Cálculo Diferencial em Campos Escalares
Derivadas Parciais de 1 a Ordem
Sejam f : D ⊆ R 2 →R e a, b ∈ intD.
Fixando y em b, obtemos uma função de uma única variável:
x → gx = fx, b.
O gráfico de g obtém-se intersectando o gráfico de f com o plano
vertical y = b.
z
c
O gráfico
da função f(x,b)
O
b
y
a
x
Se esta nova função for derivável para x = a,
g ′ a = lim
h→0
Ana Matos - AMII 0607
ga + h − ga
fa + h, b − fa, b
= lim
.
h
h
h→0
C. Dif. Campos Esc. 1
Chama-se derivada parcial da função f em ordem a x, no
ponto a, b a
fa+h,b−fa,b
h
lim
h→0
,
caso este limite exista, e representa-se por
∂f
a, b,
∂x
′
f x a, b ou D x fa, b.
Interpretação geométrica:
•
∂f
∂x
a, b é igual ao declive da recta tangente à intersecção do
gráfico de f com o plano y = b, no ponto a, b, fa, b.
z
c
A recta tangente
ao gráfico da função
f(x,b) no ponto (a,b,c).
O gráfico
da função f(x,b)
O
b
y
a
x
Ana Matos - AMII 0607
C. Dif. Campos Esc. 2
Analogamente, chama-se derivada parcial de f em ordem a y
no ponto a, b a
lim
k→0
fa,b+k−fa,b
k
,
caso este limite exista, e representa-se
′
∂f
por ∂y a, b, f y a, b ou D y fa, b.
Interpretação geométrica:
Fixando x em a, obtemos a função na variável y :
y → fa, y.
Se esta função for derivável em b, esta derivada é igual a
lim
k→0
fa, b + k − fa, b
.
k
e dará o declive da recta tangente à intersecção do gráfico de f
com o plano vertical x = a, no ponto a, b, fa, b.
z
c
A recta tangente
ao gráfico da função
f(a,y) no ponto (a,b,c).
O
O gráfico da função
f(a,y)
y
b
a
x
Ana Matos - AMII 0607
C. Dif. Campos Esc. 3
Caso geral - campos escalares definidos em R n :
Definição: Sejam f : D ⊆R n →R e a = a 1 , a 2 , … , a n  ∈ intD.
Chama-se derivada parcial de f no ponto a em ordem à
variável x i , com 1 ≤ i ≤ n, a
fa 1 , a 2 , … , a i + h, … , a n  − fa 1 , a 2 , … , a i , … , a n 
,
h
h→0
caso exista.
lim
Esta derivada parcial representa-se por
D x i fa.
Ana Matos - AMII 0607
∂f
∂x i
′
a, f x i a ou
C. Dif. Campos Esc. 4
Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira
Seja f : D ⊆R 2 →R uma função com derivada parcial em ordem
a x em todos os pontos dum conjunto E ⊆ D.
A função derivada parcial de f em ordem a x
∂f
: E ⊆ R2 → R
∂x
associa, a cada ponto de E, a derivada parcial de f em ordem a x
′
nesse ponto; representa-se também por f x .
Análogamente se define a função derivada parcial em ordem a
′
∂f
y, que se representa por ∂y ou f y .
′
′
As funções f x e f y podem admitir por sua vez, derivadas parciais.
Sendo a, b ∈ intD, caso existam:
•
′′
representa-se por f x 2 a, b ou
′
∂2f
∂x 2
a, b a derivada parcial de
f x em ordem a x, no ponto a, b.
Assim,
∂2f
∂x 2
•
representa-se por
′
h→0
′′
f xy a, b
ou
′
f x a+h,b−f x a,b
h
a, b =lim
∂2f
∂y∂x
.
a, b a derivada parcial de
′
f x em ordem a y, no ponto a, b.
Assim,
∂2f
∂y∂x
Ana Matos - AMII 0607
a, b =lim
k→0
′
′
f x a,b+k−f x a,b
k.
.
C. Dif. Campos Esc. 5
•
representa-se por
∂2f
∂x∂y
′′
a, b ou f yx a, b a derivada parcial da
′
função f y em ordem a x, no ponto a, b.
•
representa-se por
∂2f
∂y 2
′′
a, b ou f y 2 a, b a derivada parcial da
′
função f y em ordem a y no ponto a, b.
Nota: Atenção à ordem das variáveis nas duas notações
∂2f
a, b = ∂
∂y
∂y∂x
∂f
a, b
∂x
= f x a, b
∂2f
a, b = ∂
∂x∂y
∂x
∂f
a, b
∂y
′
f y a, b
′′
′′
′
′
′′
=f xy a, b
y
=
′
′′
=f yx a, b
x
′′
As funções f x 2 , f xy , f y′′2 e f yx chamam-se derivadas parciais de 2 a
ordem da função f.
′′
′′
As derivadas f xy e f yx designam-se por derivadas mistas.
A partir das derivadas de 2ª ordem podem ser definidas as
derivadas de 3ª ordem e assim sucessivamente.
Analogamente se definem derivadas parciais de 1ª ordem e de
ordem superior para o caso geral de um campo escalar definido
em R n .
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C. Dif. Campos Esc. 6
Diferenciabilidade de Campos Escalares
Um campo escalar f, de R 2 em R, será diferenciável num ponto
a, b ∈ intD sse existir um plano tangente ao gráfico de f no
ponto a, b, fa, b.
Esse plano terá que conter as rectas associadas a
•
∂f
∂x
a, b
A recta tangente
ao gráfico da função
f(x,b) no ponto (a,b,c).
z
c
O gráfico
da função f(x,b)
b
O
y
definida por
a
y=b
x
′
z − fa, b = f x a, bx − a
•
∂f
∂y
a, b
z
c
A recta tangente
ao gráfico da função
f(a,y) no ponto (a,b,c).
O
O gráfico da função
f(a,y)
y
b
definida por
a
x
x=a
′
z − fa, b = f y a, by − b
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C. Dif. Campos Esc. 7
O plano de equação
′
′
z − fa, b = f x a, bx − a + f y a, by − b
contém ambas as rectas.
•
•
Portanto, caso exista, o plano tangente é definido por esta
equação.
No entanto, a existência das derivadas parciais não garante a
existência do plano tangente.
Resta saber em que condições este plano é efectivamente
tangente!
Exemplos:
1. A função fx, y =
origem,
|xy| admite derivadas parciais finitas na
′
′
f x 0, 0 = f y 0, 0 = 0.
mas não existe plano tangente ao gráfico de f no ponto 0, 0, 0.
2. A função gx, y = x 2 y 2 , admite derivadas parciais finitas na
origem,
′
′
g x 0, 0 = g y 0, 0 = 0.
e o plano z = 0 é tangente ao gráfico de g no ponto 0, 0, 0.
Numa vizinhança de 0, 0, gx, y = x 2 y 2  0.
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C. Dif. Campos Esc. 8
Intuitivamente: o plano é tangente ao gráfico no ponto
a, b, fa, b sse quando nos aproximamos muito de a, b, e
quanto mais nos aproximarmos, os pontos do plano e os pontos
do gráfico forem ”cada vez mais indestinguíveis”.
1. Gráfico de fx, y =
origem):
|xy| (função não diferenciável na
2. Gráfico de gx, y = x 2 y 2 (função diferenciável na origem):
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C. Dif. Campos Esc. 9
Rigorosamente:
O plano
′
′
z − fa, b = f x a, bx − a + f y a, by − b
será tangente ao gráfico de f no ponto a, b, fa, b sse
′
′
fa + h, b + k − fa, b + hf x a, b + kf y a, b
lim
h +k
2
h,k0,0
= 0.
2
′
′
fa + h, b + k − fa, b + hf x a, b + kf y a, b
é a diferença entre o valor da função no ponto a + h, b + k e
a cota do correspondente ponto do plano;
h 2 + k 2 = ‖h, k‖ é a distância entre a + h, b + k e a, b.
Quando h, k  0, 0, a diferença, no numerador, terá que
z
f(a,b)+hf’x(a,b)+kf’y(a,b)
c
f(a+h,b+k)
b b+k y
O
a
a+h
(h,k)
f(a+h,b+k)- f(a,b)-hf’x(a,b)-kf’y(a,b)
tender mais rapidamente para zero do que ‖h, k‖  0.
x
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C. Dif. Campos Esc. 10
Definição: f é uma função diferenciável em a, b, ponto
interior do domínio de f, se e só se existirem as derivadas
′
′
parciais f x a, b e f y a, b e
′
lim
′
fa+h,b+k− fa,b+hf x a,b+kf y a,b
= 0.
h 2 +k 2
h,k0,0
Generalizando:
Definição: f : D ⊆ R n → R é diferenciável em a ∈ intD se e
′
′
só se existem as derivadas parciais f x 1 a, … , f x n a e
′
lim
h0
′
fa+h− fa+h 1 f x 1 a+⋯+h n f x n a,b
‖h‖
= 0.
Proposição: Sejam f : D ⊆ R n → R e a ∈ intD.
Se f é diferenciável em a então f é contínua neste ponto.
•
A afirmação recíproca não é verdadeira!
Existem funções contínuas que não são diferenciáveis.
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C. Dif. Campos Esc. 11
Definição: Seja f um campo escalar definido D ⊆ R n e S um
subconjunto de D.
Diz-se que f é de classe C p em S, e representa-se por f ∈ C p S,
se tiver derivadas parciais contínuas até à ordem p, em todos os
pontos de S.
Em particular, f é de classe C 1 em S se tiver derivadas parciais
(de 1ª ordem) contínuas, em todos os pontos de S
Proposição (Condição suficiente de diferenciabilidade):
Seja f um campo escalar definido num subconjunto D de R n e
a ∈ intD.
Se todas as derivadas parciais de f são contínuas numa
vizinhança de a, então f é diferenciável nesse ponto.
Ou seja, uma função de classe C 1 numa vizinhança de um ponto
a é diferenciável nesse ponto.
Em resumo:
•
f de classe C 1 numa vizinhança de a ⇒ f diferenciável em a;
•
f diferenciável em a ⇒ f contínua em a.
Mas
•
existirem as derivadas parciais de f em a não implica
f contínua em a;
•
f contínua em a não implica f diferenciável em a;
•
f diferenciável em a não implica f de classe C 1 numa
vizinhança de a.
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C. Dif. Campos Esc. 12
Propriedades:
•
qualquer campo escalar constante é diferenciável;
•
qualquer projecção π j é diferenciável;
•
a soma de campos escalares diferenciáveis é diferenciável;
•
•
•
•
o produto de um escalar por um campo escalar diferenciável
é diferenciável;
o produto de campos escalares diferenciáveis é
diferenciável;
o quociente de campos escalares diferenciáveis, nos pontos
onde o denominador não se anula, é diferenciável;
a composta de campos escalares diferenciáveis é
diferenciável.
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C. Dif. Campos Esc. 13
Exemplo: Nas figuras representam-se campos escalares com
diferentes comportamentos na vizinhança da origem:
fx, y =
gx, y =
xy
(não prolongável por continuidade),
x 2 +y 2
xy 2
x 2 +y 2
(prolongável por continuidade mas com
prolongamento não diferenciável), hx, y =
xy 3
x 2 +y 2
(com
prolongamento por continuidade diferenciável).
wx, y = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y (de classe C ∞ (“suave”)).
-4
-4
0.5
-0.5
2
-2
x
xy
-4
0
-2
-10
0
2
x
2
0
-2
hx, y =
Ana Matos - AMII 0607
2
0
y
z
xy 3
x 2 +y 2
4
-4
xy 2
x 2 +y 2
400
200
0
-200
-400
-4
-2
4
0
2
4
-4
-2
gx, y =
10
4
4
x
x 2 +y 2
y
2
z
4
-4
fx, y =
0
-2
y
2
0
z
2
0
4
z
-2
-2
x
0
2
-2
-4
4
wx,y=x 3 +3xy 2 −15x−12y
C. Dif. Campos Esc. 14
y
Derivada Dirigida
A variação dum campo escalar depende da direcção segundo a
qual se passa de um ponto para outro.
A derivada segundo a direcção de um vector dá-nos a taxa de
variação instantânea da função quando nos deslocamos a partir
do ponto a de numa determinada direcção.
Definição: Sejam f : D ⊆ R 2 → R, a, b ∈ intD e v = v 1 , v 2 
um vector unitário de R 2 .
Chama-se derivada da função f no ponto a, b, segundo a
direcção do vector v, a
′
f v a, b =lim
t→0
fa, b + tv 1 , v 2  − fa, b
t
caso este limite exista.
Interpretação:
x, y = a, b + tv 1 , v 2 , t ∈ R → eq. da recta que passa em a, b
e tem a direcção de v 1 , v 2 
fa, b + tv 1 , v 2  → imagem por f do ponto "afastado t unidades"
de a, b na direcção de v 1 , v 2 
pois ‖v 1 , v 2 ‖ = 1)
fa,b+tv 1 ,v 2 −fa,b
t
→ taxa de variação de f, na direcção de v 1 , v 2 ,
para a variação t, a partir de a, b
lim
t→0
fa,b+tv 1 ,v 2 −fa,b
t
→ taxa instantânea de variação de f,
em a, b, na direcção de v 1 , v 2 .
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C. Dif. Campos Esc. 15
Interpretação geométrica:
z
c
A recta tangente ao
gráfico da função
z=f(a,b)+t(v1 ,v2)
O
b
y
a
x
v
′
Caso exista, f v a, b é o declive da recta tangente ao gráfico de
fa, b + tv 1 , v 2 
no ponto a, b, fa, b.
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C. Dif. Campos Esc. 16
Generalizando:
Definição: Sejam f : D ⊆ R n → R, a ∈ intD e v um vector não
nulo de R n .
Chama-se derivada de f no ponto a, segundo o vector v, a
′
f v a =lim
t→0
fa+tv−fa
t
,
caso este limite exista.
Chama-se derivada de f no ponto a segundo a direcção do
vector v à derivada de f em a em segundo o versor de v, isto é, a
f
′
v
‖v‖
a.
A derivada dirigida de uma função f, num ponto a segundo um
vector unitário v, dá a taxa de variação instantânea da função f
nesse ponto, segundo a direcção do vector v.
Nota: As derivadas parciais de um campo escalar são casos
particulares de derivadas dirigidas.
De facto, sendo e 1 , … , e n  a base canónica de R n ,
∂f
′
a = f e i a.
∂x i
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C. Dif. Campos Esc. 17
O vector Gradiente
Definição: Seja f : D ⊆ R n → R uma função diferenciável em
a ∈intD.
Chama-se vector gradiente da função f no ponto a, e
representa-se por
 fa ou gradfa,
ao vector
∂f
∂f
a, … ,
a ,
∂x n
∂x 1
cujas componentes são as derivadas parciais de f no ponto a.
Nota: Sendo e 1 , … , e n  a base canónica de R n ,
∂f
∂f
 fa =
ae 1 + ⋯ +
ae n .
∂x n
∂x 1
Proposição: Se f : D ⊆ R n → R é diferenciável em a e v é um
vector não nulo de R n , então
′
f v a = fa|v.
Consequentemente,
′
f v a = ‖fa‖‖v‖ cos θ,
onde θ é o ângulo entre os vectores fa e v.
Ana Matos - AMII 0607
C. Dif. Campos Esc. 18
Proposição: A taxa de variação máxima de um campo escalar
diferenciável num ponto onde fa ≠ 0 verifica-se na direcção
do vector gradiente e o seu valor absoluto é igual à norma deste
vector gradiente, isto é, a
f
′
fa
‖fa‖
a = ‖fa‖.
Mais,
•
•
na direcção e sentido do vector gradiente dá-se o máximo
crescimento da função;
na direcção do vector gradiente, mas sentido contrário, dá-se
a máxima diminuição da função.
Ana Matos - AMII 0607
C. Dif. Campos Esc. 19