Príncipe da Soledade
NÚMEROS E ESOTERISMO
 - 2015
A Tetraktys Pitagórica e o Delta Maçônico
Tanto os antigos rituais como as mais antigas constituições maçônicas afirmam
conjuntamente que a Maçonaria tem como finalidade o aperfeiçoamento do homem. Também os
antigos Mistérios Clássicos tinham o mesmo objetivo e conferiam a "teletè", ou seja, a perfeição
iniciática. Esse termo técnico era, de acordo com o pitagórico Plutarco, etimologicamente associado
a três significados: fim, morte e perfeição. Um manuscrito, achado pelo Locke [1] em 1696, enuncia
expressamente a existência de uma relação entre a Maçonaria e a Escola Itálica fundada por
Pitágoras mais de 25 séculos atrás. As mesmas Constituições de Anderson mencionam Pitágoras e o
manuscrito de Cooke afirma ser a Maçonaria a parte principal da geometria. Fica, portanto,
comprovado que a arte geométrica da Maçonaria deriva, direta ou indiretamente, da geometria e
aritmética pitagórica.
Pitágoras (580-490 a.C.), discípulo dos mestres do Egito, da Grécia e da Caldéia, afirmava que a
aritmética e a geometria não ficavam confinadas apenas no mundo da lógica. Muito pelo contrário,
religião, moral, política, música, física, etc. unificavam-se no espírito cosmológico de uma autêntica
teologia racional. Em particular, a geometria era a ciência que tinha por objeto o estudo do cosmo
sob o aspecto da posição e da estensão. A aritmética era a ciência do ritmo, do número, do tempo,
do intervalo, e o pitagórico Arquitas discriminava entre um tempo físico e um tempo psíquico.
Os números não eram considerados apenas em suas propriedades abstratas, mas também, e
principalmente, em suas dimensões simbólicas, psicológicas, metapsíquicas e esotéricas. Portanto
os números representavam as virtudes intrínsecas e efetivas do Grande Arquiteto do Universo,
gerador e garantidor da ordem e da harmonia cósmica [2]. Para os adeptos da Escola Itálica o um, a
unidade (mônade), não era um verdadeiro "número", mas o princípio gerador de todos os números.
Analogamente o dois (díade) era tido como o gerador de todos os números pares. O primeiro
verdadeiro número, o três (tríade), surgia da interação entre a mônade e a díade. Assim, todos os
demais números podiam ser obtidos por simples adição a partir da unidade, criando assim uma
progressão linear de números inteiros.
Todavia, a partir do três, os números podem também ter uma representação superficial. De fato o
três pode ser imaginado como um terno de pontos dispostos nos vértices de um triângulo equilátero
(número triangular). Assim, considerada a unidade como potencialmente triangular e o três como
segundo número triangular, pode-se obter uma série ilimitada de sucessivos números triangulares
mediante o desenvolvimento de um triângulo equilátero a partir de um de seus vértices.
Aritmeticamente, escrita numa primeira linha a sucessão dos números lineares, pode-se deduzir a
sucessão dos triangulares escrevendo a unidade sob a unidade e, sucessivamente, obter o triangular
sucessivo como soma do triangular que o precede com o correspondente linear na mesma coluna na
qual iremos escrever o novo triangular. Ou seja:
Números lineares
1
2
3
4
5
6
Números
triangulares
1
3
6
10
15
21
Existe uma maneira simples para verificar se um número qualquer é triangular? A resposta se
encontra na fórmula em baixo onde P(3,n) representa o número a ser investigado, 3 significa que é
um triangular de ordem n. Verificamos, por exemplo, se 15 é triangular e qual a ordem dele.
Substituindo e desenvolvendo obtemos que n=5, ou seja é um triangular de ordem 5, e, com efeito,
o 15 se encontra na quinta coluna da lista representada acima.
Inserindo na fórmula outro número que não seja triangular, por exemplo 20, obtemos n=5,844… ou
seja um número decimal. Isso quer dizer que o número examinado não é triangular.
Em geral, cada número natural pode ser escrito como soma de, no máximo, três números
triangulares (eventualmente repetidos); trata-se de uma propriedade descoberta por Gauss, e é um
caso particular do teorema de Fermat sobre os números poligonais.
Virtualmente existem infinitos números poligonais construídos a partir do triângulo, do quadrado,
do pentágono, hexágono, e assim por diante. Do ponto de vista algébrico, todos podem ser
representados por meio da expressão P(l,n), onde P significa número poligonal, l é o número dos
lados do polígono e n a ordem. Em consideração da importância especial dos números pentagonais,
é aqui transcrita a fórmula que permite verificar rapidamente se um determinado número é
pentagonal e a ordem dele.
O leitor poderá imediatamente constatar que, por exemplo, os números 35 e 70 são pentagonais
respectivamente de ordem 5 e 7. Uma relação bonita entre o 5° pentagonal e o 7° quadrado, na qual
se evidencia uma ulterior ligação entre os números quatro, cinco e sete, é a seguinte:
A partir do quatro os números admitem também uma representação espacial. Temos assim os
números tetraédricos, piramidais, cúbicos, etc. É fácil observar como para delimitar um segmento
de reta são necessários dois pontos, enquanto para delimitar uma porção de plano precisamos, no
mínimo, de três pontos. Analogamente o número mínimo de planos ocorrentes para delimitar uma
porção de espaço é quatro. O sólido formado pela interseção de quatro planos é o tetraedro e, como
nesse poliedro existem quatro vértices, apenas quatro pontos (tétrade) são necessários e suficientes
para defini-lo univocamente. Segundo Platão o tetraedro é a última partícula que constitui os
corpos: o átomo da Natureza.
Em síntese, acrescentando uma unidade à unidade se passa do ponto à linha, delimitada por dois
pontos; acrescentando a esses dois pontos um terceiro ponto se passa ao plano definido pelo
triângulo. Enfim, acrescentando mais uma unidade se passa ao espaço mediante o tetraedro e nessa
altura o processo pára, pois não faz sentido acrescentar mais um ponto fora do tetraedro. O conjunto
formado pela mônade, díade, tríade e tétrade compreende tudo: o ponto, a linha, a superfície e o
espaço. De consequência, no pensamento filosófico pitagórico a "tetraktys" (grupo de quatro) dos
números 1, 2, 3 e 4 é perfeita porque compreende todos os aspectos do universo material sólido.
Sobre essa tetraktys os pitagóricos prestavam juramento com essas palavras:
"Eu juro por aquele que transmitiu à nossa alma a tetraktys, na qual se encontram a fonte e a
raiz da eterna natureza".
Como a soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10, obviamente dez é um número perfeito. A perfeição, ou seja, o
completamento da manifestação universal, é portanto alcançada com o número 10. A década, que
corresponde ao quarto número triangular, contém tudo, da mesma forma que a mônade contém
potencialmente tudo. A representação geométrica do quarto número triangular é a seguinte:
Essa reprodução da tetraktys é um verdadeiro símbolo enquanto representa contemporaneamente
um triângulo equilátero (o mais perfeito dos triângulos) e dez pontos dispostos em quatro linhas
contendo respectivamente a mônade, a díade, a tríade e a tétrade. Uma outra importante relação
entre o dez e o quatro é que a quarta letra do alfabeto grego, (delta), é justamente a inicial da
palavra grega decas (década) e tem a forma de um triângulo equilátero. Sem dúvida, porém, a
evidência mais impressionante do caráter globalmente simbólico da tectraktys decorre da relação
entre quatro e dez estabelecida pela física moderna. Efetivamente, embora o comportamento
macroscópico do universo seja totalmente descrito por um sistema de referência espaço-temporal
caracterizado por quatro dimensões (x, y, z, t) , as mais recentes teorias sobre a estrutura
submicroscópica da matéria (superstring theories) necessitam de um espaço constituído de dez
dimensões [3]. Observamos, enfim, que também para os modelos de supercordas com número de
dimensões maior de dez, as dimensões podem ser compactadas a partir do modelo em seis
dimensões proposto por Calabi-Yau. Lembramos que o seis é um número triangular.
O símbolo pitagórico da tetraktys, na sua forma esquemática triangular, já existia no santuário de
Delpho mais de 2500 anos atrás e coincide manifestamente com o Delta maçônico. Ocasionalmente
o Delta tem sido interpretado como um símbolo da Trindade, mas, como observou o ilustre
esoterista italiano Arturo Reghini [1], o caráter esotérico do Delta pitagórico-maçônico nada tem a
ver com o cristianismo, sendo a tetraktys um símbolo inegavelmente pagão.
Os Números Sintéticos
A Maçonaria, com sua iniciação cerimonial, pode ser considerada uma corporação
especializada na arquitetura sagrada onde elementos pitagóricos estão intimamente ligados ao
simbolismo típico do trabalho maçônico: esquadro, compasso, perpendicular, etc.
Consequentemente, a compreensão dos números sagrados à Maçonaria se torna mais fácil na
medida em que são compreendidos os números pitagóricos. Tal estudo tem que ser realizado não
apenas do ponto de vista aritmético ordinário, mas também do ponto de vista da aritmética
simbólica (ou aritmética formal), correspondente à função filosófica e espiritual que Platão atribuía
à geometria. Ambos os sentidos estão intimamente conexos no desenvolvimento da antiga
aritmética pitagórica e por isso torna-se essencial analisar o significado dos números da década.
A unidade (mônade) é representada graficamente por um ponto como o yodh hebraico cursivo no
tetragrama IHWH (yodh hé waw hé) que literalmente significa: "Eu sou aquele que sou". No um
são concentradas todas as potencialidades do ser e todas as cosmogonias explicam a criação do
universo a partir do um cuja explosão cria o espaço-tempo e as demais dimensões do cosmo. Por
sua vez a mônade, ou Unidade, tem a capacidade de gerar (e não de criar) a díade, cujo
aparecimento é apenas uma alteração, mais aparente que real, da Unidade, proveniente de uma
distinção que a mônade opera sobre si mesma.
Os pitagóricos ensinavam que a díade era gerada mediante um processo de cisão, ou diferenciação,
da Unidade; um processo que, no pensamento moderno, pode ser comparado ao de divisão celular
ou até à fissão nuclear. Na Cabala, dois é o Sefirot Chokmah (a sabedoria) e é um principio
feminino. Nos monumentos sagrados do antigo Egito duas colunas principais, representando
respectivamente os Reinos do Norte e do Sul, simbolizavam a estabilidade política e espiritual de
toda a nação. O Rei Salomão mandou que o arquiteto Hiram Abiff erguesse duas colunas de bronze
(Jakim e Boaz) diante do templo de Jerusalém. Na tradição maçônica a unificação dessas duas
colunas, que sempre aparecem nas lojas, é símbolo de solidez [4]. O três representa a síntese entre a
mônade e a díade: se assiste assim à manifestação (ou epifania) da mônade no mundo superficial em
forma de trindade, entidade sagrada cuja perfeição torna-se ainda mais evidente no momento em
que ela é representada em forma de um triângulo equilátero. Os Celtas representavam a divindade
mediante três raios correspondentes a três sons pronunciados simultaneamente e toda a filosofia
daquele antigo povo podia ser resumida em três séries de 3 x 3 x 3 tríades chamadas Tríades dos
Bardos. Essencialmente, em todas as religiões do mundo as energias formadoras do universo atuam
em conjunto de três e, obviamente, os "três pontos" maçônicos tiveram origem nessa cosmogonia
numeral. As partículas elementares contidas no núcleo atômico, próton e nêutron, são, por sua vez,
compostas por três quarks.
Enquanto o três só pode ser logrado somando a mônade com a díade, os números 4, 6, 8 e 9 podem
ser obtidos por multiplicação e por isso são chamados de números sintéticos.
O quatro era considerado um número perfeito não apenas pelo fato de ser o último número da
tetraktys e simbolizar o tetraedro, mas principalmente por ser ele um quadrado algébrico (2 x 2). O
quatro é também o único número da década a ser um número sintético e, ao mesmo tempo, fator de
outro número da década (2 x 4 = 8). Pitágoras distinguia quatro aspectos do espírito: Hile, Psique,
Nous e Agaton, e a Cabala descreve quatro mundos nos quais se inscrevem os dez Sefirot: o mundo
da emanação, o da criação, o da formação e o da ação. Na Física as leis que governam
completamente a interação eletromagnética são contidas nas quatro equações de Maxwell. O DNA é
formado pela repetição de quatro nucleotídeos (guanina, adenina, timina e citosina).
O seis resulta da multiplicação da díade (princípio feminino) com a tríade (princípio masculino) e,
por tal motivo, era o número consagrado a Afrodite (deusa do amor) e o símbolo da vida orgânica.
Nesse sentido constatamos uma coincidência surpreendente com o carbono (número atômico = 6),
único elemento cujas características químicas permitem a existência da vida orgânica no universo.
Os pitagóricos dividiam os números em três categorias: os números elípticos (menores que a soma
de seus divisores), os números hiperbólicos (maiores que a soma dos divisores) e os números
matematicamente perfeitos iguais à soma de seus divisores. O seis não só é perfeito nesse sentido (1
+ 2 + 3 = 1 x 2 x 3), mas é o único número cujos fatores são números consecutivos. O seis é
geralmente simbolizado pelo "Selo de Salomão", que é um dos símbolos mais conhecidos do
esoterismo.
O terceiro número da década que é obtido mediante multiplicação é o oito. Sendo um número
cúbico (2 x 2 x 2) era considerado perfeito mesmo sendo par, pois os números cúbicos crescem
conservando a regularidade da forma. Na cosmogonia chinesa o mundo é criado e regido por oito
trigramas fundamentais dispostos simetricamente em volta de um Taijitu, uma díade simbolizando a
união dos princípios antagônicos yin e yang. Na doutrina dos antigos Druidas o iniciado tinha que
passar por oito estados de consciência antes de chegar à libertação espiritual [2]. Observamos enfim
que a maioria dos batistérios tem planta octogonal e que o oito em posição horizontal é encontrado
na Corda Maçônica.
Quanto ao nove, sendo ele o quadrado de um número perfeito é duplamente perfeito. Na Maçonaria
o nove tem uma importância peculiar na determinação das idades iniciáticas dos vários graus do
Rito Escocês como, por exemplo, na lenda da morte e ressurreição de Hiram Abiff. Isso se justifica
se consideramos que o nove é o primeiro número quadrado ímpar e que ele pode ser dividido em
três tríades que, por sua vez, se dividem em três Unidades. Na mitologia clássica, nove são as
Musas, filhas de Zeus e Mnemósine. De acordo com Aristóteles, todas as criaturas espirituais são
divididas em três principados, cada qual composto de três ordens. Portanto o conceito cristão dos
nove céus não pertence unicamente à tradição judaica, e sim à concepção metafísica pagã e, mais
precisamente, àquela pitagórica.
Observamos que os quatro números sintéticos (4, 6, 8, 9) formam, por sua vez, uma nova tetraktys
cuja soma dá como resultado 27, isto é o cubo de três. Então, também o 27 deve ser um número
perfeito. Quanto aos números cinco e sete, eles serão tratados posteriormente.
O nove é o último dos números monádicos, ou seja composto de um só dígito, e como tal encerra a
série dos números pitagóricos, sendo o dez a nova Unidade. Por essa razão o pitagórico Nicômaco
de Gerasa afirmava: "O número dez é o mais perfeito dos números possíveis… A década é o Todo
pois ela serviu de medida para o Todo, como um esquadro e um nível nas mãos do Ordenador".
O dez é o quarto número triangular, símbolo da tetraktys pitagórica: enquanto os quatro primeiros
números são o resumo final de toda a cosmologia numeral, o dez simboliza o retorno à Unidade
depois de um ciclo completo de criação. Para Dante Alighieri o décimo céu é o empíreo, ou esfera
do fogo, onde se encontra a Cidade Santa. Mas enquanto os nove céus inferiores são animados de
moto rotatório que transmite ao cosmo a fluência do tempo, o décimo permanece imóvel, num
eterno presente sem passado nem futuro. Para Pitágoras o cosmo era envolvido pela esfera do
tempo, ou periekon, e Arquitas afirmava que além do periekon existia uma esfera caracterizada por
um tipo diferente de tempo que ele chamava de tempo psíquico. Na Divina Comédia, Dante mostra
como, passando da consciência humana à consciência divina (localizada no décimo céu) se torna
possível a conexão entre o tempo físico e o tempo psíquico. Nesse tempo psíquico o princípio e o
fim se reúnem garantindo assim a solução do problema da mortalidade física dos seres humanos.
Ninguém sabe exatamente o que existe além dos extremos limites do universo, mas a cosmologia
moderna nos oferece uma visão extremamente sugestiva. Cerca de 13,8 bilhões de anos atrás, uma
explosão primordial (Big Bang) deu origem não apenas ao mundo material como também ao
cenário onde o cosmo está mergulhado, os seja o espaço-tempo. Desde o instante inicial do Big
Bang o espaço-tempo tem se propagado com a velocidade da luz uniformemente em todas as
direções fazendo com que o universo ocupe agora um volume imenso, mas limitado, embora ainda
em expansão. É claro, então, que além dos limites do universo sempre se encontrará algo de
indefinível, mas que não é espaço vazio, pois o espaço-tempo ainda não chegou lá. Nessa região,
que envolve totalmente o cosmo, o tempo não transcorre porque lá ele não existe. Assim, a visão
cosmológica dos antigos pitagóricos apresenta, pelo menos na questão do tempo, uma considerável
analogia com a estrutura do universo proposta pelos cientistas modernos.
A Estrela Flamejante
A divisão de uma circunferência em 2, 3, 4, 6 ou 8 partes iguais e o problema da inscrição
nela de polígonos regulares de 3, 4, 6 ou 8 lados não apresentava dificuldades para os matemáticos
da Grécia antiga. Mais difícil era o problema da divisão da circunferência em 5 ou 10 partes iguais.
Essa questão geométrica foi enfrentada com sucesso por Pitágoras que chegou à construção do
pentágono e do decágono regulares inscritos numa circunferência. A solução desse problema
envolve, porém, um número incomensurável (a raiz quadrada de cinco), ou seja um número
inconhecível pelas vias puramente racionais (simbolizadas pelo esquadro), mas perceptível pela
intuição (simbolizada pelo compasso).
Esse número irracional está também envolvido com a secção de ouro de um segmento na forma
seguinte: dado um segmento de comprimento a , chama-se secção de ouro (ou secção divina) aquela
parte de a (digamos so) tal que a área do quadrado cujo lado é so, é igual à área do retângulo cujos
lados são respectivamente a e (a - so). Na prática (so)² = a (a - so) e, portanto:
Se a = 1, então so = 0,6180…
A Natureza sabe utilizar espontaneamente a secção de ouro. Por exemplo, a disposição das folhas
em torno de um caule, para que sejam expostas ao sol ao máximo possível, está matematicamente
ligada à secção divina. O mesmo vale para certas conchas, assim como por um certo número de
galáxias, sem contar que quase toda a arte antiga (templos, pirâmides, etc.) foi erigida segundo as
proporções da secção de ouro. A seção de ouro é particularmente importante na composição de
alguns fractais como no caso da “árvore de Barnsley” [6].
Mas, voltando ao assunto, Pitágoras demonstrou que o lado do decágono inscrito numa
circunferência de raio unitário nada é se não a secção de ouro do raio. Na figura em baixo, os
segmentos KL=LM=MN=NO=OK são todos seção de ouro do diâmetro da circunferência.
Assim os pontos K, L, M, N, O dividem a circunferência em cinco partes iguais e os segmentos
verdes mostram o pentágono inscrito. Agora, se em vez de juntar o ponto K com os sucessivos L,
M, etc. se junta K com o terceiro ponto da divisão (M), e este com o quinto (O), e assim por diante,
se obtém um pentagrama regular (em amarelo) inscrito na circunferência e no pentágono. Essa
figura geométrica é de extrema importância no simbolismo maçônico onde é chamada de Estrela
Flamejante [1].
As razões pelas quais o pentagrama, ou pentáculo, foi escolhido pelos adeptos do sodalício
pitagórico não eram todas de natureza geométrica. Por outro lado, as propriedades geométricas do
pentáculo eram tão numerosas, simples e bonitas que a admiração suscitada nos pitagóricos
justificou a escolha do pentagrama como símbolo da Escola Itálica e signo de reconhecimento entre
os membros da Ordem.
Por outro lado é fácil demonstrar que os triângulos KMN, LNO, MOK, NKL, e OLM são todos
isósceles e que os lados do pentágono são secção de ouro dos lados KM, NL, etc. do pentagrama.
Também pode-se verificar que o lado KM do pentagrama é dividido em outros dois pontos p e q,
tais que os segmentos Kq=Mp são secção de ouro do lado mesmo. Isso vale, obviamente, para todos
os cinco lados do pentáculo.
Existem mais seis triângulos isósceles (LpM, NtO, etc.) cujas bases são secção de ouro dos lados
maiores. Também as cinco pontas da estrela são iguais e Kp é secção de ouro de Mp.
Ainda mais surpreendente é constatar que os lados do pentagrama determinam um segundo
pentágono regular cujos vértices (p, q, r, s, t) são também os vértices de um segundo pentagrama
invertido (em vermelho na figura). Os lados desse pentágono menor são, por sua vez, secção de
ouro dos lados do pentágono maior (em verde) e os lados da estrela menor (vermelha) são secção de
ouro dos lados da estrela maior (amarela). O pentagrama menor determina, por sua vez, um terceiro
pentágono (ao centro da estrela vermelha) que contem uma terceira estrela (não representada na
figura) a qual contem um quarto pentágono, e assim por diante até o infinito.
Em síntese, o pentáculo, expressão geométrica do número cinco, pode ser construído a partir da
secção de ouro, com a ajuda apenas do esquadro e do compasso. Esses instrumentos são os
prolongamentos exteriores de uma faculdade interior: a medida, que é a capacidade típica dos seres
humanos de conhecer seus próprios limites, assim como os limites do mundo exterior para ser,
eventualmente, capaz de ultrapassá-los. Em seu grafismo, o pentagrama simboliza também a união
do princípio masculino com o princípio feminino em uma entidade única. Ele é portanto a imagem
do andrógino, que é o ser humano perfeito das origens [2].
Os Números Poligonais
Os pitagóricos, colocando pontos em correspondência dos vértices de polígonos regulares,
não descobriram apenas os números triangulares pois, existindo polígonos virtualmente com um
número ilimitado de lados, existem também infinitos números poligonais (quadrados, pentagonais,
hexagonais, octogonais, etc.). Todavia apenas os triangulares e os quadrados permitem o
preenchimento uniforme e completo de um plano. Os números poligonais, assim como os números
lineares, podem ser reagrupados em pares e ímpares sendo que para os pitagóricos o princípio
feminino e o lado esquerdo eram pares enquanto o princípio masculino e o lado direito eram
ímpares. Consequentemente a metafísica pitagórica tinha uma veneração particular para os números
ímpares da mesma forma que a Maçonaria reconhece um caráter divino a esses números. De alguma
forma a perfeição dos números triangulares, sejam eles pares ou ímpares, era assegurada pela
relação que decorre entre eles e o triângulo equilátero, símbolo da tetraktys e da perfeição divina.
Quanto aos números quadrados, se por um lado é imediato reconhecer que são alternativamente
pares e ímpares (1, 4, 9, 16, 25, …), por outro observamos que eles possuem propriedades
extremamente significativas:
a) Traçando uma paralela r à diagonal de um quadrado, ela o divide em dois triângulos
consecutivos. Portanto a soma de dois triangulares sucessivos é igual a um número quadrado. Por
exemplo, o número quadrado 9 decorre da soma dos dois triangulares 3 e 6.
b) Qualquer número quadrado pode ser obtido acrescentando ao número anterior um esquadro
composto de uma quantidade ímpares de pontos. No exemplo seguinte, acrescentando ao número
quadrado 4 um esquadro de 5 pontos obtemos o número quadrado 9.
O esquadro é um dos símbolos fundamentais não só da Maçonaria como também do Hermetismo.
Isso é comprovado pela existência de um importante texto hermético, publicado em 1618, cujo
frontispício apresenta junto a um símbolo hermético (o Rebis) um esquadro e um compasso. As
analogias entre a Maçonaria e o Hermetismo não podem ser consideradas casuais devido às duas
Instituições terem a mesma finalidade, ou seja a grande obra de transmutação dos seres humanos.
Essa grande obra nada era se não a Arte Sagrada da edificação espiritual onde o "desbaste da pedra
bruta" do indivíduo tinha uma profunda analogia com os cânones da arquitetura sagrada. Destarte,
os instrumentos maçônicos (esquadro, compasso, etc.) tinham e ainda tem um valor puramente
simbólico sendo que à Arte Sagrada correspondia o segredo arquitetônico dos construtores das
grandes catedrais medievais [1].
De regra os números triangulares são diferentes dos quadrados, mas o 36 é o primeiro número linear
a ser contemporaneamente triangular e quadrado; além disso o 36 representa o valor da tetraktys de
Plutarco composta mediante os primeiros quatro números ímpares e os primeiros quatro números
pares da década, ou seja:
(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = 36
Na sequência dos números lineares qualquer um pode verificar que o único terno de números
consecutivos onde a soma dos primeiros dois é igual ao terceiro é 1, 2, 3. Pitágoras, fascinado pela
característica desse terno que, como já vimos, simboliza a epifania da divindade no âmbito dos
números lineares (monodimensionais), procurou uma propriedade análoga nos números poligonais
(bidimensionais ou superficiais). Ele demonstrou que entre todos os polígonos apenas os quadrados
permitem a solução desse problema cujo resultado é constituído pelo terno 3, 4, 5 ou seja 3²+4² = 5²
(teorema de Pitágoras). Os números desse terno são também os comprimentos dos lados do
triângulo egípcio que é o mais simples dos triângulos retângulos cujos lados são números inteiros.
O triângulo egípcio se apresenta, portanto, como a manifestação da epifania no campo dos números
poligonais: nesse âmbito o número cinco, representado pelo pentagrama (ou Estrela Flamejante),
toma o canto do número três, representado pelo Delta Maçônico.
Observamos, inclusive, que, como demonstrado pelo brilhante matemático britânico Andrew Wiles
em 1993, a equação:
não apresenta soluções por n>2 (ipótese de Fermat) [7].
O cinco está relacionado com a secção de ouro, com o pentágono e o pentáculo, e não existem
senão cinco poliedros regulares convexos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Na
tetraktys pitagórica, enquanto nove pontos estão colocados nas bordas da figura, só um, o cinco,
fica bem no centro do Delta reforçando assim o caráter sagrado desse número. Na Cabala, o quinto
Sefirot é Geburah que simboliza a força e o poder. Para os antigos Celtas a terra era constituída de
cinco elementos: Kalas, matéria dura; Gwyar, matéria úmida; Fun, matéria gasosa; Ufel, matéria
ignea; Nwyvre, matéria etérea [2]. Na especulação gnóstica, as “cinco árvores do Paraíso”
representam as cinco entidades superiores primigênias que frutificam no Paraíso (Espírito,
Pensamento, Reflexão, Intelecto e Razão) [8].
Na teoria dos números, a função zeta de Riemann reveste um papel fundamental. Sabe-se que
particulares coeficientes dessa função geram uma sequência de números inteiros [7]. Os três
primeiros números da série são: 1, 2 e 42. É interessante observar que 42 nada é se não o terceiro
número poligonal com base 15. Em fórmulas:
P(15,3) = 42.
Os Números Sólidos
Continuando com o processo enunciado no capítulo anterior, os pitagóricos descobriram os
números sólidos. Os mais simples e, ao mesmo tempo, os mais importantes são os números
piramidais, assim chamados por causa da forma: uma pirâmide com base triangular, quadrada,
pentagonal, hexagonal, etc. Os piramidais com base triangular são também chamados de números
tetraédricos e a figura seguinte representa o número quatro, tetraédrico de ordem dois, sendo que o
primeiro, de ordem um, é a própria unidade.
Os neopitagóricos de Platão consideravam o tetraedro a partícula elementar da matéria e a química
moderna nos ensina que, embora os átomos e as moléculas não tenham essa forma, a substância
mais dura de todas é o diamante, cujas moléculas são formadas por quatro átomos de carbono
dispostos nos vértices de um tetraedro. Também o metano, o mais simples dos hidrocarbonetos tem
uma forma tetraédrica, e cada molécula de água sólida se junta às outras por meio de pontes de
hidrogênio numa configuração teraédrica.
Observamos agora que, sem considerar a unidade, dez é o primeiro número a ser
contemporaneamente linear, triangular e tetraédrico, razão pela qual ele se tornava ainda mais
perfeito aos olhos dos pitagóricos. A matemática moderna só conhece quatro números que são
contemporaneamente lineares, triangulares e tetraédricos. Eles são: 10, 120, 1540 e 7140, todos
múltiplos inteiros de 10. Mais uma relação entre o 4 e o 10.
A fórmula geral dos números piramidais apareceu, pela primeira vez, no Codex Arcerianus, um
código romano do ano 450 d.C. e o estudo dessa fórmula evidencia algumas propriedades
exclusivas desses números. Em primeiro lugar observa-se que qualquer piramidal de ordem cinco é
divisível por 5, enquanto os piramidais de ordem sete são divisíveis por 7 e por 28. Por sua vez o 28
é um número matematicamente perfeito, sendo ele igual à soma de seus divisores. Os pitagóricos
tinham uma autêntica veneração por esse múltiplo do sete, tanto é que na basílica pitagórica
subterrânea de Porta Maggiore em Roma, foram encontradas 28 lajes funerárias, tantas quantos os
componentes daquela antiga confraria. Na Antiguidade só se conheciam quatro números perfeitos:
6, 28, 496, e 8128 que, por sinal, são todos triangulares respectivamente de ordem 3, 7, 31 e 127.
Em segundo lugar demonstra-se que todos os piramidais de ordem quatro são múltiplos inteiros de
10, propriedade essa que reforça, mais uma vez, a relação entre o 4 e o 10.
Quanto aos piramidais com base quadrada, embora não apresentassem propriedades diferentes dos
outros piramidais, gozavam outrossim de uma consideração particular devido eles terem a forma
das pirâmides do Egito, terra onde Pitágoras aprendeu noções importantes de geometria esotérica.
Na figura sucessiva é representado o segundo número piramidal, ou seja de ordem dois, com base
quadrada (5).
O problema de encontrar três números sólidos consecutivos onde o terceiro consta da soma do
primeiro com o segundo também pode ser enfrentado e resolvido. Demonstra-se que a única
solução é a seguinte: 175 + 301 = 476 que representam respectivamente os números piramidais
(com base decagonal) de ordem 5, 6 e 7. Destarte, como o terno 3, 4 e 5 resolvia o problema no
plano mediante o triângulo egípcio, o terno 5, 6 e 7 resolve o mesmo problema no espaço mediante
os números piramidais. Desta forma, a epifania da divindade se torna completa no mundo material
em virtude do número sete. Ademais, os números 175, 301 e 476 são todos múltiplos de 7.
Em síntese, os três primeiros números ímpares da década (3, 5 e 7) representam a única solução do
mesmo problema respectivamente para os números lineares, superficiais e sólidos.
Em virtude do fato que, em princípio, também os números lineares podem ser considerados
números poligonais de lado um, ou seja: P(1,1)=1; P(1,2)=2; … P(1,n)=n e que, por simplicidade,
os números piramidais podem ser representados com o símbolo F(l,n) onde l é o n° dos lados do
polígono situado na base do sólido e n é a ordem, tudo o que acabou de ser explicado em palavras,
pode ser resumido com as equações seguintes:
P(1,1) + P(1,2) = P(1,3)
(solução para os números lineares – uma dimensão)
P(4,3) + P(4,4) = P(4,5)
(solução para os números poligonais – duas dimensões)
F(10,5) + F(10,6) = F(10,7)
(solução para os números sólidos – três dimensões)
Na Maçonaria, o três é o número de lados do Delta luminoso e o número do aprendiz; o cinco é o
número da Estrela flamejante e do companheiro; o sete é o número da sapiência e do mestre livre
pedreiro. Também para os pitagóricos o sete simbolizava a sapiência. Isso se deve ao fato dele ser o
único número primo (isto é não gerado) que ao mesmo tempo não é fator (ou seja gerador) de outros
números dentro da década. Essas características o assimilam a Minerva, deusa virgem da sapiência,
que nunca foi parida, mas que saiu já armada de lança e escudo diretamente do cérebro de Júpiter.
Sete são as notas musicais, sete os véus que ocultavam a deusa Ísis, e na Cabala o sétimo Sefirot é
Netzach, a vitória ligada à natureza e ao amor: ele simboliza o triunfo do iniciado, ao fim de sua
busca.
Hoje sabemos que todas as reações entre as partículas elementares da física moderna se
fundamentam sobre o princípio de conservação de sete grandezas: energia (incluída a massa),
momento linear, momento angular, carga elétrica, número leptônico, número muônico, número
bariônico [9].
O estudo dos números sólidos não piramidais, obtidos colocando pontos nos vértices dos poliedros
regulares (números cúbicos, octaédricos, dodecaédricos, icosaédricos), se torna relativamente
complicado do ponto de vista matemático. Contudo, é útil lembrar que qualquer um desses números
pode ser expresso como soma de números tetraédricos, os tijolos do mundo material na metafísica
pitagórica e platônica. Os números dodecaédricos tinham chamado particularmente a atenção dos
pitagóricos devido ser o dodecaedro o símbolo do universo sólido.
De fato o dodecaédro possui 12 faces pentagonais (que representam tanto os meses do ano como os
12 signos do Zodíaco) e em cada uma dessas faces pode ser inscrito um pentáculo regular. Outras
numerosas propriedades geométricas desse sólido, em boa parte ligadas à secção de ouro, refletem a
ordem e a harmonia do cosmo, justificando em pleno sua escolha como símbolo do universo. Nós
modernos só podemos aprovar e louvar a opção dos antigos pitagóricos pois a física das altas
energias comprovou que qualquer forma de matéria (com massa > 0) é constituída por 12 diferentes
tipos de partículas elementares, exatamente tantas quantas as faces do dodecaédro.
Também, o menor dos fulerenos (C20) é dodecaédrico.
Tabela
Embora na Wikipedia apareça uma tabela de números poligonais até P(30,13), na intenção
de facilitar a compreensão dessa monografia segue uma tabela contendo todos os números
piramidais até F(7,12), os primeiros números octogonais até Oc(11), os icosaédricos e os
dodecaédricos até Ic(9) e Do(9).
N
F(3,n)
F(4,n)
F(5,n)
F(6,n)
F(7,n)
Oc(n)
Ic(n)
Do(n)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
5
6
7
8
6
12
20
3
10
14
18
22
26
19
48
84
4
20
30
40
50
60
44
124
220
5
35
55
75
95
115
85
255
455
6
56
91
126
161
196
146
457
816
7
84
140
196
252
308
231
742
1330
8
120
204
288
372
456
344
1112
2024
9
165
285
405
525
645
489
1611
2925
10
220
385
550
715
880
670
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Bibliografia:
[1] A. Reghini. "La tradizione Pitagorica Massonica", Fratelli Melita Editori, Genova (1988).
[2] F.X. Chaboche. "Vida e Mistério dos Números" Hemus Editora, São Paulo (2005).
[3] M. Chown. New Scientist, 24 October 1998, pp. 29-32.
[4] C. Knight, R. Lomas. "La Chiave di Hiram" Mondadori, Milano, (1997).
[5] A.L. Lehninger. “Biochemistry” Worth Publishers, Inc., New York (1972).
[6] J. Gleick. “Caos” – RCS Libri S.p.A., Milano (1997)
[7] M. Du Sautoy. “L’Enigma dei Numeri Primi” RCS Libri S.p.A., Milano (2004).
[8] I Vangeli Apocrifi Giulio Einaudi editore, Torino (1990).
[9] K. Ford. "The world of elementary particles" Blaisdell Publishing Company (1963).
11
286
506
726
946
1166
891
3036
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12
364
650
936
1222
1508
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