BACCALAURÉAT EUROPEU 2010
MATEMÁTICA 5 TEMPOS
DATA : 4 de Junho de 2010
DURAÇÃO DO EXAME :
4 horas (240 minutos)
MATERIAL AUTORISADO :
 Formulário europeu
 Calculadora não gráfica e não programável
OBSERVAÇÕES :
 Responda às quatro questões obrigatórias.
 Indique as duas questões que escolheu de entre as três questões opcionais,
assinalando com uma cruz as casas correspondentes no formulário fornecido.
 Utilize uma folha de exame diferente para cada questão.
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PT
BACCALAURÉAT EUROPEU 2010: MATEMÁTICA 5 TEMPOS
QUESTÃO OBRIGATÓRIA 1.
ANÁLISE
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Cotações
Considere a função f definida por
f ( x) 
a)
b)
x2  1
x2
i. Determine o domínio de f, os intervalos em que f é crescente ou
decrescente e uma equação de cada assímptota do gráfico de f.
5 pontos
ii. Esboce o gráfico de f.
1 ponto
i. A tangente ao gráfico de f no ponto (1, 2) intersecta o eixo dos x no
ponto A e o eixo dos y no ponto B.
Calcule o comprimento do segmento [AB].
ii. Calcule a área da superfície delimitada pelas rectas de equações
x  1, x  2 , pelo eixo dos x e pelo gráfico de f.
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3 pontos
3 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 2.
ANÁLISE
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Cotações
Durante uma reacção química, começa a produzir-se uma nova substância.
t segundos depois, a massa existente da substância é m gramas.
A função m(t ) verifica a equação diferencial seguinte :
dm (50  m) 2

.
dt
500
a)
b)
Resolva a equação diferencial acima, sabendo que m = 0 no instante t = 0.
6 pontos
i. Calcule a massa existente da substância após 100 segundos.
2 pontos
ii. Calcule o tempo necessário para que a massa existente da substância
atinja 40 gramas.
2 pontos
iii. Mostre que a massa da substância produzida na reacção química nunca
ultrapassará 50 gramas.
2 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 3.
GEOMETRIA
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Cotações
No espaço dotado de um referencial ortonormado, considere os pontos
O(0, 0, 0) , P (1,1,3) , Q (1,5, 2) , R (0,3, 1) e S (1, 4, 1).
a)
b)
i. Mostre que a recta OP é perpendicular às rectas OQ e OR.
3 pontos
ii. Após determinar uma equação cartesiana do plano QOR , mostre que S
pertence a esse plano.
3 pontos
i. Calcule a distância do ponto P ao plano QOR.
3 pontos
ii. Determine a área do triângulo SPR.
4 pontos
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QUESTÃO OBRIGATÓRIA 4.
PROBABILIDADES
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Cotações
Ao acaso, consecutivamente e sem reposição, extraem-se quatro cartas de um
baralho de dez cartas numeradas de 1 a 10.
a)
b)
i. Calcule a probabilidade de que todos os números extraídos sejam
inferiores ou iguais a 6.
3 pontos
ii. Calcule a probabilidade de que o produto dos quatro números extraídos
seja par.
3 pontos
i. Calcule a probabilidade de que os quatro números extraídos sejam
números inteiros consecutivos obtidos por ordem crescente.
4 pontos
ii. Sabe-se que os dois primeiros números extraídos são pares.
Calcule então a probabilidade de que todos os números extraídos sejam
pares.
3 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL I.
ANÁLISE
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Cotações
i. Determine os zeros de f, os intervalos em que f é crescente ou
decrescente e as coordenadas dos pontos do gráfico correspondentes aos
extremos de f.
7 pontos
ii. Estude o limite da função f quando x   e quando x   .
Apresente equações das eventuais assímptotas.
3 pontos
i. Mostre que a equação da tangente t ao gráfico de f no ponto de abcissa
2
4
x  1 se pode escrever na forma y  x  .
e
e
3 pontos
ii. Calcule a amplitude do ângulo agudo formado por t e pelo eixo dos x.
2 pontos
i. Esboce o gráfico de f e a tangente t no mesmo diagrama.
3 pontos
Considere a função f definida por
f ( x)  (2 x 2  4 x)e x .
a)
b)
c)


ii. Determine os valores de b e c de modo que F  x   2 x 2  bx  c e x
3 pontos
seja uma primitiva de f (x) .
iii. Calcule a área da superfície delimitada pelo gráfico de f e pela tangente t.
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4 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL II. PROBABILIDADES
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Cotações
i. Mostre que a probabilidade de que essa pessoa tenha uma assinatura é de
0,4.
3 pontos
ii. Sabendo que essa pessoa não tem assinatura, calcule a probabilidade de
que essa pessoa seja um homem.
3 pontos
Um estudo realizado sobre a população U dos utilizadores de transportes
públicos de uma grande cidade apurou que :
40% de U são homens e 60% de U são mulheres.
25% dos homens de U e 50% das mulheres de U têm uma assinatura.
a)
b)
Em U, escolhe-se ao acaso uma pessoa.
Em U, escolhem-se ao acaso dez pessoas.
Calcule a probabilidade de que :
c)
i. exactamente 6 dessas dez pessoas tenham assinatura.
3 pontos
ii. pelo menos 2 dessas dez pessoas tenham assinatura.
3 pontos
Considere agora uma amostra aleatória de 200 pessoas escolhidas em U.
Seja X a variável aleatória que dá o número de pessoas dessa amostra que têm
assinatura.
i. Indique a distribuição de probabilidades de X e calcule a média e o
desvio-padrão de X.
3 pontos
ii. Calcule a probabilidade P (60  X  100) utilisando uma aproximação
apropriada. Justifique a utilização dessa aproximação.
5 pontos
iii. Utilisando a mesma aproximação, calcule o menor valor inteiro k tal que
P ( X  k )  0,90 .
5 pontos
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QUESTÃO OPCIONAL III.
GEOMETRIA
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Cotações
No espaço dotado de um referencial ortonormado, considere
o plano
 : x  2 y  3z  12
a superfície esférica
S : x 2  y 2  z 2  12 x  6 y  4 z  0
e os pontos
A(12 ; 0 ; 0) , B(0 ; 6 ; 0) , C(0 ; 0 ; 4) e P(5 ; 1,5 ; 5).
a)
Determine as coordenadas dos pontos de intersecção de  com os três eixos
coordenados.
b)
Os pontos A, B, C e a origem O são os vértices de uma pirâmide triangular.
2 pontos
Calcule o volume desta pirâmide.
c)
i. Determine uma equação da superfície esférica que contém os vértices da
pirâmide OABC.
Verifique que esta superfície esférica é S .
d)
3 pontos
5 pontos
ii. Verifique que o centro de S se encontra no exterior da pirâmide.
3 pontos
iii. O plano  intersecta a superfície esférica S segundo uma circunferência.
Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
4 pontos
i. Mostre que o ponto P se encontra no interior da superfície esférica S .
2 pontos
ii. Q é o ponto de S mais próximo do ponto P.
Determine as coordenadas do ponto Q.
3 pontos
iii. O plano  tem apenas o ponto Q em comum com a superfície
esférica S . Determine uma equação de 
3 pontos
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