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Universidade Federal de São Carlos
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Departamento de Matemática
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084913 - Curso de Fundamentos de Matemática 2 - Turma A
Segunda Prova - 30/11/2004 - Gabarito
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T 80
Nota
1. (20 pts.) Escolha e resolva somente uma das seguintes alternativas:
(a) Quantas são as soluções inteiras não-negativas da desigualdade
x + y + z ≤ 23,
tais que x > 0 e y > 1?
Solução: Primeiro fazemos a seguinte mudança de variáveis: x = v + 1 e y =
w + 2. Com isto temos x > 0 quando v ≥ 0 e y > 1 quando w ≥ 0. Ficamos assim
com a desigualdade equivalente: v+w+z ≤ 20, que pode ser transformada em uma
igualdade, acrescentando-se uma variável de folga: v + w +
z + f= 20. Portanto
o
4
4 + 40 − 1
número total de soluções da desigualdade original é
=
=
40
40
43
= 43×42×41
= 12341.
#
3×2
3
(b) De quantos modos diferentes 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5
bancos de dois lugares se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?
Solução: Vamos assentar primeiro as mulheres. A primeira mulher pode escolher
um entre 10 lugares, a segunda, 8 lugares, etc, num total de 10×8×6×4×2 = 3840
maneiras. Agora vamos assentar os homens. O primeiro homem tem 5 lugares a
sua escolha, o segundo, 4 lugares, etc, num total de 5×4×3×2×1 = 120maneiras.
Pelo Principio Fundamental da Contagem, temos um total de 3840×120 = 460800
possibilidades.
#
2. (20 pts.) Sabendo que a seqüência (an ) = (5, 11, 19, 29, 41, . . .) define uma
progressão aritmética de ordem k, encontre k. Dê uma expressão para an dependendo apenas de n.
Solução: A tabela das diferenças para essa seqüência é a seguinte:
n
1
2
3
4
5
an ∆an ∆2 an
5
6
2
11 8
2
19 10
2
29 12
41
Vemos que a seqüência ∆2 an é constante, portanto k = 2.
Como (an ) é de segunda ordem, sabemos que an = an2 + bn + c. Temos que
achar a, b, c. Mas, ∆an = a(n + 1)2 + b(n + 1) + c − an2 − bn − c = 2an + (a + b).
Fazendo n = 1, 2, temos da tabela acima que 2a + a + b = 6 e 4a + a + b = 8.
Resolvendo este sistema achamos a = 1 e b = 3. Finalmente, para achar c, temos
a1 = 12 + 3 · 1 + c = 5, ou seja c = 1. Concluı́mos que an = n2 + 3n + 1.
#
3. (20 pts.) Calcule 2
Somação:
n
X
k=1
n
X
(3k 2 + 4k + 2). Dica: use o Teorema Fundamental da
k=1
∆ak = an+1 − a1 .
Solução: Usando o teorema da somação, precisamos encontrar uma seqüência
(ak ) tal que ∆ak = 6k 2 +8k +4 (e nesse caso (ak ) será uma P.A. de terceira ordem).
Fazendo ak = ak 3 + bk 2 + ck + d, temos
∆ak = a(k + 1)3 + b(k + 1)2 + c(k + 1) + d − ak 3 − bk 2 − ck − d
= a(k 3 + 3k 2 + 3k + 1) + b(k 2 + 2k + 1) + c(k + 1) − ak 3 − bk 2 − ck
= 3ak 2 + (3a + 2b)k + (a + b + c) = 6k 2 + 8k + 4.
Comparando coeficientes, caı́mos no sistema:

=6
 3a
3a + 2b = 8
 a+b+c =4
Resolvendo este sistema encontramos a = 2, b = 1, c = 1, ou seja, ak = 2k 3 + k 2 +
k + d (não é preciso encontrar d).
Pelo Teorema Fundamental da Somação, temos
n
n
X
X
2
6k + 8k + 4 =
∆(2k 3 + k 2 + k + d)
k=1
k=1
= 2(n + 1)3 + (n + 1)2 + (n + 1) + d − (2 + 1 + 1 + d)
i = 2(n3 + 3n2 + 3n + 1) + (n2 + 2n + 1) + (n + 1) − 4
= 2n3 + 7n2 + 9n
que é a resposta desejada.
#
4. (20 pts.) Paulo compra uma geladeira de R$1000,00 a ser paga em 10
prestações mensais iguais, com a primeira prestação vencendo um mês após a
compra. Se a taxa de juros praticada pela loja é de 24% ao ano, qual será o valor
das prestações? Justifique sua resposta.
Solução: Como a primeira prestação ocorre somente um mês após a compra,
podemos aplicar a bem-conhecida fórmula
1 − (1 + i)−n
A=P
,
i
onde A é o principal, P é o valor das prestações e i é a taxa de juros mensal. Para
achar i precisamos da fórmula das taxas equivalentes:
(1 + 0, 24) = (1 + i)12 ,
1
ou seja i = (1,24) 12 − 1 ∼
= 0,018087582 = 1,8087582% ao mês.
Daı́, encontramos
0,018087582
∼
P = 1000
= R$110,22.
1 − (1 + 0,018087582)−10
#
Instruções:
• As questões podem ser resolvidas em qualquer oderm, mas devem ser escritas na ordem dada, com uma resolução por página.
• Sua nota nesta prova será igual ao total T de pontos atingidos dividido por
8.
• As folhas da prova não devem ser destacadas. Use o rascunho para as contas
intermediárias, mas não se esqueça de copiar a resposta final para o local
definitivo. O verso desta página também pode ser usado como rascunho.
• É permitido o uso de calculadora durante a prova, desde que a calculadora
não seja financeira.
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