Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
1
1. Números Reais e Funções
Números Reais
O sistema numérico real consiste em um conjunto
de elementos chamados de números reais e duas
operações denominadas adição (+) e multiplicação
( . ).
O sistema numérico real pode ser inteiramente
descrito por um conjunto de axiomas. Com esses
axiomas podemos deduzir as propriedades dos
números reais, das quais seguem as operações
algébricas de adição, multiplicação, subtração e
divisão, bem como os conceitos algébricos de
resolução de equações, fatoração e assim por
diante.
Um número real é positivo, negativo ou zero e
qualquer número real pode ser classificado como
racional ou irracional. Um número racional é
qualquer número que pode ser expresso como uma
razão de dois inteiros. Isto é, um número racional é
da forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente
de zero. Os números racionais consistem em:
i) Números Inteiros, positivos, negativos e zero:
… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
ii) Frações positivas
2 9 81
,− ,
,…
3 5 77
e
negativas,
como:
iii) Números decimais exatos, positivos e
negativos,como:
236
3251
1
2,36 =
, − 0,003251 = −
e 0,5 =
100
1000000
2
iv) Números decimais não-exatos, mas com
repetição periódica, como:
1
61
0,333... = e − 0,549549549... = −
3
111
Os números reais que não são racionais são
chamados de números irracionais. Esses são os
decimais não-exatos que não apresentam repetição
periódica.
Como
por
exemplo:
3 = 1,732..., π = 3,14159... e e = 2,718281...
Propriedades dos números Reais
O conjunto dos números reais, representado por ,
admite duas operações, denominadas soma (+) e
multiplicação (.). A partir dessas operações, as
seguintes propriedades são válidas.
i)Comutativa: a + b = b + a e a.b = b.a
ii)Associativa:
a + (b + c) = ( a + b) + c e a.(b.c) = (a.b).c
iii) Distributiva: a.(b + c) = (a.b) + (a.c)
iv) Elemento Neutro: a + 0 = a
v) Elemento Identidade: 1.a = a
vi) Elemento Simétrico: a + (− a ) = 0
vii) Elemento Recíproco: Todo número real c,
diferente de 0, tem um recíproco, isto é, um
1
ou c −1 que
número real denotado por
c
1
satisfaz: c. =1 ou c.c −1 = 1 .
c
Ordenação dos Números Reais
Do ponto de vista geométrico, um número que
está à esquerda é menor do que um número que
está à direita na reta numerada. Observe que a
abertura dos sinais > e < fica voltada para o
número maior. Por exemplo, 0 < 7 e (-7) < 0.
As duas temperaturas -5°C e +5°C são
igualmente distantes do ponto 0°C na escala de
temperatura. Para expressarmos este fato,
dizemos que ambas as temperaturas têm o
mesmo valor absoluto. Mais precisamente, o
valor absoluto de um número positivo é o
próprio número enquanto o valor absoluto de
um número negativo é o número oposto. Então,
para o valor absoluto escrevemos: +5 = 5 e
−5 = 5 . O zero não tem valor nem positivo
nem negativo, assim, definimos 0 = 0 . De
modo mais claro, quanto maior a distância de 0
maior é o valor absoluto. Dessa forma,
−5 > 2 , enquanto (−5) < (2) .
Módulo ou Valor Absoluto de um Número
Real
O módulo (valor absoluto) de um número real
x, é definido como sendo o maior valor entre x
e -x, e é indicado por x , isto é:
x = max{− x, x}
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2
Por
definição:
x = x2
ou
ainda
por:
⎧ x, se x > 0
⎪
x = ⎨0, se x = 0 , x ∈ R
⎪− x, se x<0
⎩
Sejam a e b dois números reais quaisquer.
Dizemos que a é menor que b e escrevemos a < b ,
quando b − a é positivo. Geometricamente, isto
significa que o número a está à esquerda do
número b na reta numerada. Equivalentemente,
dizemos que b é maior que a e escrevemos b > a .
Neste sentido dizemos que o conjunto dos números
reais é ordenado. O símbolo a ≤ b , lê-se a é menor
ou igual a b, (ou b ≥ a , lê-se b é maior ou igual a a)
significa que ou a < b ou a = b ( b > a ou b = a ).
Se a, b e c são números reais, podemos demonstrar
que:
(i) Se a < b e b < c então a < c .
(ii) Se a < b então a + c < b + c .
(iii) Se a < b e c < d então a + c < b + d .
(iv) Se a < b e c > 0 então ac < bc .
(v) Se a < b e c < 0 então ac > bc .
1 1
< .
b a
Regras análogas valem para a relação maior que.
(vi) Se 0 < a < b então
Desigualdades
Toda relação que usa os sinais > ou < é chamada
uma desigualdade. A expressão 0 < x < 5 , com
x ∈ R indica que x é um número real
compreendido entre 0 e 5. Neste caso, 0 é uma cota
inferior de x e 5 é uma cota superior. Para indicar
que um número y é indiferentemente maior ou
menor que x, mas não igual a x usamos y ≠ x (y é
diferente de x). Se uma variável puder assumir o
valor de sua cota inferior a ou de sua cota superior
b, escrevemos a ≤ y ≤ b . Dizemos que “y é maior
ou igual a a” e “y é menor ou igual a b. As
desigualdades ocorrem geralmente em problemas
de classificação.
Intervalos Reais
Comumente nos referimos a certos conjuntos
numéricos chamados intervalos que correspondem,
geometricamente, a segmentos de reta (ou semiretas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto,
denotado por (a, b), é constituído por todos os
números reais que estão entre a e b.
As possíveis situações de intervalos reais são
mostradas abaixo:
a)Intervalo aberto: (a, b) ou {x ∈ R / a < x < b}
a
b)
Intervalo
{x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
a
b
fechado:
[ a , b]
ou
b
c) Intervalo aberto à esquerda: (a, b] ou
{x ∈ R / a < x ≤ b}
a
b
d) Intervalo aberto à direita: [a, b)
{x ∈ R / a ≤ x < b}
a
ou
b
e) Intervalo aberto: (a, ∞) ou {x ∈ R / x > a}
a
f) Intervalo fechado: [a, ∞) ou {x ∈ R / x ≥ a}
a
g) Intervalo aberto: (−∞, b) ou {x ∈ R / x < b}
b
h) Intervalo fechado: (−∞, b] ou {x ∈ R / x ≤ b}
b
i) Intervalo aberto: (−∞, ∞ ) ou R
Note que o símbolo ∞ não representa um
número: a notação (a, ∞) define o conjunto de
todos os números maiores que A e o símbolo
∞ indica somente que o intervalo se prolonga
indefinidamente, a partir de A, na direção
positiva da reta numerada (para a direita do
número A).
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3
2. Funções
Utilizando funções para solucionar problemas
Muitas vezes é possível encontrar um modelo
matemático que descreva o comportamento dos
dados. Estes modelos podem ser funções, cuja
análise pode nos auxiliar na compreensão e
solução do problema em questão. Entretanto
salientamos que para encontrar estes modelos é
necessário um bom conhecimento matemático.
Exemplo 1 (Ferruzzi, 2003): Consumo de energia
elétrica no Paraná
A Tabela 1 nos apresenta o consumo de energia
elétrica no estado do Paraná no período de 1992 à
1999. Os dados constantes nesta tabela foram
fornecidos pela Copel. Com base nestes dados, é
possível prever o consumo de energia elétrica neste
estado no ano de 2004?
Tabela 1: Consumo de Energia no Paraná no tempo
t
n
Cn em TWh
0
1992
10,696643
1
11,432419
1993
2
11,957966
1994
3
1995
12,996213
4
13,862816
1996
5
1997
14,600576
6
15,391161
1998
7
16,029786
1999
Resolução:
Para fazer esta previsão necessitamos de um
modelo matemático o qual descreva o
comportamento destes dados. Utilizando a planilha
de cálculo Excel, podemos obter a curva de
tendência destes dados. Esta curva e o modelo
encontrado estão representados na Figura 1 e 2.
consumo TWH
17
15
13
11
9
7
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
anos - iniciando em 1992
Figura 1
C o m p o rtam ento do consum o d e en ergia elé trica no Estado do Para ná
140
120
consum o
Um dos mais importantes conceitos em todo o
Cálculo é o de Função. As funções são utilizadas
para descrever as relações entre as quantidades
variáveis. O uso de determinados modelos
matemáticos os quais podem resultar em funções
são, muitas vezes, utilizados para prever
acontecimentos futuros. A representação de uma
função é usualmente feita de quatro maneiras:
• Verbalmente: descrevendo-a com palavras;
• Numericamente: por meio de tabelas de valores;
• Geometricamente: por meio de gráficos;
• Algebricamente: usando uma fórmula explícita.
C onsumo de e ne rgia e lé trica no Paraná
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
600
700
80 0
900
tem po em anos
Figura 2
Podemos observar que se essa tendência
permanecer, o consumo de energia elétrica no
estado do Paraná tende a estabilizar-se.
Considerando algumas hipóteses, um possível
modelo para o consumo no decorrer do tempo
é: C ( t ) = 117, 41 − 106,81.e −0,0075t .
Com este modelo podemos estimar o consumo
de energia para qualquer tempo. Assim, para o
ano de 2004, o modelo estima um consumo de
de 19.8 TWh.
O Conceito de Função
Se uma variável y depende de uma variável x
de tal modo que cada valor de x determina
exatamente um valor de y, então dizemos que y
é uma função de x, e escrevemos y = f(x).
Segue uma definição mais formal de uma
função real.
Definição: Sejam A e B subconjuntos de R .
Uma função f definida em A é uma regra, ou lei
de correspondência, que atribui um único
elemento de B a cada elemento x de A. O
conjunto A é chamado domínio de f e B é
chamado contradomínio de f.
f : A→ B
Escrevemos:
x → f ( x)
Costuma-se chamar x de variável independente,
porque ela é livre para assumir qualquer valor
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4
do domínio A, e chamar y de variável dependente,
porque seu valor numérico depende da escolha de x.
Exemplo 2: Deve-se construir um tanque de aço,
para armazenagem de gás propano, na forma de
um cilindro circular reto de 3m de comprimento,
com hemisférios iguais em cada extremidade
(Figura 3). O raio r deve ser determinado. Expresse
o volume V do tanque como função de r.
Figura 3
Solução: Recorrendo as noções básicas de
geometria, expressamos o volume do tanque por:
4
V = π r 3 + 3π r 2
3
Neste exemplo, V é a variável dependente e r a
variável independente. Ou seja, o volume do
tanque depende da escolha do raio.
Domínio, Contradomínio e Imagem
Considere a função f : A → B , representada
pelo diagrama:
Definimos:
Domínio: Conjunto de todos os elementos
pertencentes ao conjunto A. Indicamos esse
conjunto por Dm( f ) .
Contradomínio: é o conjunto de todos os
elementos pertencentes ao conjunto B. Indicamos
esse conjunto por CDm( f ) .
Imagem: É o conjunto formado pelos elementos
de B que são correspondentes dos elementos do
domínio. Indicamos esse conjunto por Im( f ) .
Exemplo 3: Dada a função f ( x) = 3x − 5 ,
determine os seguintes valores numéricos da
função:
a) f (0) =
b) f ( −5) =
c) f ( 1 ) =
2
d) f ( 3) =
Exemplo 4: Dada a função f ( x) = x 2 − 3 ,
determine os seguintes valores numéricos da
função:
a) f (0) =
b) f ( −5) =
c) f ( 1 ) =
2
d) f ( 3) =
Determinação analítica do domínio de uma
função
Veremos alguns exemplos onde poderemos
identificar o domínio de uma função:
i) Se f ( x) = n g ( x) , com n par, então Dm( f )
é tal que g ( x) ≥ 0 .
1
ii) Se f ( x) =
, então Dm( f ) é tal que
g ( x)
g ( x) ≠ 0
1
iii) Se f ( x) =
, com n par, então
n g ( x)
Dm( f ) é tal que g ( x) > 0 .
Obs: Nos próximos capítulos a expressão “ f é
uma função” indica que o domínio e o
contradomínio de f são conjuntos de números
reais.
Usualmente definimos uma função f
enunciando uma fórmula ou regra para achar
f(x) , tal como: f ( x) = x − 3 , onde o domínio
é o intervalo infinito [ 3, + ∞ ) . Assim, se x está
no domínio, dizemos que f é definida em x, ou
que f(x) existe. Se S é um subconjunto do
domínio, então f é definida em S. A expressão f
não é definida em x significa que x não está no
domínio de f.
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5
Exercícios: Determine o domínio das seguintes
funções:
a) f(x) = - 4 - 2x
b) f(x) =
3x
3x − 2
2x
c)y =
3x + 10
Função Decrescente: Uma função f é
crescente num intervalo I ⊂ Dm( f ) se para
quaisquer x1 e x2 de I, x1 < x2 implicar
f ( x1 ) > f ( x2 ) .
d )f ( x ) = 3 x 2 − 5
e )g ( x ) =
Crescimento e Decrescimento de Funções
Função Crescente: Uma função f é crescente
num intervalo I ⊂ Dm( f ) se para quaisquer x1
e x2 de I, x1 < x2 implicar f ( x1 ) < f ( x2 ) .
x+3
x 2 − 10
Gráfico de Funções
Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano
coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Segundo a definição de função, a cada x do
domínio é associado um único y como imagem.
Portanto, toda reta paralela ao eixo y deverá
interceptar o gráfico da função em no máximo
um ponto.
Uma função pode ser estritamente crescente ou
decrescente em todo seu domínio. Entretanto, é
possível que ela seja crescente em um ou mais
intervalos de seu domínio e crescente em
outros.
Exercícios
E01: Analise se os seguintes gráficos
representam ou não funções justificando sua
resposta:
a)
b)
y
y
Determinação do Domínio e da Imagem de
uma função por meio do Gráfico
Considere a função representada pelo gráfico
abaixo.
x
x
c)
d)
y
y
6
y
x
Conjunto
imagem
Domínio
1
E02: Determine o domínio e a imagem das
seguintes funções:
y
a)
2
5
x
b)
3
y
x
-3
Figura 4
Dado o gráfico de uma função f: Domínio é o
conjunto formado por todas as abscissas dos
pontos do gráfico de f, ou seja, Dm( f ) = (2,5] .
Conjunto Imagem é formado por todas as
ordenadas dos pontos do gráfico de f, isto é,
Im( f ) = (1,6] .
c)
3
1
x
-1
d)
y
x
y
1
-2
x
x
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6
e)
y
-3
e )f ( x ) =
f)
y
1
-1
3 x
x
-
E03: Determine o domínio das seguintes funções
a) f(x) = 6 - 4x
x +9
x + 6x + 8
b) f(x) =
2
2
d)y =
x+2
2x
3x + 5
x2 − 7
− x2 + 3
E04: Analise o gráfico abaixo e responda as
seguintes questões:
k )f ( x ) =
1
3
+
x x −3
m )f ( x ) =
x+3
x −1
E05: Encontre o domínio das seguintes funções:
1
a )f ( x ) =
b )f ( x ) = x − 2
x −3
3
x+3
c)f ( x ) =
d )f ( x ) =
x −1
x2 + 4
j)f ( x ) =
2
− x2 +1
5
(x − 2)(x + 3)
l) f ( x ) = 2 x + 6 +
3
x
E06: Dada a função f(x) = 2x-3, obtenha:
a)f(3)
b)f(-4)
c)f(1/2)
d)f(x+h)
e)o valor de x, tal que f(x) = 49
f)o zero da função
E07: Dada a função f ( x ) = x 2 − x , obtenha:
a) f(a)
b) f(a+h)
c) f(a+h)-f(a)
E08: Se f ( x ) = 3x 2 − 5x + 2 , encontre:
a)f(0)
b)f(-2)
c) f ( 2 )
e)f( - x )
a) O domínio da função.
b) A imagem da função.
c) O valor de f(1).
d) O intervalo em que a função é crescente.
e) O intervalo em que a função é constante.
f) O intervalo em que a função é decrescente.
h )f ( x ) =
i )f ( x ) = x 2 − 5x + 6
3x
e) y = (x 2 − 16).( x 2 − 3x − 4)
f )f ( x ) =
f )f ( x ) = 4 x 2 − 8x
g ) f ( x ) = 3 7 − 3x
2
c) y =
x4
x2 + x − 6
d) f (1 + 3 )
E09: Dada a função f ( x ) = x 2 − 4x + 10 ,
obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.
Respostas
E01: São funções: letras a e c
Não são funções: b e d pois alguns pontos
do domínio possuem mais de uma imagem.
E02:
a )Dom : [− 3,3[
Im : [- 1,3]
b) Dom : ℜ
Im : [- 1,+∞[
d)Dom : ℜ
Im : ℜ
c)Dom : ℜ − {0}
e)Dom : ]− 3,3]
f)Dom : [− 2,+∞[
Im : [- 2,+∞[
Im : y = - 1 e y = 2
Im : {- 1} ∪ ]0,+∞[
E03:
f)− 7 ≤ x < − 3 o u
3<x≤ 7
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7
E07: a)f(3) = 3
b)f(-4)= -11
c)f(1/2)= -2
d)f(x+h) = 2x + 2h -3
e)26
3
f) x =
2
E08:
a)a 2 − a
b)a 2 + 2ah + h 2 − a − h
c)2ah + h 2
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Seja
f ( x) = x 2 + 3 e g ( x) = x . Encontre
( f ο g )( x) e ( gο f )( x)
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Encontre
( f ο g ο h)( x) = f ( g (h( x))) se f ( x) = x ,
1
g ( x ) = e h( x ) = x 3 .
x
Exemplo (ANTON, 2007, p. 30): Expresse
h( x) = ( x − 4)5 como uma composição de duas
funções.
E09:
a)f(0) = 2
b)f(-2)= 24
Translações, Reflexões, Alongamentos e
Compressões de Gráficos de funções
c) f ( 2 ) = 8 −5 2
Translação Vertical
Sejam y = f ( x) e k ∈ a transformação
i) f ( x) + k translada o gráfico em k unidades
para cima, se k >0;
ii) f ( x) + k translada o gráfico k unidades
para baixo, se k<0
d) f (1 + 3 ) =
3+9
e)f( - x ) = 3x + 5x + 2
2
E11: x = 1 e x = 3
Operações Algébricas com Funções
Definições: Sejam y = f ( x) e y = g ( x) funções.
i) Adição e Subtração de funções:
( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x)
ii) Multiplicação de Funções:
( f .g )( x) = f ( x).g ( x)
iii) Divisão de Funções:
⎛ f ⎞
f ( x)
, se g ( x) ≠ 0 .
⎜ ⎟ ( x) =
g ( x)
⎝g⎠
Translação Horizontal
Sejam y = f ( x) e h ∈ R a transformação
i) f ( x + h) translada o gráfico em h unidades
para a esquerda, se h>0
ii) f ( x + h) translada o gráfico em h unidades
para a direita, se h<0
Veja representação gráfica das translações
verticais e horizontais, respectivamente, na
Figura 5.
Para as funções f + g , f − g e f . g , definimos o
domínio como sendo a intersecção dos domínios
de f e g; para a função f/g, definimos o domínio
como sendo a intersecção dos domínios de f e g,
excluídos os pontos onde g ( x) = 0 (para evitar a
divisão por zero).
Figura 5
Composição de Funções
Definição: Dadas as funções f e g, a composição de
f e g, denotada por f ο g é a função definida por
( fog )( x) = f ( g ( x)) . Por definição, o domínio de
f ο g consiste em todo x no domínio de g para o
qual g ( x) está no domínio de f.
Reflexões
Seja y = f ( x) uma função real.
i) − f ( x) reflete o gráfico de f em relação ao
eixo x.
ii) f (− x) reflete o gráfico de f em relação ao
eixo y. Veja Figura 6
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
8
f(x)
f(-x)
f(x)
-f(x)
Figura 6
Alongamentos
Sejam y = f ( x) e c ∈ R .
i) y = cf ( x) alonga o gráfico de f verticalmente
por um fator de c, se c > 1 ;
ii) y = f (cx) alonga o gráfico de f horizontalmente
por um fator de 1/c, se 0 < c < 1 ;
Figura 9
1
e g ( x) = x 5 − x3 .
x2
Verificar a paridade de cada função.
Resolução: Temos que Dm( f ) = R − {0} e
1
1
f ( − x) = (− x) 2 +
= x 2 + 2 = f ( x) , logo,
2
x
(− x)
f é uma função par.
Exemplo: Seja f ( x) = x 2 +
Para a função g temos que Dm( g ) = R e
g (− x) = (− x)5 − (− x)3 = − x5 + x3 = − g ( x) logo,
g é uma função ímpar.
Figura 7
Compressões
i) y = cf ( x) comprime o gráfico de f verticalmente
por um fator de 1/c, se 0 < c < 1 ;
ii) y = f (cx) comprime o gráfico de f
horizontalmente por um fator de c, se c > 1 .
Figura 8
Funções Pares e Ímpares
Definição: Uma função y=f(x) é definida
i) uma função par de x se f(-x) = f(x)
ii) uma função ímpar de x se f(-x) = - f(x)
para qualquer x dentro do domínio da função.
Os gráficos de funções pares e ímpares têm
propriedades de simetria características.
i) O gráfico de uma função par é simétrico em
relação ao eixo y.
ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em
relação à origem.
Funções Definidas por Partes
Definição: São funções definidas por várias
sentenças (leis, equações) matemáticas, para
intervalos do seu domínio.
⎧ f(x)
⎩ g(x)
Exemplo: y = ⎨
se
se
a ≤ x<b
b ≤ x ≤c
Gráfico: Para o traçado do gráfico,
consideramos separadamente as várias
sentenças matemáticas com seus intervalos do
seu domínio. Depois, num mesmo sistema de
eixos, traçamos o gráfico relativo a cada
sentença, obedecendo a seu intervalo de
variação.
Esboce
o
gráfico
de
Exemplo:
se x ≥ 1
⎧ x +1
f (x ) = ⎨
⎩− x + 3 se x < 1
Resolução: Primeiro desenhamos pontilhadas,
as retas y = x + 1 e y = − x + 3, veja Figura
10
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9
se
⎧ x +1
f (x ) = ⎨
⎩− x + 3 se
x ≥1
veja Figura 13.
x <1
Figura 10
Em seguida, marcamos, com traço firme, a parte
que interessa de cada uma, como na Figura 11
Figura 13
Funções Polinomiais
Definição:
Função
polinomial
é
a
função f : ℜ → ℜ definida por:
f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + .... + a2 x 2 + a1 x + ao ond
e os coeficientes ao , a1 , a2 ,.....an , são números
reais e os expoentes são inteiro positivo,
Se an ≠ 0 então f é de grau n.
Figura 11
para x ≥ 1 , f(x) = x + 1
para x < 1, f(x) = − x + 3
Função Modular
Definição: Função modular é a função de ℜ em ℜ,
definida por:
⎧x
f (x) = ⎨
⎩− x
se x ≥ 0
se x < 0
Exemplos:
a) A função constante f ( x) = k é uma função
polinomial de grau zero;
b)A função f ( x) = ax + b , a ≠ 0, é uma função
polinomial do primeiro grau;
c)A função f ( x) = x 3 f ( x ) = x 3 é uma função
polinomial, chamada função cúbica, cujo
gráfico está representado na Figura 14:
O gráfico da função modular é equivalente à
reunião dos gráficos das sentenças que a definem,
como mostra a Figura 12
Figura 14
e) f ( x) = ( x − 1)3 , seu gráfico é obtido do
Figura 12
Exemplo: Esboce o gráfico de f ( x ) = x − 1 + 2 .
Resolução: Eliminando o módulo, temos:
gráfico da função f ( x) = x 3 , transladando-o
uma unidade para a direita, como verificamos
na Figura 15.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
10
x2 + 1
é uma
x
função racional com domínio Dm( g ) = R − {0}
O gráfico de g está representado na Figura 8.
Exemplo: A função g ( x) =
Figura 15
f) f ( x) = x 4 − 1 é uma função polinomial de grau 4,
seu gráfico tem o aspecto apresentado na Figura 16.
Figura 18
Funções Algébricas
Definição: São funções que podem ser
construídas com polinômios, aplicando-se um
número finito de operações algébricas (adição,
subtração, divisão e extração de raízes).
Figura 16
Funções Racionais
Definição: Função racional é aquela definida como
o quociente de duas funções polinomiais, isto é,
p( x)
f ( x) =
, onde p ( x) e q( x) são polinômios e
q ( x)
q( x) ≠ 0 .
O domínio da função racional é o conjunto dos
números reais, excluindo aqueles x tais que
q( x) ≠ 0 .
x −1
Exemplo: A função f ( x) =
é uma função
x +1
racional de domínio Dm( f ) = R − {−1} e está
representada graficamente na Figura 17:
Exemplos:
2
f ( x) = x 3 ( x + 2) 2
,
5
.
x
As funções que não são algébricas são ditas
transcendentes.
f ( x) = 3 x 2 +
Função Inversa
Definição: Se as funções f e g satisfazem as
duas condições:
g ( f ( x)) = x , para todo x do domínio de f
f ( g ( x)) = y , para todo y do domínio de g
Dizemos que f e g são funções inversas uma da
outra, ou então, que f é uma inversa de g e g é
uma inversa de f.
Pode-se mostrar que se uma função f admite
inversa, então essa inversa é única. Denotamos
então a inversa de f por f -1.
As seguintes relações entre domínio e imagem
de funções inversas são verdadeiras:
Dm( f −1 ) = Im( f ) e Im( f −1 ) = Dm( f )
Teorema: Se uma equação y = f ( x) pode ser
resolvida para x como uma função de y,
digamos x = g ( y ) , então f tem uma inversa, a
Figura 17
qual é g ( y ) = f −1 ( y ) .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
11
Exemplo: Determine a inversa de f ( x) = x 3 − 3 .
Resolução:
Como y = f ( x) , trocamos x por y e y por x:
x = y3 − 3
Isolando y:
y3 = x + 3 e
Exemplo:
A
função
f : [ 0, + ∞) → ℜ
,
definida por f ( x ) = x 2 tem como inversa a
função g : [ 0, + ∞) → ℜ dada por g( x ) = x .
Conforme apresenta a Figura 20.
y = 3 x+3
Portanto, f −1 ( x) = 3 x + 3 é
a função
inversa
de f ( x) = x − 3 .
3
O próximo teorema estabelece a condição
necessária e suficiente para a existência da função
inversa:
Teorema: Uma função f tem inversa se, e somente
se, f é injetora.
Observe que, uma função pode ser classificada em:
a) Injetora se cada elemento do contra-domínio é
imagem de, no máximo, um elemento do domínio;
b) Sobrejetora se todo elemento do contra-domínio
é imagem de pelo menos um elemento do domínio;
c) Bijetora ou isomorfismo se todo elemento do
contra-domínio é imagem de exatamente um
elemento do domínio.
Teorema: (Teste da reta horizontal) Uma função f
tem inversa se, e somente se, seu gráfico é cortado,
no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal.
Figura 20
Funções Exponenciais
Vejamos algumas propriedades da potenciação,
antes de definir função exponencial.
Propriedades: Sejam a, b ∈ m, n ∈ . As
seguintes expressões são válidas:
P1 : a m a n = a m + n
am
P2 : n = a m − n
a
P3: (a m ) n = a mn
P4: (ab) n = a n b n
n
Teorema: Se f tiver inversa, então os gráficos de
y = f ( x) e y = f −1 ( x) são reflexões um do outro
em relação à reta y = x .
an
⎛a⎞
P5 : ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0
b
⎝b⎠
1
P6 : a − n = n , a ≠ 0
a
Definição de Função Exponencial
Definição: Chamamos função exponencial de
base b, a função f : ℜ → ℜ*+ , definida por:
f ( x) = b x ,com b > 0 e b ≠ 1
Figura 19
Exemplo: Algumas funções exponenciais:
x
⎛1⎞
a ) f ( x ) = 2 x b) f ( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
c) f ( x ) = 3 x +1
Características: Com relação ao gráfico da
função f ( x) = b x , afirmamos que:
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
12
a) a curva que o representa está toda acima do eixo
das abscissas, pois y = b x para todo x ∈ ℜ ;
b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) ;
c) f ( x) = b x é crescente para b > 1 e decrescente
para 0 < b < 1 .
d) Dm( f ) = R e Im( f ) = R *+ .
A figura 21 ilustra três funções exponenciais
decrescentes, no primeiro gráfico e três funções
crescentes no segundo.
0 < b <1
b >1
n
an
⎛a⎞
P5: ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0
b
⎝b⎠
log k a
P6: log b a =
,para todo k ∈ *+ , k ≠ 1 .
log k b
P7: colog b a = − log b a , cologaritmo de a na
base b .
Exemplos: Utilizando a definição
propriedades de logaritmo, calcule:
e
as
1
=
25
log 25 0,008 =
log 27 81 =
log5
log 0,3 1 =
log 3 (4 2) =
2 2
⎛1⎞
log100 0,1 − log 1 5 − ln⎜ ⎟ =
⎝e⎠
Figura 21
Exercício: Esboce o gráfico das funções abaixo,
especifique se a função é crescente ou decrescente
e dê o domínio e a imagem:
x
⎛1⎞
b) f ( x ) = ⎜ ⎟ + 1
⎝ 2⎠
Exercícios: Esboce em um mesmo sistema de eixos
os gráficos das funções abaixo:
a )f ( x ) = 2 x
f ( x ) = 2 x + 1,
g( x ) = 2x
e
h ( x ) = 2 x − 1,
Função Logarítmica
Iniciamos por recordar a definição de logaritmo.
Definição: O logaritmo log b N = x ⇔ b x = N ,
⎧b é a base
⎪
onde: ⎨ N é o logaritmando
⎪ x é o logarítmo
⎩
Condição de Existência: N > 0, b > 0, b ≠ 1
É imediato que:
log N
log b 1 = 0; log b b = 1; b b = N
Propriedades: Sejam b > 0, b ≠ 1 e a, c ∈ R *+ , então:
P1: log b (ac) = log b a + log b c
5
Definição de Função Logarítmica
Definição: Chamamos função logarítmica de
base b, a função f : ℜ*+ → ℜ que associa a
cada número real x o número log b x , ou seja:
f : ℜ*+ → ℜ
f ( x) = log b x , com x > 0, b > 0, b ≠ 1 .
Características: Com relação ao gráfico da
função f ( x) = log b x , afirmamos que:
a) a curva que o representa está toda à direita
do eixo das ordenadas, pois a função não está
definida para x ≤ 0 ;
b) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0) ;
c) f ( x) = log b x é crescente para b > 1 e
decrescente para 0 < b < 1 .
d) Dm( f ) = R *+ e Im( f ) = R .
A figura 22 ilustra três funções logarítmicas
decrescentes, no primeiro gráfico e três
funções crescentes no segundo.
0 < b <1
b >1
P2: log b (a / c) = log b a − log b c
P3: log b (a ) n = n log b a
1
P4: log b m a = log b a, m ∈ m
Figura 22
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
13
Observe que a função logarítmica é a inversa da
função exponencial, pois: log b x = y ⇔ b y = x .
Compare os gráficos das funções f ( x) = 3x e
f ( x) = log 3 x num mesmo sistema cartesiano.
Figura 23
Exemplo: Traçar, num mesmo sistema de eixos, o
f ( x ) = log 2 x
e
gráfico das funções
g(x) = log 4 x .
Exemplo: Traçar, num mesmo sistema de eixos, o
gráfico
das
funções
f ( x ) = log 1 (x + 1),
g(x) = log 1 x
e
2
h ( x ) = log 1 (x − 1) .
2
2
Solução:
denominado de logaritmo natural. Todas as
propriedades válidas para o exponencial e
logaritmo em outras bases valem também para
a base e .
Exemplo: As companhias de investimento em
geral optam entre calcular os juros pelo sistema
de juros “compostos anualmente” ou
“compostos
continuamente”.
Para
um
investimento inicial de U$100,00, podemos
obter o montante por meio da expressão
R1 (t ) = 100.(1,055)t se os juros forem
compostos anualmente e por meio da expressão
R2 (t ) = 100.e0,055.t se os juros forem compostos
continuamente.
a) Complete a Tabela 2, compare e comente
qual dos sistemas é mais lucrativo (você vai
precisar de uma calculadora).
Tabela 2: Comparação entre Rendimentos
Ano R1 (t ) = 100.(1,055)t R2 (t ) = 100.e0,055.t
0
100,00
100,00
1
2
3
4
5
b) Quanto tempo de investimento seria
necessário para que o montante chegasse a
U$2000,00?
Exemplo: Uma população vem decrescendo de
modo que após t anos, a partir de um dado
momento em que fixamos t = 0 , o número de
indivíduos é P (t ) = 30.000.2−0,25t .
a) Qual será a população 12 anos após.
Figura 24
Função Exponencial Natural e Logaritmo
Natural
O número e = 2,718291... (Número de Euler ) é
um número irracional de grande utilidade em
cálculos de diferentes áreas do conhecimento. A
função exponencial de base e , f ( x) = e x é
denominada de função exponencial natural e sua
função inversa é f ( x) = ln( x) , onde ln( x) = log e x .
O ln( x) é o logaritmo de x na base e e é
b) Após quantos anos a população se reduzirá à
metade da inicial?
Exercícios
E01: Construa os seguintes gráficos das funções
definidas por várias sentenças:
se x < 0
⎧1
⎪
a )f ( x ) = ⎨x + 1 se 0 ≤ x < 2
⎪3
se x ≥ 2
⎩
se x < −1
⎧⎪− x
b )f ( x ) = ⎨
⎪⎩x 2 − 1 se x ≥ 1
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
14
⎧⎪x 2 − 2x
c)f ( x ) = ⎨
⎪⎩1 − x
⎧2 x + 1 se x ≥ 1
e) f ( x ) = ⎨
se x < 1
⎩3
se x ≥ 0
se x < 0
f) f ( x ) = x 2 − 2 x + 1
E02: A Função de Heaviside H é definida por:
⎧0 se t < 0
H (t ) = ⎨
⎩1 se t ≥ 0
h ) f ( x ) = 3x − x 2
Essa função é usada no estudo de circuitos
elétricos para representar o surgimento repentino
de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma
chave é instantaneamente ligada. Esboce o gráfico
da função de Heaviside.
E03: Construa os gráficos das seguintes funções:
a ) f ( x ) = 2. x
b) y = x + 1
c) y = x + 8
d) y = x − 3
e) f ( x ) = 2 x − 1
f) y = 3x − 4 + 1
E04: Sabendo que uma certa população de bactérias
dobra a cada 4 horas, e supondo que inicialmente
existam 150 bactérias, determine:
a) o gráfico desta população.
b) o tamanho da população após 20 horas.
c) o tamanho da população após t horas.
E05: Esboce o gráfico das funções abaixo e
especifique se a função é crescente ou decrescente,
dê o domínio e a imagem:
a )f ( x ) = 3x − 1
x
⎛1⎞
c) y = ⎜ ⎟ + 1
⎝ 2⎠
g )f ( x ) = 4 − x 2
b) f(x) = 3x −1
⎛1⎞
d) f(x) = ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
x +1
E06: Esboce o gráfico das funções abaixo,
especifique se a função é crescente ou decrescente
e dê o domínio e a imagem:
a )f ( x ) = log3 x
i )f ( x ) = x 2 − x + 3
⎧x 2 se x ≥ 0
j)f ( x ) = ⎨
⎩2 se x < 0
⎧x 2 se x ≥ 0
k )f ( x ) = ⎨
⎩x se x < 0
2
se x ≥ 0
⎪⎧x
l) f ( x ) = ⎨ 2
⎪⎩- x se x < 0
⎧1 se x < 0
⎪
m)f ( x ) = ⎨3 se x = 0
⎪4 se x > 0
⎩
⎧x 3
se
x≤0
⎪⎪
n )f ( x ) = ⎨1
se 0 < x < 2
⎪ 2
⎪⎩x
se
x≥2
⎧2x + 3 se x < 0
⎪⎪
o)f ( x ) = ⎨ x 2
se 0 < x < 2
⎪1
se
x≥2
⎪⎩
E08: Dadas as funções bijetoras, obtenha a sua
inversa.
a ) y = 4x − 3
c) y =
e) y = 3 3x + 2
b) f ( x ) = log 1 x
3
2x + 1
3x
3−
b) y = 2 x 3 + 2
d) y =
2x 3 + 1
3x 3 − 2
f )y = 3
4x − 2
3
x
2
c) f ( x ) = log3 ( x − 1)
g) y =
E07: Construa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = -6x + 5
b) f(x) = 6 – 12x
c) f(x) = -3x
⎧2x se x ≥ 0
d) f ( x ) = ⎨
⎩x se x < 0
1.2.18 Funções Periódicas
Definição: Dizemos que uma função f(x) é
periódica se existe um número real T ≠ 0 tal
que f (x + T) = f (x) para todo x ∈ Dm (f ).
5x
+1
4
O número T é chamado período da função f(x).
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
15
O gráfico de uma função periódica se repete a cada
intervalo de comprimento T.
Exemplos de gráficos de funções periódicas são
observadas nas Figuras ? e ?.
Figura 27
Função Cosseno
Definição: Chamamos de função cosseno, a
função f : ℜ → ℜ que, a cada número real x,
associa
o
cosseno
desse
número.
f ( x) = cos( x)
O gráfico da função f ( x) = cos( x) , denominase cossenóide e está representado na Figura 28
O domínio da função cosseno é o conjunto dos
reais e o conjunto imagem é o intervalo
[− 1, 1] .
A função cosseno é periódica e seu período é
2π rad , já que cos( x + 2π ) = cos( x) .
Figura 25
Em alguns intervalos a função cos( x ) é
crescente e em outros é decrescente. Por
exemplo, no intervalo [0, π] a função é
decrescente. Já no intervalo [π, 2π] ela é
crescente.
Figura 26
As funções trigonométricas são exemplos de
funções periódicas.
Funções Trigonométricas
Função Seno
Definição: Chamamos de função seno, a função
f : ℜ → ℜ que, a cada número real x, associa o
seno desse número. f ( x) = sen( x)
O gráfico da função f ( x) = sen( x) , denomina-se
senóide e encontra-se na Figura 27
O domínio da função seno é o conjunto dos reais e
o conjunto imagem é o intervalo [ −1, 1] .
A função seno é periódica e seu período é 2π rad ,
já que sen( x + 2π ) = sen( x) .
Em alguns intervalos a função é crescente e em
outros é decrescente. Por exemplo, nos
⎡ 3π ⎤
⎢ 2 ,2π⎥ a função é
⎦
⎦
⎣
⎡ π 3π ⎤
crescente. Já no intervalo ⎢ , ⎥ ela é
⎣2 2 ⎦
⎡
⎣
π⎤
intervalos ⎢0, ⎥
2
decrescente.
e
Figura 28
Exemplo: Construa o gráfico, da função
f ( x) = −2 sen( x) , indicando o domínio,
imagem e o período.
Resolução: Observe a Tabela 3 onde
atribuímos valores para x e encontramos f(x).
O gráfico desta função está apresentado na
Figura 29, onde comparamos o comportamento
da função f ( x) = −2 sen( x) com a função
f ( x) = sen( x) .
Dom: ℜ , Im: [ −2, 2] e P = 2π rad .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
16
Observe que a função f ( x) = −2 sen( x) modifica
sua amplitude em relação à função f ( x) = sen( x) .
Tabela 3
x
senx
2senx
0
0
0
π
1
−2
2
π
3π
2
2π
0
-1
0
2
0
0
Figura 30
Observe que a função f ( x) = 1 + cos( x)
desloca-se em 1 unidade no eixo y em relação
ao gráfico da função f ( x) = cos( x)
Construa
o
gráfico,
da
π
⎛
⎞
função f ( x) = sen ⎜ x − ⎟ , dando o domínio,
2
⎝
⎠
imagem e o período.
Exemplo:
Figura 29
Exemplo: Construa o gráfico, da função
f ( x) = 1 + cos( x) , dando o domínio, imagem e o
período.
Resolução: Observe a Tabela 4 onde atribuímos
valores para x e encontramos f(x).
O gráfico desta função está apresentado na Figura
30, onde comparamos o comportamento da função
f ( x) = 1 + cos( x) com a função f ( x) = cos( x) .
Dm: ℜ , Im: [ 0, 2 ] e P = 2π rad .
Tabela 4
x
0
π
2
π
3π
2
2π
cos x
1
0
1+cos x
2
1
−1
0
0
1
1
2
De forma geral, considerando as funções:
y = a + bsen(mx + n) e y = a + b cos(mx + n)
Temos: Dm= ℜ , C.D= ℜ Im= [ a − b, a + b ] ,
2π
b> 0 e P =
rad
m
Função Genérica da Corrente
i (t ) = A + Bsen(ω t + φ ) , onde o ângulo de
fase é θ =
φ
ω
Exemplo: Dadas as funções abaixo, em cada
caso pede-se: o gráfico; o domínio; a imagem;
o valor máximo e mínimo da corrente; em que
tempo teremos o valor máximo e em que
tempo teremos o valor mínimo; e os valores do
tempo que fazem com que a corrente seja nula.
1) i (t ) = 2,5sen(500π t ) com 0 ≤ t ≤ 4ms
π
π
2) i (t ) = 3sen(50t − ) com 0 ≤ t ≤ s
2
25
Outras Funções Trigonométricas
Função Tangente
A função tangente, designada por tg, é definida
sen( x)
por tg ( x) =
. O domínio é
cos( x)
Dm(tg ) = {x ∈ / cos( x) ≠ 0} ou seja,
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
17
Dm(tg ) = {x ∈ R / x ≠ K π +
imagem é Im(tg ) = {x ∈ }
π
2
,com K ∈ R} e a
Figura 37
Figura 31
Função Cotangente
A função cotangente, designada por cotg, é
cos( x)
definida por cotg ( x) =
. O domínio é
sen( x)
Dm(cotg ) = {x ∈ R / sen( x) ≠ 0} ou seja,
Dm(cotg ) = {x ∈ R / x ≠ K π ,com K ∈ R} e a
imagem é Im(cotg ) = {x ∈ R}
Figura 32
Função Secante
1
, com
cos( x)
Dm(sec) = {x ∈ R / cos( x) ≠ 0} .
É definida por sec( x) =
Figura 33
Função Cossecante
1
, com
sen( x)
Dm(cos ec) = {x ∈ R / sen( x) ≠ 0} .
É definida por cosec( x) =
Funções Trigonométricas Inversas
Função Arco Seno
A função seno não é invertível, visto que não é
injetora; então consideremos uma restrição em
a um intervalo convenientemente escolhido, de
forma a obtermos uma função injetora. Seja f a
restrição da função seno no intervalo
⎡ π π⎤
I = ⎢ − , ⎥ . A função inversa de f é
⎣ 2 2⎦
denominada de função arco seno e
representada por: f −1 ( x) = arcsen( x) . Assim,
⎡ π π⎤
Dm(arcsen) = [−1,1] e Im(arcsen) = ⎢ − , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
Por um processo análogo, definimos a função
arco cosseno. Porém, é necessário observar
que no intervalo escolhido na restrição f
adotada para o seno, a função cosseno não é
injetora.
Dessa forma, seja g a restrição da função
cosseno no intervalo I = [ 0, π ] . A função
inversa de g é denominada de função arco
e
representada
por:
cosseno
f −1 ( x) = arc cos( x) .
Figura
38:
Funções
respectivamente.
arcsen
e
arccos,
Com procedimento análogo ao usado para as
função y = arcsen( x) e y = arccos( x) ,
obtemos as demais funções trigonométricas
inversas.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
18
Exercícios
E01: Construa os seguintes gráficos em um mesmo
sistema de eixos
a )f ( x ) = sen x
b) f ( x ) = − sen x
c)f ( x ) = 2 sen x
d)f ( x ) =
1
sen x
2
E02: Construa os seguintes gráficos em um mesmo
sistema de eixos
a )f ( x ) = sen x
b) f ( x ) = 2 + sen x
c)f ( x ) = −3 + sen x
Nos exercícios E03 ao E08 pede-se:
a) o gráfico;
b) o domínio e a imagem;
c) o valor máximo e mínimo da corrente (ou da
tensão no caso do ex. 16);
d) em que tempo teremos o valor máximo e em que
tempo teremos o valor mínimo;
e) os valores do tempo que fazem com que a
corrente ( ou a tensão ) seja nula;
f) O período ( T);
g) A freqüência ( f );
h) O ângulo de fase quando tiver.
E03: Considere a função i = 5sen(10t )
0≤t ≤
π
5
s
E04: Considere a função i = 3,5sen(10t − π )
0≤t ≤
π
5
π
5
π
com
100
π
200
com
com
s
E08: Considere a função v = 50sen(200t + π ) com
0≤t ≤
π
100
Figura 1
Figura 39
s
E07: Considere a função i = 5sen(400t )
0≤t ≤
E11: (SWOKOWSKI, 1994) De um ponto exterior
P que está a h unidades de um círculo de raio r,
traça-se uma tangente ao círculo (veja a Fig
39). Seja y a distância do ponto P ao ponto de
tangência T. Expresse y como função de h e r.
(lembre-se que se C é o centro do círculo, PT é
perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é
a altura de um foguete, então podemos deduzir
uma fórmula para a distância máxima (à terra)
que um astronauta pode ver da nave. Em
particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 000 m,
dê uma aproximação para y.
s
E06: Considere a função i = 25sen(200t )
0≤t ≤
com
E10: (THOMSON, 2002) Na superfície do oceano,
a pressão da água é igual a do ar acima da água,
15 lb/pol2. Abaixo da superfície, a pressão da
água cresce em 4,34 lb/pol2 para cada 10 pés
de descida. Expresse a pressão da água como
uma função da profundidade abaixo da
superfície do oceano.
s
E05: Considere a função i = 4sen(10t + π )
0≤t ≤
com
E09: (THOMSON, 2002) Á medida que o ar seco
move-se para cima, ele se expande e esfria. Se
a temperatura do solo for de 20ºC e a
temperatura a uma altura de 1 km for de 10ºC,
expresse a temperatura T (em ºC) como uma
função da altura h ( em km), supondo que um
modelo linear seja apropriado. Em seguida
construa o gráfico desta função encontrada e
encontre a temperatura à 2,5km de altura.
s
E12: (SWOKOWSKI, 1994) As posições relativas
de uma pista de aeroporto e de uma torre de
controle de 6,1 m de altura são ilustradas na
Figura 40. A cabeceira da pista está a uma
distância perpendicular de 100 metros da base
da torre. Se x é a distância percorrida na pista
por um avião, expresse a distância d entre o
avião e a torre de controle como função de x.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
19
quando T = 45ºC. Determine uma equação para
R em função de T.
E16: A resistência elétrica R em Ω para um fio
de metal puro está relacionado com sua
temperatura T em ºC pela fórmula
R = R 0 (1 + κ T ) , na qual R0 e k são constantes
positivas. Faça um esboço do gráfico de R em
função de T e explique o significado
geométrico de R0 e k para seu gráfico.
Figura 40
E13: (ANTON, 2000) Com os dados da tabela,
verifique se um modelo linear é apropriado, se for,
encontre este modelo relacionando x e f(x) e
verifique se os pontos dados estão sobre o gráfico
desta função.
X
0
1
2
4
6
F(x)
2
3,2
4,4
6,8
9,2
E14: (ANTON, 2000) Com os dados da tabela,
verifique se um modelo linear é apropriado, se
for, encontre este modelo relacionando x e f(x)
e verifique se os pontos dados estão sobre o
gráfico desta função.
X
F(x)
-1
12,6
0
10,5
2
6,3
5
0
8
- 6,3
E15: (ANTON, 2000) Existem dois sistemas comum
para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A
água congela à 0 ºC e a 32 ºF, ferve à 100 ºC e 212
ºF.
a) supondo que a situação entre as temperaturas
Celsius Tc e Fahrenheit TF é uma função linear,
encontre-a .
b) qual é a inclinação da reta, sabendo que TF está
plotado sobre o eixo do horizonte?
c) qual é a temperatura na qual a leitura em ºC e ºF
é a mesma?
d) a temperatura normal do corpo é de 98,6 ºF,
qual é em ºC?
E14: (ANTON, 2000) Um termômetro de resistência
determina a temperatura ao medir a resistência em
seu filamento, que varia com a temperatura.
Suponha que a resistência R em ohms Ω varie
linearmente com a temperatura T em ºC e que R =
123,4 Ω quando T = 10ºC e que R = 133,9 Ω
Respostas
E09:
T= -10h+20 a temperatura à 2,5 km é de –5ºC.
E10:
P = 0,434 d+15( d: profundidade e P: pressão)
E : y = h 2 + 2hr y ≅1 280,6 mi
11
E12: d = 90400 + x 2
E13: Sim, é apropriado.
y = 1,2 x + 2
O modelo é
E14: É apropriado. Os pontos estão sobre o
gráfico e o modelo encontrado é
f ( x) = −2,1x + 10,5
E15:
a )Tc =
5
(Tf − 32)
9
b)
5
9
c) - 40º
d) 37º
E16: R =0,42T +115
E17:
R
R
t
R 0 é o valor de R quando t = 0, isto é, R 0 é
o coeficiente linear da função. K é a constante
que interfere no coeficiente angular.
Exercícios Recomendados: ANTON, H.,
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1
Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007.
Páginas, de 11 à 16
Páginas, de 36 à 39
Páginas, de 48 à 51
Páginas, de 62 à 65
Páginas, de 74 à 76
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
20
3. LIMITES
O conceito de limite de uma função f é uma das
idéias fundamentais que distinguem o Cálculo da
Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um
físico deseje obter quanto vale determinada medida,
quando a pressão do ar é zero. Na verdade é
impossível obter o vácuo perfeito. Então um
procedimento a ser adotado é experimentalmente
efetuar-se essas medidas com valores cada vez
menores de pressão, se os valores desta medida
tendem para um determinado número L, admite-se
que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se
representarmos por x a pressão e a medida que
quisermos for dada por f(x), então podemos
representar esse resultado por: lim f ( x) = L .
x →0
Esta é uma situação em que se aplica o conceito
matemático de limites. Tal conceito é de
fundamental importância para o desenvolvimento
teórico de derivadas e integrais que possuem várias
aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc.
Noção de Limite
Inicialmente daremos uma definição informal
de limites.
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser
tomados tão próximos quanto queiramos de L,
desde que tomemos os valores de x
suficientemente próximos de a mas não iguais a a),
então escrevemos lim f ( x) = L , que deve ser lido
x→a
como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”.
x2 − 9)
(
Exemplo: Tomemos a função f ( x) =
.
( x − 3)
Suponha que estejamos interessados em saber de
que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima
de 3. Façamos uma tabela e atribuamos a x valores
menores que 3.
x
f(x)
2,5
5,5
2,8
5,8
2,9
5,9
2,99
5,99
2,999
5,999
2,9999
5,9999
...
...
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o
valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos
aproximamos de x por valores menores do que 3.
Tomemos agora valores próximos de três, mas
maiores que 3.
x
3,4
3,2
3,1
3,01
3,001
3,0001
...
f(x)
6,4
6,2
6,1
6,01
6,001
6,0001
...
Note que, quanto mais x se aproxima de 3 por
valores maiores do que 3, mais f(x) se
aproxima de 6.
Assim, parece que o limite da função quando x
tende a 3 é 6. Matematicamente, representamos
esta situação por lim f ( x) = 6 .
x →3
Limites como os referidos acima são chamados
limites laterais.
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser
tomados tão próximos de L quanto queiramos
desde que tomemos os valores de x
suficientemente próximos de a (mas maiores
do que a), então escrevemos lim + f ( x) = L e
x→a
se os valores de f(x) puderem ser tomados tão
próximos de L quanto queiramos desde que
tomemos os valores de x suficientemente
próximos de a (mas menores do que a), então
escrevemos lim − f ( x) = L .
x→a
Relação entre Limites Laterais e Bilaterais
O limite bilateral de uma função f(x) existe em
um ponto a se, e somente se, existirem os
limites laterais naquele ponto e tiverem o
mesmo valor, isto é:
lim f ( x) = L
se,
e
somente
se,
x→a
lim f ( x) = L = lim+ f ( x) .
x →a−
x →a
Definição Formal de Limites
Seja f(x) definida num intervalo aberto I,
contendo a, exceto possivelmente no próprio a.
Dizemos que o limite de f(x) quando x
aproxima-se de a é L, e escrevemos:
lim f ( x) = L
x→a
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
21
se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
f ( x) − L < ε sempre que 0 < x − a < δ
Dando a definição acima de uma forma que não
contenha o símbolo de valor absoluto:
i) 0 < x − a < δ equivale a a − δ < x < a + δ e
x≠ a.
ii) f ( x) − L < ε equivale a L − ε < f ( x) < L + ε
A última desigualdade nos sugere a escolha do
ε
δ. Fazendo δ = , vem que:
3
(3x − 1) − 2 < ε sempre que 0 < x − 1 < δ
Portanto, lim(3 x − 1) = 2 .
x →1
Exemplo: Usando a definição de limite, prove
que: lim x 2 = 16
x→4
Reformulando a definição de limites, teremos:
lim f ( x) = L
x→ a
significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal
que se x está no intervalo aberto (a − δ , a + δ )
x ≠ a , então f(x) está no intervalo aberto
( L − ε , L + ε ) . A Figura 41 ilustra a definição.
Devemos mostrar que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal
que: x 2 − 16 < ε sempre que 0 < x − 4 < δ
Da desigualdade envolvendo ε, temos.
x 2 − 16 < ε
⇔
x−4. x+4 <ε ⇔
Necessitamos agora substituir x + 4 por um
valor constante.Neste caso, vamos supor:
0 < δ ≤ 1, e então, de 0 < x − 4 < δ , seguem
as seguintes desigualdades equivalentes:
x − 4 <1
⇔
Figura 1
⇔
3< x <5
7<x+4<9
⇔
⇔
Portanto, x + 4 < 9.
Figura 41
Exemplo: Usando a definição de limite, prove que:
lim(3x − 1) = 2
x →1
Para esta prova devemos mostrar que,
∀ε > 0, ∃δ > 0 , tal que: (3x − 1) − 2 < ε sempre
que 0 < x − 1 < δ .
O exame da desigualdade envolvendo
proporciona uma chave para escolha de δ.
−1 < x − 4 < 1
⎛ε ⎞
δ = min⎜ ,1⎟, temos
⎝9 ⎠
x − 4 < δ então
Escolhendo
que
se
ε
x 2 − 16 = x − 4 . x + 4 < δ .9 ≤ .9 = ε
9
2
logo lim x = 16
x→4
ε
Observação:
Se
lim f ( x) = L1
x→ a
e
lim f ( x) = L2 então L1 = L2 (Unicidade do
x→ a
As seguintes desigualdades são equivalentes:
(3 x − 1) − 2 < ε
(3 x − 3 < ε
3( x − 1) < ε
3. x − 1 < ε
x −1 <
ε
3
Limite)
Exercícios: Nos exercícios E01 à E03, prove os
limites.
E01: lim (− 3x + 7 ) = 10
ε
=
x → −1
0,5
2
E02: lim x − 1 = 2
x→1 x − 1
ε=0,75
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22
1
1
=−
3
x →5 2 - x
Exemplo: Calcule
ε = 0,25
E03: lim
lim ( x 2 − 5 x + 1) = 2 2 − 5.2 + 1 = −5
x→2
Propriedades dos limites
A seguir introduziremos propriedades que podem
ser usadas para encontrar muitos limites, sem
utilizar a pesquisa do número δ conforme definição.
P1. Sejam a e c números reais quaisquer, então
lim c = c isto é, o limite de uma constante é a
x→a
própria constante.
P2. Se a, b, m são números reais, então
lim(mx + b) = ma + b
x→a
Exemplo: lim(3 x − 5) = 3.4 − 5 = 7
Exemplo: Calcule lim f ( x) , onde
x →2
⎧3 x
f ( x) = ⎨ 2
⎩x
se
x≤2
se
x>2
Além deste, temos ainda outros teoremas que
nos fornecem resultados úteis para o cálculo de
limites.
Teorema: Se f é uma função racional, e a
pertence ao domínio, então lim q ( x) = q (a )
x→ a
x→4
5x2 − 2 x + 1
x →3
6x − 7
P3. Se lim f ( x) = L e lim g ( x) = M então:
Exemplo: Calcule lim
a) lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M
Resolução:
5 x 2 − 2 x + 1 5.32 − 2.3 + 1
lim
=
x →3
6x − 7
6.3 − 7
40
= = 3 117
11
x→a
x→a
x→a
b) lim [ f ( x).g ( x)] = L.M
x→a
f ( x) L
=
desde que M ≠ 0
g ( x) M
c) lim
x→a
d) lim [ f ( x)] = Ln ( p/ ∀ inteiro positivo n)
n
x→a
e) lim
n
x→a
Exemplo: Calcular lim 3 3 x 2 − 4 x + 9
f ( x) = n L , desde que L > 0 p/ n par
x →5
Resolução:
f) lim ln [ f ( x) ] = ln.L , desde que L > 0
lim 3 3 x 2 − 4 x + 9 = 3 lim3 x 2 − 4 x + 9
x→a
g) lim cos [ f(x) ] = cos( L)
x →5
x→a
= 3 75-20+9
h) lim sen [ f(x) ] = sen( L)
= 3 64 = 4
x→a
i) lim e
f ( x)
x→a
=e
L
Limites Indeterminados
Em alguns casos não é possível calcular o valor
do limite por simples substituição. Ao adotar
tal procedimento nos deparamos com
0
∞
resultados do tipo
ou
.
∞
0
Exemplo: Determine o seguinte limite:
lim ( x 2 − 3 x + 1) =
x→2
P3
⎯⎯
→ lim x 2 − lim 3x + lim 1
x →2
x →2
x→2
⎯⎯→ 2 − 3.2 + 1 = −1
lim ( x 2 − 3 x + 1) = −1
P2
2
x→2
Vemos neste exemplo
lim f ( x) = f (a )
que
o
valor
x→a
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios.
Enunciando então, formalmente, temos:
Teorema: Se f é uma função polinomial, então
lim f ( x) = f (a )
x→a
x →5
de
Exemplo: Calcular o limite abaixo:
x2 − x − 2
lim
x → 2 ( x 2 − 4)
Resolução:
Seja f(x) = x2 - x - 2 e g(x) = x2 - 4. Então
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e
g(2) = 22 - 4 = 0
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23
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma
0
indeterminação do tipo , logo tal procedimento
0
não pode ser utilizado.
0
∞
ou
há
No caso de indeterminações do tipo
∞
0
vários métodos que podem ser aplicados de acordo
com as funções envolvidas. Deixaremos estes
casos quando estudarmos derivadas. Utilizando-se
de derivadas apresentaremos um método prático
para resolver tais casos.
Limites Laterais
Vimos que para determinar o limite de uma função
quando x tende para a, devemos verificar o
comportamento da função para valores de x muito
próximos de a, maiores ou menores que a.
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x
se aproxima de a por valores menores do que a é
denominado limite à esquerda de f. Analogamente,
o valor do qual f se aproxima quando x tende para
a através de valores maiores que a é o limite à
direita de f.
Resolução:
Observando o gráfico, podemos concluir que:
lim + f ( x) = 5
x →1
lim − f ( x) = 3
x →1
Logo não existe o limite desta função quando x
tende a 1.
Exemplo: Seja a função
⎧ x 2 + 1, para x < 2
⎪
f ( x) = ⎨2,
para x = 2
⎪ 2
⎩9-x , para x > 2
Calcule: lim + f ( x), lim − f ( x) e lim f ( x)
x →2
f (x ) = 9 − x
2
x →2
x→2
Resolução:
Quando x → 2 +
significa
x > 2 logo
2
assim lim 9 - x = 9 - 22 = 5
x →2+
Quando x → 2 −
significa
x < 2 logo
2
f (x ) = x + 1
lim
x →2+
assim
x 2 +1 = 22 +1 = 5
Estes limites são chamados limites laterais.
Limite à esquerda: lim − f ( x) teremos x < a ,
Como os limites laterais
concluímos que lim f ( x ) = 5
logo x = a − h , onde h > 0 é muito pequeno.
Quando a função não está definida por várias
sentenças , ou não temos o gráfico da função,
teremos que usar um artifício que chamaremos
de incremento h para encontrar os limites
laterais.
x→a
Limite à direita: lim + f ( x) teremos x > a , logo
x→a
x = a + h , onde h > 0 é muito pequeno.
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta
função definida por várias sentenças fica simples
calcular os limites laterais. Seja a função definida
pelo gráfico da Figura 42, calcule: a) lim − f ( x) e
x →1
b) lim + f ( x)
x →1
y
são
iguais,
x →2
Exemplo: Calcule por mudança de variáveis os
limites laterais à esquerda e à direita
respectivamente, das funções abaixo, nos
pontos indicados:
a ) y = 2x + 1
em
x =1
b) y = x 2
em
x=2
c) y = 1 − 2 x + x 2
em
x = −1
5
3
1
x
Exercícios
E01: Usando as propriedades e os teoremas
sobre limites, calcule os limites abaixo:
a) lim 3x3 − 2 x + 7
b) lim ( x 2 + 3) ( x − 4 )
x →−2
x→ 2
4x − 6x + 3
16 x3 + 8 x − 7
2
c) lim1
Figura 42
x→ 2
d) lim 15
x→ 2
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24
E06: Considerando as funções definidas nos
item a b e c, encontre os limites abaixo, se
existirem:
lim− f ( x) , lim+ f ( x) e lim f ( x)
2 x2 + 5x − 3
x→ 2 6 x2 − 7 x − 2
6s − 1
f) lim
s→4 2s − 9
(4t 2 + 5t − 3)3
g) lim
t →−1
(6t + 5) 4
e) lim1
x →1
x →1
x →1
⎧9
⎪ , se x < -3
j) lim f ( x) sendo f ( x) = ⎨ x 2
x →−3
⎪⎩ 4+x, se x ≥ −3
se
⎧⎪4 − x
a )f ( x ) = ⎨
⎪⎩x 2 − 1
se
se
⎧3x − 1
b)f ( x ) = ⎨
se
⎩3 - x
⎧− x 2
se
⎪⎪
c) f ( x ) = ⎨2
se
⎪x - 2
se
⎪⎩
⎧ x3 ,
se x ≤ 2
k) lim f ( x), sendo f ( x) = ⎨
x →2
⎩ 4 - 2 x, se x > 2
E02: Calcule os seguintes limites:
a ) lim (2x − 3)
b) lim (5x − 4)
E07: Para a função representada graficamente,
determine, se existir, cada item abaixo. Caso
não exista, justifique.
a) lim f ( x)
b) lim+ f ( x)
2 + 5 x − 3x2
h) lim 3
x →3
x2 − 1
i) lim 3 x + 4 + 3x + 2
2
3
x→2
x →2
x →0
d ) lim 3 x
x→ 8
x+2
c) lim
x →7
x →0
x ≥1
x <1
x ≤1
x >1
x <1
x =1
x >1
x →3
c) lim− f ( x)
d) lim f ( x)
x →3
x →3
e) f(3)
E03: Calcule os limites abaixo
a ) lim
3x + 2
x →5
c) lim
b) lim
5 - 2x
x → 2 (2 + x )3
x -1
2x 2 + x − 6
d) lim x - 9 - x 2
x →1 4x 2 − 4x − 3
x →3
E04: Considere a função definida por:
⎧3 − x, se x < 1
⎪
f ( x ) = ⎨ 4,
se x = 1
⎪ 2
⎩ x + 1, se x > 1
Figura 3 E08: Para a função representada,
determine, se existir, cada item abaixo. Caso
não exista, justifique.
Ache lim- f ( x), lim+ f ( x) e lim f ( x),
x →1
x →1
x →1
E05: Um gás é mantido a temperatura constante. À
medida que o gás é comprimido, o volume V
decresce até que atinja uma certa pressão crítica.
Além dessa pressão, o gás assume forma líquida.
Use o gráfico da figura para achar:
a) lim − V b) lim + V c) lim V
P →100
P →100
P →100
V
GÁS
0.8
0.3
LÍQUIDO
P
100
Figura 2
a) lim− f ( x)
b) lim+ f ( x)
c) lim f ( x)
d) lim f ( x)
e) f(3)
g) lim− f ( x)
f) f(-2)
h) lim+ f ( x)
x →3
x →3
x →−2
x →3
x →1
x →−2
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
25
E09: Para a função representada graficamente,
determine, se existir, cada item abaixo. Caso não
exista, justifique.
a ) lim f ( x )
b) lim f ( x )
x → −3 −
x → −3 +
c) lim f ( x )
d) lim f ( x )
x → −3
e) lim f ( x )
x →2+
x →2−
f) lim f ( x )
x →2
g)f(2)
h)f(1)
i) f(-3)
j) lim f ( x )
a ) lim f ( x )
b) lim f ( x )
c) lim f ( x )
d) lim f ( x )
x →0
e) lim f ( x )
x →4+
lim
x → −9 −
f (x )
b)
c) lim f ( x )
d)
x → −9
e)
lim
x → −4 +
f (x )
lim
f (x)
lim
f (x )
x → −9 +
x → −4 −
f)
lim
f (x)
x → −4
g)f(-9)
h)f(0)
i) f(6)
j) lim f ( x )
x →3
x →1
E10: Para a função representada, determine, se
existir, cada item abaixo. Caso não exista,
justifique.
x →0−
a)
x →0+
x →4−
f) lim f ( x )
x →4
g)f(4)
h)f(0)
i) f(-5)
j) lim f ( x )
Figura 4
E12: Calcule os seguintes limites laterais:
x+2
x
a ) lim
b) lim
2
x →2− x − 4
x →2+ x − 2
x
x →4− x − 4
x+6
e) lim
2
x →6 + x − 36
c) lim
d) lim
x+2
2
x →2+ x − 4
f ) lim
x
2
x →3 + x − 9
E13: Calcule o lim f ( x ) sendo:
x →2
⎧x − 4
⎪
f (x ) = ⎨ x − 2
⎪5
⎩
2
se x ≠ 2
se x = 2
x → −5
Respostas
E01:
a)-13 b) 5 2 − 4
e) 0
f) –23
(
)
c) –1
g) –64
d) 15
h)
3− 5
4
i) 6
E11: Para a função representada graficamente,
determine, se existir, cada item abaixo. Caso não
exista, justifique.
j) 1
k ) não existe
b) −4
c)3
d)2
E02: a) 1
E03: a) 17/2
b) 1/64 c) 1 d)3
E04: lim− f ( x) = 2 , lim+ f ( x) = 2 ,
x →1
lim f ( x) = 2
x →1
x →1
logo,
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
26
E05: a) lim V = 0,8 ,
p →100−
b) lim + V = 0,3 e c) não
x →100
existe lim V
x
0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
f(x ) 5
10 100 1000 10000 100000 1000000
x →100
E06: a) lim− f ( x) = 0 , lim+ f ( x) = 3 e não existe
x →1
x →1
lim f ( x)
x →1
b) lim− f ( x) = 2 , lim+ f ( x) = 2 , logo, lim f ( x) = 2
x →1
c)
Atribuindo valores para x, próximos de zero
pela direita teremos os valores abaixo:
x →1
x →1
lim f ( x) = −1
,
x →1−
lim f ( x) = −1
x →1+
,
logo,
lim f ( x) = −1
1
cresce sem limite, isto é tende à
x
1
mais infinito. Logo: lim+ = ∞
x →0 x
Assim: lim+
x →0
Agora, atribuindo valores para x próximos de
zero pela esquerda, teremos:
x →1
E07: a) 3
3
b) 2
c)4
d) não existe
E08: a) 2
3
e) 1
1
b) -2
c) não existe
d)
x
-0.3 -0.2 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001
f(x ) -3
-5
-10
-100
-1000
-10000
-100000
1
decresce sem limite, isto é tende
x
1
à menos infinito. Logo: lim = −∞ .
x →0− x
A Figura 43 nos mostra o gráfico da função
1
f ( x) =
x
Assim: lim
x →0−
f) -3
g) -1
E09: a) 1
b) 1
e) 2
f) não existe
h) 1
i) não existe
c) 1
g) 1
j) -1
g) d) 1
E10: a) + ∞
d) - ∞ e) - ∞
g) não existe
i) não existe
b) - ∞ c) não existe
f) não existe
h) não existe
j) não existe
E11: a) + ∞
d) - ∞ e) - ∞
g) não existe
i) 0
b) - ∞ c) não existe
f) não existe
h) 1,5
j) não existe
b) ∞
d) ∞
e) ∞
E13: lim f ( x) = 4
E12:
e)
a) − ∞
O símbolo ∞ ( infinito) não representa um
número real. É apenas uma notação para
representar o comportamento de certas funções.
c) -∞
f) ∞
Figura 5
x→2
Limites Infinitos
Ao analisarmos lim− f (x) ou
x→ a
lim f (x) pode
x→ a+
ocorrer que, ao tender x para a, o valor f(x) da
função ou aumente sem limite , ou decresça sem
limite.
Exemplo: Como ilustração, considere a seguinte
1
função : f ( x) =
x
Primeiramente devemos verificar que Dm : R * .
Figura 43
Exemplo: Analise o comportamento da função
2
f ( x) =
quando x tende a 1.
1− x
Resolução: Verifique que não podemos
substituir 1 na função para calcular o limite.
Sendo assim, vamos utilizar os limites laterais.
Para x → 1− , fazemos x = 1 − h , com h → 0
Lembrando-se que h é sempre positivo. Assim,
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
27
2
2
1
= lim = 2.lim
h→0 1 − 1 + h
h→0 h
h→0 h
lim
Pelo exemplo anterior , sabemos que
1
1
lim = +∞ . Logo, 2.lim = +∞
h→0 h
h→0 h
Agora, para x → 1+ , fazemos x = 1 + h , com
h→0.
2
2
1
= lim
= −2.lim
lim
h→0 1 − 1 − h
h →0 − h
h→0 h
Como lim
h→0
1
1
= +∞ . Logo, −2.lim = −∞
h
→
0
h
h
Assim:
lim− f ( x) = +∞ e lim+ f ( x) = −∞
x →1
x →1
Logo não existe lim f ( x) .
x →1
Teorema: Se n é um número positivo qualquer,
então:
1
i) lim+ n = +∞
x →0 x
1 ⎧+∞, se n é par
ii) lim− n = ⎨
x →0 x
⎩−∞, se n é ímpar
Por enquanto nos basta a afirmação i), e podemos
escrever que:
1
lim + = +∞
x →0 x
Exemplo: Calcule lim+
x →3
x
x−3
Resolução:
Fazendo x = 3 + h , com h → 0 , temos:
x
3+ h
lim +
= lim
h →0 3 + h − 3
x →3 x − 3
3+ h
= lim
h →0
h
3
h
= lim + lim
h →0 h
h →0 h
3
= lim + lim1
h →0 h
h →0
3
Como lim = +∞ e lim 1 = 1
h→0 h
h→0
temos:
x
3
= lim + lim 1
h →0 h
h →0
x →3 x − 3
= +∞ + 1
x
= +∞
lim +
x →3
x −3
lim +
Exemplo: Calcule lim +
x→2
x
x -4
2
Resolução:
Fazendo x = 2 + h , com h → 0 , temos:
x
2+h
lim + 2
= lim
0
h
→
x →2 x − 4
(2 + h) 2 − 4
2+h
2+h
2+h
= lim
= lim
= lim
h →0 4 + 4h + h 2 − 4
h →0 4h + h 2
h → 0 h.(4 + h)
Assim,
x
1 2+h
lim + 2
= lim .
h →0 h 4 + h
x →2 x − 4
1
2+h
= lim .lim
h→0 h h→0 4 + h
x
1
= +∞. = +∞
lim + 2
x→2 x − 4
2
Limites no Infinito
Noção Intuitiva
1
x
e analisemos, a tabela abaixo, o seu
comportamento quando os valores de x
crescem ilimitadamente através de valores
positivos
Consideremos , novamente a função f ( x) =
x
1 10 100 1000 10000 100000
f(x) 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
1000000
0.000001
Notamos que quando x cresce ilimitadamente
por valores positivos os valores da função se
aproximam cada vez mais de 0 ( zero)
Simbolicamente, representamos tal fato por:
1
=0
lim
x →+∞ x
o que se lê: limite de f(x) , quando x tende a
mais infinito é igual a zero.
Mais uma vez lembramos que ∞ não é um
número real e, assim, nenhuma variável x
jamais pode ser substituída por ∞ . A
terminologia “x se aproxima de ∞ ”, ou “x
tende a ∞ ”, não significa que x fique cada vez
mais próximo de algum número real.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
28
Intuitivamente, imaginamos x crescendo sem limite.
O símbolo ∞ indica o comportamento da variável
independente de x.
Consideremos agora, para a mesma função, x
decrescendo ilimitadamente através de valores
negativos.
x
y
-1
-1
-10
-0,1
-100
-0,01
-1000
-0,001
-10000
-0,0001
-100000
-0,00001
-1000000
-0,000001
P2: Limite de uma função Racional
P ( x)
Dada a função racional f ( x) =
onde P e
Q( x)
Q são polinômios temos:
a xn
P ( x)
= lim 0
x →+∞ Q ( x) x →+∞ b0 x p
lim
Exemplo: Calcule os limites indicados:
Observando a tabela anterior, verificamos que
quando x decresce ilimitadamente através de
valores negativos, a função se aproxima cada vez
mais de zero.
a) lim
Resolução:
10 x3 + x 2 − 8 x + 115
1
=0
x →−∞ x
lim
7 − 10 x + 9 x 2
10 x3 + x 2 − 8 x + 115
o que se lê: limite de f(x) , quando x tende a
menos infinito é igual a zero .
x →∞
Concluímos:
1
1
= 0 e lim
=0
lim
x →+∞ x
x →−∞ x
b) lim
P ( x) = a0 x n + a1x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an
e
Q ( x) = b0 x n + b1x n −1 + b2 x n − 2 + ... + bn
P1: Limite de um Polinômio
x →+∞
a0 x n
Exemplo:
lim
P ( x) =
lim
− 4 x3 + 6 x 2 − 7 x + 13
lim
P ( x) =
lim
(−4 x3 )
lim
P ( x) = +∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
10
. lim x
9 x →∞
=
10
.∞ = ∞
9
15 x3 − 8 x 2 + 68 x
Resolução:
lim
15 x3 − 8 x 2 + 68 x
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 119 x
15 x3 − 8 x 2 + 68 x
lim
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 119 x
15 x3 − 8 x 2 + 68 x
= lim
1
x →−∞ x
= − 15. lim
= −15.0
lim
=0
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 119 x
15 x3
x →−∞ − x 4
lim
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 119 x
15 x3 − 8 x 2 + 68 x
Propriedades de Limites no Infinito
Considere os seguintes polinômios:
lim
7 − 10 x + 9 x 2
=
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 119 x
Teorema: Se n é um número inteiro positivo
qualquer, então:
1
i) lim
=0
x →+∞ x n
1
=0
ii) lim
x →−∞ x n
P ( x) =
10 x3
x →∞ 9 x 2
10 x3 + x 2 − 8 x + 115
x →∞
lim
= lim
7 − 10 x + 9 x 2
x →∞
lim
x →+∞
7 − 10 x + 9 x 2
x →∞
lim
Simbolicamente, representamos tal fato por:
lim
10 x3 + x 2 − 8 x + 115
Exercícios
E01: Considere a função abaixo:
⎧2 − x, se x < -1
⎪⎪
se -1 ≤ x < 1 determine:
f ( x ) = ⎨ x,
⎪
2
⎪⎩( x -1) , se x > 1
a) lim f ( x)
b ) lim f ( x)
x → -1
c) f(-1)
x→ 1
d) f(1)
E02: Determine os seguintes limites:
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
29
2x − 5
x →+∞ x + 8
a) lim
c)
e)
b)
x2 − 2 x + 3
lim
x →+∞ 2 x 2 + 5 x − 3
3 x5 − x 2 + 7
lim
x →−∞
lim
2 x3 − 3 x + 5
d)
lim
E06: a) 5
4 x5 − 2
x →−∞
x +1
x →−∞ x 2 + 8
2 − x2
E03: Determine o limite das funções abaixo,
quando x tende à 3.
⎧ x + 2, se x ≤ 3
a) f ( x) = ⎨
se x > 3
⎩2x,
⎧ x + 2, se x ≠ 3
b) f ( x) = ⎨
se x = 3
⎩7,
⎧2 x + 1, se x ≠ 3
c) f ( x) = ⎨
se x = 3
⎩8,
Calcule
⎧⎪ x 2 se
f ( x) = ⎨
⎪⎩2 x se
o
lim f ( x)
,
x →1
sendo
x <1
x >1
E06: Calcule os seguintes limites:
⎛
1 3 ⎞
⎛ 2x + 1 ⎞
a) lim ⎜ 5 + +
b) lim ⎜
⎟
⎟
2
x x ⎠
x→ + ∞ ⎝ x + 3 ⎠
x→ - ∞ ⎝
c) lim
x→ ∞
x2 + 1
2
d) lim 3 5 +
x
x→ ∞
3x + 2
Respostas
E01: a) não existe b) não existe c) -1 d) 0
E02: a )2
b)0
E03: a) não existe
c)
1
2
Limites Notáveis
Número “e”
No estudo dos logaritmos já nos referimos ao
número e. Esse número é a base do sistema de
logaritmos naturais ou neperianos. O número e
pode ser obtido por meio de uma sucessão
notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é:
n
⎛ 1⎞
an = ⎜ 1+ ⎟
⎝ n⎠
para:
1
⎛ 1⎞
n = 1 ⇒ a1 = ⎜1 + ⎟ = 2
⎝ 1⎠
2
E04: Determine o limite função abaixo, quando x
tende à 0.
⎧⎪ x 2 , se x ≥ 0
f ( x) = ⎨
⎪⎩- x, se x < 0
E05:
c) 1/3 d) 3 5
b) 2
d)∞
b) 5
e)0
c) 5
⎛ 1⎞
n = 2 ⇒ a1 = ⎜1 + ⎟ = 2, 25...
⎝ 2⎠
3
⎛ 1⎞
n = 3 ⇒ a1 = ⎜1 + ⎟ = 2,36...
⎝ 3⎠
5
⎛ 1⎞
n = 5 ⇒ a1 = ⎜ 1 + ⎟ = 2, 48...
⎝ 5⎠
6
⎛ 1⎞
n = 6 ⇒ a1 = ⎜ 1 + ⎟ = 2, 49... , e assim por
⎝ 6⎠
diante.
Notamos que aumentando o valor de n,
infinitamente, an tende ao valor aproximado de
2,71.
Limite Exponencial Fundamental
n
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ = e ≅ 2,718281828.......
n⎠
n →+∞ ⎝
O número “e” é irracional.
Dois limites podem ser obtidos como
conseqüência
do
limite
exponencial
fundamental.
lim
1
Primeira Conseqüência: lim (1 + x) x = e
x →0
1
1
⇒ = n , e observando
n
x
que quando x → 0 ⇒ n → +∞ , ficamos com
De fato, fazendo x =
E04: zero
1
n
⎛ 1⎞
x
lim (1 + x) = lim ⎜ 1 + ⎟ = e , que é o
n⎠
x →0
n →+∞ ⎝
E05: não existe
próprio limite exponencial fundamental.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
30
Exemplo: Calcule
lim
x →0
1
(1 + kx ) x , k ∈ R*.
Solução:
Podemos escrever:
k
1
1 ⎤k
⎡
kx
(1 + kx ) x = (1 + kx ) = ⎢(1 + kx ) kx ⎥
⎢⎣
⎥⎦
Fazendo kx = t , resulta que se x → 0 ⇒ t → 0
portanto, ficamos com:
lim (1 + kx )
x →0
1
1⎤ k
⎡
x = lim ⎢(1 + t ) t ⎥ = ek
⎥
t →0 ⎢
⎢⎣
Segunda Conseqüência:
⎥⎦
ex −1
=1
x
x →0
lim
Fazendo e x − 1 = u ⇒ e x = u + 1 ⇒ x = ln(u + 1) , e
é evidente que quando x → 0, u → 0.
Daí
ex −1
u
1
= lim
= lim
x →0 x
u → 0 ln(u + 1) u → 0 1 ln(u + 1)
u
1
1
= lim
=
1
1⎤
⎡
u →0
⎢
ln(1 + u ) u
lim
ln(1 + u ) u ⎥
⎢
⎥
u →0
⎣⎢
⎦⎥
lim
=
1
⎡
ln ⎢
⎢
⎣⎢
1⎤
lim (1 + u ) u ⎥
⎥
u →0
=
1
=1
ln e
Observe que o triângulo 0AM está contido no
setor circular OAM, o qual por sua vez está
contido no triângulo OAT.
Assim podemos afirmar que:
área ΔOAM < área setor OAM< área ΔOAT ,
isto é:
1
1
1
2
.OA.PM < ( OA ) .x < .OA.AT,
2
2
2
mas OA = 1
logo: PM < x < AT ou sen( x) < x < tg ( x)
dividindo termo a termo por sen( x) :
x
1
<
, tomando os inversos e
sen( x) cos( x)
invertendo a desigualdade, ficamos com:
sen( x)
sen( x)
> cos( x) ou cos( x) <
1>
<1
x
x
1<
Sabemos que quando x → 0 ,
⎦⎥
Limite Trigonométrico Fundamental
sen x
lim
=1
x →0 x
No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja
AM um arco de x radianos, com 0 < x <
Figura 44
π
.
2
Na Figura , x = AM , sen( x) = PM e tg ( x) = AT .
cos( x) → 1 .
sen( x)
Então, para x tendendo a zero,
x
permanece entre cos( x) e 1, e portanto
sen x
lim
=1.
x →0 x
x
x → 0 sen(x)
Exemplo: Calcule lim
Solução:
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
31
x
1
1
= lim
=
x
x → 0 senx
x → 0 senx
lim
x
x → 0 senx
x
1
= =1
lim
x → 0 senx 1
lim
Exemplo: Calcule
tgx
lim
x →0 x
ln ( u + 1)
ln x
= lim
u
x →1 x − 1
u →0
1⎤
⎡
1
= lim
ln ( u + 1) = lim ⎢ ln (1+u ) u ⎥
u →0 u
u → 0 ⎢⎣
⎥⎦
lim
1⎤
⎡
= ln ⎢ lim (1+u ) u ⎥ = ln e = 1
⎢⎣ u → 0
⎥⎦
Solução:
senx
tgx
senx 1
lim
.
= lim cosx = lim
x →0 x
x →0 x
x → 0 cosx x
senx
1
⎛ senx 1 ⎞
.
. lim
= lim ⎜
⎟ = lim
x →0 ⎝ x cos x ⎠
x →0 x
x → 0 cosx
= 1.1 = 1
1 − cosx
Exemplo: Calcule lim
x
x →0
Solução:
⎡(1 − cos x ) . (1 + cos x ) ⎤⎦
1 − cos x
lim
= lim ⎣
x
x.(1 + cos x )
x →0
x →0
1 − cos 2 x
sen 2 x
= lim
x → 0 x. (1+cosx )
x → 0 x. (1+cosx )
= lim
⎛ senx senx ⎞
.
⎜
⎟
x → 0 ⎝ x 1 + cos x ⎠
senx
senx
0
. lim
= lim
= 1.
=0
1+1
x →0 x
x → 0 1+cosx
= lim
Exemplo: Calcule
sen3x
x → 0 5x
lim
Solução:
sen3x
⎛ sen3x 3 ⎞
lim
. ⎟
= lim ⎜
x → 0 5x
x → 0 ⎝ 3x 5 ⎠
3
sen3x
, mas x → 0 ⇒ 3x → 0,
= . lim
5 x → 0 3x
3
sen3x 3
3
log o : . lim
= .1 =
5 x → 0 3x
5
5
ln x
Exemplo: Calcule lim
x →1 x − 1
Solução:
Façamos u = x − 1 ⇒ x = u +1.
Quando x → 1 ⇒ u → 0, portanto ficamos com:
Exercícios
E01: Calcule os seguintes limites
tg x
x→ 0 x
sen 4x
c) lim
x → 0 sen5x
sen 2x
x →0 x
sen h
d) lim
h → 0 3h
a) lim
e) lim
x→ 0
b) lim
1 - cos 2 x
x2
x → 0 cos 2 x − 1
n+2
⎛ 1⎞
x senx
x → 0 1 − cos x
g) lim
h)
⎛ 3⎞
i) lim ⎜1 + ⎟
n⎠
n→ ∞ ⎝
n
⎛ 5⎞
k) lim ⎜1 + ⎟
x⎠
x→ ∞ ⎝
E02: Mostre que
E03: Mostre que
E04: Mostre que
E05: Mostre que
E06: Mostre que
E07: Mostre que
-x2
f) lim
lim
⎜1 +
n→ ∞ ⎝
⎟
n⎠
⎛ x ⎞
j) lim ⎜
⎟
x→ ∞ ⎝1+ x ⎠
x +1
l) lim
x→ π
x
(1 + sen x )
4
x
lim (1 + 3x ) = e12
x →0
1
lim (1 + 2x ) x = e 2
x →0
1
1
x⎞ x
⎛
lim ⎜1 + ⎟ = e 3 = 3 e
3⎠
x →0 ⎝
4
1
4x ⎞ x
⎛
7
lim ⎜1 +
⎟ =e
7 ⎠
x →0 ⎝
1
1
lim (1 − x ) x = e − 1 =
e
x →0
1
1
x⎞ x
⎛
π
lim ⎜1 + ⎟ = e
π⎠
x →0 ⎝
1
sen x
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
32
E08: Calcule os limites abaixo:
ln ( 2 + x )
a) lim
( Fazer x+ 1 = u )
x+1
x →−1
ln ( 3 + x )
b) lim
( Fazer x+ 2 = u )
x+2
x →−2
2x − 1
c) lim
x
x →0
d) lim
x →0
e) lim
x →0
f) lim
x→
π
2
esenx − 1
senx
sen5x
tg4x
cos x
π
−x
2
ln (1 + x )
g) lim
E08:
a) 1
b) 1
d) 1
e)
g) 2
1
j)
2
n)
1
log 5
5
4
h) 3
1
l)
2
c)
1
log 2 e
f) 1
i) e
m)
Assíntotas Horizontais e Verticais
Em aplicações práticas, encontramos com
muita freqüência gráficos que se aproximam de
uma reta a medida que x cresce (x → + ∞ )
ou decresce (x → −∞). Veja os gráficos.
2
ln x 3
h) lim
x →1 x − 1
(1+senx )cos sec x
i) lim
x →0
( Fazer sen x = u)
1 − cos x
j) lim
x2
tgx − senx
x →0
l) lim
x3
x →0
1
⎛ 1+x ⎞ x − 4
m) lim ⎜
⎟
x →4 ⎝ 5 ⎠
10 x − 1
n) lim
x →0
o)
5x − 1
g) 2
(dividir por x Num. e Den.)
⎛ 2⎞
⎜1+ ⎟
x →+∞ ⎝ x ⎠
x
lim
Respostas:
E01:
a) 1
b)2
h) e
e
o) e 2
x
x →0
5
Figura: 44
c)4/5
i) e 3
d)1/3 e)1
j) e −1 k) e 5
f)1
l)e
Essas retas são chamadas assíntotas.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
33
Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico
de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas
existam.
Assíntotas Verticais
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical
do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações
seguintes for verdadeira:
a) lim f ( x) = ∞
ii ) lim f ( x) = −∞
x→a+
x →a+
b) lim f ( x) = ∞
x→a−
iv)
lim
x →a−
f ( x) = −∞
Assíntotas Horizontais
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota
horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
i) lim f ( x) = b
ii) lim f ( x) = b
x →+∞
x →−∞
5
. Encontre a
x−3
equação das assíntotas horizontais e verticais, se
elas existirem.
Resolução:
Primeiramente devemos observar o domínio da
função. Dm( f ) = R − {3} . Sendo assim, vamos
5
calcular lim
.
x →3 x − 3
Para calcular o limite da função quando x tende a 3
devemos calcular os limites laterais, assim:
5
Para calcular lim−
fazemos x = 3 − h , com
x →3 x − 3
h → 0 , aí temos:
5
5
lim −
= lim
h
→
0
x →3
(x − 3)
(3 − h − 3)
5
5
lim −
= lim
h
→
0
x →3
(x − 3)
−h
5
1
lim −
= −5. lim
h
→
0
x →3
(x − 3)
h
5
lim −
= −5. ∞ = − ∞
x →3
(x − 3)
Exemplo: Seja a função f ( x) =
5
x →3
(x − 3)
x = 3 + h , com h → 0 , aí temos:
Agora para calcular lim +
fazemos
lim +
x →3
lim +
x →3
lim +
x →3
lim +
x →3
5
5
= lim
h → 0 (3 + h − 3)
(x − 3)
5
5
= lim
(x − 3) h →0 h
5
1
= 5 lim
h →0
(x − 3)
h
5
= 5. ∞ = ∞
(x − 3)
Assim,
lim + f (x) = ∞ e lim − f (x) = −∞
x →3
x →3
Logo x = 3 é uma Assíntota Vertical da função,
pois valeram as afirmações i) e iv) .
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal
se esta existir:
Para encontrar a assíntota horizontal, basta
5
.
fazer lim
x →∞
(x − 3)
5
5
= lim
=0
lim
x →∞
x
→∞
(x − 3)
x
Logo y = 0 é a assíntota horizontal.
O gráfico desta função está representado na
Figura45
Figura 45
Considere
a
função
4
f ( x) = 3 −
. Encontre a equação das
( x − 2) 2
assíntotas horizontais e/ou verticais, se elas
existirem.
Exemplo:
Resolução:
Primeiramente devemos observar o domínio da
função. Verificamos que Dm( f ) = R − {2} .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
34
⎛
4 ⎞
Sendo assim, vamos calcular lim ⎜ 3 −
⎟.
x→2
( x − 2) 2 ⎠
⎝
Para calcular o limite da função quando x tende a 2
devemos calcular os limites laterais, assim:
⎛
4 ⎞
Para calcular lim− ⎜ 3 −
⎟
x →2
( x − 2) 2 ⎠
⎝
fazemos x = 2 − h , com h → 0 , aí temos:
4
4
= lim 3 −
2
h →0
( x − 2)
(2 − h − 2) 2
4
4
= lim 3 −
3−
2
h →0
( x − 2)
( − h) 2
4
4
3−
= lim 3 − 2
2
h→0
( x − 2)
h
lim − 3 −
x→2
lim −
x→2
lim −
x→2
Para encontrar a assíntota horizontal, basta
⎛
4 ⎞
fazer lim ⎜ 3 −
⎟.
x →±∞
( x − 2) 2 ⎠
⎝
lim
3−
4
lim
3−
4
x 2 − 4x + 4
4
= lim 3 − lim
lim 3 −
2
x → ±∞
x → ±∞
x →∞ x 2
( x − 2)
4
lim 3 −
= 3−0 = 3
x → ±∞
( x − 2) 2
x → ±∞
( x − 2) 2
4
=
x → ±∞
Logo y = 3 é a Assíntota Horizontal.
Observamos o gráfico desta função na Figura
46
4
4
= lim 3 − lim 2
2
h →0
h→0 h
( x − 2)
4
3−
= 3−∞ = − ∞
( x − 2) 2
lim − 3 −
x→2
lim −
x→2
⎛
⎞
4
⎜3 −
⎟
⎜
(x − 2)2 ⎟⎠
x → 2+ ⎝
fazemos x = 2 + h , com h → 0 , aí temos:
Agora para calcular
lim
3−
lim
3−
lim
3−
lim
3−
lim
3−
x →2+
x →2+
x →2+
x →2+
x →2+
4
( x − 2)
4
2
( x − 2)
4
2
( x − 2) 2
4
( x − 2)
4
2
( x − 2) 2
Assim temos:
lim + f ( x) = −∞
x→2
lim
e
= lim 3 −
h →0
= lim 3 −
h →0
= lim 3 −
h →0
4
( 2 + h − 2) 2
4
(h )
4
2
h2
= lim 3 − lim
h →0
h →0
4
h2
=3−∞=−∞
lim − f ( x) = −∞
x→2
Logo x = 2 é uma Assíntota Vertical da função.
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se
esta existir:
Figura 6
Figura 46
Exercícios
E01: Escreva a equação das assíntotas das
funções abaixo e faça um esboço do gráfico da
função.
5
x−2
2
c) y =
x
a)y =
e) y = - 1 +
b) y =
d) y =
2x + 1
x -1
2
(x - 1) 2
3
x-2
E02: Encontre as assíntotas horizontais e
verticais das funções abaixo e construa
um esboço de cada gráfico.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
35
a )f ( x ) =
c)f ( x ) =
e)f ( x ) =
g)f ( x ) =
3x + 1
x−2
5 − 3x
x +1
1
(x − 2)2
−3
x+2
b)f ( x ) = 2 +
3
x2
1
d)f ( x ) = 3 +
x
4
f)f ( x ) =
x−4
h)f ( x ) =
−1
(x − 3)(. x + 4)
E03: Sabe-se que sob temperatura constante, o
volume de certa massa de um gás perfeito é
função da pressão a que o mesmo está
submetido. E a lei dessa função é dada pelo
gráfico.
K
, onde K é uma constante
P
que depende da massa e da temperatura do gás.
K
a) Com respeito à função V = , P > 0 ( não tem
P
sentido físico considerar a pressão P nula ou
negativa), o que se pode dizer de V quando P
diminuir, tendendo para zero?
−
t
Sabe-se que: i = I 0 . e CR .
a) Determine a corrente inicial para t = 0
b) Estude a variação da corrente quando t
cresce indefinidamente.
c) Faça um esboço da corrente em função do
tempo.
Funções Contínuas
Intuitivamente, o gráfico de uma função pode
ser descrito como uma curva contínua se não
apresentar “quebras” ou “buracos”. Os gráficos
da figura abaixo são exemplos de
descontinuidade para algumas funções f, no
ponto c. Observe:
Representada por V =
b) Para a mesma função, o que acontece com o
volume V quando a pressão P cresce, tornando-se
muito grande, isto é, quando P tende para infinito?
E04: Seja i a corrente variando em função do
tempo t, num circuito elétrico onde temos a
descarga de um capacitor C em uma
resistência R.
Figura 47
Uma função real tem descontinuidade em um
ponto, se ocorre alguma das seguintes
condições:
i) A função f não está definida em c;
ii) O limite de f não existe quando x tende a c;
iii) O valor da função e o valor do limite em c
são diferentes.
Definição: Uma função f é contínua em um
ponto c, se são satisfeitas as seguintes
condições:
i) f (c) está definida.
ii) lim f ( x) existe
x →c
iii) lim f ( x) = f (c)
x →c
Exemplo:
Verifique
se
a
função
f ( x) = 2 x − 5 + 3 x é contínua no ponto
x=4.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
36
lim
x →3+
Resolução: Analisaremos uma a uma as três
condições:
i) f (4) = 2.4 − 5 + 3.4 =⇒ = 3 + 12
Como
ii) lim f (x) = 2.4 − 5 + 3.4 = 3 + 12
existe
x →4
Como
lim f (x) = f (4) a função é contínua em
x →4
f (x) =
lim
x →3−
lim
x →3+
3− x = 3−3= 0
f (x) ≠
lim
x →3+
f (x) ⇒
não
lim f (x)
x →3
e portanto a função não é contínua em x = 3.
x=4.
Exemplo: Verifique se a função f ( x) =
contínua no ponto x = 2 .
x−2
2
é
Resolução:
Primeiramente lembramos que:
⎧ −x + 2
se
x<2
⎪⎪
x−2
2
=⎨
2
⎪ x-2
se
x ≥2
⎪⎩ 2
Analisaremos uma a uma as três condições
2−2
f (2) =
=0
2
Para obter o valor do limite precisaremos utilizar
os limites laterais:
− x + 2 −2 + 2
⎧
⎪ lim − f (x) = lim− 2 = 2 = 0
⎪ x →2
x →2
⎨
⎪ lim f (x) = lim x − 2 = 2 − 2 = 0
⎪ x →2+
2
x → 2+ 2
⎩
⇒ Logo ∃ lim f (x)
x →2
Como
lim f (x) = f (2) a função é contínua em
x →2
Exemplo: Verifique se é contínua em x = 2 a
função:
se x ≤ 2
⎧⎪ 2x
f (x) = ⎨
2
⎪⎩ x − 3x se x > 2
Solução:
Testando as condições:
a) f ( 2 ) = 2. 2 = 4. Logo existe f ( 2 ) = 4
b) Calculo dos limites laterais:
lim f (x) = lim 2x = 4
x → 2−
lim
x → 2+
x → 2−
f (x) =
lim
x → 2+
vemos que
lim f (x) ≠
x → 2−
lim
(
x → 2+
)
x 2 − 3x = −2
,
f (x) , então não
existe lim f (x) e portanto f e descontínua
x →2
em x = 2.
x2 −1
não é
x −1
contínua no ponto x=1, pois a função não é
definida no ponto. Graficamente:
Exemplo: A
função
f (x) =
x=2.
Exemplo: Verifique se a função é contínua em
x = 3.
⎧ x 2 − 1 se
x<3
⎪⎪
f (x) = ⎨ 2
se
x=3
⎪ 3-x
se
x>3
⎪⎩
Resolução:
f(3)=2
Para verificar a existência do limite, devemos usar
os limites laterais:
lim
x →3−
e
f (x) =
lim
x →3−
(x 2 − 1) = 32 − 1 = 8
Exemplo: A função
⎧ x2 −1
⎪
se x = 1
também
g(x) = ⎨ x − 1
⎪1
se x ≠ 1
⎩
contínua no ponto x = 1, pois:
a) g (1) = 1
b)
não é
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
37
lim
x →1−
g(x) = lim
x →1
( x − 1)( x + 1) =
g(x) = lim
lim
x →1+
x →1
x −1
( x − 1)( x + 1) =
x −1
lim x+1=2
x →0
x →1
que f é contínua em x = 0.
lim x+1=2
Para x = 3, temos:
x →1
assim: lim g(x) = 2
x →1
c) Como
lim f(x) = 0 = f ( 0 ), conclui-se
c) Como
lim g(x) = 2 ≠ g(1) = 1 , a condição
x →1
c) função não se verifica.
Graficamente:
a) f ( 3 ) = 2.3 − 32 = −3 . Logo existe f ( 3 ) =
−3
b)
lim
x →3−
x →3
lim f(x) = lim
x →3+
então
)
(
f(x) = lim 2x − x 2 = 2.3 − 32 = −3
x →3+
( 2x − 9 ) = 2.3 − 9 = −3
,
lim f(x) = −3 .
x →3
c) Como
lim f (x) = f (3) = −3 , conclui-se
x →3
que f é contínua em x = 3.
Verificar os possíveis pontos de descontinuidade
se x < 0
⎧−4x
⎪⎪
da função: f (x) = ⎨2x − x 2
se 0 ≤ x ≤ 3
⎪2x − 9
se x > 3
⎪⎩
Solução:
Da definição de f, os prováveis pontos de
descontinuidade são x = 0 e x = 3.
Uma vez que nos pontos de provável
descontinuidade, verificamos que a função f é
continua, concluímos que f é contínua para
todo x real, e vemos que seu gráfico não tem
qualquer tipo de salto ou interrupção.
Exercícios
E01: Verifique se as funções abaixo são
contínuas nos pontos indicados, e justifique sua
resposta.
⎧x + 2
se
x<2
⎪
a) f ( x) = ⎨4
se
x=2
⎪ 2
se
x>2
⎩x
⎧2 x − 1
b) f ( x ) = ⎨
⎩x −1
⎧3 x + 2
⎪
c) f ( x) = ⎨5
⎪2
⎩
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as
condições de continuidade para o ponto x = 0,
assim:
a) f(0) = 2.0 − 02 = 0. Logo existe f (0) = 0.
b) lim f(x) = lim ( −4x ) = 0
x → 0−
lim
x → 0+
então
x →1
2x − x 2 ) = 0 ,
(
x → 0+
f(x) = lim
lim f(x) = 0 .
x →0
d) f(x) =
⎧x + 1
⎪
⎨2 x
⎪x + 3
⎩
x ≤1
se
x >1
se
se
x<0
se
x=0
se
x>0
se
x ≤1
1< x < 5
se
se
5≤ x<6
E02: A função abaixo possui algum ponto de
descontinuidade? Quais? Justifique.
⎧1 − x 2
se
x ≤1
⎪
1< x < 2
f ( x) = ⎨ x − 1
se
⎪2
se
x≥2
⎩
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
38
E03: Verifique se as seguintes funções possuem
algum ponto de descontinuidade e justifique sua
resposta.
3 − 2x
a )f ( x ) = x + 3
b)f ( x ) =
x −1
x2 − x − 2
x−2
⎧x2 − x − 2
⎪
d )f ( x ) = ⎨ x − 2
⎪1
⎩
c)f ( x ) =
x≠2
se
x=2
se
x≠5
⎧x − 3 se
e)f ( x ) = ⎨
se
x =5
⎩2
⎧⎪x 2 - 2x + 2
se x < 1
f )f ( x ) = ⎨
⎪⎩3 - x
se
x ≥1
E04: Indique onde cada uma das funções abaixo é
descontínua e justifique sua resposta.
⎧⎪ x 2 − x − 2
a )f ( x ) = ⎨
⎪⎩ x − 2
⎧ 1
se
x≠0
⎪
b )f ( x ) = ⎨ x 2
⎪1
se
x=0
⎩
⎧x2 − x − 2
⎪
c)f ( x ) = ⎨ x − 2
⎪1
⎩
⎧x + 2
⎪
c) f ( x) = ⎨3
⎪− x
⎩
d ) f ( x) =
x2 − 9
x −3
se x < 1
se x = 1
se x > 1
em
em x = 1
x =3
E08: De acordo com o gráfico, verifique em
quais pontos a função é descontínua e
justifique sua resposta.
x≠2
se
se
E07: Explique porque f(x) não é contínua em x.
−5
a) f ( x) =
em x = 3
x−3
⎧ x2 − 4
se x ≠ 2
⎪
b) f ( x ) = ⎨ x − 2
em x = 3
⎪5
se x = 2
⎩
x=2
E09: Determine os intervalos de continuidade
da função representada na acima.
E05: Determine o valor de m para que cada função
abaixo seja contínua no ponto dado.
⎧x2 − 9
⎪
se x ≠ 3
em x = 3
a )f ( x ) = ⎨ x − 3
⎪m
se x = 3
⎩
⎧x2 − x
⎪
b )f ( x ) = ⎨ x − 3
⎪m
⎩
se x ≠ 0
em x = 0
se x = 0
E06: Verifique se as funções abaixo são contínuas,
justificando sua resposta.
⎧⎪x 2 + 1
a )f ( x ) = ⎨
⎪⎩2x
⎧⎪x 2 + 2
b )f ( x ) = ⎨
⎪⎩x + 2
se x ≤ 1
se x > 1
se
se
x ≤1
x >1
Exercícios Recomendados: ANTON, H.,
BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1
Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007.
Páginas, de 110 à 113
Páginas, de 121 à 122
Páginas, de 131 à 134
Páginas, de 152 à 155
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
39
4. Derivadas
Introdução
O Cálculo Diferencial e Integral, criado por
Leibniz e Newton no século XVII, tornou-se logo
de início um instrumento precioso e imprescindível
para a solução de vários problemas relativos à
Matemática e a Física.
O formalismo matemático do Cálculo que à
primeira vista nos parece abstrato e fora da
realidade, está internamente relacionado com o
raciocínio usado pelas pessoas em geral na
resolução de problemas cotidianos.
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que
variam, entre eles podemos citar:
- a velocidade de uma partícula;
- a número de bactérias em uma cultura;
- o fluxo de uma corrente elétrica;
- a voltagem de um sinal elétrico, entre outros.
propriedades mecânicas desejadas,
particular, a dureza da mesma.
em
Figura 1
Por meio de um estudo criterioso, foi possível
−0,0469 t
chegar ao modelo T (t ) = 20 + 840e
que
relaciona a temperatura da esfera no tempo.
A representação gráfica para a função obtida é
mostrada na Figura 2.
A derivada é uma ferramenta matemática utilizada
para analisar e estudar as taxas segundo as quais
variam estas grandezas.
Observamos na natureza inúmeras taxas de
variações. Como exemplos:
-a potência: a taxa de variação do trabalho em
relação ao tempo;
- a taxa da variação da concentração de um
reagente em relação ao tempo – (usado por
químicos – taxa de reação)
- a taxa de variação do custo de produção de um
determinado produto em relação à quantidade ou
em relação ao tempo.
Veremos neste estudo, que estas taxas de variação
podem ser analisadas e interpretadas como
inclinações de retas tangentes ao gráfico de uma
função.
A Derivada como um Limite
Situação de Estudo: Em uma fábrica de
rolamentos, o tratamento térmico das esferas
(têmpera) é efetuado em um banho de óleo, sendo
as mesmas submetidas a um resfriamento brusco,
posteriormente ao seu aquecimento em um forno.
Ao sair do forno, as esferas de aço encontram-se a
uma temperatura de 860 °C e são imersas em óleo
à temperatura de 20 °C. O resfriamento da esfera
ocorre por convecção forçada, para assegurar a
transformação de fase sólida do aço, garantindo as
Figura 2
A representação gráfica nos indica que ao
passo que o tempo passa a temperatura da
esfera em resfriamento tende a se estabilizar
em um valor maior que zero. Neste caso não é
difícil perceber que esse valor corresponde à
temperatura do óleo, de 20°.
Conhecendo a função que expressa
matematicamente o resfriamento da esfera, se
quisermos saber a rapidez com que a peça está
esfriando, ou seja, a variação da temperatura
em determinado tempo, podemos buscar uma
aproximação por meio da variação média da
temperatura em intervalos próximos. Por meio
da Tabela 1 vamos avaliar a velocidade de
resfriamento da esfera próximo a t0 = 60
minutos após o desmolde, tomando alguns
intervalos de tempo
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
40
Tabela 1
ti
a=
T0 − Ti
t 0 − ti
Equação da Secante
y = a(t − ti ) + Ti
0
−13,16
y = −13,16t + 860
10
−9,50
y = −9,50t + 640,56
20
−6,96
y = −6,96t + 487,99
30
−5,18
y = −5,18t + 381,02
40
−3,92
y = −3,92t + 305,33
50
−3,01
y = −3,01t + 251, 22
55
−2,66
y = −2,66t + 230,11
56
−2,60
57
−2,54
y = −2,60t + 226, 28
y = −2,54t + 222,57
58
−2, 48
y = −2, 48t + 218,97
59
−2, 42
y = −2, 42t + 215, 49
...
...
…
Interpretação Geométrica da Derivada
Muitos problemas de Cálculo envolvem a
determinação da reta tangente a uma curva
dada, em um determinado ponto dela. A Figura
5 mostra que a tangente num ponto A da
circunferência é a reta que passa por A,
perpendicularmente ao raio por esse ponto; ou
ainda é a reta que só toca a circunferência
nesse ponto. A situação é diferente no caso de
uma curva qualquer. Uma reta que toca uma
curva num só ponto nem sempre merece o
nome de tangente (como é o caso da reta que
passa por D), enquanto que uma verdadeira
tangente pode tocar a curva em mais de um
ponto (reta que passa por E).
Figura 5
Podemos observar que a taxa de variação média de
temperatura está se estabilizando ao passo que
tomamos intervalos cada vez menores. As
representações gráficas das Figuras 3 e 4 nos
auxiliam a perceber que estamos trabalhando com
a idéia de limite.
Para chegar a uma definição adequada de reta
tangente ao gráfico de uma função em um de
seus pontos, começamos pensando em definir a
inclinação da reta tangente no ponto. Então a
tangente é determinada por sua inclinação e
pelo ponto de tangência.
Mas, dado um
ponto da função, como obter a inclinação da
reta tangente ao gráfico por esse ponto?
Lembremos que uma maneira de determinar a
y − y0
,
inclinação de uma reta é pela taxa a = 1
x1 − x0
onde a determina o coeficiente angular da reta,
e
sua
equação
é
dada
por
y − y1 = a ( x − x1 ) ou y − y2 = a ( x − x2 ) .
Figura 3
Porém, precisaríamos conhecer dois pontos da
reta, e no caso da tangente, em geral, só temos
um, o de tangência.
Quando a função é de 1º grau, se
considerarmos diferentes intervalos em x, a
y − y0
taxa de variação média a = 1
permanece
x1 − x0
constante. Porém, em muitos casos (funções
polinomiais, exponenciais, trigonométricas,...),
cada intervalo pode apresentar uma taxa
Figura 4
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
41
diferenciada. Vejamos as duas próximas situações:
Podemos escrever
x1 = x0 + h .
x1 − x0 = h
,
onde
Então,
deve
ser
entendida
f '( x)
geometricamente como o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico de uma função, em
um determinado ponto.
Figura 6
Nosso estudo de retas tangentes nos levou a um
importante limite, que nos dá condições de iniciar
nossos estudos de derivada de uma função.
Motivados pela representação geométrica, vemos
que o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico de uma função f ( x) no ponto ( x0 , f ( x0 ))
é obtido como sendo o limite dos coeficientes de
uma seqüência de retas secantes que convergem
para a tangente, mais precisamente, o coeficiente
angular
a
da
tangente
é
dado
por
f ( x) − f ( x0 )
a = lim
.
x → x0
x − x0
Definição_1: Se f for contínua em x0 , então a
equação da reta tangente a gráfico de f no ponto
( x0 , f ( x0 ))
é:
f ( x) − f ( x0 )
y − f ( x0 ) = lim
( x − x0 )
ou
x → x0
x − x0
y − f ( x0 ) = a( x − x0 )
Obs: Se uma reta tangente é vertical, seu
coeficiente angular não é definido e o limite não
existe.
Esta definição do coeficiente angular da tangente
ao gráfico de uma função f ( x) no ponto
( x0 , f ( x0 )) nos leva à definição de derivada de
uma função em um ponto ( x0 , f ( x0 )) . Neste caso,
o limite acima é denotado por f '( x) ( lê-se: f linha
de x0 ) e é chamado de derivada de f em x0 .
Definição_2: A derivada de uma função f é a
f'
definida
por
função
f ( x) − f ( x0 )
ou
f '( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
desde que o
f '( x0 ) = lim
h →0
h
limite exista.
Como x0 é um ponto arbitrário, podemos
calcular o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico de f para qualquer ponto ( x, f ( x)) :
f ( x + h) − f ( x)
. Assim, f '( x) só
f '( x) = lim
h→0
h
depende de x.
Retomando o Problema da Velocidade de
Resfriamento...
Agora temos condições de retomar ao
problema inicial e obter a velocidade de
esfriamento da peça de metal quando t0 = 60 .
T (t + h) − T (t )
T '(t ) = lim
h→0
h
20 + 840e −0,0469( t + h ) − (20 + 840e −0,0469t )
T '(t ) = lim
h →0
h
840e −0,0469( t + h ) − 840e −0,0469t
h→0
h
840e −0,0469t − 0,0469 h − 840e −0,0469t
T '(t ) = lim
h →0
h
840e −0,0469t (e −0,0469 h − 1)
T '(t ) = lim
h →0
h
(e −0,0469 h − 1)
T '(t ) = 840e −0,0469t lim
h →0
h
T '(t ) = lim
Para resolver o limite fazemos
m = e −0,0469 h − 1
m + 1 = e −0,0469 h
ln(m + 1) = −0,0469h
ln(m + 1)
(**)
=h
−0,0469
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
42
Quando h → 0 temos que m → 0 . Assim,
substituindo
(*)
e
(**)
em
−0,0469 h
(e
− 1)
, vem:
T '(t ) = 840e −0,0469t lim
h →0
h
m
m → 0 ln( m + 1)
−0,0469
T '(t ) = 840e −0,0469 t lim
f ' definida pela
f ( x + h) − f ( x )
expressão
é
f '( x) = lim
h→0
h
denominada derivada de f em relação a x. O
domínio de f ' consiste em todos os x do
domínio de f para os quais existe o limite.
m
ln( m + 1)
1
T '(t ) = ( −0,0469)840e −0,0469t lim
m → 0 ln( m + 1)
m
1
T '(t ) = ( −0,0469)840e −0,0469t lim
1
m →0
ln(m + 1) m
1
T '(t ) = ( −0,0469)840e −0,0469t
1
ln(lim( m + 1) m )
T '(t ) = ( −0,0469)840e −0,0469t lim
m →0
m→0
T '(t ) = (−0,0469)840e −0,0469 t
A Função Derivada
Definição_3: A função
1
ln(e)
T '(t ) = ( −0,0469)840e −0,0469 t
T '(t ) = −39, 4.e −0,0469t
Como queremos T '(t ) em t = 60 , fazemos,
T '(60) = −39, 4e −0,04.60
T '(60) = −2,36 .
Geometricamente esse resultado indica que o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
T (t ) é −2,36 , que fisicamente indica que em
t = 60 minutos a taxa de resfriamento da esfera é
de 2,36 °C/min.
E01. Faça um esboço do gráfico da função
f ( x) = x 2 e de suas retas tangentes nos pontos de
abscissa x = −1 e x = 2 .
E02. Determine a derivada da função:
f ( x) = 2 x + 8 utilizando a definição.
Notação
Se usarmos anotação y = f ( x) para indicar
que a variável independente é x enquanto y é a
variável dependente, então algumas notações
alternativas
para
a
derivada
são:
dy df
d
f '( x) = y ' =
=
=
f ( x) = Dx f ( x)
dx dx dx
E03 (Anton, p.180): a) Encontre a derivada, em
relação a x, de f ( x) = x ; b) Encontre a
inclinação da reta tangente a y = 9 ; c)
Encontre os limites de f '( x ) quando x → 0+
e quando x → +∞ e xplique o que esses
limites dizem sobre o gráfico de f.
E04: Indique o domínio de cada função a seguir
e determine sua derivada f '( x) , utilizando a
definição. Depois obtenha a equação da reta
tangente ao gráfico da função em x = 1 .
a) f ( x) = 3 x + 5
Res: f '( x) = 3 e y = 3 x + 5
b) f ( x) = x 2 − 2 x + 3
Res: f '( x) = 2 x − 2 e y = 2
3
c) g ( x) =
x
3
Res: g '( x) = − 2 e y = −3x + 6
x
t -3
d) f (t ) =
t +1
4
Res: f '(t ) =
e y= x+2
(t + 1) 2
E05. Observe os gráficos da Figura 7 que
representam a função f ( x) = x 3 − x e sua
derivada f '( x) = 3 x 2 − 1 . Faça uma leitura,
interpretando a relação entre os gráficos.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
43
b) A função f ( x) = 3 x não tem derivada em
x = 0 porque apresenta ponto de tangência
vertical. Lembre-se que não existe tangente de
90o.
Figura 7
Diferenciabilidade
Vejamos como investigar quando uma função
possui derivada.
Definição_4: Dizemos que uma função é
diferenciável ou derivável em x0 se existe o
f ( x0 + h) − f ( x0 )
limite f '( x0 ) = lim
. Se f ( x) é
h →0
h
diferenciável em cada ponto do intervalo aberto
(a, b) , então dizemos que a função é diferenciável
em (a, b) e, analogamente, em intervalos abertos
da forma (a, +∞) , (−∞, b) e (−∞, +∞) . Neste
último caso, dizemos que f ( x) é diferenciável em
toda a parte.
Derivadas são limites bilaterais, ou seja, a derivada
de uma função existe em um ponto x0 se existirem
as derivadas laterais. Definimos então:
Derivada à direita por:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f +' ( x0 ) = lim+
h→0
h
Derivada à esquerda por:
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f −' ( x0 ) = lim−
h →0
h
Alguns exemplos de funções que apresentam
pontos sem derivada:
a) A função f ( x) = x não é derivável em x = 0 ,
pois, f +' (0) ≠ f −' (0) .
Figura 8
1
não é derivável
( x − 2) 2
em x = 2 pois não está definida neste ponto.
c) A função g ( x) =
Figura 9
O teorema a seguir estabelece a relação entre
diferenciabilidade e continuidade de uma
função. Esse resultado justifica a não
existência da derivada dada no exemplo c)
acima.
Teorema_1: Se f ( x) é diferenciável no ponto
x0 então f ( x) é contínua em x0 .
Demonstrar!
Assim, podemos afirmar que uma função
não tem derivada em um ponto se:
i) a função é descontínua no ponto;
ii) as derivadas laterais no ponto são
diferentes;
iii) a função é contínua no ponto, mas
possui reta tangente vertical nele. Neste
caso lim f '( x) = ∞ .
x → x0
Regras de Diferenciação
Esta seção contém algumas regras gerais que
simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.
Essas regras são deduzidas por meio da
definição de derivadas, e podem ser usadas
diretamente evitando árduos cálculos de limites.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
44
Todos os resultados que se seguem serão
demonstrados em aula e podem ser encontradas em
qualquer bom livro de Cálculo I.
Teorema_2 (Derivada da Função Constante): Se
f é uma função constante definida por: f ( x) = c ,
d
então
[c] = 0 .
dx
Teorema_3 (Regra da Potência): Se n for um real
e f é uma função definida por: f ( x) = x n , então
d n
⎡ x ⎤ = nx n −1 .
dx ⎣ ⎦
E06. Use a regra para obter as derivadas das
seguintes funções:
a) f ( x) = x 3
b) f ( x) = x
−
3
2
Teorema_4 (Regra do múltiplo constante): Se f
for diferenciável em x e c for um número real
qualquer, então a função g ( x) = cf ( x) , também é
d
d
diferenciável em x e
[cf ( x)] = c [ f ( x)] .
dx
dx
E07. Use a regra para obter a derivada de
f ( x) = 4 x3 .
Teorema_5: Se f e g forem diferenciáveis em x,
então:
i) Regra da soma:
d
d
d
[ f ( x) + g ( x)] = [ f ( x) ] + [ g ( x) ]
dx
dx
dx
ii) Regra da diferença:
d
d
d
[ f ( x) − g ( x) ] = [ f ( x)] − [ g ( x)]
dx
dx
dx
iii) Regra do produto:
d
d
d
[ f ( x).g ( x)] = [ f ( x)].g ( x) + f ( x). [ g ( x)]
dx
dx
dx
iv) Regra do Quociente:
d
d
f ( x) ].g ( x) + f ( x). [ g ( x) ]
d ⎡ f ( x) ⎤ dx [
dx
=
2
dx ⎢⎣ g ( x) ⎥⎦
(
)
g
x
[ ]
E08. Use a regra para obter as derivadas das
seguintes funções:
a) f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 7 x + 5
b) g ( x) = ( x + 2)( −1 + x 2 )
c) h( x) =
x3 + 2 x 2 − 1
3x + 5
Vamos estudar as derivadas das funções
trigonométricas. Deduzindo por meio da
definição as derivadas das funções seno e
cosseno e por intermédio delas e das regras de
diferenciação vistas até agora conseguiremos
obter as derivadas das demais funções
trigonométricas.
Teorema_6: Sejam as funções f ( x) = sen( x)
e g ( x) = cos( x) então,
d
d
[sen( x)] = cos( x) e [cos( x)] = −sen( x)
dx
dx
Para as demais funções trigonométricas vale:
d
i)
[ tg( x)] = sec2 ( x)
dx
d
ii)
[sec( x)] = sec( x)tg( x)
dx
d
iii)
[cotg( x)] = −cossec2 ( x)
dx
d
iv)
[cossec( x)] = −cossec( x)cotg( x)
dx
E09. Obtenha a derivada de cada função dada:
sen( x)
a) f ( x) = xsen( x)
b) y=
1 + cos( x)
π
E10. Encontre f '( ) , se f ( x) = sec( x)
4
E11. (ANTON, 2007, p.206): Suponha que o
Sol nascente passe diretamente sobre um
prédio de 30 metros de altura e seja θ o ângulo
de elevação do Sol. Encontre a taxa segundo a
qual op comprimento x da sombra do prédio
está variando em relação a θ , quando θ = 450 .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
45
no ponto g ( x) , então a composição fog ( x) é
diferenciável no ponto x. Além disso, se
y = f ( g ( x)) e u = g ( x) então y = f (u ) e
dy dy du
ou
=
dx du dx
d
[ f ( g ( x))] = f '( g ( x)) g '( x)
dx
Vejamos agora como se obtém as derivadas de
funções exponenciais e funções logarítmicas.
Retomando a função y = ( x 2 + 1)100 podemos
reescrevê-la como sendo: y = f ( g ( x)) , onde
Teorema_7: Seja b ∈ tal que b > 0 e b ≠ 1 . Se
d x
⎡b ⎤ = ln(b).b x .
f ( x) = b x então
dx ⎣ ⎦
Em particular, se a base da função é b = e , então
d x
⎡e ⎤ = e x .
dx ⎣ ⎦
f ( x) = x100 e g ( x) = x 2 + 1 .
Assim, sabemos calcular a derivada de cada
função: f '( x) = 100 x 99 e g '( x ) = 2 x .
Logo,
pela
Regra
da
Cadeia,
dy
= 200 x( x 2 + 1)99 .
dx
Teorema_8: Seja b ∈ tal que b > 0 e b ≠ 1 . Se
d
1
f ( x) = log b ( x) então
.
[logb x ] =
dx
x ln b
Em particular, se a base da função é b = e , então
d
1
[ln( x)] = .
dx
x
E13. Use a Regra da Cadeia para encontrar a
derivada de cada função:
a) y = cos( x 3 )
b) f ( x) = 2( x 4 − 4 x)3
E12. Encontre:
d
[log3 ( x)]
dx
d
⎡ 2 x + 3e x ⎤⎦
c)
dx ⎣
a)
d x
⎡3 ⎤
dx ⎣ ⎦
1
⎤
d ⎡
4
d)
ln(
x
)
⎢
⎥
dx ⎣
⎦
b)
Derivada da Função Composta
As regras que conhecemos até agora não são
suficientes ou não são convenientes para
calcularmos derivadas das funções compostas
como da função y = ( x 2 + 1)100 . Neste caso
poderíamos expandir a expressão ( x 2 + 1)100 , mas
certamente esse caminho não é conveniente devido
ao número de operações envolvidas. Vejamos
outra estratégia.
O teorema a seguir indica como derivar funções
compostas gof ( x) em termos das derivadas de
f ( x) e de g ( x) , que são mais simples.
Teorema_9: (Regra da Cadeia) Se g ( x) for
diferenciável no ponto x e f ( x) for diferenciável
c) y = tg 2 ( x)
c) g ( x) = ln( x 2 + 1)
d) h( x) = e5 x
e) y = e( x
2
+1)
No exemplo a seguir veremos que as vezes é
mais adequado reescrever a função para depois
aplicar as regras de derivação.
E14. Calcule a derivada da função
⎛ x 2 sen( x) ⎞
y = ln ⎜
⎟
⎝ 1+ x ⎠
E15. Duas bobinas acopladas têm autoindutância, onde o coeficiente de mútua
indução L é igual a 0,05 Henry e a corrente i1
que percorre a bobina 2 é igual a
5sen(400t ) ampéres. Determinar a tensão v2
di
na bobina 2, sendo v2 = L .
dt
E16. O movimento de uma mola sujeita a uma
força de atrito ou a uma força de
amortecimento (como um amortecedor de um
carro), é freqüentemente modelado pelo
produto de uma função exponencial e uma
função seno ou cosseno. Suponha que a
equação de movimento de um ponto sobre essa
mola seja s (t ) = 2e −1,5t sen(2π t ) onde s é
medido em centímetros e t em segundos.
Encontre a velocidade após t segundos.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
46
Teorema_10 (Função Inversa): Seja f uma
função definida num intervalo aberto (a, b) . Se f é
derivável e injetora em (a, b) , então, f −1 é
derivável em qualquer ponto da imagem de f no
qual f '( f −1 ( x)) ≠ 0 e sua derivada é:
d
1
⎡⎣ f −1 ( x) ⎤⎦ =
dx
f '( f −1 ( x))
E17. Use o teorema acima para obter a derivada da
inversa da função f ( x) = x 3 + 1 .
Derivadas de Ordem Superior
Sabemos que a derivada f ' de uma função f é
também uma função. Assim, essa nova função
pode ser derivada novamente. Se f ' for derivável,
então, sua função derivada é denotada por f '' e
denominada de derivada segunda de f . Enquanto
tivermos diferenciabilidade, o processo pode ser
repetido, obtendo-se assim as derivadas terceira,
quarta, ou superiores.
Se y = f ( x) então as derivadas podemos denotar
as derivadas sucessivas da função por uma das
notações a seguir:
...
f'
f ''
f '''
f (4)
f (n)
dy
dx
d2y
dx 2
d3y
dx 3
d4y
dx 4
...
dny
dx n
derivada
primeira
derivada
segunda
derivada
terceira
derivada
quarta
...
derivada
n-ésima
O número de vezes que a função for diferenciável
é chamado de ordem da derivada.
E18. Se f ( x) = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 4 x + 2 então
indique todas as derivadas de ordem superior
possíveis.
Usando Derivadas para Calcular velocidade e
aceleração instantânea.
A questão fundamental da cinemática consiste em
determinar a velocidade de um móvel em um
instante qualquer quando é conhecida a equação de
seu movimento, ou seja, a expressão que nos dá o
espaço (posição) em função do tempo, s = f (t ) .
Quantitativamente a velocidade exprime em geral,
a razão de variação do espaço em relação ao tempo.
Quando esta razão é constante, temos o movimento
uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um espaço
Δs em um intervalo de tempo Δt , a velocidade
Δs
, que é uma razão
é dada pelo quociente v =
Δt
constante.
Quando, porém, temos um movimento variado,
ou seja, o móvel percorre espaços diferentes
em intervalos de tempo iguais, é necessário e
fundamental distinguir a velocidade média da
velocidade instantânea.
Se definirmos a função posição de um corpo se
movendo sobre uma reta como s = s (t ) , então:
i) a taxa de variação instantânea do espaço em
relação ao tempo, ou seja, a velocidade
instantânea v = v(t ) deste corpo é definida
como v(t ) = s '(t ) .
ii) a taxa de variação instantânea da velocidade
em relação ao tempo, conhecida como
aceleração instantânea a = a (t ) , é definida
como a(t ) = v '(t ) = s ''(t ) .
iii) a taxa de variação instantânea da aceleração
em relação ao tempo, conhecida como arranco
,
é
definida
como
j = j (t )
j (t ) = a '(t ) = v ''(t ) = s '''(t ) .
E19. Considere que a posição de uma partícula
é dada pela equação s (t ) = t 3 − 6t 2 + 9t , onde t
é medido em segundos e s em metros.
a) Encontre a aceleração no instante t.
b) Qual é a aceleração após 4 segundos?
c) Faça
o gráfico das funções posição,
velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 5 , num
mesmo sistema de eixos.
d) Quando a partícula está aumentando a
velocidade? Quando está diminuindo?
Taxas Relacionadas
Considere um líquido escoando através de um
filtro cônico. À medida que o líquido escoa,
seu volume V, a altura h e o raio r são funções
do tempo decorrido t, e em cada instante essas
variáveis estão relacionadas pela equação:
V=
π
r 2 h . Se tivéssemos interessados em
3
encontrar a taxa de variação do volume em
relação ao tempo, poderíamos começar
diferenciando ambos os lados dessa equação
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
47
em
relação
a
t
para
obter:
dV π ⎡ 2 dh
⎛ dr ⎞ ⎤
= ⎢r
+ h ⎜ 2r ⎟ ⎥
dt 3 ⎣ dt
⎝ dt ⎠ ⎦
dV π ⎛ 2 dh
dr ⎞
= ⎜r
+ 2rh ⎟ .
dt 3 ⎝ dt
dt ⎠
dV
em um instante
Assim, para encontrar
dt
específico t a partir dessa equação, precisaríamos
dh
dr
ter os valores de r, h,
e
naquele instante.
dt
dt
Esse tipo de problema é denominado Problema de
Taxas Relacionadas porque o objetivo é encontrar
uma taxa de variação desconhecida relacionando-a
a outras variáveis cujos valores de taxas de
variação no instante t são conhecidos, ou podem
ser encontrados de alguma maneira.
E20. Suponhamos que o óleo derramando através da
ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma
forma circular cujo raio cresce a uma taxa
constante de 2 pés/s. Com que velocidade a área do
derramamento está crescendo quando seu raio for
de 60 pés?
Diferenciação Implícita
Em geral trabalhamos com funções que definem y
explicitamente em relação à x. Entretanto, algumas
vezes, as funções são definidas por equações nas
quais y é dado implicitamente.
Por exemplo, a equação yx + y + 1 = x apresenta y
explicitamente em relação a x, mas poderia ser
escrita isolando-se y em apenas um lado da
igualdade, sendo assim uma equação explicita de y
x −1
em relação a x: y =
.
x +1
Uma equação em x e y pode implicitamente definir
mais de uma função de x. Isso pode ocorrer quando
o gráfico da equação não passa no teste da reta
vertical, e portanto não representa o gráfico de uma
função.
E21. Considere a equação da circunferência
x 2 + y 2 = 1 . Se resolvermos y em função de x,
encontramos duas funções que estão definidas
implicitamente por x 2 + y 2 = 1 , são elas as semi-
circunferências y = − 1 − x 2 e y = 1 − x 2 .
Definição_5: Uma dada equação em x e y
define a função f implicitamente se o gráfico de
y = f ( x) coincidir com alguma porção do
gráfico da equação.
Em muitos casos não é trivial ou mesmo
possível escrever uma equação implícita na
forma explicita. Tente com a x 3 + y 3 = 3 xy !
Para calcularmos a derivada de uma expressão
não é necessário que a variável dependente
esteja
explicitada.
Podemos
derivá-la
implicitamente e depois explicitar sua derivada.
Vejamos como fazer isso.
dy
do seguinte modo:
dx
i) Derive ambos os lados da equação em
relação a x, termo a termo. Ao fazê-lo, tenha
em mente que y é uma função de x e use a
regra da cadeia, quando necessário, para
derivar as expressões nas quais figure y.
Podemos calcular
ii) O resultado será uma equação onde figura
dy
não somente x e y, mas também
. Expresse
dx
dy
em função de x e y e estará explicitando
dx
dy
.
dx
E22. Encontre a derivada de cada função,
implicitamente.
a) xy = 1
b) 5 y 2 + sen( x) = x 2
c) x 3 + y 3 = 3 xy
E23. Use derivação implícita para mostrar que
d r
⎡ x ⎤ = rx r −1 , supondo x r derivável e r ∈ .
dx ⎣ ⎦
Trajetórias Ortogonais (STEWART, p. 230)
Duas curvas são chamadas ortogonais se em
cada ponto de intersecção suas tangentes são
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
48
perpendiculares. No próximo exemplo vamos usar
a diferenciação implícita para mostrar que duas
famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma
da outra; isto é, cada curva em uma família é
ortogonal a todas as curvas da outra família. As
famílias ortogonais surgem em várias áreas da
física. Por exemplo:
* As linhas de força de um campo eletrostático são
ortogonais às linhas de potencial constante.
* As isotérmicas (curvas de mesma temperatura)
são ortogonais às linhas de fluxo de calor.
* As linhas aerodinâmicas (curvas de direção do
fluxo de ar) são trajetórias ortogonais às curvas
velocidade-equipotenciais.
E24. A equação xy = c, c ≠ 0 representa uma
família de hipérboles. (valores distintos da
constante c dão origem a diferentes hipérboles. A
equação x 2 − y 2 = k , k ≠ 0 representa outra
família de hipérboles com assíntotas y = ± x .
Mostre que toda curva da família xy = c é
recíprocos negativos uma da outra, portanto, as
curvas se interceptam em ângulos retos.
Estudo do Comportamento de Funções por
meio de suas Derivadas.
Vamos ver como as derivadas contribuem para
determinar o comportamento preciso de
funções reais indicando pontos chaves de seus
gráficos.
Funções Crescentes e Decrescentes
Definição_6: Seja f definida em um intervalo e
sejam x1 e x2 pontos do intervalo.
i) f é crescente no intervalo se f ( x1 ) < f ( x2 )
para x1 < x2 .
ii) f é decrescente no intervalo se
f ( x1 ) > f ( x2 ) para x1 < x2 .
iii) f é constante no intervalo se f ( x1 ) = f ( x2 )
para todos os pontos x1 e x2 .
ortogonal a toda curva na família x 2 − y 2 = k .
Na figura 10 estão as
curvas:
* xy = c com c1 = −2 ,
c2 = −1 , c3 = 1 e c4 = 2 ;
* x 2 − y 2 = k com
k1 = −2 , k2 = −1 , k3 = 1
e k4 = 2 .
Figura 10
Resolução:
Diferenciando implicitamente a equação xy = c ,
obtemos:
dy
dy
y
y + x = 0 , logo
=− .
dx
dx
x
Diferenciando
implicitamente
x 2 − y 2 = k , obtemos:
dy
dy x
= .
2x − 2 y
= 0 , logo
dx y
dx
a
equação
Esses resultados mostram que, em qualquer ponto
de intersecção das curvas, em qualquer família, os
coeficientes angulares das retas tangentes são os
Figura 11
Podemos perceber que é possível estabelecer
uma relação entre crescimento e decrescimento
da função com sua derivada. O próximo
teorema estabelece isso.
Teorema_11: Seja f uma função contínua em
um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no
intervalo aberto (a, b) .
i) Se f '( x) > 0 para todo valor de x em (a, b) ,
então f é crescente em [a, b] .
ii) Se f '( x) < 0 para todo valor de x em (a, b) ,
então f é decrescente em [a, b] .
iii) Se f '( x) = 0 para todo valor de x em (a, b) ,
então f é constante em [a, b] .
Embora o teorema tenha sido enunciado para
um intervalo [a, b] , ele é aplicável a qualquer
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
49
intervalo no qual f é contínua e dentro do qual é
diferenciável. Por exemplo, se f for contínua em
[ a, +∞) e f '( x) > 0 para todo x no intervalo
(a, +∞) , então f é crescente em [a, +∞) .
Este teorema informa que, conhecendo o sinal da
derivada de primeira ordem da função, temos
condições de inferir sobre os intervalos em que o
gráfico da função é crescente, decrescente ou
constante.
E25. Encontre os intervalos nos quais
f ( x) = x 2 − 4 x + 3 é crescente e os intervalos nos
quais é decrescente; e faça um esboço de gráfico
de f ( x) e de f '( x) .
E26. Estude o comportamento da função f ( x) = x 3
em termos de seu crescimento.
E27. Conforme estudos, a estimativa da pressão
atmosférica local, com pressão atmosférica padrão
igual a 1atm, é dada, em função da altitude local x,
3
⎡ 0,0065 x ⎤
. Analise se esta é
como f ( x) = ⎢1 −
288 ⎥⎦
⎣
uma função crescente ou decrescente, calcule
f '(200) e justifique seu significado.
Concavidade
Embora o estudo do sinal da derivada indique onde
a função é crescente ou decrescente, ele não indica
a direção da curvatura do gráfico. Para termos mais
precisão no traçado de gráficos, vamos conhecer
como determinar a curvatura do gráfico de uma
função.
Definição_7: Se f é diferenciável em um intervalo
aberto (a, b) , então dizemos que:
i) f é côncava para cima em (a, b) se f’ é crescente
neste intervalo; e
ii) f é côncava para baixo em (a, b) se f’ é
decrescente neste intervalo.
Como as inclinações das retas tangentes ao gráfico
de uma função diferenciável f são os valores da
função derivada f’ de f, podemos concluir, por
meio do último teorema, que f’será crescente nos
intervalos nos quais f’’ é positiva e decrescente em
intervalos nos quais f’’ é negativa. Assim, temos o
seguinte teorema.
Teorema_12: Seja f uma função que admite
derivada de segunda ordem em um intervalo
aberto (a, b) .
i) Se f ''( x) > 0 para todo valor de x em (a, b) ,
então f é côncava para cima em (a, b) .
ii) Se f ''( x) < 0 para todo valor de x em (a, b) ,
então f é côncava para baixo em (a, b) .
Ponto de Inflexão
O ponto exato onde ocorre uma mudança de
concavidade no gráfico de uma função é um
ponto bem caracterizado. Vejamos a definição
a seguir.
Definição_8: Se f é contínua em um intervalo
aberto (a, b) , tal que x0 ∈ (a, b) e muda de
concavidade no ponto ( x0 , f ( x0 )) , então,
dizemos que o ponto ( x0 , f ( x0 )) do gráfico é
um ponto de inflexão de f.
Os pontos de inflexão marcam os lugares da
curva y = f ( x) em que a taxa de variação de y
em relação a x muda de crescente para
decrescente, ou vice-versa.
Teorema_13: Se a função f for diferenciável
em algum intervalo aberto contendo x0 e se
( x0 , f ( x0 )) for um ponto de inflexão do gráfico
de f, então, se f ''( x0 ) , f ''( x0 ) = 0 .
A Figura 12 ilustra o
gráfico
da
função
4
3
f ( x) = 3x − 6 x + 2 x ,
que possui dois pontos de
inflexão: (0,0) e (1, −1) .
Observe a mudança de
concavidade do gráfico
nesses pontos e veja que
f ''( x) = 0 nesses pontos.
Figura 12
E28. A Figura 13 sugere que a função
f ( x) = xe − x tem um ponto de inflexão, mas
sua localização exata não é evidente.
Investigue a existência de pontos de inflexão
nesta função, por meio do estuda das derivadas.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
50
Figura 13
Estudo de Máximos e Mínimos de Funções
Para que possamos esboçar com precisão gráficos
de funções, outro conceito fundamental é o de
valores extremos da função. Além de que esse
conceito é indispensável ao estudo de otimização
de funções, que veremos em seguida. Portanto,
vamos a algumas definições.
Definição_9 (Máximos e Mínimos Relativos):
Dizemos que uma função f tem:
i) um máximo relativo em x0 se houver um
intervalo aberto tal que x0 ∈ (a, b) no qual f ( x0 ) é
o maior valor da função, ou seja, f ( x0 ) ≥ f ( x)
para todo x em (a, b) .
ii) um mínimo relativo em x0 se houver um
intervalo aberto tal que x0 ∈ (a, b) no qual f ( x0 ) é
o menor valor da função, ou seja, f ( x0 ) ≤ f ( x)
para todo x em (a, b) .
Quando f tiver um máximo ou um mínimo relativo
em x0 dizemos que f tem um extremo relativo em
x0 .
Mas como podemos identificar a existência de tais
pontos extremos? O teorema a seguir nos indica
um caminho.
Teorema_14: Suponha que f seja uma função
definida em um intervalo aberto tal que x0 ∈ (a, b) .
Se f tem um extremo relativo em x0 , então x0 é
um ponto crítico de f; assim, ou f '( x0 ) = 0 , ou f
não é diferenciável em x0 .
Figura 14
Na figura 14, os pontos de mínimo relativos
são correspondentes as abscissas: x1 , x4 , x6 e
todo x ∈ ( x8 , x9 ) , enquanto os pontos de
máximo relativos são correspondentes as
abscissas: x2 , x5 , x7 .
Observe que todos os valores nem sempre um
ponto crítico define um ponto de máximo ou
de mínimo relativo. Por exemplo, o ponto
( x3 , f ( x3 )) é um ponto de inflexão!
E29. Encontre todos os pontos críticos de cada
função:
a) f ( x) = x 3 − x + 1
b) g ( x) = x 3
c) h(t ) = sen(t ) + 2
5
2
d) r ( x) = 3 x 3 − 15 x 3
⎧⎪t 2 − 2t + 2, se t ≤ 2
d) s (t ) = ⎨ 3
⎪⎩t − 27t + 48, se t > 2
Veremos na seqüência, dois testes que serão de
grande valia para classificar os pontos críticos
devidamente. Pois sabemos, pelo último
teorema acima, que extremos relativos devem
ocorrer em pontos críticos, mas não temos
garantia que todo ponto crítico seja um
extremo relativo.
Teorema_15 (Teste da Derivada Primeira):
Suponha f contínua em um ponto crítico x0 .
i) Se f '( x) > 0 em um intervalo aberto
imediatamente à esquerda de x0 e f '( x) < 0
em um intervalo aberto imediatamente à direita
de x0 , então f tem um máximo relativo em x0 .
ii) Se f '( x) < 0 em um intervalo aberto
imediatamente à esquerda de x0 e f '( x) > 0
em um intervalo aberto imediatamente à direita
de x0 , então f tem um mínimo relativo em x0 .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
51
iii) Se f '( x) tiver o mesmo sinal tanto em um
intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0
quanto em um intervalo aberto imediatamente à
direita de x0 , então f não tem um extremo relativo
em x0 .
E29,5. Use o teste da derivada primeira para
classificar os pontos críticos da função
5
2
r ( x) = 3 x 3 − 15 x 3 , encontrados no item d) do
exercício anterior.
Teorema_16 (Teste da Derivada Segunda):
Suponha f admita derivada de segunda ordem em
um ponto x0 .
i) Se f '( x0 ) = 0 e f ''( x0 ) > 0 , então f tem um
mínimo relativo em x0 .
ii) Se f '( x0 ) = 0 e f ''( x0 ) < 0 , então f tem um
máximo relativo em x0 .
iii) Se f '( x0 ) = 0 e f ''( x0 ) = 0 , então o teste é
inconclusívo, isto é, f pode ter um máximo ou um
mínimo relativo ou um ponto de inflexão x0 .
E30. Encontre os extremos relativos de
f ( x) = 3 x5 − 5 x3 .
Veremos agora outro conceito de importância para
a construção gráfica de funções, o de assíntotas
oblíquas e assíntotas curvilíneas. Estas, em geral
ocorrem em funções racionais em que o grau do
polinômio do numerador é maior do que o do
denomurador.
Assíntotas Oblíquas e Curvilíneas
Na Figura 15 o gráfico da função a) apresenta uma
assíntota vertical e outra oblíqua, enquanto na
função b) o gráfico apresenta, uma assíntota
vertical e outra curvilínea.
x2 + 1
x 3 − x 2 − 81
b) f ( x) =
a) f ( x) =
x
x −1
P ( x)
e P( x) tem
Q( x)
grau maior do que Q( x) , podemos obter
polinômios quociente q( x) e resto r ( x) , sendo
r ( x)
.
que f ( x) = q ( x) +
Q( x)
Em geral, quando f ( x) =
Nesta formulação, o grau de r ( x ) é menor do
r ( x)
=0 e
que o grau de Q( x) , assim, lim
x →+∞ Q ( x )
r ( x)
lim
= 0 , de modo que y = q ( x) é uma
x →−∞ Q ( x )
assíntota de f. Sua classificação é feita a seguir:
i) Se o grau de P( x) é um a mais do que o
grau de Q( x) , então temos uma assíntota
oblíqua (reta).
ii) Se o grau de P( x) exceder o grau de Q( x)
em dois ou mais, então temos uma assíntota
curvilínea.
E31. Faça as contas para as funções dadas na
Figura 15, identifique tais assíntotas
confirmando os gráficos indicados.
Com os conceitos estudados até aqui já temos
ferramentas suficientes para esboçar gráficos
de funções com bastante precisão. As
propriedades que, se observadas, contribuem
na construção gráfica são:
* simetrias
* periodicidade
* raízes da função
* intersecção com eixo-y
* extremos relativos
* pontos de inflexão
* crescimento e decrescimento
* concavidades
* comportamento no infinito
* assíntotas
Vamos usar esses conhecimentos para esboçar
o gráfico de algumas funções.
E32. Esboce o gráfico de cada função:
2
2 x2 − 8
b) g ( x) = ( x − 4) 3
a) f ( x) = 2
x − 16
Figura 15
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
52
c) y = e
−
2
x2
2
16 x 3
d) f ( x) = x −
3
4
1
e) y = x 3 − 2 x 3
Máximos e Mínimos Absolutos
Definição_10: Seja I um intervalo no domínio de
uma função f. Dizemos que f tem um máximo
absoluto em I em um ponto x0 se f ( x) ≤ f ( x0 )
para todo x em I, e que f tem um mínimo absoluto
em x0 se f ( x) ≥ f ( x0 ) para todo x em I. Se f tiver
em x0 máximo absoluto ou mínimo absoluto,
dizemos que f tem em x0 um extremo absoluto.
Teorema_17 (Teorema do Valor Extremo): Se f
for contínua em um intervalo fechado [a, b] , então,
f assume um valor máximo absoluto f ( xmax ) em
algum número xmax ∈ [a, b] e um valor mínimo
absoluto f ( xmim ) em algum número xmim ∈ [a, b] .
Na Figura 16 vemos no primeiro gráfico um
exemplo de função que satisfaz as hipóteses do
teorema, já o segundo gráfico mostra que uma
função pode não possuir valor extremo se for
omitida alguma das hipóteses (continuidade ou
intervalo fechado) do teorema do valor extremo.
Figura 16
Procedimento para encontrar os Extremos
Absolutos de uma Função contínua em um
Intervalo Fechado
i) encontre os números críticos de f em (a, b) ;
ii) encontre os valores de f em todos os números
críticos de f e nos extremos a e b.
iii) o maior entre os valores obtidos no item ii) é o
valor máximo absoluto de f em [a, b] e o menor é
o valor mínimo absoluto.
E33. Por várias semanas, o serviço de trânsito vem
pesquisando a velocidade do tráfego numa autoestrada. Verificou-se que, num dia normal de
semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do
tráfego
é
de,
aproximadamente
v(t ) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 40 km/h, onde t é o
número de horas transcorridas após o meio-dia.
A que horas, dentro do intervalo de tempo
mencionado, o tráfego se move mais
rapidamente e a que horas se move mais
lentamente?
E34. Encontre os valores extremos absolutos, se
3
2
houver, da função f ( x) = e x −3 x no intervalo
(0, +∞) .
E35. Se a potência P , em watts, que um certo
gerador lança num circuito elétrico é dada por
P = 20 i − 51 i 2 onde i é a intensidade de
corrente elétrica que atravessa o gerador, em
ampères, pede-se para que intensidade da
corrente este gerador lança no circuito sua
potência máxima?
E36. Sendo 5832 cm3 o volume de um
reservatório de água com base quadrada,
R$3,00 por cm2 o preço por material da tampa
e da base e R$1,50 por cm2 o valor do material
para os lados, calcule as dimensões desse
reservatório de modo que o custo total do
material seja mínimo.
E37. Deseja-se cercar um terreno retangular de
área 60m2, de modo que o custo para cercar as
laterais seja de R$ 300,00 por metro linear e o
custo para cercar a frente e o fundo seja de
R$ 500,00 por metro linear. Determine as
dimensões do terreno de modo que o custo
para cercá-lo seja o menor possível. Neste caso,
qual o custo mínimo?
E38. Um tanque cônico de aço. Sem tampa, tem
capacidade de 1000 m3. Determine as
dimensões do tanque que minimiza a
quantidade de aço usada na sua fabricação.
Figura 17
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
53
Uma Aplicação à Economia (ANTON, 2007, p. 316)
Três funções de importância para uma economista
ou para um industrial são:
C ( x) : custo total da produção de x unidades de um
produto, durante certo período de tempo;
C ( x) : receita total da venda de x unidades do
produto, durante o período de tempo;
L( x) : lucro total obtido da venda de x unidades do
produto, durante o período de tempo.
Elas são denominadas, respectivamente. Função
custo, função receita e função lucro. Se todas as
unidades produzidas forem vendidas, elas estarão
relacionadas por L( x) = R ( x) − C ( x) .
O custo total da produção de x unidades pode ser
expresso como uma soma C ( x) = a + M ( x) , onde
a é uma constante denominada despesas gerais e
M ( x) é uma função representando o custo de
manufatura. As despesas gerais, as quais incluem
custos fixos como aluguel e seguro, não dependem
de x, devem ser pagas mesmo que não haja
produção. Por outro lado, o custo de manufatura
M ( x) , o qual inclui itens como custo do material e
do trabalho, depende do número de artigos
manufaturados. Mostra-se em Economia que, com
hipóteses simplificadoras adequadas, M ( x) pode
ser expresso na forma M ( x) = bx + cx 2 , onde, b e c
são constantes. Assim,a função custo fica
C ( x) = a + bx + cx 2 .
Um principio básico em Economia diz que: o
lucro máximo ocorre em um ponto no qual o
custo de fabricação e de venda de uma
unidade adicional de um produto é
aproximadamente igual à receita gerada por
uma
unidade
adicional.
E39. Uma forma de penicilina fabricada por
uma indústria farmacêutica é vendida a granel
a um preço de $200 por unidade. Se o custo
total de produção (em dólares) para x unidades
for C ( x) = 500000 + 80 x + 0,003x 2 e se a
capacidade de produção da indústria for de, no
máximo, 30000 unidades em um tempo
especificado, quantas unidades de penicilina
devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo
para maximizar o lucro?
Teorema do Valor Médio
Inicialmente vamos observar os dois conjuntos
de gráficos de funções para estabelecer uma
discussão a respeito de suas propriedades.
Figura 18
Se uma indústria puder vender todos os artigos
produzidos por p dólares cada, então sua receita
total será R ( x) = px e seu lucro total será
L( x) = px − (a + bx + cx 2 ) . Dependendo de fatores
tais como número de empregados, maquinário
disponível, condições econômicas e concorrência,
há uma limitação superior l no número de artigos
que um fabricante é capaz de produzir e vender.
Desse modo, durante um período de tempo fixo, a
variável x irá satisfazer 0 ≤ x ≤ l .
Os economistas definem L '( x) , R '( x) e C '( x)
como lucro margina, receita marginal e custo
marginal, respectivamente, e interpretam essas
quantidades como o lucro, a receita e os custos
adicionais que resultam da produção e da venda de
uma unidade adicional do produto, quando o nível
de produção e de venda deste é de x unidades.
Figura 19
Os gráficos das funções representadas nas
Figuras 18 e 19 satisfazem as condições do
teorema que enunciamos a seguir:
Teorema_18: Teorema do Valor Médio
(TVM)
Seja f uma função que satisfaz as seguintes
hipóteses:
i) f é continua em [ a, b ]
ii) f é derivável em ( a, b ) .
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
54
Então existe um número c ∈ ( a, b ) tal que
f (b) − f (a )
ou de maneira equivalente,
b−a
f (b) − f (a) = f '(c)(b − a) .
f '(c) =
A Figura 20 nos dá exemplos de funções onde não
se aplica o Teorema do Valor Médio, justamente
porque estas não estão nas condições do Teorema.
O Teorema do Valor Médio estabelece as
condições mínimas que uma função s deve
satisfazer
para
que
a
igualdade
s (b) − s (a)
= v(t * ) = s '(t * )
seja
vM (t ) =
b−a
verdadeira.
Teorema_19: Teorema de Rolle
Seja f uma função que satisfaz as seguintes
hipótese:
i) f é continua em [ a, b ]
ii) f é derivável em ( a, b )
iii) f (a ) = f (b)
Figura 20
Para compreender o significado do Teorema do
Valor Médio faremos uma analogia com a seguinte
situação:
Se a média de velocidade, em uma viagem de carro
de uma cidade a outra, é de 80Km/h, então em
algum momento da viagem o velocímetro do carro
deve ter marcado 80Km/h. Fazendo uma leitura em
termos matemáticos, seja s (t ) a posição do carro
em cada instante t . Se a viagem começa em t = a
(horas) e termina em t = b (horas), a velocidade
s (b) − s (a)
.
média é dada por: vM (t ) =
b−a
A afirmação de que em algum momento da viagem
a velocidade instantânea deve ser igual a
velocidade média, significa que em algum tempo
s (b) − s (a )
= v(t * ) = s '(t * ) .
t * tem-se vM (t ) =
b−a
Dando interpretação similar, porém, agora
observando o conjunto de gráficos da Figura 18,
podemos perceber que se a função de posição s (t )
de um objeto em movimento passar pelo mesmo
lugar um dois instantes diferentes, t = a e t = b
então s (a ) = s (b) , o que indica que pelo menos
uma vez no percurso, o objeto teve velocidade
instantânea nula.
Na verdade este resultado é dado pelo Teorema de
Rolle. Nós o enunciaremos na seqüência, também
porque iremos utilizá-lo na demonstração do TVM.
Então existe um número c ∈ ( a, b ) tal que
f '(c) = 0 .
Podemos observar que o conjunto de funções
representadas graficamente na Figura 18
satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle.
Demonstração do TVM
Vamos construir as funções S e g para
compor a demonstração:
f (b) − f (a )
S ( x) = f (a ) +
( x − a)
•
,
b−a
x ∈ [ a, b ] , cujo gráfico é a reta secante ao
gráfico de f passando pelos pontos ( a, f (a) )
e ( b, f (b) ) e
g ( x) = f ( x) − S ( x) , com x ∈ [ a, b ]
•
note que a função g assim definida, mede,
para cada x ∈ [ a, b ] , a distância vertical entre
os pontos ( x, f ( x)) no gráfico de f e
( x, g ( x)) na reta secante S . Veja que
g (a ) = g (b) = 0 .
A função g satisfaz as condições do teorema
de Rolle, então, existe c ∈ ( a, b ) tal que
g '(c) = 0 . Além disso, g '( x) = f '( x) − S '( x) e
f (b) − f (a )
,
assim,
S '( x) =
b−a
f (b) − f (a )
g '( x) = f '( x) −
.
b−a
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
55
f (b ) − f ( a )
=0 .
b−a
Portanto, f (b) − f (a) = f '(c)(b − a) .
Geometricamente, podemos perceber
que a reta tangente ao gráfico de f é paralela ao
Para
x=c ,
g '(c) = f '(c) −
segmento da reta secante em [ a, b ] exatamente em
um ponto em que a função g atinge o seu maior
valor.
Conseqüências do Teorema do Valor Médio
A primeira conseqüência é a recíproca do fato
trivial de que a derivada de uma função constante é
igual a zero, ou seja, se a derivada de uma função é
zero, a função é constante. A princípio nada nos
assegura que este fato seja verdadeiro. Será que
não poderia existir uma função desconhecida,
estranha, e não constante cuja derivada fosse zero?
Bem, com o Teorema do Valor Médio podemos
provar que tal função estranha não existe.
f
g h
Figura 21
Observe que as retas tangentes correspondentes,
de cada curva são paralelas, ou seja, suas
derivadas são iguais para todo x .
Corolário 3 (Funções crescentes e decrescentes)
•
Se f '( x) > 0 para todo x ∈ [ a, b ] , então f
é uma função crescente em [ a, b ] .
•
Se f '( x) < 0 para todo x ∈ [ a, b ] , então f
é uma função decrescente em [ a, b ] .
Nos corolários que seguem consideramos f e g
Corolário
contínuas no intervalo fechado [ a, b ] e deriváveis
generalizado)
em ( a, b ) .
Sejam f e g contínuas em [ a, b ] e deriváveis
em ( a, b ) e suponha além disso que
g '( x) ≠ 0 para a < x < b . Então existe pelo
menos um c entre a e
b tal que
f '(c) f (b) − f (a)
=
g '(c) g (b) − g (a)
Corolário 1 (Funções com derivada zero)
Se f '( x) = 0 para todo x ∈ ( a, b ) , então f
é uma
função constante em [ a, b ] , isto é, existe um
número real k, tal que, f ( x) = k , qualquer que seja
o ponto x de [ a, b ] .
Corolário 2 (Funções com derivadas iguais)
Se f '( x) = g '( x) , para todo x no intervalo ( a, b ) .
Então, f e g diferem por uma constante, isto é,
existe um número real k , tal que, f ( x) = g ( x) + k ,
para todo x ∈ [ a, b ] .
Interpretação Geométrica:
Como as duas funções f e g diferem por uma
constante, o gráfico de f pode ser obtido a partir
do gráfico de g , ou vice-versa, por uma translação
vertical. Além disso, como estas funções têm a
mesma derivada em cada ponto x ∈ [ a, b ] , seus
gráficos tem retas tangentes paralelas nos pontos
correspondentes ( x, f ( x)) e ( x, g ( x)) . Por isso
estes gráficos são ditos paralelos. Veja Figura 21:
4
(Teorema
do
Valor
Médio
1 3
x +1
4
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor
Médio no intervalo [0, 2] e encontre todos os
valores de c do intervalo (0, 2) , nos quais a
reta tangente ao gráfico de f é paralela à reta
secante
que liga os pontos (0, f (0)) e
(2, f (2)) .
E40. Mostre que a função
f ( x) =
Cálculo de Limites Indeterminados pela
Regra de L’Hôpital
Comumente, ao estudar limites, aparecem
expressões indeterminadas. Por exemplo:
x
lim x
, onde a expressão indeterminada é
x →0 e − 1
0
. Vamos conhecer o Teorema de
do tipo
0
L’Hôpital, que nos indica um método para
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
56
“eliminar” estas indeterminações e calcular limites
de uma forma mais eficiente.
Teorema_20: Teorema de L’Hôpital: Sejam f e g
funções diferenciáveis em um domínio D que pode
ser um intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos, exceto possivelmente em um
ponto a e g ( x) ≠ 0 para todo x ≠ a .
f '( x)
=L ,
g '( x)
i) Se lim f ( x) = lim g ( x) = 0 e lim
x →a
então: lim
x →a
x→a
x →a
f ( x)
f '( x)
= lim
=L.
g ( x) x → a g '( x)
ii) Se lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ e lim
x →a
x→a
x→a
f '( x)
=L ,
g '( x)
f ( x)
f '( x)
= lim
=L.
x →a g ( x)
x → a g '( x )
Observe que:
a) o teorema também é válido para limites no
infinito.
b) se f’ e g’ satisfazem as hipóteses do teorema e
f ''( x)
lim
= L então:
x → a g ''( x )
f '( x)
f ''( x)
lim
= lim
=L
x → a g '( x )
x → a g ''( x )
c) se a função da qual estamos calculando o limite
é n vezes diferenciável, podemos derivar
sucessivamente até “eliminar” a indeterminação.
então: lim
E41. Calcule os limites:
sen( x)
x2 − 4x + 4
ax −1
a) lim 2
b) lim
c) lim
x
→
0
x →0
x →+∞ x − x − 2
x
x
O teorema de L’Hôpital nos indica somente como
0
∞
resolver indeterminações do tipo
e
. Outros
∞
0
tipos de indeterminação como (0.∞ ) , ∞ 0 , ∞ − ∞ ,
00 e 1∞ , podem ser resolvidos transformando-os
nos tipos já estudados.
E42. Calcule os limites:
a) lim+ x ln( x)
⎛ 1
⎞
1
b) lim ⎜ 2 − 2
⎟
x →0 x
x sec( x) ⎠
⎝
c) lim(1 + x)cotg( x )
⎛ 1⎞
d) lim ⎜1 + ⎟
x →+∞
x⎠
⎝
x →0
x →0
e) lim ( x)e
x →+∞
-x
f) lim x x
x →0
x
Ficam recomendados todos os Exercícios
referentes
aos
conteúdos
estudados:
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S.
Cálculo. vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8
ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
57
5. Integração
Introdução
Até o momento, nosso problema era, dada uma
função obter a sua derivada. A partir de agora,
trabalharemos com a pergunta inversa: Dada uma
função de quem ela é derivada?
A operação contrária a diferenciação (ou a
derivação) é chamada antidiferenciação ou antiderivada.
Definição_1 (de Antiderivadas)
Dizemos que uma função F é uma antiderivada de
uma função f em um dado intervalo se
F '( x) = f ( x) para cada x em do intervalo.
Exemplo_1:
Seja
f ( x) = 4 x3 + 2 x + 1
,
F ( x) = x 4 + x 2 + x é uma antiderivada da função I,
pois F '( x) = f ( x) .
Mas não existe uma única antiderivada, note, por
exemplo que : G ( x) = x 4 + x 2 + x + 5 também é
uma antiderivada de f pois G '( x) = f ( x) .
expressa na forma F ( x) + C , escolhendo-se
apropriadamente a constante C.
A Integral Indefinida
O processo de encontrar antiderivadas é
chamado antiderivação, antidiferenciação ou
d
integração. Assim, se
[ F ( x)] = f ( x) então,
dx
integrando ou antiderivando a função
f ( x) , obtemos uma antiderivada da forma
F ( x) + C . A notação usada para identificar
esse processo é:
∫ f ( x)dx =F ( x) + C , onde C
é uma constante arbitrária.
Veja que:
1
∫ x dx = 3 x
2
3
+ C é equivalente a
d ⎡1 3
⎤
x + C ⎥ = x 2 . São notações diferentes,
⎢
dx ⎣ 3
⎦
d ⎡
f ( x)dx ⎤ = f ( x) .
apenas. Assim,
⎦
dx ⎣ ∫
A expressão
∫ f ( x)dx
é denominada integral
Na verdade, qualquer função definida por:
H ( x) = x 4 + x 2 + x + c , onde c é uma constante
real, será uma antiderivada de f.
indefinida. Sua interpretação geométrica é de
uma família de funções, que diferem apenas
por uma constante.
1
Exemplo_2: A função F ( x) = x 3 , é uma
3
antiderivada da função f ( x) = x 2 no intervalo
(−∞, +∞) porque, para cada x nesse intervalo,
Exemplo_3:
2
3
∫ (3x − 2)dx = x − 2 x +
d ⎡1 3 ⎤
x = x 2 = f ( x) . Outras
dx ⎢⎣ 3 ⎥⎦
antiderivadas de f em (−∞, +∞) podem ser obtidas
somando-se diferentes constantes a antiderivada
1
F '( x) conhecida. Como: F1 ( x) = x 3 + 2 ,
3
1 3
1 3
F2 ( x) = x + 5 , F3 ( x) = x − 200034 , etc.
3
3
temos
F '( x) =
Teorema_1 (p. 356 ANTON, 2007): Se F ( x) for
qualquer antiderivada de f ( x) em um intervalo I,
então para qualquer constante C a função
F ( x) + C é também uma antiderivada de
f ( x) naquele intervalo. Além disso, cada
antiderivada de f ( x) no intervalo I pode ser
. A Figura1ilustra três
curvas desta família,
em que C = −1 , C = 2
e C = 3.
Figura 1
Observe que o símbolo diferencial dx das
operações de derivação e antiderivação
d
[ f ( x)] e ∫ f ( x)dx apenas indicam a
dx
variável independente.
Para facilitar o nosso processo de obtenção da
anti-derivada de uma função, veremos
algumas regras:
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
58
Integração Simples
Tabela de integrais
Sejam u e v funções, e sejam a e C constantes.
1. ∫ du = u + C
2.
1
∫ u du = ln u + C
uα +1
+ C , α ∈ − {−1}
α +1
au
4. ∫ a u du =
+ C , a > 0, (a ≠ 1)
ln(a)
3. ∫ uα du =
5. ∫ eu du = eu + C
∫ sen(u )du = − cos(u) + C
7. ∫ cos(u )du = sen(u ) + C
8. ∫ sec (u )du = tg (u ) + C
9. ∫ cosec (u )du = −cotg (u ) + C
10. ∫ sec(u )tg (u )du = sec(u ) + C
11. ∫ cosec(u )cotg(u )du = −cosec(u ) + C
6.
Propriedades da Integral Indefinida
Teorema_2: Sejam F(x) e G(x) antiderivadas
de f(x) e g(x), respectivamente, e a e C
constantes. Então:
a) ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx ou equivalentemente
∫ af ( x)dx = aF ( x) + C
b) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x)dx ou
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = F ( x) ± G ( x) + C
De modo geral, vale o seguinte resultado:
∫ [a1 f1 ( x) + a2 f 2 ( x) + ... + an f n ( x)]dx =
= a1 ∫ f1 ( x)dx + a2 ∫ f 2 ( x)dx + ... + an ∫ f n ( x)dx
2
2
∫
du
= arcsen(u ) + C
1 − u2
du
13. ∫
= arctg (u ) + C
1 + u2
du
= arc sec(u ) + C
14. ∫
u u2 −1
15. ∫ senh(u ) du = cosh(u ) + C
12.
16. ∫ cosh(u )du = senh(u ) + C
17. ∫ sech (u )du = tgh(u ) + C
2
Exemplo_4: Utilizando as regras de integração,
determine as integrais abaixo
a) ∫ 3dx
Resolução:
∫ 3dx = 3∫ dx = 3x + C
b)
∫ xdx
Resolução:
x1+1
x2
xdx
=
+
c
=
+C
∫
1+1
2
c) ∫ ( 3x 2 − 6 x + 8) ) dx
Resolução:
2
2
∫ ( 3x − 6 x + 8) ) dx = ∫ 3x dx − ∫ 6 xdx + ∫ 8dx
18. ∫ cosech 2 (u ) du = −cotgh(u ) + C
= 3∫ x 2 dx − 6∫ xdx + 8∫ dx
19. ∫ sech(u )tgh(u )du = −sech(u ) + C
=3
20. ∫ cosech(u )cotgh(u )du = −cosech(u ) + C
21.
∫
22.
∫
23.
∫u
du
1 + u2
du
u2 −1
du
= arcsenh(u ) + C
= arccosh(u ) + C
1 − u2
= arcsech( u ) + C
d)
∫5
x3
x2
− 6 + 8x + C
3
2
dx
x3
Resolução:
Transformando a raiz em expoente fracionário,
temos:
3
−
dx
1
5
dx
x
=
=
∫ 5 x3 ∫ x 35 ∫ dx
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
59
− 3 +1
3
2
x 5
x 5 5 52
=
+C =
= x +C
2 2
−3
+1
5
5
Ou seja,
dx
55 2
∫ 5 x3 = 2 x + C
Exercícios (Desenvolvido em sala de aula):
E01: Calcule as seguintes integrais, com auxílio das
propriedades e da tabela de integrais.
a) ∫ [sec( x)tg ( x) + cos( x)]dx
1 ⎞
⎛
x
b) ∫ ⎜10e + 4 ⎟dx
x⎠
⎝
c)
∫ sen
2
Exemplo_6: Resolva a integral ∫ t.( 5 + 3t 2 ) dt
( x)dx
8
Integração pelo Método da Substituição
Esse método é baseado na regra da cadeia. Sejam F
uma antiderivada de f em um intervalo I e g uma
função derivável tal que Fog = F ( g ( x)) esteja
definida. Usando a regra da cadeia, temos:
[ F ( g ( x))]´= F´( g ( x)) g´( x) .
Por definição, sabemos que F ´( g ( x)) = f ( g ( x)) ,
assim,
[ F ( g ( x))]´= f ( g ( x)) g´( x) .
Logo, F ( g ( x)) é uma antiderivada de
f ( g ( x)).g´( x) , então:
∫ f ( g ( x)) g´( x)dx = F ( g ( x)) + C
Para simplificar a escrita, podemos denotar
u = g ( x) e du = g´( x)dx . Dessa forma,
∫ f ( g ( x)) g´( x)dx = ∫ f (u)du = F (u) + C
Exemplo_5: Resolva a integral
∫
3x + 4dx
Resolução:
∫
1 1
1 u2
= ∫ u 2 du =
+C
3
3 3
2
1 1
1 2 3
= ∫ u 2 du = . u 2 + C
3
3 3
1 12
2 32
u du = .u + C
3∫
9
Agora, substituíndo u = 3x + 4 , fica:
3
1
2
∫ ( 3x + 4 ) 2 du = 9 .( 3x + 4 ) 2 + C
E finalmente:
2
3
∫ 3x + 4dx = 9 ( 3x + 4 ) + C
1
3x + 4dx = ∫ ( 3x + 4 ) 2 dx
Seja u = 3x + 4 então du = 3dx , que equivale a
du
dx =
. Assim,
3
1
du 1 12
2
3
4
x
+
dx
=
u
∫
∫ 3 = 3 ∫ u du
Usando o item 3 da Tabela de Integrais temos,
1 +1
1 12
1 u2
u du =
+C
3∫
3 1 +1
2
Resolução:
1
Seja u = 5 + 3t 2 ⇒ du = 6tdt ⇒ tdt = du
6
Voltando agora a integral e substituindo, temos;
∫ t ( 5 + 3t )
2 8
dt = ∫ ( 5 + 3t 2 ) tdt
8
1
1
8
du = ∫ ( u ) du , daí:
6
6
Novamente pelo item 3 da Tabela de Integrais,
resolvemos:
1
1
8
( u ) du = u 9 + C
∫
6
54
Finalmente,
1
2 8
2 9
∫ t ( 5 + 3t ) dt = 54 ( 5 + 3t ) + C
∫ t ( 5 + 3t )
2 8
dt = ∫ ( u )
8
Exemplo_7: Resolva ∫ sen(5t )dt
Resolução:
1
Fazemos u = 5t ⇒ du = 5. dt ⇒ dt = du
5
Voltando à integral e substituindo, temos:
1
∫ sen(5t )dt = ∫ sen(u ) 5 du usando propriedade,
1
∫ sen(5t )dt = 5 ∫ sen(u )du
1
∫ sen(5t )dt = 5 (− cos(5t )) + C
1
∫ sen(5t )dt = − 5 cos(5t ) + C
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
60
Exemplo_8: Resolva a integral ∫ sen(5t ) cos(5t ) dt
Resolução:
Fazemos u = sen (5 t ) ⇒ du = 5 cos(5 t ) dt , neste
1
caso, podemos escrever du = cos(5t )dt .
5
Voltando à integral e substituindo, temos:
1
1
∫ sen(5t )cos(5t ) dt = ∫ u 5 du = 5 ∫ udu .
1
1 u2
udu
=
+C
5∫
5 2
Portanto,
1
2
∫ sen(5t ) cos(5t ) dt = 10 sen (5t ) + C
Exercícios (Desenvolvido em sala de aula):
E02: Calcular as integrais, pelo método da
substituição.
2x
dx
a) ∫
1 + x2
b) ∫ sen 2 ( x) cos( x) dx
c) ∫
1
dx
(3x + 7)7
sec 2 ( x )
dx
x
ln( x)
dx
e) ∫
x
f) ∫ tg (α x)dx, α ∈ R *
d) ∫
Substituições Menos Evidentes
Exemplo_9: Calcule a integral
∫x
2
x − 1dx .
Seja u = x − 1 ⇒ du = dx , como u = x − 1 então,
x = u + 1 . Fazendo a substituição, vem:
2
2
∫ x x − 1dx = ∫ (u + 1) udu de onde decorre
1
2
2
∫ (u + 1) udu = ∫ (u + 1) (u ) 2 du
5
3
1
2
∫ (u + 1) udu = ∫ u 2 du + 2∫ u 2 du + ∫ u 2 du
7
5
3
u2
u2
u2
2
(
u
+
1)
udu
=
+
C
+
2
+
C
+
+ C3
1
2
∫
7
5
3
2
2
2
7
5
3
2
2
2
2
∫ (u + 1) udu = 7 u 2 + 2 5 u 2 + 3 u 2 + C
Sabendo que u = x − 1 , finalmente vem:
∫x
2
x − 1dx =
2
4
2
( x − 1)7 +
( x − 1)5 +
( x − 1)3 + C
7
5
3
Exemplo10: Calcule a integral ∫ cos3 ( x)dx .
Para resolver essa integral devemos reescrever
o integrando como sugerido:
3
2
∫ cos ( x)dx = ∫ cos ( x)cos( x)dx
Usando a relação trigonométrica fundamental
cos 2 ( x) + sen 2 ( x) = 1 o integrando fica:
∫ cos ( x)dx = ∫ (1 − sen ( x))cos( x)dx
∫ cos ( x)dx = ∫ (cos( x) − sen ( x)cos( x))dx
∫ cos ( x)dx = ∫ cos( x)dx − ∫ sen ( x)cos( x)dx
3
3
3
2
2
2
A primeira integral do segundo membro é
imediata, encquanto a segunda foi resolvida
por substituição na letra b) do E02. Assim,
1
3
3
∫ cos ( x)dx = sen(x) − 3 sen ( x) + C
Exemplo11: Calcule a integral
dx
*
∫ a2 + x2 , a ∈ R
Neste caso vamos reescrever o integrando afim
de usarmos um dos resultados da Tabela de
Integrais. O item 13 da tabela parece se
aproximar da expressão do integrando, assim, é
conveniente reescrevê-lo na forma
dx
dx
1 dx
1
a
∫ a 2 + x 2 = ∫ a 2 x 2 = a ∫ ⎛ x ⎞2
1+ 2
1+ ⎜ ⎟
a
⎝a⎠
Agora, basta escolhermos a substituição
x
1
u = ⇒ du = dx .
a
a
dx
1 du
∫ a2 + x2 = a ∫ 1 + u 2
Pelo item 13 da tabala a integral resulta em
1 du
1
= arctg (u ) + C
2
∫
a 1+ u
a
dx
1
⎛x⎞
Portanto, ∫ 2
= arctg ⎜ ⎟ + C
2
a +x
a
⎝a⎠
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
61
Integral Definida
A Figura2 mostra a potência elétrica consumida
em uma determinada cidade durante determinado
dia. A Potência P é medida em megawatts e o
tempo t em horas, a partir da meia-noite. Solicitase encontrar o consumo de energia elétrica no
decorrer do dia.
Δxi = xi − xi −1
Seja
intervalo
[ xi , xi −1 ]
o
comprimento
do
. Para cada índice i
i = 1,..., n seja ci um número em [ xi , xi −1 ]
escolhido arbitrariamente. Construímos um
retângulo de base Δxi e altura f (ci ) . ( Ver
Figura 4)
Figura 4
Figura 2: Consumo de Potência elétrica durante um dia.
Fonte: Stewart, J. Cálculo v. 1. Pioneira/ Thomson Learning, São
Paulo: 2001, p. 406.
A Figura 5 (a e b) abaixo ilustra esses
retângulos nos caso de n = 4 e n = 8 .
Sugestão: Calcular a área abaixo da curva,
limitada pelo eixo x, no intervalo 0 ≤ t ≤ 24 , pois a
energia é dada pela variação do tempo multiplicada
pela potência.
Os matemáticos sempre se preocuparam com o
problema de determinar a área de uma figura
plana. O procedimento mais utilizado foi o método
da exaustão, que consiste em aproximar a figura
dada por meio de outras, cujas área são conhecidas.
Considere, por exemplo, o problema de definir a
área de uma região plana S, definida pelo gráfico
de uma função contínua não negativa f, pelo eixo
das abscissas e pelas retas x = a e x = b . (Ver
Figura 3)
Figura 5
A soma das áreas dos n retângulos, que
representamos por S n , é dada por:
∑ f (c )Δ x = f (c )Δ x + ... + f (c )Δ x
n
Sn =
i
i
1
1
n
n
i =1
Esta soma é chamada de Soma de Riemann da
função f ( x) .
Podemos observar que a medida que n cresce,
cada Δxi , torna-se muito pequeno, e a soma das
áreas retangulares, aproxima-se da área S.
Figura 3
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b],
isto é, dividimos o intervalo em n subintervalos,
escolheremos os pontos
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Definição_2
Seja f ( x) uma função contínua, não negativa
no intervalo [a, b] . A área sob a curva
y = f ( x) , de a até b, é definida por:
∑ f (c ) Δ x
n
A=
lim
máxΔxi → 0
i
i =1
i
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
62
onde máxΔxi indica o maior número do conjunto
{Δxi
tal que i = 1, 2,..., n}
.
Observe
que
máxΔxi → 0 implica que todos os Δxi tendem
também a zero.
A integral definida está associada ao limite anterior,
ela nasceu com a formalização matemática dos
problemas de áreas. Assim:
Definição_3
Seja f ( x) uma função definida em um intervalo
[a, b] e seja P : a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b uma
partição qualquer deste intervalo. A integral de
b
Riemann de f de a até b, denotada
∫ f ( x)dx , é
a
b
dada por :
∫ f ( x)dx =
a
∑ f (c )Δx
n
lim
máxΔxi → 0
i
i
desde
i =1
O Teorema Fundamental do Cálculo nos
permite relacionar as operações de derivação e
integração. Ele nos diz que, conhecendo uma
primitiva de uma função contínua, podemos
calcular a sua integral definida, assim:
Teorema_4: Teorema fundamental do
Cálculo (Primeira Parte) Se f for uma função
contínua em [a, b] e F é uma antiderivada de f
tal que F ´( x) = f ( x) para todo x ∈ [a, b] ,
então
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
Uma notação
F (b) − F (a) é:
F ( x) a = F (b) − F (a)
b
∫ f ( x)dx
existe, então diremos que f é
a
integrável (segundo Riemann) em [a, b] . É comum
b
referirmo-nos a
∫
f ( x)dx como integral definida
a
de f em [a, b] .
Os números a e b são chamados de limites de
integração (a: limite inferior e b: limite superior).
Uma função não necessariamente precisa ser
contínua para que admita integral em um intervalo.
Sob certas condições, as quais não iremos
mencionar neste contexto, podemos mostrar que
funções com alguns tipos de descontinuidades
ainda podem ser integráveis. Iremos estudar
situações que envolvem, em geral, integrais
definidas de funções continuas. O teorema que
segue nos fornece um importante resultado.
Teorema_3: Se uma função f é contínua em um
intervalo [a, b] , então f é integrável em [a, b] .
a
diferença
Assim,
podemos
b
a
a
3
∫ x dx
2
1
Resolução:
Resolvemos
a
integral
normalmente e depois substituímos os valores
dos
limites
de
integração,
3
∫
1
3
x3
x dx =
3
2
=
1
33 13 27 1 26
− = − =
3 3 3 3 3
3
Exemplo_13: Calcule
∫ 5dx
1
Resolução:
3
∫
1
3
∫
3
5 dx = 5 dx = 5 x 1 ⇒ 5.3 − 5.1 = 15 − 5 = 10
1
3
∫ 5dx = 10
1
7
Exemplo_14: Calcule
∫ xdx
0
Resolução:
7
∫
0
Até agora temos a definição do que é a integral
definida em um intervalo, mas ainda não sabemos
como calcular tais integrais.
.
∫ f ( x)dx = F ( x)
expressar
Exemplo_12: Calcule
b
para
b
que o limite do segundo membro exista.
Se
usual
7
x2
xdx =
2
49
∫ xdx = 2
0
7
=
0
7 2 02 49 0 49
− =
− =
2 2
2 2 2
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63
Interpretação Geométrica
Vamos agora interpretar geometricamente os
exemplos 11 e 12.
Exemplo_15:
Seja
f ( x) = 5 (Exemplo13).
Tomemos a região delimitada por f ( x) , o eixo x
e as retas x = 1 e x = 3 . ( Figura6).
Figura 6
Temos um retângulo de base 2 e altura cinco, cuja
área
é
dada
por:
A1 = lado1 .lado2 = 2.5 = 10 unidades de área.
Exemplo_17: Tomemos agora um exemplo
em que f ( x) < 0 em [ a, b ] .
−1
−1
⎡ x2
⎤
( x + 1) dx = ⎢ + x ⎥
⎣2
⎦ −3
−3
∫
⎡ ( −1)2
⎤ ⎡ ( −3)2
⎤
=⎢
+ ( −1) ⎥ − ⎢
+ ( −3 ) ⎥
⎢⎣ 2
⎥⎦ ⎢⎣ 2
⎥⎦
⎡1 ⎤ ⎡9 ⎤
= ⎢ − 1⎥ − ⎢ − 3⎥
⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦
⎡ 1⎤ ⎡3⎤
= ⎢ − ⎥ − ⎢ ⎥ = −2
⎣ 2⎦ ⎣2⎦
A região delimitada por y = x + 1 , pelo eixo x e
as retas x = −3 e x = −1 está representada na
Figura 8
f(x)=5
Exemplo_16: Seja f ( x) = x . Tomemos a região
delimitada pelo eixo x, a função f ( x) = x , e as
retas x = 0 e x = 7 . ( Figura7).
Figura 8
Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura
2.2
= 2 u.a
2. Assim, A3 =
2
Figura 7
Assim, vemos que A3 =
Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área
7.7 49
é dada por A2 =
=
u.a.
2
2
Os fatos observados nestes exemplos não são mera
coincidência.
Na verdade, se
f ( x) > 0 para x ∈ [ a, b ] então
a
∫ f ( x)dx nos fornece a área limitada por
f ( x) ,
−3
f ( x) dx .
Em geral se f ( x) < 0 em [ a, b ] a área
delimitada por f ( x) , pelas retas x = a e
x = b e o eixo x é dada por A =
∫
b
f ( x)dx .
a
Propriedades das Integrais Definidas
P1: Se a função f é integrável no intervalo
fechado [ a, b ] e se k é uma constante qualquer,
b
pelas retas x = a e x = b e o eixo x.
∫
−1
então:
b
b
a
a
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
64
Calcule
Exemplo_18:
3
3
3
3
o
valor
da
integral
∫ 5xdx = 5∫ xdx
região limitada pela curva y = f ( x) , o eixo x e
as retas
x = a e x = b é dada por
b
A=
P2: Se as funções f e g são integráveis no intervalo
fechado [ a, b ] então f + g é integrável em [ a, b ] e:
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ f ( x)dx , em unidades quadradas:
a
Por conveniência , referimo-nos à região R
como a região sob o gráfico de f, de a até b.
( Figura 9)
y
Exemplo_19: Calcule o valor da integral:
5
⎡ 2 1⎤
⎢ x + x ⎥ dx =
⎣
⎦
∫
3
5
5
1
∫ x dx + ∫ x dx
2
3
R
3
P3: Se a função f é integrável nos intervalos
fechados [ a, b ] , [ a, c ] e [ c, b ] então:
b
∫
c
f ( x) dx =
a
∫
b
f ( x)dx +
a
∫
f ( x) dx onde a < c < d .
c
Exemplo_20: Calcule o valor da integral:
3
1
3
∫ xdx = ∫ xdx + ∫ xdx
−2
−2
a
b
x
Figura 9
Exemplo_21: Encontre a área limitada pela
curva y = x 2 o eixo x e as retas x = −1 e x = 2 .
Resolução:
2
x3
A = x dx =
3
∫
2
=
2
−1
−1
23 (−1)3
−
= 3 u.a
3
3
1
Exercícios: Encontre o valor das integrais
definidas abaixo:
2
a)
∫
2
x 2 dx
b)
0
∫ x dx
3
1
4
c)
∫
2
( x 2 + 4 x + 5)dx
e)
∫ (x
4
3
1
3
+ 4 x )dx
∫
f) ( x + 2)dx
−3
g)
∫
1
4
i)
∫
0
dx
3x + 1
xdx
x +9
2
Figura 10
4
1
5
3
−2
1
4
∫ ( x + 1)dx
d)
3
h)
∫ (t
6
− 3t )dt
−3
5
j)
∫
x + 4dx
0
Cálculo de Áreas de uma Região Plana
Se f é uma função contínua em um intervalo
fechado [ a, b ] e se f ( x) ≥ 0 para todo x em [ a, b ] ,
então temos que o número que expressa a área da
Exemplo_22: Encontre a área limitada pela
curva y = x 2 − 4 , o eixo x e as retas x = −2 e
x=2.
Resolução: Queremos obter a área destacada.
Como f ( x) < 0 , neste intervalo, temos:
2
2
⎡ x3
⎤
A = − ( x − 4)dx = − ⎢ − 4 x ⎥
⎣3
⎦ −2
−2
∫
2
⎡⎛ 8
⎞ ⎛ 8
⎞⎤
A = − ⎢⎜ − 8 ⎟ − ⎜ − + 8 ⎟ ⎥
⎠⎦
⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3
8 ⎤
32
⎡8
A = − ⎢ − 8 + − 8⎥ = u.a
3 ⎦
3
⎣3
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
65
Exemplo_23: Calcule a área limitada pelas curvas
y = x 2 + 1 e y= − x 2 − 1 e as retas x = −1 e x = 3 .
Verificamos que a área pedida, encontra-se
totalmente acima do eixo x, logo:
Resolução:
A = sen( x) dx = − cos( x) 0
π
∫
π
0
A = −(cos(π ) − cos(0)) = 2u.a
Área da Região Limitada por duas Funções
Consideraremos agora a região que está entre
os gráficos de duas funções f e g são contínuas
e f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 para todo x em [a, b] , então
a área A da região R, limitada pelos gráficos de
f, g, x = a e x = b , pode ser calculada
subtraindo-se a área da região sob o gráfico de
g (fronteira inferior de R) da área da região
sob o gráfico de f (fronteira superior de R):
Figura 11
b
A=
Vamos calcular as áreas separadamente:
3
3
⎡x
⎤
A1 = ( x 2 + 1)dx = ⎢ + x ⎥
⎣3
⎦ −1
−1
3
∫
⎡⎛ 33
⎞ ⎛ (−1)3
⎞⎤
A1 = ⎢⎜ + 3 ⎟ − ⎜
+ (−1) ⎟ ⎥
⎠ ⎝ 3
⎠⎦
⎣⎝ 3
40
A1 =
u.a
3
3
∫
A2 = − (− x 2 − 1)dx =
−1
b
∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx ou
a
a
b
∫
A = [ f ( x) − g ( x)]dx
a
Suponha que desejemos calcular a área A
delimitada por duas curvas, f ( x) e g ( x) e as
retas x = a e x = b , como ilustra a figura
abaixo:
40
u.a
3
Portanto: At = A1 + A2
40 40 80
u.a
At =
+
=
3
3
3
Figura
Exemplo_24: Determine a área A da região
delimitada pelo gráfico de y = sen( x) e o eixo x,
no intervalo de x = 0 e x = π rad .
Resolução:
Primeiramente, vamos construir o gráfico de
y = sen( x) .
Note que a área a pode ser obtida pela
diferença de duas áreas, sendo
b
A1 =
b
∫ f ( x)dx e A = ∫ g ( x)dx e A = A − A
2
a
A=
1
2
a
b
b
a
a
∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx
b
∫
A = [ f ( x) − g ( x)]dx
a
Assim verificamos que é válido o teorema a
seguir.
Figura
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
66
Teorema_5: Se f e g são contínuas e
f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 para todo x em [a, b] , então a área
A da região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a
b
∫
e x = b é: A = [ f ( x) − g ( x)]dx
a
Diretrizes para Encontrar a área de uma
Região Limitada por duas Funções
i) Esboçar a região, designando por y = f ( x) a
fronteira superior e por y = g ( x) a fronteira
inferior.
ii) Encontrar as abssíssas dos pontos de intersecção
(a e b) entre as duas funções.
b
∫
iii) Calcular a integral A = [ f ( x ) − g ( x )]dx
a
Exemplo_25: Encontre a área A limitada pelas
curvas f ( x) = x 2 + 2 e g ( x) = 1 no intervalo de
[−2,3] .
Resolução: Como não existe ponto de intersecção
entre as funções, neste caso foram dados os limites
de integração.
3
∫
Figura 12
Volume de um Sólido de Revolução
Definição_4: Um sólido de revolução é um
sólido gerado pela rotação de uma região do
plano em torno de uma reta do plano, chamada
eixo de revolução.
Exemplo_27: Ao girarmos a região do plano
representada na Figura13, em torno do eixo y ,
obtemos o sólido de revolução ilustrado na
Figura14.
3
∫
A = ( x + 2)dx − (1)dx
2
−2
−2
3
Figura 13
∫
A = ( x 2 + 1) dx
−2
3
3
⎛ x3
⎞
A = ( x + 1)dx = ⎜ + x ⎟
⎝ 3
⎠ −2
−2
∫
2
⎡⎛ 33
⎞ ⎛ (−2)3
⎞ ⎤ 50
A = ⎢⎜ + 3 ⎟ − ⎜
+ (−2) ⎟ ⎥ = u.a
⎠ ⎝ 3
⎠ ⎦⎥ 3
⎣⎢⎝ 3
Figura 14
Exemplo_26: Encontre a área A da região limitada
pelas curvas y = x 2 e y = - x 2 + 4 x
Resolução: Para obtermos os pontos de intersecção
das duas curvas, resolvemos um sistema formado
pelas duas equações e obtemos os pontos (0,0) e
(2, 4) .
Definição_5: Seja f uma função contínua no
intervalo fechado [a, b] . Se S for o sólido
obtido pela rotação, em torno do eixo x da
região limitada pella curva y = f ( x) , o eixo x
e as retas x = a e x = b e se V for o número de
unidades cúbicas do volume de S, então:
2
∫
2
∫
b
∫
V = π [ f ( x)]2 dx
A = (− x + 4 x) dx − x dx
0
2
2
2
0
a
2
⎛ 2x
4x ⎞
8
A = ( −2 x 2 + 4 x)dx = ⎜ −
+
⎟ = u.a
2 ⎠0 3
⎝ 3
0
∫
3
2
Exemplo_28: Seja R a região limitada pelos
gráficos de y = x 2 , x = 1 e x = 2 e pelos eixos
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
67
dos x. Se girarmos a região R em torno do eixo dos
x, obtemos:
2
∫
V = π (− x 4 − x 2 + 6 x + 8)dx
−1
2
1
⎡ 1
⎤
V = π ⎢ − x5 − x3 + 3x 2 + 8 x ⎥
5
3
⎣
⎦ −1
117π
V=
u. v
5
Figura 15
Resolução:
2
∫
V = π [ x 2 ]2 dx = π
1
x5
5
2
1
31
V = π u.v
5
Exercícios:
E01: Seja f ( x) = x 2 + 1 , determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , da
região do plano limitada por f ( x) , pelo eixo x e as
retas x = −1 e x = 1 .
1
E02: Seja f ( x) = , determine o volume do sólido
x
gerado pela rotação em torno do eixo x, da região
plana limitada por f ( x) , pelo eixo x e as retas
x =1 e x = 3.
E02: Seja f ( x ) = x 2 − 4 x , determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da
região do plano limitada por f ( x) e pelo eixo x.
Definição_6: Seja uma região R do plano limitada
por x = a e x = b e pelos gráficos de duas funções
contínuas f e g, com f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 para todo x
em [a, b] . Então o volume do sólido gerado pela
rotação da região R em torno do eixo x é dada por
b
∫
V = π [( f ( x)) 2 − ( g ( x)) 2 ]dx .
a
Exemplo_29: Encontre o volume do sólido gerado
pela rotação em torno do eixo x , da região
y = x 2 + 1 e a reta
limitada pela parábola
y = x+3.
Resolução: Graficamente a região descrita acima é
dada por:
2
∫
V = π [( x + 3) 2 − ( x 2 + 1) 2 ]dx
−1
Teorema_6: Teorema fundamental do
Cálculo (Segunda Parte) Se f for uma função
contínua em um intervalo I, então f tem uma
antiderivada em I. Em particular, se a for um
ponto qualquer em I, então a função F definida
por:
x
f ( x) =
∫ f (t )dt é uma antiderivada de f em I;
a
isto é, F '( x) = f ( x) para cada x em I, ou em
x
⎤
d ⎡
⎢ f (t )dt ⎥ = f ( x) .
uma notação alternativa,
dx ⎢
⎥⎦
⎣a
∫
x
d ⎡ 3 ⎤
⎢ t dt ⎥ aplicando a
Exemplo_30: Encontre
dx ⎢
⎥⎦
⎣1
segunda parte do Teorema Fundamental do
Cálculo e, então confirme o resultado fazendo
a integração e depois diferenciando.
∫
Resolução: Como o integrando é uma função
contínua, então, pelo referido teorema,
x
d ⎡ 3 ⎤
⎢ t dt ⎥ = x 3 . Alternativamente, calculando
dx ⎢
⎥⎦
⎣1
a integral e depois diferenciando, obtemos
∫
x
∫
1
t4
t dt =
4
x
=
3
1
x4 1
− , agora derivando, vem:
4 4
d ⎡x
1⎤
3
⎢ − ⎥ = x , de modo que coincide os
dx ⎣ 4 4 ⎦
dois métodos para derivar a integral.
4
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
68
∫ x cos( x)dx
Outros métodos de Integração
Observe que
Método de Integração por Partes
Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I.
Derivando o produto f .g :
,
ou
( f ( x) g ( x))´= f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)
equivalentemente,
f ( x) g´( x) = ( f ( x) g ( x))´− f ´( x) g ( x) . Integrando
ambos os lados:
uso de integração por partes. Neste caso
dn = cos( x)dx de onde
façamos m = x ,
obtemos
dm = dx
e
n = sen( x)
e
∫ f ( x) g´( x)dx = ( f ( x) g ( x)) − ∫ f ´( x) g ( x)dx
Então, retornando a primeira integral temos:
Fazendo
u = f ( x)
dv = g ( x)´dx ,
e
du = f ( x)´dx e v = g ( x) vem:
∫ udv = uv − ∫ vdu
Este método de integração nos permite transformar
a integração de udv na integração de vdu . É
importante saber “escolher” a substituição u e dv
na integral de partida. As expressões de u´ e v
devem ser mais simples que as de u e v´,
respectivamente.
Exemplo_31:
Calcule
a
integral
∫
indefinida ln( x)dx .
Façamos u = ln( x) e dv = dx , daí, du =
1
dx e
x
∫ ln( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu
∫ ln( x)dx = x ln( x) − ∫ dx = x ln( x) − x + C
v = x . Logo,
Exemplo_32: Calcule a integral indefinida
∫ xe
2x
dx .
Façamos u = x e dv = e dx , daí, du = dx e
e2 x
v=
.
2
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x e 2 x
−
e dx =
−
+C
Logo xe 2 x dx =
2
2
2
4
Exemplo_33: Calcule a integral indefinida
2x
∫
∫
∫ x sen( x)dx .
2
= xsen( x) − cos( x) + C1
∫ x sen( x)dx = − x cos( x) + 2( xsen( x) + cos( x)) + C
∫
x 2sen( x)dx = − x 2 cos( x) + 2 x cos( x)dx
2
Calcule
Exemplo_34:
a
integral
1
∫
2
definida x 3e x dx .
0
Neste caso, vamos inicialmente resolver a
integral indefinida, depois voltaremos a
integral definida.
Aqui será necessário usar em conjunto os
métodos de integração por substituição e por
partes. Vejamos.
t = x2
e
i)
Por
Substituição:
seja
dt
dt = 2 xdx ⇒ = xdx .
2
2
2
1
tet dt
Assim, x 3e x dx = x 2 e x xdx =
2
ii) Agora, usando integração por partes,
fazemos: u = t e dv = et dt , daí, du = dx e
v = et . Daí,
2
1
1
x 3e x dx =
tet dt =
udv
2
2
1
1
udv = (tet − et dt )
2
2
1 t
1
(te − et dt ) = (tet − et ) + C
2
2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Substituíndo t = x 2 e voltamos a integral
definida vem:
1
Para solucionar esta integral será necessário usar o
método de integração por partes. Façamos u = x 2 e
dv = sen( x) dx , daí, du = 2 xdx e v = − cos( x) .
Portanto,
∫
∫ x cos( x)dx = xsen( x) − ∫ xsen( x)dx
2
temos
também requer o
∫
0
1
∫
0
1
2
2
2
1
x 3e x dx = ( x 2 e x − e x )
0
2
2
1
1
x 3e x dx = (0 − (−1)) =
2
2
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
69
Exemplo_35: Use os métodos de integração por
substituição e por partes para calcular a integral
1
∫ x sen(2 x )dx .
3
2
2
(Resp. 0,218 aproximadamente)
0
Método de Substituição Trigonométrica
Este método é usado quando a expressão a integrar
envolve alguns dos seguintes tipos de radicais:
a2 − u2 ,
a2 + u2 ,
u 2 − a 2 , onde a > 0 .
a2 − u2
π
π
Para − ≤ θ ≤
, seja u = asen(θ ) , então
2
2
a 2 − u 2 = a cos(θ ) .
Logo
Como x = asen(θ ) e −
x
2
θ = arcsen( ) ;
Figura16,i)
Caso i:
du = acos(θ ) dθ .
∫
a
∫
a2
sen(2θ )
(θ +
)
2
2
a2
cos 2 (θ )dθ = (θ + sen(θ ) cos(θ )) + C1
2
a 2 cos 2 (θ )dθ =
π
2
π
≤θ ≤
2
; então,
estamos no caso i (veja
c = a2 − x2
onde
;
logo,
x
a −x
. Substituíndo
e cos(θ ) =
a
a
no resultado da integral, vem:
a2
x
x
a 2 − x 2 dx = (arcsen( ) + 2 a 2 − x 2 ) + C
2
a a
2
sen(θ ) =
2
∫
Façamos c = a − u . Observe a Figura16, i).
2
2
Exemplo_37: Calcule
a2 + u 2
π
π
− ≤θ ≤
,
2
2
Caso ii:
Para
seja
du = asec 2 (θ ) dθ . Logo
u = atg(θ ) ,
então
a 2 + u 2 = a sec(θ ) .
u 2 − a2
π
π
3π
Para − ≤ θ ≤ ou π ≤ θ ≤
seja u = asec(θ ) ,
2
2
2
Logo
então
du = a sec(θ )tg(θ )dθ
u − a = atg(θ ) . Façamos
Observe a Figura16,iii).
a
d
u
θ
i)
Figura16:
Exemplo_36: Calcule
x = asen(θ ) ;
π
2
≤θ ≤
Assim,
a
2
∫
π
2
e
(−
ii)
iii)
∫
dx = a cos(θ )dθ
∫
1 cos(2θ )
( +
)dθ
2
2
.
2
≤θ ≤
π
2
)
.
Em
tal
caso
∫
∫(
∫(
dx
=
( x 2 + 3)3
3 sec 2 (θ )
∫ 3 sec (θ ) dθ
3
2
3 sec 2 (θ )
3) sec (θ )
3
3
3 sec 2 (θ )
3) sec (θ )
3
3
3
dθ =
1
dθ
3 sec(θ )
dθ =
1
1
cos(θ ) dθ = sen(θ ) + C1
3
3
∫
∫
Estamos no caso ii (veja Figura16,ii) onde
sen(θ ) =
∫
a 2 − x 2 dx .
então,
π
a= 3
a
a 2 − x 2 dx = a 2 cos 2 (θ )dθ
2
.
e
a
a 2 − x 2 = a cos(θ ) .
∫ cos (θ )dθ = a ∫
2
2
θ
c
−
u
u
θ
Seja
e= u −a
2
( x + 3)3
( x 2 + 3)3 = ( 3 sec(θ ))3 . Então escrevemos:
Caso iii:
2
dx
2
Seja x = 3tg(θ ) ; então, dx = 3sec 2 (θ )dθ ;
Façamos d = a 2 + u 2 . Observe a Figura16, ii).
2
∫
;
x2 + 3
dx
( x + 3)
2
d = x2 + 3
e
x
3
=
.
Logo,
. Substituindo,
x
3 x2 + 3
+C
∫ 9x
dx
.
2
−1
Inicialmente reescrevemos a integral como
1
dx
dx
=
. Seja x = sec(θ ) ,
2
1
9x − 1
3
9( x 2 − )
9
Exemplo_38: Calcule
∫
∫
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
70
1
π
ou
dx = sec(θ )tg(θ ) dθ , 0 < θ <
2
3
3π
π <θ <
.
Neste
caso,
2
1 1
1
x 2 − = (sec 2 (θ ) − 1) = tg 2 (θ ) :
9 9
9
1 sec(θ )
1
dx
cosec(θ )dθ
=
dθ =
2
3
9 x − 1 3 tg (θ )
1
= ln( cosec(θ ) − cotg(θ ) ) + C
3
1
Estamos no caso iii), onde e = x 2 − ; logo,
9
3x
1
cosec(θ ) =
cotg(θ ) =
e
.
2
9x −1
9 x2 − 1
Substituindo,
em
dx
1
= ln( cosec(θ ) − cotg(θ ) ) + C
9 x2 − 1 3
então,
∫
∫
∫
∫
1 ⎛ 3x − 1 ⎞
= ln ⎜
+C
6 ⎝ 3 x + 1 ⎟⎠
Exercício_39: Calcule cada integral. Em cada caso
use o completamento de quadrados.
dx
.
a)
3
2 2
(5 − 4 x − x )
xdx
b)
.
2
4 x + 8x + 5
∫
∫
Método de Integração Por Frações Parciais
P ( x)
com Q( x) ≠ 0 . A
Seja uma função racional
Q( x)
decomposição de uma função racional em frações
mais simples, depende do modo como o polinômio
Q ( x) se decompõe em fatores lineares e/ou
quadráticos.
Se numa função racional o grau de P ( x) é maior
ou igual ao grau de Q( x) , então podemos dividir
os polinômios. Se grau ( P( x)) ≥ grau (Q ( x)) , então
P ( x) = Q ( x) A( x) + R ( x)
onde
grau ( R( x)) < grau (Q( x))
P ( x)
R( x)
então
= A( x) +
.
Q( x)
Q( x)
Logo, basta estudar o caso em que
grau ( P( x)) < grau (Q( x)) , pois caso contrário
efetuamos a divisão dos polinômios.
O método se desenvolve como segue. A cada
fator de Q( x) da forma ( x − a) m , corresponde
uma soma de m frações da forma:
Am
A1
A2
+
+. . .+
2
x − a ( x − a)
( x − a) m
A cada fator de Q( x) da forma
(x
2
+ bx + c ) , corresponde uma soma de p
p
frações, da forma:
B1 x + C1
B2 x + C2
+
+. . .+
2
2
x + bx + c ( x + bx + c )2
Onde,
Ai ,
Bj
e
Ck
(x
Bp x + C p
2
+ bx + c )
i = 1, 2,..., m ,
j , k = 1, 2,..., p são constantes a determinar.
P ( x)
à soma
Q( x)
de frações obtida como acima. Eliminando
denominadores e identificando coeficientes de
potências iguais de x, chegaremos a um
conjunto de equações lineares nas incógnitas
Ai , B j e C k . Resolvido esse sistema, estão
Em seguida, igualamos a fração
determinados os coeficientes.
Exemplo_40: i) Utilize o método das frações
⎧
⎫
1
parciais para decompor ⎨
⎬ . ii)
2
⎩ ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ⎭
1
Calcule
dx .
( x + 1) ⋅ ( x 2 + 1)
Resolução:
i) Ao fator linear ( x + 1), associamos a fração
A
e ao fator quadrático ( x 2 + 1) associamos
x +1
Bx + C
a fração 2
. Escrevemos então:
x +1
1
A
Bx + C
≡
+ 2
(I)
2
x
1
+
( x + 1)( x + 1)
x +1
∫
Eliminando denominadores, obtemos:
1 ≡ A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x + 1) (II)
ou
x 2 ⋅ 0 + x ⋅ 0 + 1 ≡ x 2 ( A + B ) + x( B + C ) + ( A + C )
p
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
71
Identificando coeficientes de iguais potências de x,
⎧A + B = 0
⎪
concluímos que: ⎨ B + C = 0
⎪A + C = 1
⎩
A solução desse sistema de equações lineares é:
1
1
1
A= , B=− e C = .
2
2
2
Levando esses valores em (I), obtemos a
decomposição em frações parciais:
1
1
1
− x+
1
2
2
=
+ 2 2=
2
x
+
1
x +1
( x + 1) ⋅ ( x + 1)
=
1⎡ 1
1 ⎤
x
− 2
+ 2
⎢
2 ⎣ x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ⎥⎦
ii) Agora vamos calcular
∫ ( x + 1) ⋅ ( x
1
∫ ( x + 1) ⋅ ( x
2
+ 1)
1
2
+ 1)
dx =
∫ ( x + 1) ⋅ ( x
1
2
+ 1)
dx .
1 ⎡ 1
x
1 ⎤
−
+
dx
2 ⎢⎣ x + 1 ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ⎥⎦
∫
1
1
1
dx = ln x + 1 − ln x 2 + 1 + arctg( x) + C
2
4
2
Exemplo_41: Utilize o método das frações
x+3
parciais para calcular
dx .
( x − 2)( x + 1)
Resolução: Inicialmente vamos decompor
o
integrando em frações parciais. Escrevemos então:
x+3
A
B
(I)
≡
+
( x − 2)( x + 1) x − 2 x + 1
Eliminando denominadores, obtemos:
(II)
x + 3 ≡ A( x + 1) + B( x − 2)
∫
Resolvendo a expressão (II) obtemos A =
5
e
3
2
B=− .
3
Assim,
5
2
x+3
5 1
2 1
3
3
=
−
=
−
( x − 2)( x + 1) x − 2 x + 1 3 x − 2 3 x + 1
Feita a decomposição já estamos em condições de
calcular a integral.
x+3
1 ⎡ 5
2 ⎤
∫ ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ∫ ⎣⎢ x − 2 − x + 1⎦⎥ dx
x+3
5
2
∫ ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ln( x − 2) − 3 ln( x + 1) + C
Exercício: Calcule cada integral. Em cada caso
use o método de decomposição em frações
parciais.
4 x 2 − 28 x − 16
dx
a)
x3 − 2 x2 − 8x
du
b)
,a ≠ 0
2
u − a2
dx
c)
5 − 4 x − x2
3x 2 + 4 x + 2
dx
d)
x3 + 2 x 2 + x
8 x 2 + 3x + 20
dx
e)
x3 + x 2 + 4 x + 4
x3 + x + 2
dx
f)
x( x 2 + 1) 2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Aplicação de Integrais Indefinidas
A seguir apresentaremos alguns exemplos de
aplicação de integrais indefinidas:
Exemplo_41: Se um corpo se move em uma
reta
coordenada
com
aceleração
a(t ) = 2 − 6t (m/s 2 ) e possui as condições
iniciais v(2) =2m/s e s(0)=4m. Determine a
equação do espaço em relação ao tempo, e o
espaço percorrido quando t=2 s.
Resolução:
dv
Como a =
dt
temos dv = adt
logo:
∫ dv = ∫ adt daí
v = adt = (2 − 6t )dt
∫ ∫
v = 2t − 3t 2 + C
Como a velocidade no tempo 2s é 2m/s,
temos:
v(2) = 2.2 − 3.22 + C
2 = −8 + C
C = 10
Daí a equação da velocidade é:
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
72
v(t ) = −3t 2 + 2t + 10
Agora vamos calcular a equação do espaço
percorrido em relação ao tempo:
ds
Como v =
temos ds = vdt logo:
dt
∫
∫
ds = vdt
daí,
∫
s (t ) = (−3t
∫
∫
∫
s (t ) = vdt
2
+ 2t + 10)dt
s (t ) = −t 3 + t 2 + 10t + C
Como no tempo 0 temos S(0) = 4m/s, então
s (0) = −0 + 0 + 0 + C = 4
C=4
Logo a equação do espaço percorrido em
relação ao tempo é:
s (t ) = −t 3 + t 2 + 10t + 4
Exemplo_42: Sabendo-se que em uma indutância
di
temos v(t ) = L. , deduza a fórmula que nos
dt
fornece a corrente na mesma indutância.
Resolução:
Temos que v(t ) = L.
Outras Situações de Aplicação
As duas situações que apresentamos em
seguida
dependem
do
conceito
de
comprimento de curva para que possam ser
resolvidos. Portanto, vamos procurar uma
representação matemática que expresse tal
comprimento em um determinado intervalo.
Veremos que a obtenção desse resultado
fornece mais uma aplicação do Teorema do
Valor Médio.
S01: Um fabricante de telhados metálicos
ondulados quer produzir painéis com 28’’ de
largura e 2’’ de espessura processando folhas
planas de metal como representado na Figura
17. O perfil do telhado tem o formato de uma
curva senoidal. Determine a largura W de uma
folha metálica plana que é necessária para
fazer um painel de 28’’.
b)
a)
di
, para encontrar a corrente,
dt
isolamos di,
di 1
1
= .v ⇒ di = .vdt
dt L
L
1
di =
.vdt
como L é constante , teremos:
L
1
i (t ) =
v.dt
L
∫ ∫
∫
Exemplo_42: Em uma indutância é dado L=0,02
H e v(t)=150cos(t), em V. Determine a corrente,
nesta indutância.
Resolução: Temos,
1
1
i (t ) =
vdt daí: i (t ) =
150cos(t )dt
L
0,02
i (t ) = 7500sen(t )
∫
capacitor é dado
Exemplo_43: Em um
C=0,05 F e
i(t)=500sen(20t+45º) em A.
Determine a tensão, neste capacitor.
Resolução:
1
idt
Como temos v(t ) =
temos:
C
1
v(t ) =
500sen(20t + 45o ) dt
0.05
v(t ) = −500cos(20t + 45o )
∫
Figura 17
S02: A Figura 18 representa um fio de telefone
pendurado entre dois postes. Uma interpretação
matemática para a situação é dada na Figura
19, onde um poste é representado em x = −b e
o outro em x = b sabe-se que o fio entre os
dois postes tem o formato de uma catenária
com equação y = c + a cosh ( x a ) .
a) Obtenha a comprimento do fio;
b) Suponha que os dois postes telefônicos
estejam separados a uma distância de 50 pés e
que o comprimento do fio seja de 51 pés. Se o
ponto mais baixo do fio deve estar a 20 pés
acima do solo, qual a altura o fio deve ser
preso no poste?
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
73
n
L( P) = ∑ Pi −1 Pi
,
ou
seja,
i =1
n
L( P) = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) 2
Figura18
i =1
y
onde
Pi −1 Pi = ( xi − xi −1 ) 2 + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) 2
é o comprimento do lado de vértices Pi −1 e Pi .
0
−b
b
x
Figura 19
Determinação do comprimento do Gráfico de
uma Função
Suponhamos o gráfico de uma função definido por
y = f ( x) , com f tem derivada contínua para
todo x ∈ [ a, b ] . Obtemos uma aproximação
poligonal para o gráfico de f particionando o
intervalo [ a, b ] em n subintervalos com extremos
x0 , x1 ,..., xn e com larguras iguais a Δx , como
A função f conforme foi definida, satisfaz as
hipóteses do Teorema do Valor Médio. Assim,
para cada i, i = 1,..., n , existe ci ∈ xi −1, xi tal
(
que f ( xi ) − f ( xi −1 ) = f '(ci )( xi − xi −1 ) .
Segue que,
n
L( P ) = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) 2
i =1
n
L( P ) = ∑ 1 + ( f '(ci )) 2 ( xi − xi −1 )
i =1
( xi − xi −1 ) = Δxi
Fazendo
podemos observer na Figura 20.
y
)
,
temos
e
fazendo
n
L( P) = ∑ 1 + ( f '(ci )) 2 Δxi ,
Pi −1
i =1
P0
tomamos
Pi
P2
então
máxΔxi → 0
P1
máxΔxi
obtemos
que
n
Pn −1
L( P) → lim ∑ 1 + ( f '(ci )) 2 Δxi .
Pn
n →∞
i =1
Portanto, o comprimento L do gráfico de f é
x0 = a
x1
x2
xi −1
xi
xn −1
xn = b
x
b
dado por L = ∫ 1 + ( f '( x)) 2 dx .
Figura 20
a
Se yi = f ( xi ) , então o ponto Pi ( xi , f ( xi )) está
no gráfico de f e a poligonal com vértices
P0 , P1 ,..., Pn
é
uma
aproximação
para
o
comprimento L do gráfico. A aproximação tornase melhor quanto maior for n .
Definimos L( P ) o comprimento da poligonal de
vértices Pi ( xi , f ( xi )) , i = 1,..., n no intervalo
[ a, b ] como:
Agora use este resultado para resolver as
situações S01 e S02.
Ficam recomendados todos os Exercícios
referentes
aos
conteúdos
estudados:
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S.
Cálculo. vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8
ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi
74
Referencias Bibliográficas
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo.
vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007.
FINNEY, R. L; WEIR, M. D; GIORDANO, F.
R. Cálculo de George B. Thomas, vol. 2. 10ª
edição. Trad. Cláudio H. Asano. São Paulo:
Addison Wesley, 2003.
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES,
Miriam Buss. Cálculo A.: Funções, limite,
derivação, integração. Makron Books do Brasil:
Editora da UFSC, 1992.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1.
LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2001.
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: um
curso moderno e suas aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria
Analítica, vol 1. Harbra, São Paulo, SP: 1994
STEWART, James. Cálculo I, 5 ed. São Paulo:
Pioneira Thompson Learning, 2006.
VILCHES, M.A; CORREA, M.L. Cálculo vol. 1,
UFRJ. (Material Eletrônico)