Uma introdução ao estudo de
funções multivariáveis
Állison Pinto Batista
Universidade Federal do Amazonas
Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente
Janeiro de 2014
Bem-vindo
Este material trata da introdução ao estudo de funções representadas em espaços mais extensos
do que o conjunto de números reais, tomando para tanto ou o plano ou o espaço cartesianos.
Isto significa estender as noções anteriormente vistas em um estudo de Cálculo para necessidades maiores e ora mais complexas do que as modeláveis por funções simples, de números reais
a números reais. O primeiro passo desta extensão é o trabalho com funções cujas imagens não são
representáveis por um número real, mas por um par ou trio de coordenadas. Em seguida, o trabalho
se concentrará nas funções cujos domínios sejam representados por coordenadas.
Em um primeiro momento, faremos apenas uma comparação entre tais entes, mostrando as
semelhanças em relação aos estudos anteriores de Cálculo. Em seguida, partiremos para uma análise
mais detalhada a respeito deste novo contexto.
Convido você ao estudo de Matemática não como mera ferramenta, mas como um ramo que
proporciona uma melhor visualização dos problemas e maiores leques de raciocínio, sem abrir mão
de sua precisão.
Bom trabalho!
O autor.
Capítulo 1
Funções Vetoriais e Funções
Multivariáveis
Aqui, começamos a estender os horizontes do que conhecemos usualmente por funções. Estamos habituados a trabalhar com as funções definidas, no máximo, no conjunto de números reais (R)
assumindo valores também reais, isto é, funções da forma
f : X → R, X ⊂ R.
Já conhecemos muitos gráficos desta natureza, mas e se a relação for tal que a representação
gráfica fornecida não constituir um gráfico como nós já conhecemos? Pense na figurinha a seguir, por
exemplo:
Figura 1.1: Representação gráfica que não provém de uma função f : X → R, X ⊂ R.
É possível representar esta espiral como uma função real? Esta é a pergunta que iremos responder
para figuras quaisquer; mas, de antemão, direi a resposta: sim, é possível.
Com efeito, é possível tratar qualquer representação gráfica como uma função desde que o
domínio e o contradomínio dela sejam ampliados o suficiente para que a representação faça parte da
imagem da função.
No caso da espiral, precisaremos admitir um contradomínio que assuma a forma do plano
cartesiano. Como a espiral é uma linha, não é necessário ampliar o domínio: podemos continuar
tendo por domínio o conjunto de números reais (R). Para o contradomínio, para evitar problemas de
caráter estrutural, tomaremos o produto cartesiano R × R, usualmente representado por R2 . Deste
modo, podemos, agora, escrever a espiral como uma função do tipo
E : X → R2 , X ⊂ R.
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Este tipo de função não é uma função real. Esta função pertence a uma classe de funções que
iremos estudar ao longo deste material: as funções vetoriais.
1.1
A classe das funções que assumem vetores ou pontos por resultado
Uma função vetorial é uma função do tipo f : Dom → CD tal que o conjunto CD assume pontos
ou vetores, isto é, um conjunto composto por produtos cartesianos. O mais simples deles é R2 , como
vimos.
A rigor, o tratamento das mesmas é semelhante ao dado nas funções ordinárias. É possível
somar e subtrair, mas não é possível, por exemplo, multiplicar ou dividir, uma vez que os resultados
não são números, mas pontos.
Um exemplo palpável de o que seja uma função vetorial pode ser encontrado na circunferência
e na esfera, preferencialmente de centros na origem e de raios 1.
C(t) = (sen t ; cos t ; 0)
E(t) = (sen t ; 0 ; cos t)
f (t) = (sen t ; cos t)
Figura 1.2: Exemplos de funções vetoriais no plano R2 e no espaço R3 .
Então, podemos falar, inicialmente, das funções que têm domínio real e valores vetoriais (daí
o nome função vetorial).
1.2
Funções vetoriais de uma variável real
Estas funções são as mais comuns por poderem, em parte razoável, ser assemelhadas a linhas
retas. De fato, representam linhas, como nos exemplos vistos há pouco. A estrutura genérica de uma
função vetorial de uma variável real é:
f : X → Rn , X ⊂ R, f (t) = f1 (t) ; f2 (t) ; f3 (t) ; . . . ; fn (t) .
Para nosso estudo, estaremos nos restringindo a funções vetoriais com imagens ou no plano
ou no espaço cartesianos (R2 ou R3 ).
Quando podemos representar uma função vetorial pela forma genérica descrita anteriormente,
identificando cada coordenada por meio de uma função, obtemos uma parametrização de uma figura
geométrica, pois, para cada valor tomado por t, o dito parâmetro, obtemos um ponto específico sobre
a imagem da função. Desta observação, as funções vetoriais de uma variável real também recebem o
nome de curvas.
Com efeito, o gráfico de qualquer função real f : X → R, X ⊂ R também pode ser estudado
por meio desta análise. A função vetorial que podemos extrair dele é
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G(t) = t ; f (t) .
Há outros exemplos. Podemos construir uma espiral um pouco diferente daquela vista no
início desta seção por meio da função
S(t) = (t cos t ; t sen t) :
Figura 1.3: Imagem da função S : R+ → R2 , S(t) = (t cos t ; t sen t).
Além disso, se fizermos a altura depender da posição angular da espiral, teremos algo parecido
a um vórtice, por meio da função
V(t) = (t cos t ; t sen t ; t) :
Figura 1.4: Imagem da função V : R+ → R3 , V(t) = (t cos t ; t sen t ; t).
Observando que cada traço assim produzido pode ser livremente desenhado como partes de
curva ou mesmo como uma curva inteira, denominaremos tais funções por curvas parametrizadas, ou,
de modo mais comum ao longo deste material, curvas.
Como veremos adiante, as curvas, conforme definimos, possuem algumas propriedades importantes que permitem a análise de estruturas reais e concretas de um ponto de vista seccional. Tais
propriedades se revelam úteis quando estendidas ao trato de superfícies em geral.
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1.3
Funções reais de mais de uma variável real, ou multivariáveis
Em contraste com a situação que acabamos de analisar, temos, também, o caso das funções
cujo domínio tem mais de uma dimensão, mas tem números por imagens. A rigor, uma função real
multivariável é uma função da forma
f : D → R, D ⊂ Rn , n > 1.
A situação mais comum onde as mesmas surgem é na modelagem de superfícies concretas e
em outros contextos nos quais uma medida depende, em geral, de mais de uma outra medida.
Quanto a estas, o que se pretende é estender o conhecimento adquirido no Cálculo de Funções
de Uma Variável, explorando ao máximo propriedades que estas funções possam revelar. Deste
modo, falaremos, em momento oportuno, em limites, derivadas e integrais.
Um exemplo imediato é a modelagem da profundidade de um lago ou de um setor de costa
litorânea. A função mais utilizada para este tipo de modelagem é, sem dúvida, a função polinomial,
pelo fato de seu tratamento ser mais simples em relação a outra que proporcione melhor precisão.
Apenas a título de visualização, exemplifico um gráfico desta natureza:
Figura 1.5: Parte do gráfico da função f : R2 → R, f (x ; t) = −x2 + xt − y2 + x − 6y − 2.
Apesar disto, há casos em que superfícies são melhor modeladas por combinações envolvendo
funções exponenciais e sinodais (trigonométricas), como, por exemplo,
f : R2 → R, f (x ; t) = cos x − sen t:
Figura 1.6: Parte do gráfico da função f : R2 → R, f (x ; t) = cos x − sen t.
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1.4
Funções vetoriais multivariáveis
Por fim, ainda há as funções que são definidas em mais de uma variável em valores vetoriais.
Quanto a estas, na maior parte dos casos não seremos capazes de exemplificar os efeitos, mas podemos
descrever sua forma geral.
Uma função vetorial multivariável é uma função que assume, genericamente, a forma
f : D → Rn , D ⊂ Rk , k > 2, n > 2.
Um caso particular é a abordagem de superfícies por meio de funções vetoriais, modeladas
por funções da forma
S : D → R3 , D ⊂ R2 ,
e cujas propriedades daí decorrentes tornam o estudo de superfícies em geral mais rico do que a
análise provida no Cálculo Vetorial. Tais funções não serão trabalhadas com profundidade neste
material, mas, caso você tenha interesse em estudá-las com maior rigor, sugiro a consulta ao livro
Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, de autoria de Manfredo Perdigão do Carmo.
1.5
O Cálculo básico nas funções vetoriais de uma variável real
É possível estender as noções que já adquirimos em um estudo anterior no Cálculo para esta
situação, isto é, os conceitos de limite, derivada e integral, para as funções vetoriais reais. Nós nos
restringiremos ao trato de funções cuja imagem esteja no plano ou no espaço cartesiano usual.
1.5.1
Limites
Comecemos com a noção de limite, visto que ela é necessária para as demais. O limite de uma
função f : X → R3 , X ⊂ R quando x tende a um valor p (não necessariamente presente em X) será
o vetor v = (a ; b ; c) se, para qualquer valor fixado r > 0, for possível determinar um valor d > 0 de
modo que
0 < x − p < d ⇒ f (x) − v < r,
isto é, se os vetores f (x) e v estiverem muito próximos quando x se aproxima de p.
Mas esta noção não é tão amigável, o que nos obriga, num primeiro momento, a procurar
por um outro meio de trabalhar o limite. Diante do exposto, como já conhecemos o funcionamento
dos limites ordinários, é suficiente analisar se cada função coordenada de f tiver seu próprio limite
quando x tende a p. Se alguma delas não tiver, o limite não irá existir.
Considere a função f : R → R3 , f (t) = (cos t ; sen t ; t). O limite de f quando x tende a π, por
exemplo, é igual a
lim f (t) = lim cos t ; lim sen t ; lim t = (cos π ; sen π ; π) = (−1 ; 0 ; π) .
x→π
x→π
x→π
x→π
Considere, agora, a função f : R → R2 ,
1
cos t
f (t) = t sen
;
.
t
t
Neste caso, teremos, para x tendendo a zero,
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1
cos t
lim f (t) = lim t sen
; lim
= (0 ; [+∞ · 1]) .
x→0
x→0
t x→0 t
Observemos que a primeira coordenada tem limite por se tratar do produto de zero por uma função
limitada (apesar de não existir o limite de sen . . .), mas a segunda nem limite tem pois resulta em
uma tentativa de divisão de um número não nulo por zero. Logo, a função vetorial não tem limite
em x = 0.
1.5.2
Derivadas
Diante da breve exposição do funcionamento do limite, é mais simples estender a noção de
derivada para as funções vetoriais. Como visto, o limite de uma função vetorial existe se existirem
os limites em cada coordenada. Deste modo, também a derivada de uma função vetorial existe se
existirem as derivadas em cada coordenada.
Formalmente, a derivada de uma função f : X → R3 , X ⊂ R em um ponto p ∈ X equivale à
existência do limite
lim
x→p
f (x) − f (p)
,
x−p
que, traduzido ao nosso contexto significa, com as considerações já feitas,
!
f2 (x) − f2 (p)
f3 (x) − f3 (p)
f1 (x) − f1 (p)
.
; lim
; lim
lim
x→p
x→p
x→p
x−p
x−p
x−p
Diante disto, temos, para f : R → R3 , com lei de formação
f (t) = et ; ln t2 + 1 ; sen (cos t) ,
o vetor genérico
df
= et ;
2t
; − sen t · cos (cos t) .
t2 + 1
dt
Para o estudo em Cálculo Básico, restringiremo-nos ao trato de derivadas de funções vetoriais,
não adentrando às questões das primitivas e das integrais.
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Capítulo 2
Uma rápida visita à Geometria Diferencial
Nesta parte, o principal objeto de estudo são as funções f : X → R2 e f : X → R3 , em relação
à representação de suas imagens. Tais funções, conforme dito no capítulo anterior, são comumente
denominadas curvas, devido ao aspecto da representação de suas imagens.
Por outro lado, interessam-nos aqui apenas algumas curvas, sobre as quais podemos vislumbrar propriedades um tanto incomuns de serem vistas, sem perder o foco nas aplicações. Apesar disto,
ressalto de antemão que a aplicabilidade total das noções aqui desenvolvidas requer o tratamento de
funções que descrevam superfícies, que não será desenvolvido aqui.
2.1
Curvas diferenciáveis
Como o próprio tópico sugere, pretendemos analisar os efeitos da definição de derivada em
uma curva. Entretanto, como vimos anteriormente, nem toda curva no padrão que estabelecemos
admitirá derivada. Por outro lado, uma curva é dita diferenciável se admitir derivada em todos os
pontos de seu domínio.
Podemos novamente comparar a situação com a ilustração de uma reta tangente, conforme
estudado anteriormente em Cálculo. Imagine, em um primeiro momento, a representação de uma
curva f : X → R2 , X ⊂ R, e marque dois pontos sobre ela, formando uma reta secante.
Figura 2.1: Uma reta secante sobre dois pontos de uma curva f : X → R2 , X ⊂ R.
Continuando a construção, aproxime os dois pontos (digamos, do ponto A ao ponto B) até
formar uma reta tangente.
Como a curva é definida sobre o conjunto dos números reais, podemos tomar como orientação
da curva o sentido de percurso das imagens conforme aumentam os valores no domínio. Para
este exemplo, podemos pensar que X define uma orientação no sentido de A para B. Diante disto,
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Figura 2.2: A reta secante e a reta tangente a um ponto de f : X → R2 , X ⊂ R.
podemos projetar um vetor tangente partindo de B sobre a reta tangente e, devido à identificação
proposta, concluir que este vetor é dado pela função derivada da curva, d f /dt.
Figura 2.3: A reta secante, a reta tangente e o vetor tangente a um ponto de f : X → R2 , X ⊂ R.
Diante disto, poderíamos muito bem definir o vetor tangente à curva pela derivada dela, mas
isto não representaria muito bem o propósito deste estudo, que é o tratamento de propriedades
intrínsecas às curvas.
2.2
O comprimento de arco
Dependendo de como a curva seja definida, podemos ter uma variação leve, razoável ou
excessiva na determinação do vetor tangente à curva em cada ponto. Isto se dá porque o módulo, ou
norma, do vetor derivada da curva pode não ser constante.
Então a análise fica prejudicada se este vetor não for constante? Em termos, pode ser que
sim. Mas podemos minimizar este efeito se a curva admitir uma nova lei de formação que descreva
a mesma imagem, isto é, uma reparametrização. Para tal descrição, nos é conveniente que o vetor
derivada da curva tenha sempre módulo constante, para que fixemos nossos olhares em propriedades
mais importantes. Convencionaremos que tal módulo seja igual a 1 para fins de reparametrização.
O efeito causado pela convenção é de um percurso conforme as pernas de cada um, vale dizer,
como uma identificação do conjunto dos números reais com o percurso dado na imagem da curva.
Para tanto, faz-se um processo semelhante à soma de Riemann, mas aqui, os valores em questão
serão dados pela norma do vetor tangente ao longo da partição. Sendo f : X → R2 (o mesmo vale
para R3 ou superiores), X ⊂ R, construiremos, para uma partição P de X, a soma
n X
d f S=
dx pi − pi−1 ,
i=1
pi−1
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Figura 2.4: A construção da soma de Riemann em uma partição de um subconjunto de X para a curva
f : X → R2 , X ⊂ R. Logo ao lado, há uma ampliação do setor.
cujo limite, quando o comprimento dos intervalos da partição tendem a zero, é
Z t d f S(t) =
dx,
a dx e a esta função S denominamos comprimento de arco da curva f . O valor a usado na definição desta
integral é qualquer ponto do domínio da curva, X, a partir do qual se deseja avaliá-la.
Apenas uma leve observação. Este processo inicia o estudo das chamadas integrais de linha,
assunto não abordado neste estudo.
2.3
Primeira propriedade: a curvatura
Diante do fato de a curva poder ter sua lei de formação reescrita, isto é, ser reparametrizada,
devemos, antes, levar em consideração um fator. Pretendemos que a reparametrização sugerida
anteriormente (apesar de nada amigável) seja tal que o vetor tangente à curva tenha módulo 1, o que
obriga o vetor derivada da curva a, também, ter módulo 1.
Uma maneira de fazer um vetor ter módulo 1 é tomar um vetor unitário em sua direção mesma,
isto é, a um vetor z, um vetor unitário na direção de z seria z/ ||z||. Observemos que o valor ||z|| neste
contexto fala de uma informação importante.
Para o presente caso, temos uma informação que pode ser extraída da derivada do vetor
tangente. Bem sabemos que a qualquer reta tangente corresponde uma reta normal, perpendicular a
ela. Deste modo, se há um vetor tangente, existirá um vetor normal e será perpendicular a ele. Mas
agora mostraremos que realmente é a derivada. Como o módulo do vetor tangente é igual a 1 (pois
reparametrizamos a curva por seu comprimento de arco), então
s
r
2
df df
df df
1=
fx (s) 2 + f y (s) + fz (s) 2 = h ;
i⇒h ;
i = 1.
ds ds
ds ds
Sendo isto verdadeiro e o fato de o produto interno se comportar como manda a regra do
produto resultam em
df df
d2 f d f
d f d2 f
d f d2 f
i=1⇒h
i+h ;
i=0⇔h ;
i = 0,
;
;
ds ds
ds2 ds
ds ds2
ds ds2
o que prova serem o vetor tangente e sua derivada perpendiculares. Logo, podemos tomar um vetor
unitário na direção da derivada do vetor tangente. Ora, isto fará surgir o vetor
h
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, d2 f d2 f N(s) =
.
ds2 ds2 denominamos vetor normal à curva parametrizada pelo comprimento de arco. O
A este vetor,
2
2
valor d f /ds é demasiado importante por ser ele quem mede o quanto a curva deixa de ser uma
reta. Diante deste fato, faremos uma nomeação. O valor
d2 f K(s) = ds2 é denominado curvatura da curva f : X → R3 , X ⊂ R, parametrizada pelo comprimento de arco.
Deste modo, representando o vetor tangente à curva f por T(s), podemos escrever
dT
ds
= K(s)N(s),
o que completa o estudo desta seção.
2.4
Segunda propriedade: a torção
Vimos que é possível medir o quanto uma curva deixa de ser reta, pois pensamos inicialmente
num parâmetro do plano. Agora, pensando em imagens tridimensionais, podemos prever também
que uma curva deixe de ser plana.
Você ainda se lembra da imagem do vórtice, algumas páginas atrás? Certamente, o vórtice não
tem feição de curva plana, como podemos rever:
Figura 2.5: Imagem da função V : R+ → R3 , V(t) = (−t cos t ; t sen t ; t).
Para tanto, tomaremos por ponto de partida um vetor perpendicular aos dois que já conhecemos, isto é, um vetor perpendicular aos vetores tangente, T(s), e normal, N(s). O melhor meio de
fazer isto é determinar o produto vetorial entre eles. E, de fato, será este o processo, resultando em
uma outra nomeação.
Conhecidos os vetores tangente e normal a uma curva f : X → R3 , X ⊂ R, parametrizada pelo
comprimento de arco, o vetor binormal à curva f é expresso por
B(s) = T(s) ∧ N(s).
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Este vetor mede a direção em que a curva pertence a um plano, visto que os vetores tangente e
normal determinam um plano. Porém, este vetor, por si só, não permite determinar o quanto a curva
pode deixar de ser plana, por ser unitário.
Figura 2.6: Representação dos vetores tangente, normal e binormal na imagem da função V : R+ →
R3 , V(t) = (−t cos t ; t sen t ; −t/2).
Como vimos, estes vetores são determinados por funções deriváveis ao longo da curva. Como
o módulo do vetor binormal é igual a 1, vale para ele a mesma observação feita para o vetor tangente,
isto é,
dB
i = 0.
ds
Cientes de que o produto vetorial também obedece à regra do produto, temos, também,
hB(s);
dB
ds
=
dT
ds
∧ N(s) + T(s) ∧
dN
ds
.
Na seção anterior, vimos que
dT
= K(s)N(s),
ds
donde, ao substituir na expressão anterior, virá
dB
=
dT
∧ N(s) + T(s) ∧
dN
= K(s)N(s) ∧ N(s) + T(s) ∧
dN
= T(s) ∧
dN
.
ds
ds
ds
ds
ds
Deste modo, o vetor derivada do vetor binormal é normal a ele, portanto, perpendicular, e,
por esta expressão, é perpendicular ao vetor tangente. Diante desta situação, concluímos que o vetor
dB/ds é um múltiplo do vetor normal. Uma outra maneira de visualizar isto é determinar o produto
vetorial de dB/ds com N(s):
N(s) ∧
dB
= N(s) ∧ T(s) ∧
dN
= hN(s);
dN
iT(s) − hN(s); T(s)i
dN
.
ds
ds
ds
ds
Como os vetores tangente e normal são perpendiculares, o último termo é nulo. Como visto
para os vetores tangente e binormal, concluímos que a derivada do vetor normal também deverá ser
perpendicular a ele, donde o primeiro termo é nulo. Com isso,
N(s) ∧
dB
ds
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= 0,
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o que mostra ser a derivada do vetor binormal um múltiplo do vetor normal. Este fator de multiplicidade, que denotaremos por R(s), é denominado torção da curva f e mede o quanto a curva deixa de
ser plana.
2.5
Terceira propriedade: a variabilidade de uma orientação por meio do
triedro de Frenet
Nas seções anteriores, para definirmos e determinarmos a curvatura e a torção de uma curva f :
X → R3 , X ⊂ R, falamos de um conjunto de vetores que construímos de modo a serem perpendiculares
entre si, ou ortogonais: os vetores tangente, normal e binormal à curva f . Baseados neles, pudemos
escrever
dT
ds
dB
ds
= K(s)N(s)
= R(s)N(s).
Diante disto, o que acontece se tentarmos medir a variabilidade do vetor normal por meio
de sua derivada? Bom. Há apenas um meio de saber: derivando. Mas, antes disto, como o vetor
binormal é escrito como produto vetorial do tangente com o normal, podemos escrever o normal
como produto vetorial do binormal com o tangente, e o tangente como produto vetorial do normal
com o binormal:
B(s) = T(s) ∧ N(s) ⇔ N(s) = B(s) ∧ T(s) ⇔ T(s) = N(s) ∧ B(s).
Com isso, ao derivar o vetor normal, vem
dN
ds
=
dB
ds
∧ T(s) + B(s) ∧
dT
ds
= (R(s)N(s)) ∧ T(s) + B(s) ∧ (K(s)N(s)) =
= −R(s) (T(s) ∧ N(s)) − K(s) (N(s) ∧ B(s)) =
= −R(s)B(s) − K(s)T(s),
isto é, a variação do vetor normal é combinação linear dos vetores binormal e tangente tendo por
fatores a torção e a curvatura. Com isto, concluímos a descrição do dito triedro de Frenet, composto
pelos vetores tangente, normal e binormal à curva com variações dadas pelo conjunto de equações
dT
ds
dN
ds
dB
ds
= K(s)N(s)
= −R(s)B(s) − K(s)T(s)
= R(s)N(s).
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2.6
Calculando as medidas de distorção sem a necessidade de reparametrizar a curva
Vimos como podemos estudar as medidas de distorção da curva, isto é, a curvatura e a torção,
desde que elas estejam parametrizadas pelo comprimento de arco. O problema é que nem sempre
esta reparametrização é viável e, literalmente, traz muita dor de cabeça, tendo ou não um Sistema
Algébrico Computacional (SAC), como o Maple ou o Maxima.
Felizmente, é possível converter estas funções em termos da definição da própria curva. Para
alcançar estas expressões, faz-se necessário tratar a curva por meio de derivação implícita, cujos passos
não serão detalhados aqui por comodidade. Contudo, para tanto, é necessário que as derivadas de
primeira, segunda e terceira ordens existam em todos os pontos da curva e, além disso, nem a primeira
nem a segunda podem ser nulas.
Quando uma curva diferenciável f : X → R3 , X ⊂ R, tem a primeira derivada nula em algum
ponto p ∈ X, diremos que a curva tem uma singularidade de ordem zero no ponto p. Se, além disso, a
segunda derivada também for nula em p, a singularidade passa a ser de ordem 1.
Diante destas considerações, sendo f : X → R3 , X ⊂ R, uma curva diferenciável não parametrizada pelo comprimento de arco, a curvatura e a torção de f em um ponto não singular p ∈ X são
descritas por
d f /dt ∧ d2 f /dt2 K(t) =
3
d f /dt
R(t) =
hd f /dt ∧ d3 f /dt3 ; d2 f /dt2 i
.
2
d f /dt ∧ d2 f /dt2 13