A1
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
FORMAS DE ONDA E FREQÜÊNCIA Uma forma de onda periódica é uma forma de onda repetitiva, isto é,
aquela que se repete após intervalos de tempo dados. A forma de onda não
precisa ser senoidal para ser repetitiva; por exemplo, a onda quadrada e a
triangular da Figura 1 se repetem após um intervalo de tempo da mesma forma
que as formas de onda senoidais da Figura 1. A menor porção não-repetitiva
possível de uma forma de onda periódica é um ciclo. O intervalo de tempo entre
repetições sucessivas ou ciclos é chamado período, T. Deve ser observado que
uma grandeza senoidal passa por uma seqüência completa de valores para
cada 2π radianos de variação de ωt.
Figura 1 - Várias formas de onda repetitivas.
A freqüência, f, de uma variação no tempo ou grandeza periódica é o
número de ciclos que acontecem por unidade de tempo. A unidade SI para
freqüência é o hertz (Hz) em homenagem à Heinrich R. Hertz (Alemanha, 18571894). Um hertz é igual a um ciclo por segundo. Assim, a freqüência é inverso do
período, T, isto é
f=
1
T
(1)
Na produção de um ciclo de tensão senoidal, o condutor gerador passa
através de 360 graus elétricos em um período de tempo T = 1/f. Então, a
freqüência angular, ω, é
ω=
2π 2π
=
= 2πf
T 1/ f
(2)
onde ω é em radianos por segundo e f é em hertz.
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A2
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Exemplo 1 - Quais são a freqüência e o período da tensão descrita pela equação
v = 120sen377t ?
Solução
Nem todas as ondas senoidais têm valor zero em t = 0. O ângulo de fase
inicial é o ângulo da grandeza periódica medido no instante em que a grandeza
está começando (í = 0). Assim, a onda cossenoidal da Figura 1 pode ser descrita
como uma onda senoidal com 90° ou π / 2 rad de defasagem; então a onda
cossenoidal pode ser expressa por uma onda senoidal deslocada, isto
é, senωt = cos(ωt − 90o ) . De maneira semelhante, a onda senoidal pode ser descrita
como uma forma de onda cossenoidal que foi "atrasada" de 90° ou π / 2 rad; isto
é, senωt = cos(ωt − 90o ) . Se a expressão geral do seno para tensão (ou corrente) é
modificada para tomar o ângulo de fase inicial considerado, o resultado é:
v = Vm sen(ωt ± φ )
(3)
onde φ é o ângulo de fase inicial, o sinal positivo é usado para um avanço
na onda senoidal e o sinal negativo para um atraso na onda senoidal.
Freqüentemente, duas grandezas senoidais com o mesmo período são
comparadas. A diferença de fase é a parte fracionária de um período ao qual
correspondem valores de duas grandezas que são separadas. Em adição, os
termos adiantada ou atrasada são usados para descrever ondas que estão em
avanço de fase ou retardamento de fase. Na Figura 1, por exemplo, a onda
senoidal está atrasada da onda cossenoidal por uma diferença de fase de 90°.
Alternativamente, a onda cossenoidal está adiantada da onda senoidal de 90°.
As freqüências encontradas em circuitos elétricos são virtualmente
limitadas. A menor freqüência é a CA zero (corrente contínua). A seguir estão as
freqüências de potência, sendo predominante a de 60 Hz. As freqüências de
aproximadamente 20 Hz a 20 kHz são chamadas de audiofreqüências, já que são
audíveis para o ouvido humano quando transformadas em som por alto-falantes.
Freqüências de 20 kHz até a faixa de GHz são chamadas de radiofreqüências e
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A3
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
estão associadas à irradiação eletromagnética. A faixa total, e aparentemente
limitada de freqüências, é conhecida como espectro de freqüências, parte da
qual está mostrada na Figura 2.
Figura 2 - O espectro de freqüências.
O VALOR MÉDIO Como o valor médio instantâneo de qualquer tensão ou corrente
alternada particular está constantemente mudando, é freqüentemente desejável
saber o valor médio da tensão ou da corrente.
O valor médio para qualquer variável é obtido pelo gráfico da variável
versus o tempo dividindo a área abaixo da curva pela largura da curva. Em
particular, a tensão média ou a corrente média, Vmed , é usualmente obtida
sobre um ciclo completo tal que área abaixo da curva para um ciclo completo
tal que:
Vmed (ou Imed ) =
área abaixo da curva para um ciclo
T
(4)
onde T é o período.
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A4
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Exemplo 2 - Qual é o período e o valor médio para a forma de onda da Figura 3?
Figura 3 - Exemplo 2.
Solução
Exemplo 3 - Calcule o valor médio para a forma de onda de corrente da Figura 4.
Figura 4 - Exemplo 3.
Solução
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A5
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
O valor médio de uma senóide tomado sobre um ciclo completo é
obviamente zero, já que a área sob o semiciclo positivo é igual à área
determinada pelo semiciclo negativo.
Todavia, pulsos senoidais equivalentes a meio ciclo de uma onda senoidal
são freqüentemente encontrados, particularmente em circuitos retificadores.
Com isso em mente, o "valor médio" de uma onda senoidal é definido como valor
médio de um laço completo (1/2 ciclo). Se a fórmula da área de um pulso
senoidal (ou outra forma não-usual) não é conhecida, pode-se tomar urna
aproximação da área usando formas geométricas simples ou obter a área atual
através de cálculos.
Exemplo 4 - Usando a forma triangular e a retangular sobrepostas ao pulso
senoidal da Figura 5, obtenha uma aproximação da área do pulso senoidal.
Figura 5 - Um pulso senoidal e um método de aproximação.
Solução
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A6
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
A função periódica geral y(t), com um período T(s), tem valor médio, Ymed,
dado por:
T
Ymed =
1
1
y(t )dt =
∫
To
T
t 0 +T
∫
(5)
y(t )dt
t0
Algumas funções, das quais é um exemplo, são convenientemente
tratadas como funções de (rad) em vez de t. A expressão para o valor médio é
então:
T
Ymed
1
1
= ∫ y(ωt )d(ωt ) =
T0
T
ωt 0 + T
∫
y(ωt )d(ωt )
(6)
ωt 0
onde T é o período em radianos; por exemplo, T= 2π para y(ωt ) = Ym sen(ωt ) .
Exemplo 5 – Determinar o valor médio da forma de onda mostrada na Figura 6 ;
para 0 < t < 0,05s , onde y(t ) = 10e−200t .
Figura 6 - Forma de Onda 1.
Solução
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A7
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Exemplo 6 – Determinar o valor médio da forma de onda mostrada na Figura 7.
Para 0 < ωt < π , onde y = Ym senωt ; para π < ωt < 2π , y = 0 . O período é 2π.
Figura 7 - Forma de Onda 2.
Solução
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A8
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
O VALOR EFICAZ OU VALOR MÉDIO QUADRATICO Como uma corrente alternada varia periodicamente em intensidade do
zero a um valor máximo, deve-se observar o valor usado para especificar uma
corrente particular. O valor máximo possui um significado particular para ondas
senoidais, mas não oferece qualquer indicação para correntes de forma nãosenoidal. De maneira semelhante, o valor médio sobre um ciclo completo não é
uma boa forma de se especificar valores CA, já que o valor médio para uma
senóide é zero. O efeito do calor em uma resistência é proporcional ao quadrado
da corrente e é, portanto, independente do sentido da circulação da corrente. É
conveniente que o efeito do aquecimento em uma corrente alternada seja
tomado como base para a definição de um ampère CA.
Uma corrente alternada possui um valor eficaz de l ampère quando
desenvolve a mesma quantidade de calor em uma resistência dada como a que
é produzida por uma corrente contínua de l ampère na mesma resistência, em
um mesmo espaço de tempo.
O valor eficaz de uma corrente senoidal é primeiramente considerado. Se
uma corrente alternada eficaz é designada por Ief, então, por definição, a
potência desenvolvida por essa corrente é igual à potência desenvolvida por
essa corrente é igual à potência desenvolvida por uma corrente contínua, I.
P = Ief2 R = I2R
(7)
Sendo que a corrente está constantemente mudando, a potência está
constantemente mudando e que a potência é instantânea, P em qualquer
tempo é dada por:
P = i 2R = (Im senωt )2 R = Im2 Rsen2ωt
(8)
1
sen2ωt = (1 − cos2ωt )
2
(9)
Da trigonometria:
A substituição da Equação na Equação resulta em:
Im2 R
(1 − cos2ωt )
2
(10)
P=
A potência instantânea da equação possui um gráfico como uma onda
cossenoidal negativa disposta de tal forma que em nenhum momento há
potência instantânea negativa (Figura 8). A potência atual dissipada é igual ao
valor médio da curva, que, em suma, é igual; a Im2 R / 2 . Equacionando a potência
média à potência CC da Equação (7).
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A9
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Ief2 R =
Im2 R
2
(11)
ou
Ief2 =
Im2
2
(12)
Tomando as raízes quadradas de ambos os lados, obtemos:
Ief =
Im
= 0,707Im
2
(13)
é:
De maneira análoga, o valor eficaz da tensão Vef para uma onda senoidal
Vef =
Vm
= 0,707Vm
2
(14)
Figura 8 - Potência no resistor: (a) corrente instatânea, (b) potência instantânea.
O valor eficaz de tensão ou corrente é freqüentemente chamado de valor
médio quadrático e abreviado rms (do inglês root-mean-square), porque as letras
significam o método usado para encontrar o valor eficaz: eleva-se ao quadrado
a forma de onda inicial ponto a ponto, obtendo a equivalência ou média da
forma de onda ao quadrado, e então se extrai a raiz quadrada desse valor
equivalente.
Matematicamente, o valor eficaz da corrente (semelhante à tensão) é:
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A10
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Irms =
1 T
2
[i(t )] dt
∫
0
T
(15)
A função periódica geral y(t) tem o valor eficaz igual a:
Yef =
1 T
1 t 0+T
2
2
y(t )] dt =
y(t )] dt
[
[
∫
∫
T 0
T t0
(16)
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos
A11
Anexo 1 - Revisão Valores Médio e Eficaz
Exemplo 7 – Achar o valor eficaz da forma de onda mostrada na Figura 6.
Solução
Entretanto, quando as formas das ondas elevadas ao quadrado são
formas geométricas simples, não é necessário usar o método do cálculo para
encontrar o valor eficaz.
Exemplo 8 - Encontre o valor eficaz para a forma de onda do Exemplo 3.
Solução
Controle de Motores Elétricos - Prof. Josemar dos Santos