Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - IFC
Resolução de Equações de Segundo grau
Através Método de Al-Khwarizmi
Claudia Cavalcante Fonseca
Johann Felipe Voigt
Disciplina de Matemática Fundamental I
Professoras: Fátima Peres Zago de Oliveira
Paula Grawieski Civiero
Trabalho solicitado pelas
professoras Fátima Peres Zago de
Oliveira e Paula Grawieski
Civiero como parte da avaliação de
aprendizagem na disciplina
Matemática Fundamental I do
Instituto Federal Catarinense.
Rio do Sul – SC
1
A época de Al-Khwarizmi
Entre os séculos VIII e IX, viveu, na Pérsia, um
matemático chamado Abū Abdallāh Muḥammad ibn Mūsā
al-Khwārizmī (originalmente ‫)ن موســـــى الخوارزمـــــي‬, que
realizou grandes descobertas e escreveu sobre aritmética,
álgebra (sendo considerado seu pai, juntamente com
Diofanto), astronomia, geografia e o calendário.
Devido às suas grandes contribuições, a palavra
“algarismo” deriva de seu nome, que espalhou-se pela
Europa a partir da tradução de seu livro "Sobre a arte hindu
de calcular", no qual introduzia o sistema de numeração
indu, para o latim.
Na obra que será abordada, Al-Kitab al-Jabr wa-lMuqabala (“O livro resumido de cálculos por complemento
e equilíbrio“), os primeiros passos da álgebra atual são apresentados, incluindo métodos para
solucionar equações quadráticas de forma mais rápida na época.
Al-Khwarizmi propõe que, para solucionar qualquer equação quadrática, é necessário
aplicar nela três passos simples, que vão preparar e formatar a equação para sua forma correta.
Os métodos são os seguintes;
1. Al-jabr (originalmente ‫الجــب‬, “restauração“): Como os cálculos árabes baseavam-se e
eram utilizados apenas para estudos geométricos; a grandezas negativas não eram
consideradas. Por este motivo, expressões onde deveriam existir valores negativos eram
somadas a estes valores para restaurá-los. Desta forma, eles deveriam ser adicionados,
também, à expressão igualada para garantir a validade da equação.
2. Al-muqabala (originalmente ‫المقـــاب‬, “equilíbrio“): Neste processo os elementos cujas
potências de x são equivalentes unem-se formando apenas um termo.
2
3. Al-radd: Com o objetivo de simplificação do cálculo, o coeficiente do termo
deve ser
operado de forma a tornar-se o número 1, multiplicando-se cada membro da equação pelo
inverso de tal elemento.
Uma vez aplicadas essas regras, existem ao todo seis formatos diferentes de equações
quadráticas que podem ser encontrados:
●
●
●
●
●
●
Quando o coeficiente de
é anulado; a equação torna-se linear.
3
Resolução de equações quadráticas
Primeiro caso
Para a resolução proposta por Al-Khwarizmi, deve-se reduzir esta equação ao primeiro
grau. Para tanto, primeiro, aplicaremos al-jabr.
Simplificando:
Deve-se dividir ambos os lados da equação por
:
E simplificando:
Como resultado de seu estudo, Al-Khwarizmi divulga que a raiz deste tipo de equação
será sempre
.
Segundo caso
Primeiro deve-se aplicar al-jabr.
Simplificando:
Como o coeficiente do termo
é diferente de 1, deve ser aplicada a técnica al-radd.
E, simplificando:
Calculando-se a raiz quadrada de ambos os lados
4
Concluímos que
. Como a equação apresenta apenas um resultado no conjunto de
números positivos, apenas este era encontrado por Al-Khwarizmi.
Terceiro caso
Exemplo
Primeiro apliquemos al-jabr.
Logo:
E, agora, al-radd.
Assim:
Podemos representar o termo
a partir do seguinte quadrado de lados com medida
:
5
, nos permite criar 4 áreas com um lado medindo
O segundo termo da equação,
outro medindo
, da seguinte forma:
Como a área total dos retângulos recém desenhados equivale a
, e que os quatro
retângulos são idênticos, concluímos que a área de cada um dos retângulos vale
simplificando:
e
, ou,
.
Sabendo-se que a área de cada retângulo equivale a
e que um de seus lados mede
,
podemos concluir que seu segundo lado mede . Desta forma:
6
Completando as lacunas até formar um novo quadrado, maior que o inicial, cria-se mais 4
retângulos, da seguinte forma:
7
Neste momento, ambos os lados dos quatro novos retângulos criados são conhecidos:
e
, o que os torna quadrados. A partir desses dados pode-se calcular a área de cada quadrado:
.
Nossa equação inicial
calculada em
, ou seja, a área da região sombreada abaixo é
:
A área total das regiões brancas é facilmente obtida a partir do cálculo
. Portanto, a área total da figura limita-se a
Sendo um quadrado de lados
.
, a figura nos permite perceber que:
, ou seja,
8
Solução geral
Tomando por equação inicial:
área calcula-se em
.
Em seguida, criam-se, com área total de
calculada em
, consideremos um quadrado inicial, cuja
e lados
e
, quatro retângulos cuja área individual é
; e, anexando-os aos 4 lados do quadrado obtemos uma figura
geométrica semelhante a uma cruz.
Preenchendo as lacunas deixadas ao lado dos 4 retângulos de forma a termos um
retângulo em cada um dos cantos, percebemos que formam-se 4 novos quadrados com área
.
Percebemos, a partir da equação, que a área da cruz vale , já que representa a soma das
áreas dos outros termos da equação (
). Podemos concluir então que a área do
quadrado maior equivale à soma das áreas da cruz com a área dos 4 quadrados menores e, ao
mesmo tempo, pode ser calculada como a multiplicação de seus lados, ou seja:
.
9
Al-Khwarizmi e Bhaskara
Partindo da equação
, Bháskara nos propõe que
.
Al-khwarizmi nos propõe realizar a operação de al-radd, tendo como resultado:
E al-jabr, que resulta a equação anterior em:
(já que, para este caso, c sempre será negativo; já que apresenta-se do lado oposto do
sinal de " ").
Para Al-Khwarizmi,
Como
.
e
:
Que pode ser escrita como:
Como
e
,
será sempre positivo.
10
Caso
, Al-Khwarizmi não encontrará raiz alguma.
Caso contrário, encontrará apenas a raiz positiva da fórmula de Bháskara.
Quarto caso
Exemplo
Iniciando com a equação,
e aplicando-se al-jabr, tem-se como
resultado:
Equações deste tipo são as únicas que podem possuir duas raízes positivas, logo as únicas
que proporcionam um resultado duplo em Al-khwarizmi.
Este fato pode ser provado a partir de que equações do segundo grau provém, em sua
(Sendo, desta forma, A e B, as raízes da
origem, de equações do tipo
e
equação; já que, a satisfazem devido
Desenvolvendo
o
lado
esquerdo
.
da
, logo; se
equação,
e
vemos
que
, então
.
e
Primeira raiz
Partindo da representação de
como área de um quadrado com lado
:
Percebendo que o segundo termo do lado esquerdo da equação tem um valor numérico
independente de
e que o termo à direita da equação, se representado pela área de um retângulo,
pode ter um dos lados equivalente a
e outro a , temos que:
11
Neste caso, na representação, o retângulo com área equivalente a
maior que o quadrado com área
foi tomado como
. Esta decisão possui extrema importância e para a
delimitação da outra raiz, deve-se considerar o contrário.
Tomando como lado a região do quadrado maior não comum com o retângulo de área ,
formamos um quadrado menor com lado
, denominado A na figura.
12
Delimitando-se os valores, percebe-se que:
Observando que os lados do retângulo D, que são:
(já que
e
, tal como os de B
). Desta forma, a área
é comum a
ambos.
Partindo dos preceitos:
A partir da figura inicial, temos que
A área do quadrado
, logo
, já que seu lado mede
.
unidades de medida.
13
A área do quadrado
de seu lado
permite inferir que:
equivale a
e pode ser calculada pelo quadrado da medida
. Obtemos, desta forma,
, que, desenvolvendo, nos
.
Segunda raiz
Iniciando o desenvolvimento da forma geométrica representativa da equação da mesma
forma que a resolução da primeira raiz, criamos um lado com lado
valor
para que sua área tenha
.
Diferencialmente à resolução anterior, o retângulo cuja área representa o valor
equação, desta vez, deve ser representado menor que o quadrado com área
da
:
14
Como na resolução anterior, o lado maior do retângulo ( ) é dividido em duas partes
iguais que geram um quadrado de lado :
Desta forma, a partir da observação de suas representações geométricas, pode-se concluir
que, a área somada dos retângulos A e B equivale à área de C, já que possuem os mesmos
comprimentos dos lados ( e
).
Assim, pode-se aferir que as áreas
.
A partir da equação inicial, temos que
; logo,
Como
; que pode ser desenvolvido como:
e
.
Exemplo curioso
A partir desta equação, deve-se aplicar al-jabr segundo o método de Al-Khwarizmi.
Logo:
15
Consideremos
como a área do quadrado:
Da mesma forma que as resoluções anteriores, representaremos o coeficiente
independente de
como a área de um retângulo com um lado igual a
e outro desconhecido:
A exemplo das resoluções de Al-khwarizmi para este caso, deve-se dividir o lado maior
em dois e tomar-se um quadrado com um deles.
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Seguindo a resolução, delimita-se um quadrado menor na região pertencente ao quadrado
de lado
e não pertencente ao retângulo inicial de área
.
Delimitando-se os dados que podem ser aferidos da imagem, percebemos que:
Da mesma forma que antes, da equação inicial, temos que a região composta por
tem área equivalente a
unidades de medida. Considerando-se que
também possuem área equivalente a
, a região
possui área . Logo,
equivalem-se,
e
.
Percebe-se assim que, como a soma das áreas das regiões
de
e
e
, portanto
e
mostra-se igual à área
.
17
Solução geral
A resolução da equação de formato padrão
é iniciada a partir da
representação de um quadrado com área equivalente
área adicional, não relacionada com a grandeza
com área
e lados iguais a
, representada por
. Acrescenta -se uma
para que forme o retângulo
.
Dividindo-se o maior lado do retângulo maior em duas partes e tomando uma delas como
precursora de um quadrado de lado
com
e outra com
Caso
; temos que o problema divide-se em duas situações. Uma
. Prosseguindo com os dois casos, é possível aferir que:
, formar-se-á um retângulo maior de lados
e
Neste caso, deve-se delimitar 4 áreas:
•
A área
, representada pela área que pertence ao quadrado de lado
e também
pertence ao retângulo de área
•
A área representada pertencente ao quadrado de lado p/2, mas não pertencente ao
retângulo de área q é dividida em
e
•
A área
e
, sendo
um quadrado com lado
a área restante.
, representada pela área pertencente ao retângulo de área q, mas não
pertencente ao quadrado de lado
.
18
Percebe-se que as áreas
e
se equivalem, por serem representadas por retângulos
com lados de mesmo comprimento, neste caso:
A partir da equação inicial, temos que a área
.
; da multiplicação dos
comprimentos dos lados que medem , temos que a área
Como os lados do quadrado de área
medem
. Logo:
, temos que:
19
Caso
, formar-se-á um retângulo menor de lados
e
Neste caso, deve-se delimitar 4 áreas:
•
A área
, representada pela área que pertence ao quadrado de lado p/2 e também
pertence ao retângulo de área .
•
A área
, representada pela área pertencente ao quadrado de lado p/2, mas não
pertencente ao retângulo de área .
•
A área
, representada pela área pertencente ao retângulo de área q, mas não
pertencente ao quadrado de lado
•
A área
.
, não pertencente a nenhuma das duas áreas.
Percebe-se, também, que a soma das áreas
somadas equivalem à área
e que
e
valem
; que as áreas
e
.
Logo:
.
Como a área de
;
.
20
Como
,
, ou seja,
, logo:
.
Al-Khwarizmi e Bhaskara
Mais uma vez, toma-se a equação
, com
.
Al-khwarizmi propõe que seja feito Al-rad e Al-jabr, obtendo-se:
Aplicando-se a fórmula encontrada por AL-khwarizmi, temos que:
Logo,
21
Quinto caso
Exemplo
Para resolver, começaremos aplicando a regra de al-jabr:
Simplificando:
Agora, aplicando al-radd.
E simplificando novamente:
.
A resolução inicia-se pela inscrição de um quadrado
com área
e lado
como nos casos anteriores.
22
A seguir, divide-se a semi-reta
a uma distância de
Desta forma, vemos que o monômio
lados
e
, tem medida
. Como
somando
, portanto,
como
, temos que a semi-reta formada
,
.
Marcam-se dois ponto
de
complementa
com
tem como área .
Marcando o ponto médio da reta
assim como
da seguinte forma:
é representado por um retângulo
. Ainda na equação inicial, o monômio
percebe-se que o retângulo
do ponto
e
;
de tal forma que
formem um quadrado no interior
, o lado deste quadrado, mede
.
23
A partir do ponto
, prolonga-se através de
lados de um outro quadrado de lado
e
semi-retas que formam dois
, ou seja, a mesma medida do segmento de reta
.
24
Observando-se o retângulo
mede , tem seu lado
, percebe-se que este, sendo a metade de
medindo
medida coincide com a de
. Seu outro lado,
, ou seja,
, que
, mede a diferença entre
), e
, que mede
(cuja
. Logo, mede
.
O lado
do retângulo
seja,
equivale à porção de
. Seu outro lado,
que não faz parte de
, mede
, ou
, ou seja,
.
Portanto, pode-se concluir que os retângulos
e
.
possuem áreas iguais,
Como a área do retângulo
polígono
são congruentes, e
representa o monômio
possui a mesma área do retângulo
equivale à área do polígono
, pode-se afirmar que o
e que a área do quadrado
somada à área do quadrado
, logo,
; assim, obtém-se que seu lado é a raiz
, o valor de
quadrada de sua área, ou seja,
Finalmente pode-se concluir que
ou seja,
.
equivale à soma dos segmentos de reta
e
,
.
25
Solução geral
Partindo da equação inicial,
e área
; inicialmente cria-se um quadrado de lado
, formado pelos pontos
com área
,e
. Internos a ele são traçados dois outros retângulos:
, com área .
Marcando-os dentro do quadrado com seus lados verticais medindo
seus lados horizontais assumem os valores
Marca-se um ponto
e
e
, percebe-se que
, respectivamente.
, médio entre os pontos
, com comprimento
mede
,
. Assim, com
e
, formando os segmentos de reta
medindo
e,
,
; o segmento
.
. E, a partir do
Forma-se, então, um quadrado com esta medida com vértices
ponto
, cria-se um outro quadrado, desta vez com lados
Sabe-se que a área do retângulo
e área,
equivale a , e que os retângulos
são congruentes, logo, a área do polígono
Como o quadrado
menor,
, ou seja,
Com a medida de
.
também mede .
mede a soma do polígono
, pode-se inferir que seu lado mede
, e tendo em mente que
e
com o quadrado
.
equivale ao lado AB, sabe-se que
. E esta é a fórmula geral para resolução de equações quadráticas neste
formato.
26
Al-Khwarizmi e Bhaskara
No quinto caso, tem-se
, logo
e
na equação padrão
.
Al-khwarizmi propõe que, neste quinto caso, faça-se
Como,
e
;
Como
,
,
,
Como
, logo,
Como
, a raiz negativa é maior, em módulo, que a raiz positiva.
e
e
ou
e
.
.
Sexto caso
Um último formato possível para equações quadráticas seria o mais conhecido:
, ou, para os padrões de Al-Khwarizmi,
.
Entretanto, é fácil notar que esta equação não tem solução para a lógica arábica da época,
em que os problemas eram solucionados através da geometria; e, portanto, não havia grandezas
negativas. Como seria possível para três grandezas diferentes de zero, quando somadas,
resultarem numa figura de valor nulo?
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Referências
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida:
Wikimedia Foundation, 2010. Disponível em:
<http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Muhammad_ibn_M%C5%ABs%C4%81_alKhw%C4%81rizm%C4%AB&oldid=362511339>. Acesso em: 16 maio 2010.
● Bhāskara II. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia Foundation,
2010. Disponível em:
<http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bh%C4%81skara_II&oldid=361009838>.
Acesso em: 16 maio 2010.
● PACHECO, André. Al-Khwarizmi e as equações do segundo grau. Disponível em:
<http://www.prof2000.pt/users/andrepache/matetavira/tarefa7/alkhwarizmi.htm>. Acesso
em: 16 maio 2010
● PAULA, Ana. O sistema de numeração decimal tem história. Disponível em:
<http://educar.sc.usp.br/matematica/let1.htm>. Acesso em: 16 maio 2010.
●
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