1
CADERNO
DE
ATIVIDADES
LIMITE E CONTINUIDADE
Organização: Daniela Alves S. Moura
Orientação: Dr. João Bosco Laudares
2013
2
A Matemática desenvolve o
raciocínio para a análise da vida.
(Euler de Souza Barral)
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SUMÁRIO
PRÉFÁCIO ........................................................................................................................ 04
O SOFTWARE GEOGEBRA ........................................................................................... 07
ATIVIDADES .................................................................................................................... 09
1ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 12
2ª ATIVIDADE .................................................................................................................. 15
Aplicativo 1 ......................................................................................................................... 15
Aplicativo 2 ......................................................................................................................... 16
Aplicativo 3 ......................................................................................................................... 17
Aplicativo 4 ......................................................................................................................... 18
Aplicativo 5 ......................................................................................................................... 19
3ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 20
4ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 24
5ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 26
6ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 28
7ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 30
8ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 34
9ª ATIVIDADE ................................................................................................................. 35
4
PREFÁCIO
Este produto é o resultado de uma pesquisa realizada no curso de Mestrado em Ensino
de Ciências e Matemática, área de concentração: Matemática, da Pontíficia Universidade
Católica de Minas Gerais – PUC Minas. Constitui parte do que foi exigido da Professora
Daniela Alves da Silveira Moura de seu título de Mestre no referido curso, sob orientação do
Professor Dr. João Bosco Laudares.
Este caderno de atividades destina-se a contribuir para o ensino e aprendizagem de
Limite e Continuidade. No formato deste caderno foram elaboradas tarefas como uma
proposta de atividade guiada investigativa, apoiada nos recursos computacionais, integrada
aos Objetos de Aprendizagem, como o objetivo promover uma metodologia que sirva como
apoio e como recurso didático no Estudo do Tema.
Estas tarefas foram elaboradas objetivando um tratamento Limite e Continuidade a
partir de atividades que promovam a construção, interpretação e compreensão dos conceitos
matemáticos, numa abordagem intuitiva, conceitual, favorecendo a representação aritmética,
algébrica e geométrica, e foram organizadas objetivando levar o aluno a produzir significado.
Destinadas aos alunos iniciantes das disciplinas de Cálculo, nos cursos de exatas. Mas para a
aplicação destas atividades na nossa Pesquisa, o público estudado foram os alunos da
Faculdade de Pará de Minas, do 8º período de Licenciatura em Matemática, turma de 2013.
Neste material são apresentadas uma introdução, as atividades e como devem ser
desenvolvidas, bem como seus objetivos, além da escolha e descrição
do Software
Educacional utilizado, o Geogebra.
Abaixo segue um quadro informativo das atividades:
Quadro Informativo das Atividades Desenvolvidas
Etapas
Atividade
Duração
Objetivos
Estudar a função no ponto;
Vizinhança no ponto;
1ª ETAPA
ATIVIDADE 1 e 2
2 h/aula
A noção de discreto e contínuo.
Explorar o conceito de vizinhança;
Introduzir a representação da idéia e o conceito e a
intuição de limite.
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Quadro Informativo das Atividades Desenvolvidas
Etapas
Atividade
Duração
2ª ETAPA
ATIVIDADE 3 e 4
2 h/aula
3ª ETAPA
ATIVIDADE 5 e 6
2 h/aula
Objetivos
Estudar a definição de limite.
Estudar o levantamento de indeterminação.
Estudar limites no infinito e as assíntotas.
Estudar os limites infinitos e as assíntotas.
Estudar continuidade e descontinuidade de funções.
4ª ETAPA
ATIVIDADE 7, 8 e 9
2 h/aula
Estudar os limites notáveis.
Resolução de problemas: contextualização.
Carga horária Total8 h/aula
Quadro 11: Informativo dos objetivos e carga horária das atividades
Fonte: Elaborado pelo autor
A atividade 2, apresenta 5 aplicativos em HTML, Objetos de Aprendizagem,
disponíveis no mesmo endereço da Dissertação: O ESTUDO
DE LIMITE E
CONTINUIDADE: Numa perspectiva figural e conceitual - foco em objetos de
aprendizagem e do caderno de atividade fruto desta Pesquisa. As demais atividades deverão
ser construídas pelos estudantes, seguindo os comandos deste caderno, usando o Software
Geogebra. O objetivo desse Trabalho foi o de elaborar Objetos de Aprendizagem, alguns
construídos pelos próprios alunos e outros disponibilizados em HTML, abordando o estudo de
Limite e Continuidade, fomentando a compreensão e apreensão dos conceitos.
As atividades propostas pretendem favorecer um ensino e aprendizagem significativo,
com os seguintes objetivos:
 Construir o significado de conceito e definição Limite e Continuidade utilizando o
software GeoGebra.
 Analisar e compreender o conceito de domínio, e quais influencias este objeto
matemático pode incidir sobre o conceito e a existência de limite.
 Compreender curva com os dados discretos de uma função com restrição, o
significado de limite num ponto determinado, bem como analisar o comportamento do
gráfico de uma função em uma vizinhança determinada.
 Compreender o conceito de infinito, reconhecer o limite no infinito de uma função e
os limites infinitos. Bem como, através da observação dos gráficos, levantar
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conjecturas e generalizar, a idéia de convergência, relacionando e reconhecendo a reta
assíntota com a respectiva função.
 Reconhecer uma função definida por várias sentenças. Interpretar e analisar o gráfico
que envolve este modelo de função. Identificar os pontos de descontinuidade e
generalizar em quais condições há a existência da função contínua.
 Trabalhar em grupo e socializar o conhecimento.
Durante a elaboração do produto, em consonância com os objetivos descritos, buscou-se
como referência livros versando sobre Literaturas em Educação Matemática e livros de
Cálculo Diferencial, os quais inicialmente apoiaram em um levantamento crítico da
abordagem do Tema e contribuíram para a construção e desenvolvimento das atividades.
Nesta perspectiva, almejando promover a construção de conceitos e, portanto
conhecimento, elaboramos neste caderno nove atividades que norteiam os Tópicos de Limite
e Continuidade, apoiadas nas TIC’s e nas AO’s.
O SOFTWARE GEOGEBRA
Para a escolha do software, consideramos ser relevante a sua gratuidade e
aplicabilidade.
O Geogebra por ser um software de geometria dinâmica e auto-instrutivo, apresenta um
grande potencial em sua acessibilidade, consequentemente facilidade no seu manuseio, sendo
bem aceito pelos usuários.
O Software GeoGebra foi empregado como recurso tecnológico, objetivando motivar e
auxiliar no ensino e aprendizagem de Limite e Continuidade, por se tratar de um conteúdo que
exige exausta abstração.
Em nossa Pesquisa, o Geogebra possibilitou trabalhar intuitivamente e construir o
conceito de Limite e Continuidade. Analisando a vizinhança em um ponto de diversas
funções, abordando perspectivas no tratamento numérico, algébrico, geométrico: discreto e
contínuo, seja inserindo as sentenças algébricas na opção: ENTRADA, seja pela construção e
manipulação do controle deslizante. É importante ressaltar que este comando permite
apresentar a matemática em movimento.
Fica a critério do professor a opção e adaptação das atividades em outros softwares
educacionais.
7
Na interface do Geogebra, podemos visualizar o campo entrada, no qual iremos inserir
todos os dados tabulados e as representações algébricas das funções, conseqüentemente o
programa nos remeterá outro meio de representação da função, neste caso, o geométrico.
Dentre
as
ferramentas
disponibilizadas
no
software
Geogebra,
usaremos
constantemente como o comando Mover e o comando Seletor (controle deslizante).
Mover: é um comando utilizado para selecionar, mover ou manipular os objetos na janela de
visualização. Com este mesmo objetivo pode apertar ESC no teclado.
Seletor: é um recurso usado para criar e movimentar parâmetros.
Clicando na opção seletor ou controle deslizante aparecerá um pequeno segmento.
8
Como está exposto na imagem acima, o controle deslizante permite alterar o
“intervalo” de variação do seletor e “incremento” que representa o tamanho do passo. O nome
também pode ser alterado.
Este recurso pode vincular objetos como funções a parâmetros, permitindo movimentálos. Porém, na perspectiva do estudo de Limite e Continuidade, usaremos estes recursos, na
abordagem de funções, no tratamento discreto e contínuo, no qual, a partir do comando do
controle deslizante nos é permitido visualizar os infinitos pontos na construção do gráfico de
uma função, bem como as restrições do domínio, em consonância com os saltos no conceito
de limite.
Em nossas atividades, utilizamos alguns comandos básicos do Geogebra, entretanto,
porém,
caso
o
professor
queira
mais
detalhes
na
aplicabilidade,
comando
e
operacionalização, deverá consultar o Tutorial do Geogebra disponibilizado na página (web)
do Geogebra. Org.
Objetiva-se utilizar estes recursos no tratamento dos tópicos de Limite e Continuidade
como uma metodologia que possa contribuir na construção de imagens conceituais
relacionados ao tema.
9
Ao aluno
Prezado aluno(a), este caderno de atividades é parte integrante de um projeto de
pesquisa de Mestrado cujo o objetivo é trabalhar o ensino e aprendizagem de Limite e
Continuidade, utilizando ferramentas computacionais e Objetos de Aprendizagem.
Para fazer esse estudo será utilizado o Software Geogebra, no qual você, aluno, deverá
inicialmente abrir o programa, ou instalar, caso seja necessário e seguir os comandos, tal
como descritos em cada atividade.
Vinculados ao site do Mestrado de Ensino em Ciências e Matemática, podemos
encontrar a Dissertação, O Estudo de Limite e Continuidade: Numa perspectiva figural e
conceitual – foco em Objetos de Aprendizagem, o Produto – Caderno de Atividades e o
arquivo “VIRTUAL” contendo as atividades numa versão em HTML.
Nas atividades 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, devemos fazer as construções, seguindo cada
informação. Portanto deveremos inserir a função na opção: ENTRADA, somente quando
solicitado.
Na atividade 2, devemos abrir os aplicativos disponibilizados em HTML.
O arquivo “VIRTUAL”, que poderá ser acessado no mesmo endereço da dissertação,
pode ser salvo em pendrive ou CD.
Ao acessar esse arquivo virtual, teremos disponível todos os arquivos em anexo,
responsáveis pela construção e execução das atividades, como segue a imagem.
Portanto, deveremos acessar o arquivo denominado principal e caso queiramos, na pasta
“conteúdos páginas”, contém uma versão portátil do Geogebra, que poderá ser executado sem
que seja instalado. Mas é necessário informarmos que este tipo de arquivo em HTML é
executável na versão “OFFLINE” em máquinas que já tiveram acesso a internet,
preferencialmente no mesmo dia do desenvolvimento das atividades, para que a máquina
busque “vestígios” do “JAVA”, recursos que viabilizam o funcionamento das atividades em
HTML.
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Na página inicial, temos acesso a versão de uma página do Geogebra em HTML.
Devemos ressaltar que nesta página poderão desenvolver as atividades, mas a versão é lenta e
os comandos estão todos em Inglês.
SLIDER – Controle deslizante
ENTRADA
Na página inicial, temos:
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Podemos, clicar em cada atividade ao retomar a página inicial.
Ao iniciar uma atividade, podemos prosseguir o desenvolvimento, partindo para os
subtópicos 1, 2, 3 e 4, por exemplo, como demonstrado na imagem anterior e temos
disponível uma versão de uma página do Geogebra em HTML, clicando no canto direito
superior. Para desenvolvermos a próxima atividade, basta clicar no menu principal.
Na atividade 2, como há aplicativos, devemos clicar com o mouse no canto direito
superior para ter acesso ao aplicativos, Objetos de Aprendizagem.
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Deste modo, podemos desenvolver as atividades deste caderno, acompanhando os
comandos no próprio caderno físico e/ou a partir do arquivo “VIRTUAL”.
Sendo assim, após familiarizarmos com esse objeto “VIRTUAL”, podemos iniciar as
atividades.
1ª ATIVIDADE
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES
OBJETIVO:
Estudar a função no ponto;
Vizinhança no ponto;
A noção de discreto e contínuo.
ATIVIDADE NO GEOGEBRA
COMANDOS:
Acesse e abra o programa Geogebra.
I) Traçado do Gráfico
1) = 2
1º momento
Estabeleça alguns valores para
e calcule os pares ordenados para a função dada.
Exemplo:
( )
( )
Plotar os pontos:
Entrada: lista = {(
, ( )),( , ( )), ( , ( ))}
Janela de álgebra: selecionar lista.
2º momento
Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante
, clicar, depois clicar na janela de
visualização, nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
Seja A o conjunto dos pontos dos pares ordenados. Se =
entrada, abaixo do campo de visualização digite: A = (k, 2k).
Exemplo: Entrada: A = (k, 2k)
No ponto A com mouse “direito” : habilitar rastro.
, então
= 2 . Portanto na
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1ª janela: mover – Variar o parâmetro K.
Clicar no parâmetro com o mouse (direito), ir e opção – animar.
Observe a variação dos elementos do ponto A na janela de álgebra.
3º momento
= 2 na janela de entrada.
Inserir a função
Estabeleça a relação entre gráfico e o objeto fornecido no segundo momento. Justifique.
___________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
II) Estudo da função
a) Determine o domínio desta e verifique graficamente.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
*Desfaça os pontos obtidos no 2º momento, (CTRL Z) ou vá na barra de ferramentas: editar –
desfazer. Caso o gráfico desapareça, insira-o novamente na entrada.
b) Construa uma tabela com os valores próximos ao 3, pela direita e pela esquerda.
3,2
3,1
3,01
3,001
3,0001
2,8
2,9
2,99
2,999
2,9999
( )
( )
Plotar os ponto no Geogebra.
Observe o gráfico de ( ). O que acontece com os valores de , quando
c) quando os valores de
se aproximam de 3 pela direita?
______________________________________________________________________
d) quando os valores de
se aproximam de 3 pela esquerda?
______________________________________________________________________
e) A função = pode assumir valores tão próximo de _______ quanto se deseja, desde que
fique suficientemente próximo de _____.
III) REPETIR OS MESMOS COMANDOS E FAZER O ESTUDO DAS FUNÇÕES:
2)
=
−5 +6
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Observação: No item (c) , para a função 2, construa uma tabela com os valores próximos ao 4,
pela direita e pela esquerda.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3)
=
Observação: No item (c), para a função 3, construa uma tabela com os valores próximos ao 2
e -2, pela direita e pela esquerda.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4)
=
Observação: No item (h), para a função 4, construa uma tabela com os valores próximos a 1 e
-1, pela direita e pela esquerda.
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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2ª ATIVIDADE
ANALISAR E DISCUTIR OS APLICATIVOS NO GEOGEBRA
OBJETIVO:
Explorar o conceito de vizinhança;
Introduzir a representação da idéia e o conceito e a intuição de limite.
APLICATIVOS NO GEOGEBRA
Abrir os aplicativos que estão no CD.
APLICATIVO 1:
Varie o parâmetro
Ao aproximar o
:
de 0 (zero) pela direita o y aproxima-se de quanto?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
É possível fazer a mesma análise pela esquerda?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
16
APLICATIVO 2:
Varie o parâmetro
Ao aproximar o
:
de 1 pela esquerda o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Mova o parâmetro :
Ao aproximar o
de 1 pela direita o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Analise e responda o que você pode afirmar sobre (1)? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
17
APLICATIVO 3:
Varie o parâmetro
Ao aproximar o
:
de 2,5 pela esquerda o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Mova o parâmetro :
Ao aproximar o
de 2,5 pela direita o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Analise e responda o que você pode afirmar sobre (2,5)? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
18
APLICATIVO 4:
Varie o parâmetro
Ao aproximar o
:
de 2,5 pela esquerda o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Mova o parâmetro :
Ao aproximar o
de 2,5 pela direita o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Analise e responda o que você pode afirmar sobre (2,5)? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Qual a diferença entre este aplicativo e o aplicativo anterior? Justifique.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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APLICATIVO 5:
Varie o parâmetro
Ao aproximar o
:
de
pela esquerda o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Mova o parâmetro :
Ao aproximar o
de
pela direita o y aproxima-se de quanto?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Analise e responda o que você pode afirmar sobre ( )? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
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3ª ATIVIDADE
Fazer as construções no Geogebra e analisar os limites.
OBJETIVO:
Estudar a definição de limite.
Acesse e abra o programa Geogebra.
Obs.: As demais tarefas deverão ser realizadas no software Geogebra.
1) No Geogebra, inserir a função:
* Linguagem no Geogebra: entrada:
Analise os valores de
=
| |
= /
ao aproximar o
( )
de zero, pela direita e pela esquerda.
Analisando o gráfico pode-se dizer que há uma convergência?
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2) Dada a função
=
Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante, clicar, depois clicar na janela de visualização,
nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
*Mova o controle deslizante e posicione em qualquer valor diferente de 1.
Seja A o conjunto dos pontos dos pares ordenados. Se =
entrada, abaixo do campo de visualização digite: A = (k, ).
Exemplo: Entrada: A = (k,
, então
=
. Portanto na
), no Geogebra: A = (k,(k^2-1)/(k-1))
No ponto A com mouse “direito” : habilitar rastro.
1ª janela: mover – Variar o parâmetro K. O que pode se conjecturar sobre f(1)?
Observe o gráfico. O que acontece com os valores de , quando:
os valores de
se aproximam de 1 pela direita?
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
os valores de
se aproximam de 1 pela esquerda?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
21
A função =
pode assumir valores tão próximos de _______ quanto se deseja, desde
que fique suficientemente próximo de _____.
3) Dada a função
≠2
=2
( )=
7
Na entrada, inserir o ponto A = (2,7)
Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante, clicar, depois clicar na janela de visualização,
nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
Seja A o conjunto dos pontos dos pares ordenados. Se = , então
entrada, abaixo do campo de visualização digite: B = (k, ).
Exemplo: Entrada: B = (k,
=
. Portanto na
)
No ponto B com mouse “direito” : habilitar rastro.
1ª janela: mover – Variar o parâmetro K. O que pode se conjecturar sobre f(2)?
Vá a entrada e tente inserir f(2). O resultado confirma as conjecturas levantadas no item
acima?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Observe o gráfico. O que acontece com os valores de , quando:
os valores de
se aproximam de 2 pela direita?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
os valores de
se aproximam de 2 pela esquerda?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
A função ( ) pode assumir valores tão próximos de _______ quanto se deseja, desde que
fique suficientemente próximo de _____.
Neste caso o limite quando se aproxima de 2 é _______ , porém (2) = _____. Portanto
verifica-se que o valor do limite pode não ser igual ao valor no ponto.
4) No Geogebra, inserir a função:
Analise os valores de
=2 +1
ao aproximar o
de três, pela direita e pela esquerda.
22
A função pode assumir valores tão próximos de _______ quanto se deseja, desde que
suficientemente próximo de _____.
Então, afirma-se que o limite quando
_____.
fique
se aproxima de três é _______ e neste caso (3) =
Logo verifica-se que o valor do limite pode ser igual ao valor no ponto.
Generalizando:
Retomando o aplicativo 5 da atividade 2, a partir da manipulação do controle deslizante, e
diante da imagem abaixo, descreva como você poderia definir limite.
ξ unidades
δ unidades
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
23
Generalizando, temos:
Ao aproximar de pela direita, a distância δ (delta) unidades diminui, ou seja, em símbolos
matemáticos: | − | < δ. Analogamente
se aproxima de ( ), distância
(épsilon),
também diminui, neste caso a distância entre as imagens da função e ( ) pode ser muito
pequena, portanto, | ( ) − ( )| < mesmo sendo tão pequeno quanto se deseja.
Então, generalizando, se para qualquer ξ > 0 deve existir δ > 0, temos que | ( ) − ( )| < ε
sempre que 0 < | − | < δ.
Definição formal de Limite, segundo Stewart, 2013:
Definição: Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número
exceto possivelmente no próprio .
Então dizemos que o limite de ( ) quando x tende a L, e escrevemos
lim ( ) =
→
Se para todo > 0 houver um número > 0 tal que 0 < | − | < δ então | ( ) − | <
(pág. 101)
,
24
4ª ATIVIDADE
Limites laterais
OBJETIVO:
Estudar o levantamento de indeterminação.
1) Dada a função ( ) =
=
(
)(
(
)
)
.
a) Determine o domínio desta função.
Usando o Geogebra:
b) Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante, clicar, depois clicar na janela de
visualização, nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
Entrada: A = (k,(2*k^2-3*k-2)/(k-2))
Ir na barra de ferramenta: exibir janela de visualização 2. Clicar na janela de visualização 2 e
na mesma opção para entrada da janela 1, inserir o ponto B = (k, 2*k+1).
No ponto A e no ponto B com mouse “direito” : habilitar rastro.
1ª janela: mover – Variar o parâmetro K.
Observe a variação dos elementos do ponto A e B na janela de álgebra.
c) Analisando os gráficos, compare o domínio destas funções no ponto de abscissa 2, com o
resultado do item (a). Explicite com suas palavras.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
d) O que pode-se conjecturar a respeito das funções nas janelas 1 e 2? Explicite suas idéias.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
e) Construa um tabela com os valores próximos ao 2, da função ( ) =
f) Construa uma tabela com os valores próximos ao 2, da função
e pela esquerda.
( )
( )
( )=
pela direita
25
g) Analisando o gráfico da função ( ) =
h) quando os valores de
. O que acontece com os valores de :
se aproximam de 2 pela direita?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
i) quando os valores de
se aproximam de 2 pela esquerda?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
j) A função ( ) =
pode assumir valores tão próximo de _______ quanto se deseja,
desde que fique suficientemente próximo de _____.
l) Verifique que no ponto
são iguais, então lim
→
* Trace o gráfico o ( ) =
= 2 , a função não se define, mas os limites à direita e à esquerda
= __________.
e atente as limitações do software.
Compare sua redação com esta análise.
Observação: Notamos que a idéia de limite de uma função , quando tende para , depende
somente dos valores de
próximos de ; o valor de ( ) é irrelevante. Ao calcular o
lim →
, observa-se que a função não está definida para
e existe o limite de ( ) quando tende a 2.
= 2, isto é, não existe (2)
Stewart, 2013:
Limites Laterais
Definição:
Escrevemos
lim
→
( )=
e dizemos que o limite à esquerda de ( ) quando tende a [ou o limite de ( ) quando
tende a pela esquerda] é igual a se pudermos tornar os valores de ( ) arbitrariamente
próximos de , para suficientemente próximos de e menor que .
( )=
( )=
lim → ( ) =
se somente se lim →
e lim →
(pág. 85)
26
5ª ATIVIDADE
LIMITE NO INFINITO
OBJETIVO:
Estudar limites no infinito e as assíntotas.
(I) Dada a função ( ) =
a) Determine o domínio desta função.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
b) Construa uma tabela com os valores de crescendo ilimitadamente quanto desejar e na
segunda planilha com valores de x decrescentes ilimitadamente através de valores negativos.
( )
( )
c) Conjecture o valor do limite, caso exista, a partir da planilha, à direita e à esquerda.
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
d) Usando o Geogebra faça o traçado do gráfico de ( ) =
levantadas ou refutá-las.
para confirmar as conjecturas
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
e) Analisando o gráfico, descreva o comportamento da função:
27
f) Faça a mesma análise para valores próximos do zero. Construa uma tabela com os valores
de próximos de zero pela direita e pela esquerda.
( )
( )
g) Conjecture o valor do limite, caso exista, a partir da planilha, à direita e à esquerda e no
ponto.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
h) Analisando o gráfico no Geogebra, descreva o comportamento da função:
Stewart, 2013:
Definição:
Seja uma função definida em algum intervalo ( , ∞). Então lim →∞ (
significa que os valores de ( ) ficam arbitrariamente próximos
suficientemente grande.
Seja uma função definida em algum intervalo (− ∞, ). Então lim → ∞
significa que os valores de ( ) podem ficar arbitrariamente próximos
suficientemente grande em calor absoluto, mas negativo. (pág. 120)
Definição:
A reta = é chamada assíntota horizontal da curva
lim →∞ ( ) =
ou lim → ∞ ( ) =
)=
de
, tornando
( )=
de , tornando-se
= ( ) se
(pág. 120)
28
6ª ATIVIDADE
LIMITES INFINITOS
OBJETIVO:
Estudar os limites infinitos e as assíntotas.
1) Dada a função ( ) = (
)
a) Determine o domínio desta função.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
b) Construa uma tabela com os valores próximos ao 1, pela direita e pela esquerda.
( )
( )
Usando o Geogebra:
c) Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante, clicar, depois clicar na janela de
visualização, nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
Entrada: A = (k,2/^((1-k)^2)
No ponto A com mouse “direito” : habilitar rastro.
Observação: se o ponto A não aparecer na janela de visualização, vá a 1ª janela: mover –
Variar o parâmetro K, assim peça para habilitar rastro.
Novamente: 1ª janela: mover – Variar o parâmetro K.
Observe a variação dos elementos do ponto A na janela de álgebra.
d) Insira na entrada a função ( ) =
(
)
e) Crie o pronto de abscissa 1: entrada: (1). O que você observa?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Analisando o gráfico, descreva o que acontece com os valores de :
f) quando os valores de
se aproximam de 1 pela direita?
___________________________________________________________________________
29
_________________________________________________________________________
g) quando os valores de
se aproximam de 1 pela esquerda?
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
h) A função ( ) =
desde que
i) Existe lim
(
)
pode assumir valores tão próximo de _______ quanto se deseja,
fique suficientemente próximo de _____.
→ (
)
? Justifique.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
j) Insira, na entrada: x = 1. O que pode-se dizer sobre a reta
palavras.
= 1, explique com suas
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Stewart, 2013:
Definição:
* Seja uma função definida em ambos os lados de , exceto possivelmente no próprio . Então
lim ( ) = ∞
→
Significa que podemos fazer os valores de ( ) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto
quisermos) tornando suficientemente próximos de , mas não igual a .
* Seja uma função definida em ambos os lados de , exceto possivelmente no próprio . Então
lim ( ) = − ∞
→
Significa que os valores de ( ) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, tornarmos
suficientemente próximos de , mas não igual a . (pág. 85-86)
Definição:
A reta = é chamada assíntota vertical da curva = ( ) se pelo menos uma das seguintes
condições estiver satisfeita:
lim ( ) = ∞
lim ( ) = ∞
lim ( ) = ∞
→
lim ( ) = − ∞
→
→
lim
→
→
( ) = −∞
lim
→
( ) = −∞
(pág. 85-86)
30
7ª ATIVIDADE
Funções definidas por várias sentenças
OBJETIVO:
Estudar continuidade e descontinuidade de funções.
* Nesta tarefa deverá ser usado o comando cuja linguagem, no Geogebra, define-se por:
(1) = [ < , ( ), ℎ( )]
(2) = [ ≤ , ( ), ℎ( )]
(3) = [ < , ( ), [0 ≤ ≤ , ℎ( ), ( )]]
* Atenção às limitações do software.
1) Seja a função: ( ) =
≠2
0
=2
a) Faça o traçado do gráfico, usando o Geogebra.
i) Entrada: y = se[x≠2,3/(x-2),0]
Observe que este comando não é suficiente para aparecer a condição: “
entrada, inserir o ponto: A = (2,0).
= 2”, então na
ii) Criar: Na 11ª janela, ir em opção: controle deslizante, clicar, depois clicar na janela de
visualização, nomear como k, intervalo mínimo: -10, máximo: 10, incremento 0,1. Aplicar.
Entrada: A = (k,f(k))
1ª janela: mover – Variar o parâmetro K.
iii) Observe o que acontece com os valores das coordenadas de A quando está variando o
parâmetro K.
b) Analise o gráfico de ( ):
I) Quando x se aproxima de 2:
lim
→
( ) = _____
lim ( ) = _____
→
lim
→
( ) = _____
II) Quando x cresce ilimitadamente:
lim ( ) = _____
→
31
(2) =
III) Analisar a função no ponto:
CONTINUIDADE
Stewart, 2013:
Definição:
Uma função
se lim
é contínua em um número
→
( ) = ( ).
Observe que a Definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de
1. ( ) está definida (isto é, está no domínio de );
2. lim → ( ) existe;
3. lim → ( ) = ( )
c) ( ) =
≠2
=2
0
em :
(pág. 109)
é contínua? Justifique.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2) Seja a função: ( ) =
2
≤2
>2
−3
a) Faça o traçado do gráfico, usando o Geogebra.
Para resolver a limitação do software, deve-se inserir o ponto: A = (2,4), depois criar o ponto
B = (2, -2), ir em propriedades com o mouse direito, opção estilo, estilo do ponto e mudar
para ponto aberto.
b) Analise o gráfico de ( ):
I) Quando x se aproxima de 2:
lim
→
( ) = _____
lim ( ) = _____
→
lim
→
II) Analisar a função no ponto:
c) ( ) =
2
−3
≤2
>2
( ) = _____
(2) =
é contínua? Justifique.
32
___________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3) Verifique se a função ( ) =
é contínua em
= −1
a) Faça o traçado do gráfico, usando o Geogebra.
b) Analise o gráfico de ( ):
I) Quando x se aproxima de -1:
lim
→
( ) = _____
lim
→
lim
→
II) Analisar a função no ponto:
( ) = _____
( ) = _____
(2) =
c) A função é contínua? Justifique.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
4−
4 ) Seja a função: ( ) = 2
2+
*No Geogebra a linguagem é:
<1
=1
>1
=
[ < 1,4 −
,
[ > 1,2 +
, 2 ]]
a) Faça o traçado do gráfico, usando o Geogebra.
Para resolver a limitação do software, deve-se inserir o ponto: A = (1,2).
b) Analise o gráfico de ( ):
I) Quando x se aproxima de 1:
lim ( ) = _____
→
lim ( ) = _____
→
lim ( ) = _____
→
33
(1) =
II) Analisar a função no ponto:
4−
c) ( ) = 2
2+
<1
=1
>1
é contínua? Justifique.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5) Verifique os possíveis pontos de descontinuidade das funções:
a)
−4 ,
( )= 2 − ,
2 − 9,
b) ( ) =
+ 3,
1− ,
<0
0≤ ≤3
>3
−3 ≤ < 0
0≤ ≤4
Para a letra b, deve-se inserir os pontos A = (0,1) (fechada), B = (0,3) (aberta).
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
6) Analise através do Geogebra se as funções abaixo são contínuas:
a)
c)
( )=
2
−3
( )=
b)
1
( )=
−1
≠2
( )=
−1
e)
≤2
>2
( )=
≠2
=2
≠1
=2
d)
≠0
3−
< −1
−1≤ <1
f) ( ) = 2
( − 2)
≥1
=0
−
=1
34
8ª ATIVIDADE
LIMITES NOTÁVEIS
OBJETIVO:
Estudar os limites notáveis.
No Geogebra, esboce os gráficos das funções abaixo e analise o comportamento das funções:
a)
= 1+
Analise lim
b)
1+
= (1 + )
Analise lim
c)
→∞
→
(1 + )
=
Analise lim
→
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
35
9ª ATIVIDADE
OBJETIVO:
Resolução de problemas: contextualização.
1) Um carro, colocado sobre uma rampa de inclinação , tem peso 1000 kgf, conforme figura.
Calcule o valor da força resistente que age sobre o carro quando o ângulo tende para:
Força resistente:
=
: força resistente
=
, onde
é a força potente.
a) 0°
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_______________________________________________________________________
b) 90°
________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) Seja
capacitor
a corrente em função do tempo
em uma resistência .
Sabe-se que:
=
.
, num circuito onde temos a descarga de um
36
a) Determine a corrente inicial para = 0.
___________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
b) Estude a variação da corrente quando cresce indefinidamente.
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_________________________________________________________________________
c) No Geogebra faça um esboço de = ( ). Anote suas observações.
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___________________________________________________________________________
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