7.
ESTUDO DAS MÉDIAS - REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Quando os tratamentos são níveis de um fator quantitativo, o procedimento apropriado
para o estudo das médias dos tratamentos é o emprego da análise de Regressão.
A regressão é uma técnica de análise que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis
quantitativas para determinar um modelo matemático de forma que o efeito de uma possa ser
previsto através da outra variável (ou outras variáveis). Na análise de experimentos, o modelo
matemático mais empregado para tentar explicar o efeito dos tratamentos na variável reposta é o
modelo polinomial. Os polinômios são da forma:
Y = β 0 + β1 X + ... + β p X p
Os mais comumente utilizados são:
•
Polinômio do 1º grau ou Regressão Linear:
•
Polinômio do 2º grau ou Regressão Quadrática:
•
Polinômio do 3º grau ou Regressão Cúbica:
Y = β 0 + β1 X
Y = β 0 + β 1 X + β 2 X2
Y = β 0 + β 1 X + β 2 X2 + β 3 X3
Em todos estes modelos estão envolvidos apenas duas variáveis: X e Y. No caso dos
experimentos, a variável X, ou variável independente, é uma variável não aleatória corresponde
aos tratamentos e a variável Y, ou variável dependente, que é a variável resposta ( variável
aleatória ) .
O método de regressão na análise de variância consiste em determinar se um destes
polinômios explica satisfatoriamente a relação entre os tratamentos utilizados e as observações.
Para tanto, será empregado o teste F para determinar quais são os modelos possíveis e o
coeficiente de determinação (R2) para mostrar o grau de explicação de cada modelo.
O teste F na análise de variância permite testar apenas o coeficiente associado à variável
X no seu maior expoente, testando-se assim o efeito de grau p. Para cada polinômio, as hipóteses
do teste F serão:
57
Y= β0 + β1 X
H0 : β 1 = 0
(Efeito Linear)
Ha : β 1 ≠ 0
Y= βo + β1 X + β2 X2
H0 : β2 = 0
(Efeito Quadrático)
Ha : β 2 ≠ 0
Y= βo + β1 X + β2 X2 + β3 X3
H0 : β 3 = 0
(Efeito de 3º grau)
Ha : β 3 ≠ 0
...
Y= βo + β1 X + β2 X2 + β3 X3 + ... + βp Xp
H0 : βp = 0
(Efeito do grau p)
Ha : β p ≠ 0
Os passos para a análise de regressão são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definir os efeitos de regressão a serem testados. A cada efeito de regressão corresponde 1
grau de liberdade. Assim, é possível testar tantos efeitos de regressão quantos são os
graus de liberdade para tratamentos;
Determinar as Somas de Quadrados para cada um destes efeitos de regressão;
No quadro da Análise de Variância, testar os efeitos de regressão utilizando o Quadrado
Médio do Erro Experimental;
Através do teste F, definir o grau do polinômio que melhor se ajusta às médias da
característica observada;
Determinar o grau de ajuste, através do Coeficiente de Determinação:
SQ Re gressão
R2 =
⋅ 100
SQTratamentos
onde SQ Re gressão = (Somas de Quadrados dos Efeitos de Regressão).
Obter as estimativas dos parâmetros do modelo de Regressão escolhido e apresentar os
resultados em um gráfico.
EXEMPLO 7.1
Um experimento foi realizado para testar o efeito da adubação nitrogenada (0, 100, 200 e 300
kg/ha de Adubo Nitrogenado) na produção de milho (kg/parcela). Os resultados obtidos estão
apresentados na Tabela 7.1 e a Análise de Variância na Tabela 7.2.
58
Tabela 7.1 Produções de Milho (kg/parcela) para doses de adubo Nitrogenado.
Tratamentos
I
II
III
IV
Totais
Médias
0
49
47
52
50
198
49,50
100
53
58
52
60
223
55,75
200
62
52
74
63
251
62,75
300
72
68
58
67
265
66,25
Tabela 7.2
Análise de Variância das Produções de Milho.
Fontes de Variação
GL
SQ
QM
Doses de N
3
666,69
222,23
Erro Experimental
12
405,25
33,77
Total
15
1.071,94
Fc
6,58*
Passo 1.
Considere que, neste estudo, o pesquisador esteja interessado apenas na regressão
linear.
Passo 2.
A fórmula para o cálculo da soma de quadrados do efeito linear é:
X )( Y )
n
2
(
X)
2
X −
n
XY −
SQEL =
(
2
⋅J
onde n é o número de médias. Assim para o exemplo, tem-se o quadro auxiliar:
Tratamentos (X)
0
100
200
300
600
Médias (Y)
49,50
55,75
62,75
66,25
234,25
3.800 −
(600)(234,25)
SQEL =
140.000 −
Passo 3.
4
(600)2
XY
0
5.575
12.550
19.875
38.000
X2
0
10.000
40.000
90.000
140.000
2
⋅4 =
(2862,5)2 ⋅ 4 = 655,51
50.000
4
O teste F para os efeitos de Regressão está apresentado na Tabela 7.3.
59
Tabela 7.3 Análise de Regressão para a Produção de Milho.
Fonte de Variação
GL
SQ
QM
(3)
(666,69)
Doses
Efeito Linear
1
655,51
655,51
Desvios de Regressão
2
11,18
5,59
12
33,37
Erro Experimental
Fc
19,41*
<1
Passo 4.
Observa-se pela significância do teste F, que existe uma tendência linear para as
produções de milho em função das doses de adubo nitrogenado.
Passo 5.
Coeficiente de Determinação:
R 2 = 100.
Passo 6.
655,51
= 98,3%
666,69
Modelo de Regressão Linear :
Y = β0 + β 1 X
As estimativas de β 0 e β 1 são dadas por:
βˆ1 =
βˆ 0 =
X )( Y )
2862,5
n
=
= 0,0572
2
50.000
(
X)
2
X −
n
XY −
(
Y
X 234,25
600
− β1
=
− 0,0572
= 49,9825
n
n
4
4
A equação de regressão linear estimada é: Yˆ = 49,9825 + 0,0572 X . O quadro
auxiliar seguinte apresenta os valores estimados correspondentes aos tratamentos
utilizados:
Tratamentos
0
100
200
300
Médias Observadas
49,50
55,75
62,75
66,25
Médias Estimadas
49,98
55,70
61,42
67,14
60
Yˆ
70
= 49,9825 + 0,0572 X
R2 = 98,3 %
60
50
0
100
200
300
FIGURA 7.1 Equação de Regressão Linear para as Produções de Milho em Função
de diferentes Doses de Adubo Nitrogenado.
O ajuste do modelo linear às produções médias de milho foi muito bom apresentado um
coeficiente de determinação igual a 98,3%. A equação ajustada mostra que a cada 1 kg/ha de
adubo nitrogenado adicionado, espera-se um aumento médio na produção de 0,0572 kg/parcela.
Observe que mesmo tendo sido utilizadas apenas 4 doses de adubo neste experimento, o
modelo ajustado permite estimar produções em todo o intervalo de 0 a 300 Kg/ha de adubo ou
seja, pode-se estimar, por exemplo, a produção de milho para uma dose de 250 Kg/ha, mesmo
não tendo sido usado este tratamento.
EXEMPLO 7.2
Os dados a seguir referem-se às produções de grãos obtidas em um
experimento de adubação em milho no qual os tratamentos foram as doses de 25, 50, 75 e 100
kg/ha de P2O5 além de uma testemunha que não recebeu a adubação fosfatada.
Tabela 7.4 Produções de Milho (Kg/parcela) para Doses de P2O5.
Repetições
I
II
III
IV
0
8,38
5,77
4,90
4,54
25
7,15
9,78
9,99
10,70
50
10,07
9,73
7,92
9,48
75
9,55
8,98
10,24
8,66
100
9,14
10,17
9,75
9,50
Neste exemplo, o pesquisador está interessado em determinar o modelo de regressão que
melhor explique o efeito da adubação com P2O5 na produção de milho. A análise de variância
com regressão é apresentada na Tabela 7.5.
61
Tabela 7.5 Análise de Variância e Regressão para as Produções de Milho.
Fontes de Variação
Doses de P2O5
Efeito Linear
Efeito Quadrático
Efeito Cúbico
Efeito de 4º Grau
Erro
TOTAL
GL
(4)
1
1
1
1
15
19
SQ
(40,0998)
22,1266
11,2950
5,8905
0,7876
20,9838
61,0836
QM
10,0249
22,1266
11,2950
5,8950
0,7876
1,3989
R2
F
7,17*
15,82*
8,07*
4,21
0,56
55,2%
83,3%
Os resultados do teste F e os valores dos coeficientes de determinação indicam que a
regressão quadrática é o modelo apropriado para explicar a relação entre as doses de P2O5 e a
produção de milho, neste exemplo. As médias observadas e suas estimativas calculadas com a
equação de regressão (Figura 7.2) foram:
Doses
0
25
50
75
100
Médias Observadas
5,90
9,40
9,30
9,40
9,60
10
Médias Estimadas
6,33
8,42
9,62
9,91
9,31
.
.
9
Yˆ = 6,3343 + 0,1016 X – 0,0007 X2
.
R2 = 83,3 %
8
7
.
6
0
FIGURA 7.2
25
50
75
100
Equação de Regressão para o Efeito de Doses de P2O5 na Produção
de Milho.
62