UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
PIBID
Amanda Carvalho de Oliveira
Desirrê Aparecida Nunes Duarte
Fernanda Machado
Ingrid Mariana Rodrigues de Lima
Leticia Trzaskos
2012
1
Conteúdo
Introdução ..................................................................................................................................... 3
Planos de aula................................................................................................................................ 4
Módulo .......................................................................................................................................... 8
Função Modular .......................................................................................................................... 14
Equação Modular ........................................................................................................................ 21
Relembrando Intervalos Numéricos ............................................................................................ 23
Inequação .................................................................................................................................... 28
Exercícios .................................................................................................................................. 300
Resolução dos Exercícios .......................................................................................................... 366
Conclusão .................................................................................................................................. 455
Referências .................................................................................................................................. 46
2
Introdução
Durante o acompanhamento feito em sala de aula com professores de matemática de um
colégio da rede pública do estado do Paraná, pudemos notar uma certa dificuldade no
aprendizado dos alunos quando se tratando do conteúdo módulo. Muitos até mesmo
conseguem desenhar os gráficos das funções modulares, mas por mera repetição, pois
quando questionados de por que o gráfico fica daquela forma eles não conseguem
responder, o que nos leva a crer que para eles é mais fácil decorar e repetir do que
entender o que está sendo feito naquele conteúdo. Visando isso, decidimos abordar
como tema desta apostila Módulo, começamos pela noção de módulo de um número
real, funções e equações modulares, a noção de intervalo e trabalhamos não apenas com
exercícios de técnica, mas também com problemáticas que foram apresentadas em
questões de vestibulares e ENEM. Nas atividades elaboradas o aluno é convidado a
refletir e expor suas ideias, contribuindo para o desenvolvimento de seu conhecimento.
3
Planos de aula
Para cada aula, deixaremos indicados exercícios referentes ao tema. O professor pode
propor que os alunos resolvam alguns deles em casa e entreguem na aula seguinte, sob a
forma de atividade avaliativa. É interessante que ao menos um desses exercícios seja
resolvido posteriormente pelo professor, para que os alunos possam esclarecer eventuais
dúvidas.
Conteúdo: Módulo
Tema: Módulo e suas propriedades
Tempo: 1 hora/aula
Recursos: Quadro, giz e TV pen-drive (opcional)
Objetivo: Compreender o conceito de módulo, bem como suas propriedades.
Metodologia: Apresentar uma situação que faça com que os alunos percebam a
necessidade de se usar o módulo em determinadas ocasiões (pode ser usada a tabela e as
questões da página 7). A partir do fato que determinadas situações não admitem valores
negativos, definir módulo. Os exercícios propostos na página 9 podem ser discutidos
fazendo-se uma dinâmica: o professor apresenta a afirmação na TV pen-drive (ou no
data-show) e pergunta aos alunos se a mesma é verdadeira ou não. Apresentar as
propriedades e demonstrá-las (primeiro com um exemplo, depois generaliza-se).
Exercício sugerido: 2
4
Conteúdo: Módulo
Tema: Função e Equação Modular.
Tempo: Duas aulas.
Recursos: Quadro, giz, computador e software matemático.
Objetivo: Fazer com que os alunos compreendam e entendam a construção do gráfico
da função modular, quais as diferenças em relação ao gráfico de uma função não
modular e, em seguida, trabalhar com equação modular.
Metodologia: Após ser trabalhado conceito de módulo e suas propriedades, fazer com
que os alunos construam em seus cadernos gráficos de funções modulares, porém sem
ter dado a definição da mesma, levá-los ao laboratório de informática para ser
construído no software matemático os gráficos das funções modulares e não modulares,
para que eles possam perceber a diferença de um gráfico para o outro e através de uma
atividade investigativa fazê-los tentar chegar à definição de função modular. Após isto,
levá-los para sala de aula onde será passada a definição de função modular e, em
seguida, trabalhar com equação modular, explicando como se passa de uma função para
uma equação utilizando quadro e giz. Por ventura pode-se solicitar um trabalho
avaliativo sobre construção de gráficos de funções modulares utilizando o software
matemático, isto fica a critério do professor.
Exercícios sugeridos: 4, 8, 11, 12, 15
5
Conteúdo: Módulo
Tema: Intervalos Numéricos e Inequações
Tempo: 2 horas/aula
Recursos: Quadro e giz
Objetivo: Relembrar o conteúdo de intervalos e inequações.
Metodologia: Ao relembrar o conteúdo de intervalos, iniciamos com um exemplo
retirado do Livro (RIBEIRO,2011,p.37), a partir de perguntas para os alunos as quais
envolviam intervalos, que no decorrer do conteúdo retornaríamos a elas no exercício 3
da pagina 25 em que estas perguntas deverão ser respondidas como representação
matemática. Também no exercício (4) copiado do livro Ribeiro (2011,p.37) em que
apresenta um exercício do ENEM. Incentivando os alunos que este conteúdo está
presente em provas que os alunos deverão enfrentar para conquistar uma vaga no ensino
superior.
Ao abordar o assunto de inequação, para motivá-los ao estudo iniciamos com um
exemplo de aplicação, o professor deverá conduzir os alunos para que busquem
estratégias para resolver o problema, como por exemplo, pedindo ideias e anotando no
quadro e a partir das respostas dos alunos prosseguir.
Ao representar no desenho gráfico os valores onde a função é positiva ou negativa, o
professor também deverá fazer perguntas aos alunos, como por exemplo:
A partir do desenho gráfico, para quais valores de x o f(x) (ou y) é positivo? Ou, para
quais valores de x o f(x) (ou y) é negativo?
6
Conteúdo: Módulo
Tema: Inequação Modular
Tempo: 2 horas/aula
Recursos: Quadro, giz e TV pen-drive.
Objetivo: Relacionar os conceitos de módulo e inequação.
Metodologia:
Exercícios sugeridos: 3, 6, 7, 9
7
Módulo
Observe a tabela:
Cidade
Temperatura Mínima
Temperatura Máxima
Curitiba
-3ºC
12ºC
São Joaquim
-4ºC
-3ºC
Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima
registradas num determinado período de tempo.
 Como você calcularia a variação de temperatura (amplitude térmica) da sua
cidade em um determinado dia?
 Qual a amplitude térmica da cidade de Curitiba?
 E de São Joaquim?
 A amplitude térmica pode ser negativa? Positiva? Pode ser nula?
A cada numero real podemos associar um ponto numa reta.
 Como você calcularia a distância entre dois pontos?
 Faça isso para os pontos correspondentes as abscissas -3 e 12 na reta
representada a seguir.
 E para os pontos -4 e -3 representados abaixo
8
 A distância entre dois pontos situados numa mesma reta poderá ser negativa?
Nula? Positiva?
A distância entre dois pontos quaisquer, ou entre localidades pode ser
associada a um conceito na matemática: o conceito de módulo.
Observe algumas distâncias:
Em relação aos exemplos dizemos:
1.
Módulo do número 12:
|12| = d(OA) = 12
2.
Módulo do número -12:
|-12| = d(OB) = 12
3.
Módulo da diferença entre -10 e 2:
|-10-2| = |2-(-10)|= d(AB) = 12
Como vimos que algumas coisas em matemática não aceitam respostas
negativas, como distâncias, por exemplo, necessitamos de um conceito, que é dado
abaixo.
9
Definição de módulo: Chama-se módulo ou valor absoluto de um número real o
próprio número se ele for positivo ou nulo e o seu oposto se ele for negativo:
|x| =
O módulo ou valor absoluto de um número real nunca poderá ser negativo, ou
seja: |x| é sempre maior ou igual à zero.
Exercícios:
1) Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeira ou falsa:
a) |-7| = 7
b)|
|=
c) |0| = 0
d) |-9,1| = 9,1
e) |-2+5| = |-5+2|
2) Responda:
a)Quando o módulo de um numero real é igual ao próprio numero?
b)Quando o modulo de um numero real é o oposto do numero?
Propriedades do módulo
Vamos conhecer algumas propriedades do módulo de um número real que
serão usadas nesta apostila.
 Qualquer x
,
0
Demonstração
É imediata, pois: se x > 0,
Se x < 0, Então
=x>0
= -x > 0
10
E se x = 0, então
=0
Exemplo:
x=3
, |3| ≥ 0.
3
Demonstração:
É imediata, pois: se 3 > 0, |3| = 3 > 0
Se x = -3, - (-3) > 0, pois + 3 > 0,
e se x = 0,então |x| = |0| = 0

=
, qualquer x
Demonstração
Se x ≥ 0, |x| = x, então,
Se
< 0,
=
=
e, então,
.
=
=
.
=
=
Exemplo:
=
Demonstração
Como 5 ≥ 0, |5| = 5, então,
= |5| . |5|= 5.5 =
Se x = - 5, ou seja, - 5 < 0, |5| = - (-5) e então, |- 5 | . |- 5 | = - (-5) . - (-5)= (+5)
. (+5) =
= 25.
 Se a
+e
≤a
-a≤
≤ a.
Demonstração
11
≤a
≤
≤
≤0
-
Resolvendo essa equação de 2º grau na variável x, vem:
-a ≤
≤ a.
Exemplo:
Se a = 7
+ e |4| ≤ 7
- 7 ≤ 4 ≤ 7.
Demonstração
|4| ≤ 7
≤
≤
≤0
-
Resolvendo essa equação de 2º grau na variável x, vem:
-7 ≤ 4 ≤ 7.
 Se a
≥
+e
≤ -a ou
≥ a.
Demonstração
≥a
≥
≥
-
|6| ≥ 3
≥
≥0
Resolvendo, vem:
≤ -a ou
≥a
Exemplo:
Seja a = 3 e x = 6, então:
≥
-
≥0
12
Se 3
+e
≥
6 ≤ -3 ou 6 ≥ 3.
13
Função Modular
Como vimos anteriormente não faz sentido falarmos de distância utilizando
valores negativos por isso usamos o módulo, para obtermos apenas valores positivos.
Mas você já parou para pensar no que isso interfere quando utilizado nos
gráficos? E nas funções e equações?
No plano cartesiano temos o eixo X e o eixo Y, ambos possuem os valores
positivos e os valores negativos, como mostra a figura abaixo:
Como dito anteriormente quando falamos em módulo utilizamos apenas
valores positivos, logo se tivéssemos a função
, teríamos o seguinte
gráfico:
14
Analise este mesmo gráfico, porém considerando os valores obtidos de y
sempre em |y|, então teríamos o seguinte gráfico:
Considere a seguinte função y = f(x) = x – 2. Obteríamos o seguinte gráfico:
15
Faça o mesmo feito com o gráfico anterior, considere os valores de y sempre
em módulo, então obteríamos o seguinte:
Agora considere a função
, teremos o seguinte gráfico:
16
Também podemos utilizar o módulo para função quadrática, então teríamos
para os valores da função dada acima sempre em |y|, o seguinte gráfico:
Logo podemos observar que para todos os valores que atribuirmos a x numa
função onde a mesma se encontra completamente dentro do módulo, |y| terá valor
positivo, segundo a utilização de módulo e quando marcados no gráfico ficarão sempre
acima do eixo x, ou seja, sempre associados a valores positivos de y.
17
Como já sabemos, pela definição de módulo vista anteriormente que:
E analisando os gráficos de funções anteriores, podemos chegar a outra
definição, a definição de função modular, que é:
Logo, para as funções dos gráficos anteriores, aplicando a definição de função
modular teríamos:
Para o gráfico 1:
Para o gráfico 2:
Para o gráfico 3:
Observe o que acontece com os gráficos das seguintes funções:
18
Agora vamos analisar ambos os gráficos comparando com o gráfico de
que está em vermelho:
No primeiro gráfico podemos perceber que o gráfico da função em azul
translada uma unidade acima do gráfico da função
. No segundo gráfico podemos
perceber que a função em azul translada duas unidades para baixo do gráfico da função
.
19
Assim podemos concluir que toda função do tipo
um deslocamento na vertical (de
para baixo se
unidades para cima se
representa
é positivo, e de
unidades
é negativo).
20
Equação Modular
Quando atribuímos determinado valor a
e queremos descobrir qual é o
que leva a esse valor, basta igualar a função ao valor dado. Com isso obteremos uma
equação. Por exemplo:
Se
teremos:
No caso da função modular, o procedimento é o mesmo, mas sempre
considerando as restrições do módulo.
Uma equação é dita modular quando a sua variável está dentro do módulo. Eis
alguns exemplos de equações modulares:




Esta equação não possui solução, uma vez que não é possível que o módulo
resulte um numero negativo.

Trocamos
Logo,
por y, assim teremos
.
ou
21

Sugestão:
Quando trabalhada em sala de aula a definição de função modular, fazer uma
atividade investigativa com os alunos. Fazer com que, através da construção dos
gráficos das funções, eles percebam as diferenças de uma função para a outra e o que o
módulo inserido na função faz com o gráfico. Fazer o mesmo para os gráficos das
funções do tipo
e
.
Se possível levá-los ao laboratório de informática e trabalhar com eles através
do software matemático GeoGebra a construção dos gráficos de funções com e sem o
módulo, para que eles possam visualizar melhor as mudanças ocorridas de um gráfico
para o outro. Podendo solicitar posteriormente um trabalho avaliativo.
22
Relembrando Intervalos Numéricos
Exemplos:
1) Observe no esquema abaixo a época em que viveram algumas
personalidades brasileiras:
Responda:
a)Manuel Bandeira e Tarsila do Amaral viveram na mesma época? Em caso afirmativo,
qual?
R: Sim. Entre 1886 e 1968.
b)Qual a época que Vinicius de Morais viveu antes de Tom Jobim?
R: Entre 1913, 1927.
c) Tom Jobim viveu alguma época com Vinicius de Morais?
R : Sim.
Além dos subconjuntos dos números reais ( , ,
e ), existem outros, determinados
por desigualdades, chamados intervalos, a seguir vamos lembrar-nos de alguns deles e
representá-los graficamente.
O exercício acima é um exemplo de onde podemos usar intervalos.
Antes relembremos alguns símbolos e seus significados:
23
> Maior que
<
Menor que
Maior que ou igual a
Menor que ou igual a
Diferente
Dados a
,b
com a < b, temos (a < b, lê-se a menor que b)
 Intervalo aberto.
a
b
Note que as “bolinhas” estão “vazias”. Neste caso dizemos que a e b não pertencem ao
intervalo.
tal que a < x < b} (a < x < b, lê –se: a é menor que x e x é menor que b)
]a,b[ ou {x

Intervalo fechado
a
b
Note que as “bolinhas” estão “cheias”. Neste caso dizemos que a e b pertencem ao
intervalo.
[a,b] ou {x
tal que a
x
b} (a
x
b, lê –se: a é menor ou igual a x e x é
menor ou igual a b)

Intervalo fechado no extremo a e aberto no extremo b.
a
b
Note que a “bolinha cheia” significa que a pertence ao intervalo e como b é “bolinha
vazia”, neste caso dizemos que b não pertence ao intervalo.
24
[a,b[ ou {x
tal que a
x < b} (a
x < b, lê –se: a é menor ou igual a x e x é menor
que b).

Intervalo aberto no extremo a e fechado no extremo b.
a
]a,b] ou {x
b
tal que a < x
b} (a < x
b, lê –se: a é menor que x e x é menor ou
igual a b).
Ainda temos os intervalos ilimitados (-∞ significa menos infinito e +∞ mais infinito).

]-∞, a[ ou { x
tal que x < a}
a

tal que x ≤ a}
]-∞, a] ou {x
a

]a,+∞[ ou {x
tal que x > a}
a

tal que x ≥ a}
[a,+∞[ ou {x
a

] -∞, +∞[ ou
.
Operações entre intervalos
25
Sejam A, B e C subconjuntos de
. Utilizando estes subconjuntos, podemos
realizar as seguintes operações: união, interseção, diferença e complementar.
Exemplo:
A = {x
tal que -2
x
B = {x
tal que x ≥ 0}
C= {x
tal que -1
x
6}
7}
 AUB
A U B= {x
tal que x ≥ -2} ou A U B = [-2, +∞[.
 A∩C
A∩ C={x
tal que -1
x
6} ou A ∩ C= [-1,6].
Exercícios:
1) Represente na reta real os seguintes intervalos e escreva em notação de subconjuntos:
a) ]-3;4]
b) [2;
[
26
c)[2,6]
d)-]4,3[
2) Sendo A = [1;4] e B = ]-1;2], determine:
a)
b)
3)De acordo com o exemplo 1, sobre as épocas das personalidades brasileiras,
determine:
a) O intervalo que representa a época em que Manuel Bandeira e Tarsila do Amaral
viveram juntos.
R: [1886, 1968].
b. O menor intervalo que compreenda os anos vividos pelas personalidades citadas.
R: [1872, 1994].
4)( ENEM) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por
erro do motorista. Em boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de
bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de cerveja provoca uma concentração de
aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue.
A tabela a seguir mostra os efeitos sobre o corpo humano provocado por
bebidas alcoólicas em função de níveis de concentração de álcool no sangue.
Concentração de álcool no
sangue (g/L)
Efeitos
0,1 a 0,5
Sem influência aparente, ainda que com alterações
clínica.
0,3 a 1,2
Euforia suave, sociabilidade acentuada e queda da
atenção.
0,9 a 2,5
Excitação, perda de julgamento crítico, queda da
sensibilidade e das reações motoras.
1,8 a 3,0
Confusão mental e perda da coordenação motora.
2,7 a 4,0
Estupor, apatia, vômitos e desequilíbrio ao andar.
3,5 a 5,0
Coma e morte possível.
(Revista Pesquisa FAPESP n. 57, setembro2000)
27
Represente graficamente cada intervalo apresentado na tabela.
Inequação
Exemplo 1:
Em certa lan house o preço que os clientes devem pagar pelos serviços é
calculado da seguinte maneira; taxa fixa de R$ 4,50 mais R$ 1,28 por hora de uso do
computador. Quanto tempo um cliente pode usar o computador nesta lan house para que
seja pago, no máximo, R$ 8,98?
Para resolver a esta questão, vamos escrever, inicialmente, a função do tempo
de uso (em horas). Chamado f o valor a ser pago e de t o tempo de uso, temos:
F(t)= 1,28t + 4,5
Agora, determinamos os valores de t para os quais f(t) ≤ 8,98 (valores de f(t)
menores ou iguais a 8,98, pois não devemos exceder R$8,98):
F(t)=1,28t + 4,5
8,98 =1,28t + 4,5
t = 3,5.
Assim, para que o cliente pague no máximo R$ 8,98, o tempo de uso do
comutador deve ser menor ou igual a 3,5h, ou seja, 3h30min:
F(t) ≤ 8,98, se t ≤ 3,5.
Nessa situação, utilizamos uma desigualdade envolvendo uma função afim.
Definição:
Seja f:

uma função na variável x. Denomina-se inequação toda
desigualdade que pode ser reduzida a uma das seguintes formas:
f>0
f<0
f≥0
f≤0
Exemplo 2:
28
Resolva em
a inequação 3x - 4 > 0.
Outra maneira de resolver a inequação do 1º grau em
é por meio do estudo
do sinal da função.
Consideremos a função afim, f:
 , definida por f(x) = 3x - 4.
De acordo com o enunciado o sinal da função, determinamos primeiramente o
seu zero.
f(x) = 0
3x – 4 = 0
x=
Assim, o gráfico que representa a função é uma reta e corta o eixo s no ponto
de abscissa x = . Sabemos também que a função é crescente, pois o coeficiente angular
é maior que zero, isto é, a > 0.
Observe no esquema que, para valores de x maiores do que , temos f(x) > 0,
isto é, a função é positiva e tem o mesmo sinal do coeficiente a.
Para valores de x menores do que , temos f(x) < 0, ou seja, a função é negativa
e o sinal é contrário ao do coeficiente de a.
Portanto, S = {x
tal que x > }
++++++++++++++
-------------
a > 0  f é crescente
Exercícios:
1. Determine a solução dos sistemas
a)
29
b)
Exercícios
1. (PUC - MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:
a) duas semirretas de mesma origem.
b) duas retas concorrentes.
c) duas retas paralelas.
d) uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).
2. Para cada caso a seguir, determine uma expressão equivalente sem utilizar símbolos
de módulo.
a) |x-12|, para x > 12
b) |x-4|, para x < 3
c) |x-5| + |x-4|, para x > 5
d) |x-2| + |x-5|, para 2 < x < 5
e) |x-4| + |x-6|, para x > 11
30
3. (PUC – MG) Considere os conjuntos A = {x
| |x + 1| < 5} e B = {x
| |x| > 3}.
O número de elementos do conjunto A ∩ B é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 9
e) 11
4. (U.F. Uberlândia – MG) Considere os números reais x que satisfazem a equação a
seguir: |x|2 + |x| - 12 = 0. Podemos afirmar que:
a) existe um único número real que satisfaz a equação.
b) o produto desses números reais x é igual a -9.
c) a soma desses números reais x é igual 1.
d) o produto desses números reais x é igual a 122.
5. (UNESP) Sejam a e b dois números reais positivos tais a < b e a + b = 4. Se o gráfico
da função y = |x - a| + |x - b| coincide com a função y = 2 no intervalo a ≤ x ≤ b, calcule
os valores de a e b.
6. (PUC – MG) - A estatura média H, em centímetros, da população adulta de certo
município verifica a desigualdade
≤ 1. Nessas condições, os possíveis valores de
H são do intervalo:
a) [160, 176]
b) [162, 178]
c) [164, 180]
d) [166, 182]
7. (FGV) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as
desigualdades: |x - 5| < 3 e |x – 4| ≥ 1 é:
31
a) 25
b) 13
c) 16
d) 18
e) 21
8. (CEFET – CE) O conjunto de soluções da equação |x – 1| + |x – 2| = 3 é:
a) {0,1}
b) {0,3}
c) {1,3}
d) {3}
e) { }
9. (UFF) Considere o sistema
A região do plano que melhor reresenta a solução do sistema é:
32
10. (CESGRANRIO) O conjunto Imagem da função f(x) = |x² - 4x + 8| + 1 é o
intervalo:
a) [5, + ∞[
b) [4, + ∞[
c) [3, + ∞[
d) [1, + ∞[
e) [0, + ∞[
11. (UEG) Dada a função: f(x) = |x – 1| + 1, x
[-1, 2]:
a) esboce o gráfico da função f.
b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e
pelas retas x = -1 e x = 2.
12. (UEL) Seja f a função de
em
dada por
É correto afirmar que:
a) f(1 -
)=-
b) f(x) = 0 para todo x real
c) o gráfico de f é uma reta
d) f(x) = |x – 1|
e) f é injetora
33
13. (UFC) Dadas as funções f :
eg:
definidas por f(x) = |1 - x²| e g(x) =
|x|, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
14. (UFC) Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado adiante.
Se g(x) = 2f(x) - 1 assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa |g(x)|.
15. (UFG) Seja
o conjunto dos números reais. Considere a função f :
, definida
por f(x) = |1 - |x||. Assim,
( ) f(-4) = 5.
( ) o valor mínimo de f é zero.
( ) f é crescente para x no intervalo [0,1].
( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.
34
16. (CESGRANRIO) No gráfico a seguir está representada a função do 1º. grau f(x). O
gráfico que melhor representa g(x) = |f(x)| -1 é:
Desafio
(FUVEST) O módulo |x| de um número real x é definido por |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = - x,
se x < 0. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da função f(x) =
x|x| - 2x + 2 é:
35
Resolução dos Exercícios
1. a) duas semirretas de mesma origem.
Pode-se construir o gráfico de f(x) a partir da função g(x) = |x|. Basta deslocá-lo duas
unidades para cima (efeito resultante da soma de uma constate), conforme figura
abaixo:
2.
a) |x - 12| para x > 12.
Se x > 12, então x - 12 > 0.
Portanto, |x - 12| = x - 12,
x > 12.
b) |x - 4|, para x < 3.
Se x < 3, então x - 4 < -1 < 0.
Logo, |x - 4| = - (x - 4) = - x + 4,
x < 3.
c) |x - 5| + |x - 4|, para x > 5.
Se x > 5, então x - 5 > 0 e x - 4 > 1 > 0.
Temos, então, que |x - 5| + |x - 4| = (x - 5) + (x - 4) = 2x - 9,
x > 5.
d) |x - 2| + |x - 5| para 2 < x < 5.
36
Para 2 < x < 5, temos x - 2 > 0 e x - 5 < 0.
Logo, |x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + [- (x - 5)] = (x - 2) + (- x + 5) = x - 2 - x + 5 = 3,
2<x
< 5.
e) |x - 4| + |x - 6| para x > 11.
Se x > 11, então x - 4 > 7 > 0 e x - 6 > 5 > 0.
Portanto, |x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + (x - 5) = 2x - 7,
x > 11.
3. a) 2
Vamos explicitar ambos os conjuntos:
A = {x
| |x + 1| < 5}
B = {x
| |x| > 3}
A = {x
| - 5 < x + 1 < 5}
B = {x
| x < - 3 ou x > 3}
A = {x
| - 6 < x < 4}
B = {..., - 6, - 5, - 4, 4, 5, 6, ...}
A = {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}
Portanto, A ∩ B = {- 5, - 4}. Segue que #(A ∩ B) = 2.
4. b) o produto desses números reais x é igual a -9.
Basta fazer uma mudança de variáveis.
Tomando |x| = m, chegamos na seguinte equação: m2 + m - 12 = 0.
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos m = - 4 ou m = 3.
Como m = |x|, |x| = - 4 ou |x| = 3. Mas |x|
Logo, |x| = 3. Segue que x =
0, portanto |x| = - 4 não é válido.
3.
5.
Primeiro vamos simplificar a expressão:
Se a ≤ x ≤ b, então x - a
0ex-b
0. Portanto |x - a| = x - a e |x -b| = -(x - b).
Logo, y = |x - a| + |x - b| = (x - a) + [- (x - b)] = x - a - x + b = b - a.
Como nesse intervalo as funções y = |x - a| + |x - b| e y = 2 são coincidentes, temos b - a
= 2.
Ficamos, então com o seguinte sistema de equações lineares
, o que resulta
em a = 1 e b = 3.
37
6. c) [164, 180]
Resolvendo a inequação, temos:
≤1
|H - 172| ≤ 8
- 8 ≤ H - 172 ≤ 8
164 ≤ H ≤ 180
7. e) 21
Para a primeira desigualdade, temos:
|x - 5| < 3
-3<x-5<3
2<x<8
Na segunda desigualdade:
|x - 4|
1
x - 4 ≤ - 1 ou x - 4
x ≤ 3 ou x
1
5
Podemos representar estes intervalos
graficamente:
2<x<8
x ≤ 3 ou x
Interseção
Portanto, o conjunto dos números inteiros que satisfazem simultaneamente as duas
desigualdades é {3, 5, 6, 7}, e a soma de seus elementos é igual a 21.
8. b) {0,3}
|x - 1| + |x - 2| = 3
38
5
|x - 1| = 3 - |x - 2|
x-1=
(3 - |x - 2|)
x - 1 = 3 - |x - 2|
x - 1 = - (3 - |x - 2|)
|x - 2| = 4 - x
|x - 2| = x + 2
x-2=
x-2=
(4 - x)
(x + 2)
x-2=-x+4
x-2=x-4
x-2=x+2
x-2=-x-2
2x = 6
-2=-4
-2=2
x=-x
x=3
Absurdo!
Absurdo!
x=0
9. b)
A primeira inequação representa a
região dos pontos (x, y) do plano que
estão acima da função f (x) = |x|:
A segunda representa os pontos que
estão abaixo ou sobre a reta y = 2:
Portanto, os pontos que satisfazem o sistema são representados pela interseção das duas
regiões (área preenchida).
39
10. a) [5, + ∞[
Observe que g(x) = x2 - 4x + 8 é uma parábola com concavidade voltada para cima e
com vértice em x = -
=2ey=-
= 4. Portanto, y = 4 é o valor mínimo que
a função g assume. Daí, concluímos que g(x)
2
= |g(x)| + 1 = |x - 4x + 8| + 1
5,
x
4,
x
. Segue que |g(x)|
4 e f(x)
.
11.a)
40
b)No gráfico abaixo está representada a região com área a ser calculada:
Podemos dividir esta região em três partes (dois triângulos e um retângulo), conforme
figura abaixo:
Assim,
A1 =
= 3 u. a.
A2 =
= u. a.
A3 = [2 - (- 1)](1 - 0) = 3 u. a.
Portanto,
Atotal = A1 + A2 + A3 = 3 + + 3 =
u. a.
12. d) f(x) = |x - 1|
a) Como 1 <
f(1 -
) = -(1 -
,1-
< 0 < 1. Portanto,
) + 1 = -1 +
+1=
41
b) Podemos tomar x = 3, por exemplo. Como 3 > 1,
f(3) = 3 - 1 = 2
0
c) Basta notar que f é uma função crescente para
e decrescente para
. Logo,
não pode ser uma reta.
d) A própria definição de módulo induz que
Ou seja,
e) Temos, por exemplo, que f(2) = 2 - 1 = 1. Mas também f(0) = - 0 + 1 = 1. Portanto, f
não é injetora.
13. b) 4
Devemos ter |1 - x2| = |x|.
|1 - x2| =
|1 - x2| =
|1 - x2| =
E também:
|x| =
Analisaremos a igualdade em 4 casos:
(1) x < - 1
(3) 0
- 1 + x2 = - x
1 - x2 = x
x2 + x - 1 = 0
x2 + x - 1 = 0
x=-
x=(2) - 1
x
1
x<0
42
1 - x2 = - x
(4) x > 1
x2 - x - 1 = 0
- 1 + x2 = x
x=
x2 - x - 1 = 0
x=
Portanto, existem 4 pontos de interseção.
14. e)
Se o gráfico de f(x) é da forma:
A multiplicação de f por 2 resulta:
Quando subtraímos 1:
Em módulo:
15.
(F) f(-4) = |1 - |-4|| = |1 - 4| = |- 3| = 3
(V) Como |x|
que |1 - |x||
, temos |1 - |x||
0. De fato, 1 = |x|, x =
0
. Resta mostrar que existe x
tal
1.
(F) Note que f(0) = |1 - |0|| = 1 e f(1) = |1 - |1|| = 0. Logo, f não pode ser crescente no
intervalo [0, 1]
(V)
|1 - |x|| = 1
43
(1 - |x|) = 1
1 - |x| = 1
- 1 + |x| = 1
|x| = 0
|x| = 2
x=0
x=
2
16. e)
Gráfico de |f(x)|:
Gráfico de |f(x)| - 1:
44
Conclusão
A construção de um material com um tema tão pouco debatido e ministrado foi um
desafio para o grupo. A ideia de trabalharmos com ele de forma investigativa foi ainda
mais desafiadora visto que não havia referências que apresentassem o tema dessa forma.
Porém, em meio a tantos prós e contras o desenvolvimento do trabalho aconteceu de
forma interessante e bem conexa atingindo o seu objetivo principal: uma apresentação
diferenciada do conceito de módulo.
45
Referências
Livros:
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. de.
Matemática: Ciências e Aplicações, Ensino Médio, Vol.1. 6ª edição. São Paulo: Ed.
Saraiva, 2010.
RIBEIRO, J. MANUAL DO PROFESSOR MATEMÁTICA: Ciências, linguagem e
tecnologia, Ensino Médio, Vol.1. 1º edição. São Paulo: Ed. Scipione, 2011.
LONGEN, A. MATEMÁTICA, Ensino Médio, Vol. 1. 1ª edição. Curitiba: Ed.
Positivo, 2004.
46