228
O MAPEAMENTO TRIANGULAR
Gabriel Martins Cardoso (Uni-FACEF)
Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF)
1. INTRODUÇÃO
A função triangular (ou tenda) pode ser definida como:
 2x
T ( x) = 
2 − 2 x
para 0 ≤ x ≤ 1 / 2
para 1 / 2 < x ≤ 1
Esta função é chamada de função triangular devido à forma do seu
gráfico.
Fig 1. Gráfico da função triangular.
229
2. MATERIAIS E MÉTODOS
Podemos verificar facilmente que 0 e 2/3 são pontos fixos de T(x): T(0) =
0, e T(2/3) = 2/3. Mas ela também possui pontos finalmente fixos, como 1/8:
T(1/8) = 1/4;
T(1/4) = 1/2;
T(1/2) = 1;
T(1) = 0;
T(0) = 0
Assim, 1/8 é um ponto finalmente fixo.
Por argumentos semelhantes ao exibido acima, podemos provar que se x
= k/(2n), onde k e n são inteiros positivos e
0 < k/(2n) < 1, então x é um ponto
finalmente fixo de T.
Uma generalização de T é a da “família triangular”, Tµ, definida por:
para 0 ≤ x ≤ 1 / 2
 2µ x
Tµ ( x) = 
para 1 / 2 < x ≤ 1
2 µ (1 − x)
3. RESULTADOS
Os resultados ainda são parciais. Foram obtidos os ponto fixos das
iterações de T e das compostas de ordem n de T e os pontos de período n.
Provou-se que:
Teorema 1: Se x pertence ao intervalo (0, 1), então x é finalmente periódico para
T se, e somente se, x for racional;
Teorema 2: O número racional x no intervalo (0, 1) é periódico para T se, e
somente se, x tem a forma (inteiro par)/(inteiro ímpar).
230
3. CONCLUSÃO
O trabalho ainda está em andamento, mas já propiciou a dedução de
alguns teoremas importantes sobre algumas órbitas periódicas do Mapeamento
Triangular.
BIBLIOGRAFIA
BOYER, Carl B. História da Matemática.São Paulo: Editora Edgar Blucher
Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, 1996. 496 p.
FERRARA, N. F. e DO PRADO, C. P. C. Caos – Uma Introdução. São Paulo:
Edgard Blücher Ltda., 1994. 402 p.
HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 – Curso Completo. São
Paulo: Prentice Hall, 2003. 676 p.
MONTEIRO, Luiz Henrique Alves. Sistemas Dinâmicos. São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2002. 527 p.