TÓPICOS MATRICIAIS
1. Traço de Matrizes.
Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada de ordem é a
soma dos elementos da diagonal principal.
Em símbolos,
Daqui em diante, denotará uma matriz quadrada de ordem n, cujos
elementos são números reais. Esperamos que o leitor esteja familiarizado com
as definições e operações mais elementares sobre matrizes.
Exemplo 1.1: Considere a matriz n x n
$
#
#
!
#
"
Assim, , -./ - 0 1
Da definição 1.1 decorre o seguinte resultado:
%&'()*
%&' *)
+ , para
Proposição 1.1: Sejam e 2 , então
a) 3 b) 4 5 2 4 5 2/ 4 0 c) 6 d) 2 2.
Prova:
a) Claramente 3 7
8999:999;
7 7 <=>=?
b) Sejam @ AB2 @C A para todo 7 D E/ F D , então como 42
multiplica todos os elementos C da matriz B, teremos 4 5 2 G 4C , assim 4 5 2 G 4C 4 5 2
c) Quando fazemos a operação transposta de uma matriz os elementos
da diagonal principal são os mesmos da matriz , portanto 6 .
d) Sabemos que o E/ F + HIEJK elemento da matriz AB é L2M/ Logo,
N CN
N
2 C C 2 O
Corolário 1.1: Sejam , 2 e P matrizes simétricas, então
2P 2P P2.
Prova:
É imediato, pela proposição 1.1, temos 2P 2P P2 LP26 M 2 6 6 P 6 2P, pois A, B e C são
simétricas.
O
Corolário 1.2: O traço de uma matriz anti-simétrica é zero.
Prova:
Se é uma matriz anti-simétrica, então +6 Q +6 Q +
6 Q +
R O
Exercício Resolvido 1.1: (IME-80) Mostre que não existem matrizes
quadradas A e B, que verifiquem 2 + 2 3 , onde 3 é a matriz
identidade de uma ordem qualquer.
Solução:
Pela proposição 1.1 ,
2 + 2 2 + 2 / por outro
lado, 3 , assim absurdo!
Portanto tais matrizes A e B não existem.
LEMA 1.1: (CAUCHY-SCHWARZ) Sejam / / S/ BC / C / S/ C
números reais positivos. A seguinte desigualdade é verdadeira:
T U CU V D
U
T U V T CU V
U
U
Corolário 1.3: Sejam ( e 2 ( matrizes diagonais. Então
L
2M D 5 2 C C
Sejam W
X e 2 W
!
Assim é fácil ver que
Prova:
L
2M T C V D
T V T C V
!
C
X
5 2 O
EXERCÍCIOS
1) (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 x 3. Se denota a soma dos
elementos da diagonal principal de A. Considere as afirmações:
(I)
6 (II)
Se A é inversível, então , (III)
4 5 2 4 5 2/ YZK[K4 0 Temos que
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as afirmações são verdadeiras;
Todas as afirmações são falsas;
Apenas a afirmação (I) é verdadeira;
Apenas a afirmação (II) é falsa;
Apenas a afirmação (III) é falsa.
2) (IME-09) Demonstre que a matriz
] ^
]
\ ]
^
^ ]^
^
]^
_
]
Onde / ]/ ^ 0 `/ pode ser escrita como o quadrado de uma matriz
simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao
conjunto dos números naturais.
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal
principal.
3) Seja a
7 7
b Calcule N onde c 0 `
4) (ITA-08) Seja 0 d* uma matriz simétrica e não nula, cujos
elementos são tais que / B formam, nesta ordem, uma progressão
geométrica de razão e , 7 e f Sabendo-se que o sistema g g
admite solução não-nula g 0 d* , pode-se afirmar que e é igual a
a)
h
i
b)
i
c) 5
d)
jk
k
e)
i
j
5) (ITA-07) Sejam N e 2 CN , duas matrizes quadradas ,
onde N e CN são, respectivamente,os elementos da linha j e coluna k das matrizes e
2, definidas por N N , quando F l -, N mNn, quando F o - e
N
FCN +p q r
Y
ph
O traço de uma matriz quadrada sN de ordem é definido por
spp p
Quando n for ímpar, o traço de 2 é igual a
A)
B)
C)
t
u
t(
j
D)
E)
v tu(
t
ut
t
t
2. Matrizes Ortogonais.
Definição 2.2: Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e
6 t Proposição 2.1:
a) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
b) O determinante de uma matriz ortogonal é 7Kw + 7
Prova:
a) Suponhamos que A e B sejam matrizes ortogonais, então 6 t e
2 6 2 t, agora sabemos que se A e B são inversíveis AB também o é,
2t 2 t t 2 6 6 26 b) Se 6 t Q xBZ6 xBZt Q xBZ LxBZMt Q
LxBZM 7 R xBZ 7KwxBZ +7O
y + z{ y
Exemplo 2.1: A matriz a
b é ortogonal, de fato, 6 z{ y y
y + z{ y
y z{ y
b
b5a
a
z{ y y
+ z{ y y
sKI y IE y
+ z{ y y z{ ysKIy} a7 b
|
7
+ y z{ y y z{ y
IE y sKI y
Da mesma forma,
Portanto, 6 t 7 6 a
b ~BEEewB€
7
A matriz é conhecida como matriz de rotação do plano.
Exercício resolvido 2.1: (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que
d + dt 2 Sabendo que d dt /podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
2 H a matriz nula.
2 +3
B é simétrica
B é anti-simétrica
N.d.a.
Notações: d Bdt denotam, respectivamente, a matriz transposta de M e a
matriz inversa de M. Por 3 denotamos a matriz identidade de ordem n.
Solução:
Como d dt ( M é ortogonal) temos que d + d6 2 Q 2 6 d + d6 6 d6 + d +d + d6 +2 Q 2 +2 6 , isto é, B é antisimétrica.
Resposta: alternativa D.
Dizemos que uma matriz A é idempotente se Exercício resolvido 2.2: Mostre que para qualquer matriz simétrica e idempotente
A, a matriz 3 + é ortogonal.
Solução:
Como A é simétrica e idempotente 6 e Note que 3 + 3 + 3 + 3 + + ‚ 3 + ‚ ‚ 3/ [ƒxBZ3 + , /
portanto 3 + é inversível. Agora 3 + 6 3 + 6 3 + / logo
3 + 3 + 3 Q 3 + 6 3 + 3 + 3 + 6 3, assim 3 + é ortogonal.
EXERCÍCIOS
1) Sabendo que a matriz m
s
C
n é ortogonal, calcule o valor de C s [ [
2) Mostre que a matriz abaixo é ortogonal
y „ 7
z{ y + z{ y
…
y
3) (ITA-04) Se A é uma matriz real, considere as definições:
i)
Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se A for inversível e t 6 ii) Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se /para todo E/ F 7/ S/ / sKJE , F
Determine toda as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente,
diagonais e ortogonais.
4) (ITA-08) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e t 6 Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais,
expressando-as quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da
diagonal principal.
5) (IME-01) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando sua transposta é
igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz L†M abaixo, é
uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e y um ângulo qualquer.
Justifique sua resposta.
y + z{ y
L†M „ z{ y y
…
7
3. ALGUMAS APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES
Nesse tópico vamos discutir alguns problemas que aparentemente não têm conexão
com determinantes.
A famosa sequência de Fibonacci ‡ , definida por ‡h , ‡ ‡ 7 e
‡ ‡t ‡t , para todo l .
Os dez primeiros números de Fibonacci são:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Pode-se provar a seguinte expressão do termo geral
7 ˆf
7 + ˆf
‰Š
‹ +Š
‹ Œ
‡ ˆf
7
Tente prová-la usando indução!
Agora um exercício só para fixar:
1) (IME-07) Uma série de Fibonacci é uma sequência de valores definida da seguinte
maneira:
 Os dois primeiros termos são iguais à unidade, ou seja, 7
 Cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores, isto é:
Ž Žt Žt . Se  f‚ e 7‘‚’ então é igual a:
a) 12225
b) 13530
c) 17711
d) 20412
e) 22121
Agora considere a matriz m
7 7
n , vamos mostrar por indução que
7 ‡
q (
‡
‡
Para 7é verdadeiro, já que q ‡
‡
r
‡t
‡
7 7
rm
n
‡h
7 Suponhamos que seja verdadeiro para k e provemos que vale para - 7“
‡
‡N
‡
‡N
7
N q N(
r Q N( N q N(
rm
‡N
‡Nt
‡N
‡Nt 7
‡N( ‡N ‡N(
‡N( ‡N(
q
rq
r , como queríamos.
‡N ‡Nt ‡N
‡N( ‡N
7
n
Exemplo 3.1: Mostre que ‡( 5 ‡t + ‡ +7 , para todo l 7
Solução:
‡
‡
Como q (
r e xBZ +7/ temos que xBZ xBZ ‡
‡t
‡
‡
xBZ q (
r Q ‡( 5 ‡t + ‡ +7 ‡
‡t
O determinante pode também ser usado para fatorar.
Exemplo 3.2: Fatoreu C u s u + ”Cs
Solução:
s C
Observe que u C u s u + ”Cs •C s • e usando as propriedades do
C s
determinante, isto é, adicionando as 2–B”– colunas à 7– obtemos:
s
•C
s
C
Cs
C
• — C s
s
Cs
s
C
C
7 — C s 5 •7 s
s
7 C
C s C s + C + Cs + s
C
•
s
Logo u C u s u + ”Cs C s C s + C + Cs + s.
Podemos escrever essa última expressão assim:
u C u s u + ”Cs 7
C sL + C C + s s + M
E isso ajudará a resolver o seguinte exercício:
2) (IME-01)
a) Sejam / ]B^ números reais positivos. Prove que:
]^ ™
l ˜]^
”
Em que condições a igualdade se verifica?
b) Considere um paralelepípedo de lados a, b, c e área šh . Determine o volume máximo
desse paralelepípedo em função de šh . Qual a relação entre a, b e c para que esse
volume seja máximo? Demonstre seu resultado.
Sabemos que um sistema linear homogêneo que possui uma solução não-trivial têm
determinante da matriz associada ao sistema igual a zero. Vamos usar este fato.
Exemplo 3.3: Seja ABC um triângulo acutângulo qualquer. Mostre que
sKI sKI 2 sKI P 2 P 7
Solução:
Considere o sistema:
+ 2 5 ] P 5 ^ › 2 5 + ] ^ œ
P 5 ] + ^ Agora observe que / ]/ ^ z{ / z{ P/ z{ 2 é solução não-trivial desse sistema.
De fato, como 2 P . Q 2 P . + Q z{2 P z{ Q
+z{ z{2 P Q + z{ 2 z{ P P z{ 2 que é
exatamente a primeira equação para / ]/ ^ z{ / z{ P/ z{ 2
Analogamente podemos concluir que esta terna satisfaz às outras duas equações.
Portanto,
+7
• 2
P
2
+7
P
• Q sKI sKI 2 sKI P 2 P 7
+7
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
TRAÇO DE MATRIZES:
D
Demonstração
ž(Ÿ ž + 
A
C
MATRIZES ORTOGONAIS
1) 2
2) Demonstração
¡ ¡
3) „¡ ¢ ¡… com a, b, c 0 ¤Ÿ/ +Ÿ¥
¡ ¡ £

q+ˆŸ + ¢
¢
4) m
Ÿ
¡
¡
+Ÿ
n, m
Ÿ
¡

¡
n/qˆŸ + ¢
+Ÿ
¢
¢ r com +Ÿ D ¢ D Ÿ
ˆŸ + ¢
5) Sim
¢
r,
+ˆŸ + ¢
ALGUMAS APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES
1) C
2) a) quando ¦ § ¨
b) ©ª ¦ m ¬¡ n
«
­)
; quando ¢ £
REFERÊNCIAS:
[1] SALAHODDIN SHOKRANIAN, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR,
EDITORA UNB, 2004.
[2] ELON L. LIMA, ÁLGEBRA LINEAR, C. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA,
IMPA, 2009.