escola há duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda com peso
3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará prova final. Sua média final será
então a média entre a nota da prova final, com peso 2 e a média das provas mensais, com
peso 3. João obteve 4 e 6 nas provas mensais. Se a média final para a aprovação é 5,
quanto ele precisa obter na prova final para ser aprovado?
5. Suponha os seguintes valores de IR-fonte:
Base de cálculo
Alı́quota
Até R$900
Isento
De R$900 a R$1800
15%
Acima de R$1800
25%
Parcela a deduzir
−
R$135
R$315
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento.
6. Defina uma função f : R → R pondo f (x) = 2x se x é racional e f (x) = 3x se x é
irracional. Mostre que se tem f (nx) = n · f (x) para todo n ∈ Z e para todo x ∈ R, mas
f não é linear.
7. Mostre que a função f : R → R, definida por f (x) = 3x + sen(2πx), é crescente e, para
todo x ∈ R fixado, transforma a progressão aritmética x, x + 1, x + 2, . . . numa progressão
aritmética. Entretanto, f não é afim. Isto contradiz algum resultado visto em sala de
aula? Justifique sua resposta.
8. Seja f (x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Mostre que se (an )n∈N é uma progressão aritmética,
então (f (an+1 ) − f (an ))n∈N é uma progressão aritmética.
9. Prove que se a, b, c são inteiros ı́mpares, as raı́zes de y = ax2 + bx + c não são racionais.
10. Seja f (x) = ax2 + bx + c, com a > 0.
f (x1 ) + f (x2 )
x1 + x2
≤
.
(a) Mostre que f
2
2
(b) Mostre que se 0 < α < 1, então f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).
Interprete este resultado geometricamente.
11. Encontre os valores mı́nimo e máximo assumidos pela função f (x) = x2 − 4x + 3 em cada
um dos intervalos abaixo.
(a) [1, 4].
(b) [6, 10].
12. Identifique os sinais de a, b, c nos gráficos das funções quadráticas f (x) = ax2 + bx + c,
dados abaixo:
13. Sejam a, m ∈ R, com a 6= 0. Mostre que o gráfico da função quadrática f (x) = a(x − m)2
1
1
é uma parábola de foco F = (m, 4a
) e diretriz y = − 4a
.
14. Qual o valor máximo de 21n − n2 , com n inteiro?