6a Lista de Exercı́cios de Espaços Métricos.
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 7o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Considere o espaço vetorial Mn (R), das matrizes quadradas de ordem n, com entradas
reais. Podemos dar a Mn (R) uma estrutura de espaço métrico, com qualquer uma das
três métricas de um espaço euclidiano, uma vez que podemos associar os pontos de Mn (R)
2
com os pontos de Rn , da seguinte forma:

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.
an1 an2

. . . a1n
. . . a2n 

←→ (a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , a22 , . . . , a2n , . . . , an1 , an2 , . . . , ann )
. . . .. 
. 
. . . ann
Assim, dados A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mn (R), podemos definir d(A, B) = d(a, b), onde
2
2
a, b ∈ Rn são, respectivamente, os pontos de Rn associados às matrizes A e B.
Seja GLn (R) = {A = (aij ) ∈ Mn (R); A é invertı́vel}. Temos que GLn (R) é um conjunto
aberto em Mn (R). Mostre esse fato para o caso particular em que n = 2, ou seja, mostre
que GL2 (R) é aberto em M2 (R).
2. Seja f : M → R uma função contı́nua. Mostre que o conjunto A = {x ∈ M ; f (x) 6= 0} é
um conjunto aberto em M .
3. Sejam f : M → R e g : M → R funções contı́nuas. Então, mostre que o conjunto
A = {x ∈ M ; f (x) 6= g(x)} é aberto em M .
4. Mostre que o conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; xy = sen(x)} é fechado em R2 .
5. Seja A = n1 ; n ∈ N∗ ⊂ R, com a métrica usual induzida. Considere a função f : A → R,
dada por f ( n1 ) = n.
(a) Use o GeoGebra para visualizar alguns pontos do gráfico de f . Para tanto, siga os
seguintes passos:
i. Crie um controle deslizante, chame-o de n, com intervalo de variação de 1 à 5,
considerando o incremento de 1.
ii. Defina no Campo de Entrada o ponto P =
iii. Habilite o rastro do ponto P .
iv. Manipule o controle deslizante.
(b) f : A → R é uma função contı́nua?
1
,n
n
.
(c) Seja M = {0} ∪ A. Mostre que a função f : M → R dada por f (0) = 0 e f ( n1 ) = n
não é contı́nua no ponto x = 0.
6. Uma função f : M → N satisfaz a condição de Holder de ordem k, onde k é uma constante
estritamente positiva, se existe c > 0 de maneira que
d(f (x), f (y)) ≤ c · [d(x, y)]k , ∀ x, y ∈ M.
Mostre que nessas condições, f é contı́nua.
7. Mostre que não é contı́nua no ponto (0, 0) a função f : R2 → R dada por
xy
, se (x, y) 6= (0, 0)
x2 +y 2
f (x, y) =
0,
se (x, y) = (0, 0).
8. Seja M um espaço métrico cuja métrica é a zero-um. Mostre que toda função f : M → N ,
qualquer que seja o espaço métrico N , é contı́nua.
9. Mostre que f : M → N é contı́nua se, e somente se, f (A) ⊂ f (A), para todo A ⊂ M .
10. Sobre M = {1, 21 , 13 , . . .} considere a métrica usual induzida por R. Mostre que f : M → R
dada por f ( n1 ) = n não é uniformemente contı́nua.
11. Sejam M = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 + y 2 } (paraboloide) e N = R2 . Mostre que M ' N .
12. Seja f : M → N um homeomorfismo. Para qualquer A ⊂ M , mostre que:
(a) p ∈ A◦ ⇔ f (p) ∈ (f (A))◦ .
(b) p ∈ A ⇔ f (p) ∈ f (A).
13. Sejam M e N espaços métricos e f, g : M → N funções contı́nuas. Se f (a) 6= g(a),
para algum a ∈ M , mostre que existe uma bola B = B(a, δ) tal que f (x) 6= g(y), para
quaisquer x, y ∈ B.