Funções de 2º grau ou funções quadráticas
Uma função é do 2º grau quando é definida por uma expressão
y = ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
do tipo
Gráfico da função quadrática no plano cartesiano
Já vimos que o gráfico de uma função polinomial de 1º grau, no plano cartesiano, é uma
reta.
Veremos, nos exemplos a seguir, qual figura que representa o gráfico de uma função
polinomial de 2º grau ou função quadrática.
Exemplo 1: Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = x2 – 4.
Vamos atribuir alguns valores reais arbitrários para x e construir a tabela para determinar
os pares ordenados (x, y)
x
–3
–2
0
2
3
y
5
0
–4
0
5
(x, y)
(– 3, 5)
(– 2, 0)
(0, –4)
(2, 0)
(3, 5)
Vamos localizar esses pontos no plano cartesiano.
O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = x2 – 4, é o gráfico da função, representado
por uma curva chamada parábola. O ponto V, que você observa na figura, chama-se vértice da
parábola.
Exemplo 2: Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = –x2 + 4x.
Inicialmente, vamos construir a tabela para determinar alguns pontos (x, y):
x
y
0
0
1
3
2
4
3
3
4
0
Localizando esses pontos no plano cartesiano temos:
Finalmente, observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3, vemos que V (–1,–4).
O vértice tem uma função importante na parábola,
pois é através desse ponto, que fazemos as escolhas
acertadas das demais coordenadas que irão compor a parábola .
Como construir o gráfico de uma
função quadrática no plano cartesiano
A construção do gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano não é tão simples
como construir a reta, que é o gráfico da função de 1º grau.
Na construção de uma parábola, é conveniente seguir um roteiro para se obter de forma
clara e precisa o gráfico desejado. Veja o roteiro:
Zeros da função polinomial do 2º grau
Dada a função definida por 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, os valores reais de x para os quais se tem
y = 0 ( ou 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ) são denominados zeros da função quadrática.
Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos a equação
de 2º grau 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. O discriminante (∆) da equação é, também o discriminante da
função:
Se ∆ > 0, a função 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem dois zeros reais diferentes
Se ∆ < 0, a função 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 não tem dois zeros reais
Se ∆ = 0, a função 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem um único zero real
Geometricamente, os zeros da função correspondem aos valores de x nos pontos de
intersecção da parábola com o eixo x, pois nesses pontos tem-se y = 0.
Então :
Se ∆ > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos.
Se ∆ < 0, a parábola não corta o eixo x .
Se ∆ = 0, a parábola toca o eixo x em apenas um ponto.
Estudando a concavidade da parábola
Analisando os exemplos anteriores veremos que:
Quando a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima
Quando a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo
Ponto de mínimo ou ponto de máximo
Resumindo