BACCALAUREAT EUROPEU 2008
MATEMÁTICA 5 TEMPOS
DATA : 5 de Junho de 2008 (manhã)
DURAÇÃO DO EXAME :
4 horas (240 minutos)
MATERIAL AUTORIZADO :
ƒ Formulário europeu
ƒ Calculadora não gráfica e não programável
OBSERVAÇÕES :
ƒ Responda às quatro questões obrigatórias.
ƒ Indique as duas questões que escolheu de entre as três questões opcionais,
assinalando com uma cruz as casas correspondentes no formulário fornecido.
ƒ Utilize folhas de exame diferentes para cada questão.
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BACCALAUREAT EUROPEU 2008: MATEMÁTICA 5 TEMPOS
QUESTÃO OBRIGATÓRIA 1.
ANÁLISE
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Cotação
Considere a função f definida por
f ( x) = (1 − x)e x .
a) Estude a função f :
Determine o zero, a assímptota do gráfico, os intervalos em que é crescente e
aqueles em que é decrescente, e a natureza e valor dos seus extremos.
6 pontos
b)
2 pontos
i. Esboce o gráfico de f.
ii. Mostre que
F ( x) = (2 − x)e x
2 pontos
é uma primitiva de f.
iii. Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos
coordenados e pelo gráfico de f.
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2 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 2.
ANÁLISE
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Cotação
De acordo com um modelo matemático para corridas de curta distância, a
velocidade v (em m/s) de um velocista, como função do tempo t (em segundos),
aumenta de acordo com a seguinte equação diferencial:
dv
= 12.2 − kv ,
dt
Em que k é uma constante característica de cada velocista.
a) Determine a solução geral desta equação diferencial, apresentando v como
função de t.
6 pontos
b) Numa corrida de 100 m , um velocista parte do repouso, ou seja, v = 0 quando
t = 0.
i.
Determine v como função de t de modo a satisfazer esta condição
inicial.
3 pontos
ii. O valor da constante k para um certo velocista é 1.25.
Calcule o tempo que este velocista demora a atingir a velocidade de 9.0
m/s.
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3 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 3.
GEOMETRIA
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Cotação
No espaço dotado de um referencial ortonormado, considere
os planos
e a recta
a)
α : 2x − 3y + z − 2 = 0
⎧x = 2λ + 3
⎪
A : ⎨ y = −λ
,
⎪ z = −λ + 1
⎩
β : 3x − y − 2 z + 4 = 0 ,
e
λ ∈R.
Seja s a recta de intersecção de α e β . Mostre que
⎛x⎞
⎛0⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + μ ⎜1⎟ ,
⎜z⎟
⎜ 2⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
6 pontos
μ ∈R,
é uma equação de s.
b)
i.
Mostre que as rectas s e A não se intersectam e são ortogonais.
ii. Calcule a distância entre as duas rectas.
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3 pontos
4 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 4.
PROBABILIDADES
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Cotação
Uma empresa de um certo país está a lançar uma nova bebida. No interior da
cápsula de cada garrafa vem desenhada uma letra. No referido país o alfabeto tem
26 letras: A, B, C, …, Z. Cada uma das 26 letras tem a mesma probabilidade de
estar desenhada em cada cápsula.
Um certo cliente compra, em cada dia, uma garrafa desta bebida.
a)
b)
i.
Calcule a probabilidade de que a garrafa que o cliente compra no 14º
dia não tenha a letra Z na cápsula.
2 pontos
ii. Calcule a probabilidade de que a primeira vez que ele compre uma
garrafa com a letra Z na cápsula seja no 3º dia.
4 pontos
i.
Calcule a probabilidade de que, nos primeiros 10 dias, ele compre pelo
menos uma garrafa com a letra Z na cápsula.
3 pontos
ii. Calcule a probabilidade de que lhe seja possível combinar as letras das
cápsulas dos primeiros 3 dias de modo a formar a palavra “BAC”.
4 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL I. ANÁLISE
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Cotação
Considere as funções f e g definidas por :
f ( x) =
x+2
e
g ( x) =
2−
x
.
2
Sejam F e G os seus respectivos gráficos num referencial ortonormado.
a)
i. Estude cada uma das funções f e g determinando os seus domínios,
zeros e se são crescentes ou decrescentes.
5 pontos
ii. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de F e G.
2 pontos
iii. Esboce F e G num mesmo diagrama.
3 pontos
b) Considere o ponto K (0, 2 ) .
Seja t1 a tangente a F em K e t2 a tangente a G em K.
i. Determine uma equação de cada uma destas tangentes e desenhe estas
tangentes no diagrama anterior.
4 pontos
ii. Calcule, em graus, a amplitude do ângulo entre t1 e t2 .
3 pontos
c) Seja S a região limitada pelas curvas F e G e pelo eixo dos xx.
i. Calcule a área de S.
5 pontos
ii. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de 360°
de S em torno do eixo dos xx.
3 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL II.
PROBABILIDADES
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Cotação
A tabela abaixo mostra a frequência relativa dos quatro grupos sanguíneos numa
população muito grande.
Grupo sanguíneo
O
A
B
AB
Frequência relativa
0.45
0.40
0.11
0.04
a) Selecciona-se nesta população uma amostra aleatória de 15 pessoas.
b)
i. Determine a probabilidade de que a amostra inclua no máximo 10
pessoas do grupo sanguíneo A.
4 pontos
ii. Determine a probabilidade de que a amostra inclua mais do que 4 mas
menos do que 8 pessoas do grupo sanguíneo B.
4 pontos
Determine o tamanho da maior amostra para a qual a probabilidade de que
nela exista pelo menos uma pessoa do grupo sanguíneo B é inferior a 0.99.
4 pontos
Selecciona-se nesta população uma amostra aleatória de 100 pessoas.
c)
Seja X a variável aleatória que representa o número de pessoas do grupo
sanguíneo O presentes na amostra.
i.
d)
Calcule a média e o desvio-padrão de X.
3 pontos
ii. Utilizando uma aproximação normal, calcule P ( X > 49) .
Justifique a utilização de uma aproximação normal neste caso.
4 pontos
iii. Calcule o menor número de pessoas, k , para o qual P ( X < k ) > 0.95 .
4 pontos
Considere a variável aleatória Y que representa o número de pessoas com
grupo sanguíneo AB presentes na mesma amostra.
Utilizando uma aproximação de Poisson, calcule P (Y ≤ 1) .
2 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL III.
GEOMETRIA
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Cotação
No espaço dotado de um referencial ortonormado considere
π1 :
o plano
4 x + 3 z + 29 = 0 ,
a superfície esférica
e a recta
d1 :
S:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 ,
⎧ x = −3 + t
⎪
⎨ y = 1− t ,
⎪ z = −3
⎩
em que t ∈ R .
a) Determine as coordenadas do centro M e o raio R da superfície esférica S.
2 pontos
i. Mostre que π 1 é um plano tangente à superfície esférica S.
2 pontos
ii. Mostre que o plano π 1 toca a superfície esférica S no ponto
A(−5, 3, − 3) .
i. Mostre que a recta d1 intersecta a superfície esférica S no ponto A, e
determine as coordenadas do outro ponto de intersecção.
2 pontos
ii. O plano perpendicular a AM e que passa pelo ponto (−1, − 1, − 3)
intersecta a superfície esférica S segundo uma circunferência C.
4 pontos
b)
c)
3 pontos
Determine o raio e as coordenadas do centro da circunferência C.
d) Considere o ponto H (−1,7,3) sobre a superfície esférica S.
O plano π 2 é tangente à superfície esférica S no ponto H.
i. Determine uma equação cartesiana do plano π 2 .
3 pontos
ii. Calcule, em graus, a amplitude do ângulo agudo formado pelos planos
π1 e π 2 .
3 pontos
e) O ponto B (3,3,3) é o ponto de S tal que AB é um diâmetro de S.
A recta d2 é tangente à superfície esférica S em B e intersecta a recta d1.
Determine equações paramétricas para a recta d2 .
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6 pontos