Famı́lia Quadráticas
Pryscilla dos Santos Ferreira Silva1
Resumo
É comum em Matemática proposições simples gerarem grandes polêmicas. O Último
Teorema de Fermat é um exemplo disso.
As funções polinomiais de grau 2 são nossas velhas conhecidas desde o ensino
médio, suas expressões não são complexas. Ainda assim, um caso particular delas,
a Famı́lia Quadrática, apresenta comportamentos incomuns quando estudada sob a
ótica dos Sistemas Dinâmicos Discretos.
Neste artigo, fornecemos uma análise da Famı́lia Quadrática , visando observar
caracterı́sticas como pontos fixos, conjunto estável, ponto atrator e repulsor de um
grupo especı́fico dela.
Palavras-chave: Famı́lia Quadrática, Sistemas Dinâmicos Discretos.
Introdução
Vamos apresentar neste artigo um caso especial das funções quadráticas definidas
em R, o tipo Fµ (x) = µx(1 − x) para µ > 0 e principalmente para µ > 1. Uma expressão
equivalente a Fµ foi originalmente usada por P. F. Verhulst em 1845 para um modelo
populacional em um ambiente fechado. Anos mais tarde, May (1976), diz que esta função
pode ser pensada como um simples modelo ecológico para a variação anual da população
de uma espécie de insetos.
Observe a função F4 (x) = 4x(1−x) e seu diagrama com 50 iterações de x = 0.995:
1
Curso de Licenciatura em Matemática. Universidade Estadual de Feira de Santana. E-mail: [email protected]
Trabalho realizado a partir dos estudos desenvolvidos nas disciplinas Orientação à Pesquisa II, IV e
Projeto I, II sob orientação dos professores Cristhian Bugs e Fabı́ola Pedreira.
1
2
1.5
x(n+1)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
x(n)
1
1.5
2
Figura 1: F450 (0.995)
O seu comportamento é totalmente diferente das outras funções que analisamos
até agora, se utilizarmos o termo “caótico”para descrever as iterações isso fará todo sentido. É claro que em matemática a definição de caos é bem mais rigorosa, mas o intuito
deste artigo não é discuti-la e sim mostrar ao leitor como o estudo de Sistemas Dinâmicos
Discretos pode nos fornecer grandes discussões a partir de itens muito simples. Deste
modo as proposições abaixo visam uma análise inicial, utilizando alguns conceitos estudados no Artigo 1.
1
Análise da Função Fµ(x) = µx(1 − x)
Proposição 1.1 A função Fµ intercepta o eixo x nos pontos 0 e 1.
Resolvendo Fµ (x) = 0 temos:
µx(1 − x) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1.
2
Proposição 1.2 O único ponto crı́tico de Fµ é
1
, que é não degenerado (ou seja sua
2
primeira derivada é igual a zero e sua segunda derivada é diferente de zero)[3]. Além
disso Fµ possui concavidade voltada para baixo.
Para obtermos o ponto crı́tico de Fµ , é necessário resolver a equação Fµ0 (x) = 0:
Fµ (x) = µx − µx2 ⇒ Fµ0 (x) = µ − 2µx
µ − 2µx = 0 ⇒ x =
1
1 1 µ
1
⇒ F
=µ
1−
= .
2
2
2
2
4
Através do teste da segunda derivada temos que Fµ00 (x) = −2µ < 0, logo
1 µ
,
2 4
é ponto de máximo e a função possui concavidade voltada para baixo.
Proposição 1.3 Os pontos fixos da famı́lia quadrática Fµ (x) = µx(1 − x) são 0 e pµ =
µ−1
[3].
µ
Para encontrarmos os pontos fixos de Fµ , basta resolvermos a equação Fµ (x) = x,
isto é, µx(1 − x) = x:
µx(1 − x) = x ⇒ µx − µx2 = x ⇒
⇒ µx − µx2 − x = 0 ⇒ x(−µx + µ − 1) = 0 ⇒
⇒ x = 0 ou − µx + µ − 1 = 0 ⇒
x = 0 ou − µx = −µ + 1 ⇒ x = 0 ou x =
3
µ−1
µ
Proposição 1.4 O ponto fixo 0 é atrator para 0 < µ < 1 e repulsor para µ > 1. O ponto
fixo pµ é atrator para 1 < µ < 3 e repulsor para 0 < µ < 1 ou µ > 3 [1].
Fµ é uma função C 1 , logo podemos utilizar o Teorema 5.1 do Artigo 1 para
analisar os pontos fixos abaixo:
Para 0
| Fµ0 (0) |=| µ |. Logo 0 será atrator se | µ |< 1 e repulsor se | µ |> 1. Como µ > 0
0 é atrator para 0 < µ < 1 e repulsor para µ > 1.
Para pµ =
µ−1
µ
| Fµ0 (pµ ) | = | µ − 2 µ(
µ−1
) | = | 2 − µ |. Para que pµ seja atrator, | 2 − µ |<
µ
1 ⇒ −1 < 2 − µ < 1 ⇒ 1 < µ < 3. Para que pµ seja repulsor: | 2 − µ |> 1 ⇒
2 − µ > 1 ou 2 − µ < −1 ⇒ µ < 1 ou µ > 3 . Como µ > 0 então pµ será repulsor para
0 < µ < 1 ou µ > 3.
Proposição 1.5 Se µ = 1 então 0 é o único ponto fixo de Fµ . Além disso , 0 é um ponto
fixo não-hiperbólico (neutro). Se µ = 3 então pµ é um ponto fixo não-hiperbólico.
De fato, pela proposição 1.3 os pontos fixos de Fµ são 0 e pµ =
µ = 1, p1 =
µ−1
. Logo para
µ
1−1
= 0, portanto 0 é o único ponto fixo de Fµ . Note que | Fµ0 (0) |=| µ |= 1
1
e deste modo 0 é um ponto fixo neutro. Analogamente, Fµ0 (pµ ) = |2 − µ|, se µ = 3 então
Fµ0 (pµ ) = 1, logo pµ é um ponto neutro.
Tais afirmações são facilmente visualizadas nos gráficos abaixo:
4
1
x
x (1 -x)
y
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Figura 2: F1 (x) = x(1 − x)
Baseados no gráfico acima, podemos inferir que 0 é fracamente repulsor à esquerda
e fracamente atrator à direita.
1
x
3 x (1-x)
p
u
y
0.5
0
pu
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Figura 3: F3 (x) = 3x(1 − x)
De acordo com o gráfico acima pµ é fracamente atrator.
5
1.5
Veremos agora os gráficos e os diagramas de outras funções Fµ , com µ 6= 1:
1
x
2 x (1-x)
0.5
y
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Figura 4: F2 (x) = 2x(1 − x)
1
x
1,5 x (1-x)
y
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Figura 5: F1,5 (x) = (1, 5) · x(1 − x)
Podemos observar, após a análise dos gráficos, que em ambos os casos considerando valores fora do intervalo [0, 1] e µ > 1 as iteradas vão para menos infinito.
Estes resultados nos levam enunciar a seguinte proposição:
Proposição 1.6 Assumindo que µ > 1. Se x ∈
/ [0, 1] então (Fµ )j (x) vai para menos
infinito quando j vai para infinito [1].
6
Ver demonstração.
1
x
2,5 x (1-x)
p
u
0.5
y
0
p
u
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
Figura 6: F2,5 (x) = (2, 5) · x(1 − x)
1
x
1,6x(1-x)
0.8
0.6
0.4
p
y
u
0.2
0
p
u
-0.2
-0.4
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Figura 7: F1,6 (x) = (1, 6) · x(1 − x)
Analisando os gráficos acima podemos observar que em ambos os casos con3
siderando valores no intervalo (0, 1) e 1 < µ < 3 as iteradas se aproximam de pµ = .
8
Baseado nos gráficos, podemos concluir a seguinte proposição:
7
Proposição 1.7 Assumindo que 1 < µ < 3. Se x ∈ (0, 1), então (Fµ )j (x) converge para
pµ quando j vai para infinito. W s (pµ ) = (0, 1) [3].
Demonstração em Tahzibi, 2007, pg. 13.
Exemplo 1.1 Seja S = {−1, 0, 1} e f : R → R, definida por f (x) = x2 . Note que f (S) =
{0, 1} ⊂ S. Conjuntos com esta caracterı́sticas são ditos positivamente invariantes.
Definição 1.1 Um subconjunto S ⊂ X é chamado de positivamente invariante, se f (x) ∈
S, ∀x ∈ S, ou seja , f (S) ⊂ S.
Definição 1.2 Um subconjunto S ⊂ X, é chamado de negativamente invariante se
f −1 (S) ⊂ S, para f inversı́vel.
Se f (S) = S, então dizemos que S é apenas um conjunto invariante. Note que
para o conjunto ser invariante, não há a necessidade de que o mesmo seja negativamente
invariante. Se S é inversı́vel (um homeomorfismo) e S é um subconjunto invariante de f,
então a condição que f (S) = S e que f é injetora implica que S é negativamente invariante
[3].
Exemplo 1.2 Dada uma função f : X → X com X um espaço métrico. Se x0 é um
ponto periódico, de perı́odo n, então o conjunto S = {x, f (x), ..., f n−1 (x)}, possui como
imagens f (S) = {f (x), f 2 (x), ..., f n−1 (x), f n (x) = x}.
Note que S é um subconjunto invariante pois f (S) = S.
Proposição 1.8 Seja I = [0, 1]. Fµ (I) ⊆ I se, e somente se 0 ≤ µ ≤ 4 [4].
Pela Proposição 2 temos que
4⇔0≤
µ
é o valor máximo de Fµ . Entretanto se 0 ≤ µ ≤
4
µ
≤ 1. Por ter a concavidade voltada para baixo, Fµ (x) > 0 apenas quando
4
8
x ∈ [0, 1], além disso, do fato de 0 ≤
µ
≤ 1 podemos concluir que Fµ (I) ⊂ I para
4
0 < µ < 4 e Fµ (I) = I se µ = 4.
2
Conclusão
No artigo anterior, discutimos sobre ponto fixo, atrator, repulsor, entre outros. O
que nos restava apenas era visualizar tudo isso na prática.
O estudo da Famı́lia Quadrática torna mais claro as aplicações do que vimos no
Artigo 1, evidenciando, por exemplo, a utilidade dos diagramas, com os quais observamos
o quanto esta Famı́lia é sensı́vel em relação a variação de µ. Sem dúvida, é um sistema
corriqueiro do ponto de vista matemático, mas com uma dinâmica muito rica se analisado
do ponto de vista dos Sistemas Dinâmicos Discretos.
3
Apêndice
Definição de ponto fixo
Definição 3.1 Dizemos que a é um ponto fixo de uma função f se f (a) = a [3].
Voltar ao texto.
Definição de ponto atrator e de ponto repulsor
9
Definição 3.2 Dizemos que o ponto fixo p tal que | f 0 (p) |< 1, é um ponto fixo atrator
ou poço.
Definição 3.3 Dizemos que o ponto fixo p tal que | f 0 (p) |> 1, é um ponto fixo repulsor
ou fonte [3].
Voltar ao texto
Terminologia sobre Funções
Funções Cr
No decorrer dos estudos de Sistemas Dinâmicos, usa-se algumas terminologias
sobre funções e suas derivadas. Consideremos um intervalo aberto I em R e a função
f : I → R. Se f é contı́nua nós dizemos que f é C 0 . Se f é derivável para cada ponto
de I e f 0 é contı́nua então dizemos que f é continuamente diferenciável ou uma função
C 1 . Dado r ≥ 1, se f juntamente com f (j) (lembre-se que a notação anterior representa
a j- ésima derivada da função ) são contı́nuas para 1 ≤ j ≤ r então f é chamada r-vezes
continuamente diferenciável ou uma função C r [3].
Exemplo 3.1 Dado f : R → R, f (x) = x4 + 2x3 + x2 + 5x + 10
• f é contı́nua, logo f é C 0
• f 0 (x) = 4x3 + 6x2 + 2x + 5 é contı́nua, f é C 1
• f 00 (x) = 12x2 + 12x + 2 é contı́nua, f é C 2
• f (3) = 24x + 12 é contı́nua,é f é C 3
10
• f (4)(x) = 24 é contı́nua, f é C 4
• f (5) (x) = 0 é contı́nua, f é C 5 , ou cinco vezes continuamente diferenciável.
• Como f (n) (x) = 0 para n ≥ 5 temos que f é C ∞
Definição 3.4 Uma função f : X → Y , com X e Y Espaços Métricos quaisquer é denominada homeomorfismo se for
i injetora
ii sobrejetora
iii contı́nua
iv Se f −1 : Y → X sua inversa é contı́nua.
Definição 3.5 Para um intervalo aberto I de R, a função f : I → K ⊂ R é dita C r difeomorfismo de I para K se:
i f é injetora
ii f é sobrejetora
iii f é contı́nua
iv f −1 é contı́nua
v f é C r
Voltar ao texto.
11
Teorema 5.1
Considere f : R → R uma função C 1 e p um ponto fixo de f com | f 0 (p) |< 1.
Então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U ⇒ lim f n (x) = p. Entretanto se
n→∞
| f 0 (p) |> 1, então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U e x 6= p ⇒ ∃k >
0 tal que f k (x) ∈
/ U [1].
Voltar ao texto.
Definição de ponto hiperbólico
Seja p um ponto periódico de perı́odo n, dizemos que p é um ponto hiperbólico
de f se | (f n )0 (p) |6= 1. Se |(f n )0 (p)| = 1 dizemos que p é não-hiperbólico ou neutro [1].
Voltar ao texto.
Fracamente Atrator e Fracamente Repulsor
Quando um ponto neutro atrai (ou repele) os pontos a sua volta, dizemos que ele
é fracamente atrator ( fracamente repulsor) [1].
Voltar ao texto.
lim Fjµ(x) = −∞, quando µ > 1 e x ∈
/ [0, 1]
j→∞
12
Demonstração
De fato, como x ∈
/ [0, 1], devemos provar a afirmação para x > 1 e x < 0. Se
x < 0, temos para µ > 1: µx < x . Além disso,
x2 < x ∀ x ∈ R ⇒ −µx2 < x
Deste modo:
µx − µx2 < 2x < x ⇒ µx − µx2 < x ⇒ µx(1 − x) < x ⇒ Fµ (x) < x.
Provemos por indução que Fµ (x) com x ∈ R∗− é monótona decrescente, isto é,
Fµn+1 (x) < Fµn (x) para todo x ∈ R∗− e n ∈ Z+ .
i
De fato para n = 1 a proposição é verdadeira, pois pela afirmação anterior Fµ (x) <
x ⇒ Fµ1 (x) < Fµ0 (x) ∀ x ∈ R∗− ;
ii
Supomos válido para n, isto é, Fµn (x) < Fµn−1 (x) ∀ x ∈ R∗− ;
iii
Vamos demonstrar para n + 1, isto é, Fµn+1 (x) < Fµn (x) ∀ x ∈ R∗− ;
Com efeito, Fµ (x) < 0, então Fµ (x) ∈ R∗− ⇒ Fµn (Fµ (x)) < Fµn−1 (Fµ (x)), por
hipótese de indução, ⇒ Fµn+1 (x) < Fµn (x).
Logo Fµn (x) é uma seqüência decrescente de pontos. Demonstremos que esta
seqüência não é limitada inferiormente. Para isso, mostremos que a distância entre dois
termos consecutivos cresce:
|xn+2 − xn+1 | = |µxn+1 (1 − xn+1 ) − µxn (1 − xn )| = µ|xn+1 − x2n+1 − xn + x2n | =
13
= µ|xn+1 − xn + x2n − x2n+1 | = µ|(xn+1 − xn ) + (xn − xn+1 ).(xn + xn+1 )| =
µ|(xn+1 − xn ) − (xn+1 − xn ) · (xn + xn+1 )| = µ|(xn+1 − xn ) · (1 − xn − xn+1 )| =
= µ|xn+1 − xn | · |1 − xn − xn+1 |
Do fato de Fµn (x) ser decrescente e limitada superiormente por zero, temos que
xn < 0 e xn+1 < 0 ⇒ −xn > 0 e − xn+1 > 0 ⇒ −xn − xn+1 > 0 ⇒ 1 − xn − xn+1 >
1, como µ > 0 ⇒ µ|1 − xn − xn+1 | > 1 ⇒ |xn+2 − xn+1 | = µ|1 − xn − xn+1 | · |xn+1 − xn | >
|xn+1 − xn |
|xn+2 − xn+1 | > |xn+1 − xn |. Segue que Fµn (x) é não é limitada e
⇒
Fµn (x) → − ∞ quando n → ∞ [1].
Voltar ao texto.
Ws
Um ponto q é assintoticamente positivo para p se |f j (q) − f j (p)|, com j ∈ Z+ ,
vai para zero quando j vai para infinito, ou seja quanto maior for o valor de j, f j (q)
aproxima-se de f j (p). Se p é periódico de perı́odo n então q é assintoticamente positivo
para p se |f jn (q) − p| vai para zero quando j vai para infinito. O conjunto estável de p é
definido como [3]:
W s (p) = { q; q é assintoticamente positivo para p }.
Voltar ao texto.
14
Diferenciabilidade
Definição 3.6 Sejam f : X → R e a ∈ X∩X 0 (em que X 0 é o conjunto dos pontos de acuf (x) − f (a)
,
x→a
x−a
mulação de X). A derivada da função f no ponto a é o limite f 0 (a) = lim
f (a + h) − f (a)
[2].
h→0
h
ou considerando x − a = h, f 0 (a) = lim
Observe que a existência da derivada está condicionada a existência do limite
acima. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a.
Voltar para funções C r .
Continuidade
Uma função f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, diz-se contı́nua no ponto
a ∈ X quando
∀ > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < .
Uma função é descontı́nua no ponto a se não for contı́nua neste ponto. Diz-se
que f : X → R é uma função contı́nua se ela for contı́nua em todos os seus pontos [2].
Voltar para funções C r .
Voltar ao texto.
15
Pontos de Acumulação
Definição 3.7 Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando
toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a [?]. Ou seja,
V ∩(X−{a}) 6= ∅. O que é equivalente dizer que, ∀ > 0 tem−se (a−, a+)∩(X−{a}) 6=
∅. Denotamos por X 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X. Se a ∈ X não é ponto
de acumulação dizemos que a é um ponto isolado. Isto é, existe > 0 tal que, a é o
único ponto de X no intervalo (a − , a + ) [2]. Quando todos os pontos do conjunto são
isolados dizemos que o conjunto é discreto.
Voltar para Diferenciabilidade.
Referências
[1] CERQUEIRA, Aline Gomes et al. Atratores estranhos como causadores do
caos. Disponı́vel em : http://www.ime.uerj.br/~progerio/iniciacao/2003/
projeto.pdf. Acesso em: 01 de novembro de 2007.
[2] LIMA, Elon Lages. Análise Real.Vol 1. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, CNPq , 1997.
[3] ROBINSON, Clark. Dynamical systems : stability, symbolic dynamic, and chaos.
Florida: CRC Press, 1995.
[4] TAHZIBI, Ali. Introdução aos sistemas dinâmicos: notas de aula. Disponı́vel
em: http://www.icmc.usp.br/~tahzibi/index-files/livro.pdf. Acesso em:
30 de outubro de 2007.
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