A Reta
-
Equação vetorial da reta
→
Considere um ponto A(x1, y1, z1) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Existe uma única reta
→
que passa por A e é paralela a v .
r
P
A
→
→
→
→
→
P(x, y, z) ∈ r ⇔ AP // v ⇒ AP = t. v ⇒ P – A = t. v ⇒ P
→
→
= A + t. v
Equação vetorial
v
OBS: 1) (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t. (a, b, c)
→
2) v é o vetor diretor da reta
t é o parâmetro
Equações Paramétricas da reta
Como vimos, temos que:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)
(x, y, z) = (x1 + t.a, y1 + t.b, z1+ t.c)
então:
x = x1 + t.a
y = y1 + t.b
equações paramétricas da reta.
z = z1 + t.c
Equações simétricas da reta
Vimos que
x = x1 + t.a
y = y1 + t.b
z = z1 + t.c
x − x1
=t
a
y − y1
=t
b
z − z1
=t
c
⇒ isolando t em todas as equações, temos:
então:
x − x 1 y − y1 z − z1
, equações simétricas da reta.
=
=
a
b
c
1
Exemplos:
1) Descreva a equação vetorial, as equações paramétricas e simétricas de uma reta que
→
passa pelo ponto A(1, -1, 4) e tem direção do vetor v =(2, 3, 2):
equação vetorial: r: (x, y, z) = (1, -1, 4) + t.(2, 3, 2)
equações paramétricas:
x = 1 + 2.t
r: y = -1 + 3.t
z = 4 + 2.t
equações simétricas:
x − 1 y − (−1) z − 4
=
=
2
3
2
OBS1: Se desejarmos obter pontos de r é só atribuir valores para t.
OBS2: Será que (5, 5, 8) ∈ r?
(5, 5, 8) – (1, -1, 4) = t. ( 2, 3, 2)
(4, 6, 4) = t. (2, 3, 2)
t=2
Exemplo: Se r passa por A(1, 0, 1) e B(0, 2, 0), então:
a) Achar as equações vetoriais, paramétricas e simétricas de r;
→
vetorial: (x, y, z) = A + t. AB ⇒ (x, y, z) = (1, 0, 1) + t. (-1, 2, -1)
paramétrica:
x=1–t
y = 2.t
z=1–t
simétrica:
x −1 y − 0 z −1
=
=
−1
2
−1
b) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4:
x = 4 ⇒ 4 = 1 – t ⇒ 4 – 1 = -t ⇒ t = -3
y = -6
z = 1 + 3 = 4 ⇒ (x, y, z) = (4, -6, 4)
c) Verifique se (1, 1, 1) ∈ r:
1 = 1- t ⇒ t = 0
1 = 2.t ⇒ t ≠ 0
1=1–t ⇒ t=0
∴ (1, 1, 1) ∉ r.
d) Escrever as equações paramétricas da reta s que passa por C(1, 2, 3) e é paralela a r:
→
Se s // r ⇒ os vetores diretores são os mesmos ⇒ v 1 = (-1, 2, -1)
2
⇒s: x=1–t
y = 2 + 2.t
z=3–t
OBS:
r
→
A e B definem a reta r e o vetor diretor é AB .
B
A
Exemplo: Escreva a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto médio M do segmento
→
AB e que tem vetor diretor v = (1, 0, -1), sendo A = (1, 1, 3) e B = (3, 1, 0).
M = A + B = (4,2,3) = (2, 1, 3/2)
2
2
r: (x, y, z) = (2, 1, 3/2) + t. (1, 0, -1)
Equações Reduzidas da reta
Considere as equações simétricas da reta r:
→
x−2 y+4 z+3
, onde r é definida por A=(2, -4, -3) e v =(1,2,-3).
=
=
1
2
−3
x−2 y+4
x−2 z+3
e
=
=
1
2
1
−3
r:
1.(y + 4) = 2.(x - 2)
1.(z + 3) = -3.(x - 2)
y + 4 = 2.x – 4
z + 3 = -3.x + 6
y = 2.x – 4 – 4
z = -3.x + 6 – 3
y = 2.x – 8
z = -3.x + 3
∴ y = 2.x – 8
z = -3.x + 3 , são as equações reduzidas da reta.
OBS: As equações reduzidas na variável x serão sempre da forma:
y = mx+n
z = px+q
3
Exemplos:
1) Verifique se r = s:
r: x = 1 - λ
y = 2 + 2. λ
z=1+λ
s: x = 1 – ½.α
y=2+α
z = 1 + ½.α
, λ ∈ℜ
, α∈ℜ
→
1º) vetor diretor de r: (-1, 2, 1) =
vetor diretor de s: ( -1/2, 1, 1/2) =
v
→
→
u
u // v ,
, onde
→
pois (-1, 2, 1) = 2.(-1/2, 1, 1/2) e o
é o mesmo. Então r = s.
ponto
2º) Dê 2 vetores diretores e 4 pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
x = (1, 2, 0) + λ.(1, 1, 1) , λ ∈ℜ
→
P = (1, 2, 0)
λ=0
P = (2, 3, 1)
λ=1
v =(2, 2, 2)
→

v =(3, 3, 3)

 
OBS: 1) r ⊥ s ⇔ v1 ⊥ v2 ( v1 . v2 = 0)
Ex: r1: y = -2.x +1
z = 4. x
r2: x = 3 – 2. t
y=4+t
z=t
x=t
y = 1 – 2.t
z = 0 + 4.t

v2 = (-2, 1, 1)

v1 = (1, -2, 4)
 
∴ v1 . v2 = (1, -2, 4) . (-2, 1, 1) = - 2 – 2 + 4 = 0
∴ r1 ⊥ r2
2) Reta ortogonal a duas retas:
 A condição de ortogonalidade entre r1 e r2 é a mesma dos vetores 𝑣𝑣⃗1 = (𝑎𝑎1 , 𝑏𝑏1 , 𝑐𝑐1 ) e
𝑣𝑣⃗2 = (𝑎𝑎2 , 𝑏𝑏2 , 𝑐𝑐2 ), isto é:
𝑣𝑣⃗1 . 𝑣𝑣⃗2 = 0 ou 𝑎𝑎1 . 𝑎𝑎2 +𝑏𝑏1 . 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐1 . 𝑐𝑐2 = 0, então as retas são ortogonais.
4
Exemplo: As retas seguintes são ortogonais.
y=3


r1 :  x − 3 z + 1
 8 = − 6
e
r2 :
x y +1 z − 3
=
=
3
5
4
Resolver.
 Para determinar uma reta que passa por A e é ortogonal à r1 e r2, devemos

encontrar v (vetor diretor da reta ortogonal) tal que:
  
v = v1 x v2
Ex: Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retas:
r1: (x,y,z) = (0,0,1)+t(2,3,-4)
e
Daí tiramos que 𝑣𝑣⃗1 =(2,3,-4)
e

𝑥𝑥 = 5
𝑟𝑟2 : � 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 1 − 𝑡𝑡


𝑣𝑣⃗2 =(0,1,-1)
Portanto a reta r tem direção de v = v1 x v2
𝑥𝑥 = 3 + 𝑡𝑡
𝑖𝑖⃗ 𝑗𝑗⃗ 𝑘𝑘�⃗
�2 3 −4�= (1, 2, 2), logo
𝑟𝑟: � 𝑦𝑦 = 4 + 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = −1 + 2𝑡𝑡
0 1 −1
3) Paralelismo: duas retas são paralelas se 𝑣𝑣⃗1 = (𝑎𝑎1 , 𝑏𝑏1 , 𝑐𝑐1 ) ∈ r1 e 𝑣𝑣⃗2 = (𝑎𝑎2 , 𝑏𝑏2 , 𝑐𝑐2 ) ∈ r2
são paralelos:
a1 b1 c1
=
=
a 2 b2 c 2
�����⃗ 𝑒𝑒 𝑣𝑣⃗1
Ainda, se os vetores são paralelos e sendo A um ponto de r1 e B um ponto de r2, se 𝐴𝐴𝐴𝐴
são paralelos então r1 e r2 são coincidentes. Senão, então as retas são somente paralelas.
Ex: A reta r1 que passa por A=(-3, 4 ,2) e B=(5, -2, 4) e a reta r2 que passa por C=(-1, 2, -3)
e D = (-5, 5, -4) são paralelas.
→
→
Resp: 𝑣𝑣⃗1 = AB = (8, -6, 2) e 𝑣𝑣⃗2 = CD =(-4, 3, -1), assim:
8
−6
2
=
=
3
−1
−4
5
E portanto, r1 e r2 são paralelas.
4) Condição de Coplanaridade de Duas Retas
A reta r1, que passa por um ponto A(x1,y1,z1) e tem a direção de um vetor

v1 = (a1, b1, c1 ) , e r2, que passa pelo ponto B(x2,y2,z2) e tem a direção de um vetor



𝐴𝐴𝐴𝐴 forem coplanares, isto é, se
v 2 = (a2 , b2 , c 2 ) , são coplanares se os vetores v 1 , v 2 e �����⃗
 
�����⃗ ).
for nulo o produto misto ( v1 , v 2 , 𝐴𝐴𝐴𝐴
  → 
 v1 , v 2 , AB  =


a1
a2
x 2 − x1
b1
b2
y 2 − y1
c1
c2 = 0
z 2 − z1
Assim:
 se r1 e r2 forem paralelas, serão coplanares, isto é:


 
a
b
c
( v1 , v 2 , �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 )=0 e v1 = mv 2 ou 1 = 1 = 1
a2 b2 c 2
 b) se r1 e r2 não forem paralelas, a igualdade
 
�����⃗ )=0
( v1 , v 2 ,𝐴𝐴𝐴𝐴
exprime a condição de concorrência dessas retas;
 
�����⃗ ) for diferente de zero,
 se o determinante utilizado para calcular ( v1 , v 2 ,𝐴𝐴𝐴𝐴
as retas r1 e r2 são reversas.
6