CÁLCULO DIFERENCIAL II
AULA 07: LIMITE, CONTINUIDADE, DERIVADAS PARCIAIS VETORIAIS E DIFERENCIABILIDADE
TÓPICO 01: LIMITE, CONTINUIDADE E DERIVADAS PARCIAIS VETORIAIS
VERSÃO TEXTUAL
Na aula 4 foi visto limite, continuidade e derivadas parciais de
funções reais de várias variáveis, este tópico tem o objetivo de estender
tal estudo para funções vetoriais de várias variáveis. Os conceitos são
semelhantes, levando-se em consideração apenas os elementos nas
imagens das funções.
Sejam
é um ponto de acumulação de A, diz-se que o
vetor
é o LIMITE de F(P) quando P tende a , indica-se pelo símbolo
, se para qualquer
existe
tal que
Ou seja, é possível tornar o comprimento do vetor
arbitrariamente pequeno, desde que se tome P suficientemente próximo de
.
Se
, mostra-se que
A demonstração está proposta no exercício 11 do exercitando deste
tópico.
OBSERVAÇÃO 1
Uma função
é CONTÍNUA NUM PONTO
, se
. Assim, F é contínua em
se, e somente se, suas funções
coordenadas são contínuas em
11 do exercitando deste tópico.
. A justificativa está proposta no exercício
OBSERVAÇÃO 2
Uma função vetorial é dita CONTÍNUA NUM CONJUNTO B contido
no seu domínio, se ela é contínua em todos os pontos de B. E se B é o
domínio da função vetorial, diz-se que a função é CONTÍNUA.
O seguinte teorema será útil posteriormente.
Teorema.
Se
m tal que
é uma transformação linear, então existe uma constante
para todo
. E mais, L é contínua em todo o .
DEMONSTRAÇÃO
Sendo
e L uma transformação linear, tem-se
daí (pela desigualdade triangular e propriedade da norma)
mas
para
logo
Na última desigualdade, fazendo
obtém-se a demonstração da primeira afirmação.
Para mostrar que L é contínua, sejam P e
então
daí se P tende a
Como
, L(P) tende a
vetores do
,
ou seja,
.
é arbitrário, a demonstração está concluída.
A derivada parcial vetorial ((ou simplesmente, a derivada parcial)) de
uma função
em relação a variável
, é a função
(ou ainda, ) e definida por
indicada por
O domínio de
é o conjunto de todos os elementos
exista.
domínio de F tais que
no
Como o limite de uma função vetorial (quando existe) é o limite das suas
funções coordenadas, segue-se que
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular as derivadas parciais da função
.
SOLUÇÃO
As funções coordenadas de , são as derivadas parciais das
funções coordenadas de F em relação a u, assim
Analogamente,
EXEMPLO PROPOSTO 1
Calcular as derivadas parciais da função
Sejam
coordenada
.
e
com
, isto é, em P a
é variável e todas as outras são mantidas fixas, então P
descreve uma reta (ou um segmento) em A e a imagem de tal reta (ou
segmento) através de F é uma curva
em
parametrizada por
, chamada de
definida por F. As
curvas
formam o conjunto das CURVAS PARAMÉTRICAS (ou
curvas coordenadas) da imagem de F contendo
. Isto
permite dar a seguinte interpretação para a derivada parcial vetorial: quando
se deriva parcialmente uma função
em relação a variável ,
todas as outras variáveis são mantidas fixas, assim F define uma curva parâmetro e de acordo com as discussões realizadas no tópico 1 da aula 2,
é um vetor tangente à curva .
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Encontrar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem de
, no ponto
e representar geometricamente as
curvas e os vetores.
SOLUÇÃO
O ponto (1,1,2) na imagem de G, corresponde ao ponto (1,1) no
domínio de G. Como
o vetor tangente à curva u-parâmetro em (1,1,2) é
.
Analogamente, acha-se que
é o vetor tangente à curva v-parâmetro em (1,1,2).
As
curvas
u-parâmetro e v-parâmetro são dadas por
e
respectivamente; assim na figura
seguinte, estão as curvas paramétricas da imagem de G contendo
e os vetores tangentes a tais curvas em
ver.
EXEMPLO PROPOSTO 2
. Clique aqui para
Achar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem de
no ponto
e representar geometricamente as
curvas e os vetores.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios: 3 e 5 são os respectivos
itens (a) e (b) da QUESTÃO 1; 7 é a QUESTÃO 2 do trabalho desta aula
a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As
questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta
aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num
único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período
indicado na AGENDA do ambiente SOLAR.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Professor Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual