POLÍGONOS ESTRELADOS
Um polígono estrelado é uma poligonal não simples fechada, tal que para cada três
segmentos consecutivos arbitrários os dois segmentos extremos estão no mesmo semiplano em
relação ao segmento do meio.
Os segmentos que formam a poligonal são os lados do polígono estrelado e os extremos
desses lados são os vértices do polígono estrelado.
Polígono estrelado regular é o polígono estrelado onde todos os lados são congruentes e
também todos os ângulos internos são congruentes, caso contrário é um polígono estrelado
irregular.
Os polígonos estrelados foram inicialmente estudados pelo matemático francês Louis
Poinsot em 1809, por isso também são chamados de estrelas de Poinsot.
Observação. Os polígonos estrelados são construídos conectando um número n de pontos
igualmente espaçados sobre um círculo, de maneira determinada. Todos os segmentos que formam
um polígono estrelado são congruentes. Se esses segmentos somente têm em comum as
extremidades então a figura formada é um polígono regular. Mas, se esses segmentos se interceptam
em pontos que não são as extremidades então eles formam um polígono estrelado.
Construção de polígonos estrelados no geoplano estelar
Para construir um polígono estrelado no geoplano estelar se unem os vértices não consecutivos do
polígono regular representado nesse geoplano, começando por um ponto que será o ponto inicial. A
união de pontos é efetuada realizando “pulos” do mesmo número de pontos de maneira constante
até alcançar novamente o ponto inicial; se na realização deste
procedimento passamos por todos os pontos do geoplano estelar e
retornamos ao ponto inicial então concluímos a construção de um
polígono estrelado, como na figura ao lado.
Este processo de construção tem o seu equivalente no papel
que consiste em partir com o lápis do ponto inicial e percorrer
todos os vértices do polígono regular, realizando sempre os pulos
estabelecidos, e retornar ao ponto inicial com um único traço, isto é, sem retirar o lápis do papel.
Neste caso, a figura resultante é chamada estrela de Poinsot regular ou polígono estrelado regular ou
estrela regular
Em algumas construções, conectam-se os vértices do polígono regular segundo o
procedimento anterior e retorna-se ao ponto inicial sem passar por
todos os pontos do geoplano estelar. Nesse caso, partindo do
primeiro ponto no conectado reinicia-se o procedimento de união
de pontos até retornar ao novo ponto inicial.
Em certas
construções o reinicio do processo de construção tem que ser
efetuado varias vezes. As figuras obtidas de esta forma são
chamadas de polígonos estrelados impróprios ou polígono
estrelado descontinuo ou figura estrela ou simplesmente estrela. Os polígonos estrelados impróprios
são compostos por dois ou mais polígonos convexos regulares independentes entrelaçados ou por
polígonos estrelados independentes entrelaçados.
Existem construções onde, partindo do ponto inicial,
efetuando um pulo de certo número de pontos alcançamos um
ponto do geoplano estelar e pulando o mesmo número de pontos
retornamos ao ponto inicial, construímos assim um segmento.
Iniciando com o ponto seguinte acontece exatamente o mesmo, e
assim com todos os outros pontos. A figura obtida consiste em um
conjunto de segmentos que unem pontos opostos do polígono
regular e é chamada de polígono estrelado degenerado.
Concentraremos a nossa atenção na construção e estudo dos polígonos estrelados regulares e
nos polígonos estrelados impróprios.
Notação. Seja n o número de vértices do polígono regular do geoplano estelar. Conectar os pontos
do geoplano efetuando “pulos” de um número k de pontos é indicado por
𝑝𝑢𝑙𝑘 .
Se um geoplano estelar contem o polígono regular ABCDEFG então a conexão dos pontos desse
geoplano efetuando pulos de um ponto de cada vez é representada por:
A – C – E – G – B – D – F (𝑝𝑢𝑙1 ).
Se ABCDEF é o polígono regular de um geoplano estelar então a conexão dos pontos desse
geoplano com pulos de um ponto de cada vez e onde depois de unir três pontos retorna-se ao ponto
original, é representada por: A – C – E união B – D – F (𝑝𝑢𝑙1 ).