MATEMÁTICA V
MATEMÁTICA BÁSICA
DISCURSIVAS – SÉRIE AULA – AULA 02
1) (FAVA 2012) Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que
n( A B ) = 24
n( A ∩ B ) = 4
n( B C ) = 16
n( A − C ) = 11
n( B − C ) = 10
∪
∪
Calcule:
a) n ( A − B )
b) n ( A ∩ B ∩ C )
c) n(B – ( C A ))
d) n (( A ∩ B) − C )
e) n ( B – ( A ∩ B ))
∪
Resolução:
Analisando o diagrama de Venn (com os respectivos números de
elementos a, b, c, d e e):
n(A ∪ B )= 24 ⇒ a + b + c + d + e = 24 ................. ( 1 )
n(A ∩ B )= 4 ⇒ b + c = 4 ............. ( 2 )
n(B ∪ C )=16 ⇒ b + c + d + e = 16 →(1 ): a = 8
n(A − C )=11 ⇒ a + b = 11 ⇒ 8 + b = 11 ⇒ b = 3 →(2 )
:
c =1
n(B − C )=10 ⇒ b + e = 10 ⇒ 3 + e = 10 ⇒ e = 7
Substituindo a = 8, b = 3, c = 1 e e = 7 em ( 1 ), teremos: 8 + 3 + 1
+ d + e = 24 ⇒ d = 5
Podemos afirmar que:
a) n ( A − B ) = 8
b) n ( A ∩ B ∩ C ) = 1
c) n(B – ( C A )) = 7
d) n (( A ∩ B) − C ) = 3
e) n ( B – ( A ∩ B )) = 12
∪
Respostas: a) 8 .
b) 1.
c) 7.
d) 3.
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e) 12.
2) (Vunesp 2000 adaptada) Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizado com 1000 pessoas
(sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas
tinham o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine:
a) o número de pessoas que têm os antígenos A e B simultaneamente?
b) supondo independência entre sexo e grupo sanguíneo, a probabilidade de que uma pessoa do grupo,
escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos A e B simultaneamente.
Resolução:
a) n(U )
= 1000
n(A ∪B )= n(A )+ n(B )− n(A ∩B )
= 550
n(U )= n(A ∪B )
+ 450 ⇒ n(A ∪B )
= 1000 − 450 ⇒ n(A ∪B )
Assim, n(A )
+ n(B )
− n(A ∩ B )= 550 ⇒ 470 + 230 − n(A ∩ B )= 550 ⇒
n
(A
∩B )
=150
b) Considerando “P” a probabilidade que atende ao enunciado, teremos:
6 ⋅15
9
 600 
 150 
⇒ P=
.
 ⋅ 
 ⇒ P=
10003
10003
1000
100
1
1
424
424
P= 
Pr ob. Homem Pr ob. A e B
Respostas: a) 150.
b) 9%.
3) (UFES) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons
constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
Marcas
Número de
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam
consumidas
consumidores
apenas duas dessas marcas?
A
150
c) Quantos não consumiram a cerveja S?
B
120
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
S
80
AeB
60
BeS
40
AeS
20
A, B e S
15
Outras
70
Resolução:
Com as informações presentes na tabela podemos montar o diagrama de Venn correspondente:
Assim,
a) Considerando Ta o total de pessoas que atendem ao enunciado (a),
teremos: Ta = n(A )
+ 35 + 25 + 35 + 70 ⇒ Ta = 150 + 165 ⇒ Ta = 315 .
b) Considerando Tb o total de pessoas que atendem ao enunciado (b),
teremos: Tb = 45 + 5 + 25 ⇒ Tb = 75 .
c) Considerando
Tc o total de pessoas que atendem ao enunciado (c),
teremos: Tc = 70 + 85 + 45 + 35 ⇒
Tc = 235 .
d) Considerando Td o total de pessoas que atendem ao enunciado (d),
teremos: Td = 70 + 85 ⇒ Td = 155 .
Respostas: a) 315.
b) 75.
c) 235.
d) 155.
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4) (PUC-Rio 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais:
- 96 eram
- 64 eram
- 47 eram
- 51 eram
- 25 eram
- 36 eram
- 20 eram
brasileiros,
homens,
fumantes,
homens brasileiros,
homens fumantes,
brasileiros fumantes,
homens brasileiros fumantes.
Calcule:
a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;
b) o número de homens fumantes não brasileiros;
c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
Resolução:
Montando um diagrama de Venn para a situação em questão, no qual
os conjuntos H (homens), M (mulheres), B (brasileiros) e F (fumantes):
1º passo: 20 eram homens brasileiros fumantes;
2º passo: 25 eram homens fumantes (20 + 5);
3º passo: 51 eram homens brasileiros (20 + 31);
4º passo: 64 eram homens (20 + 5 + 31 + 8);
5º passo: 36 eram brasileiros fumantes (20 homens + 16 mulheres);
6º passo: 47 eram fumantes (20 + 5 + 16 + 6);
7º passo: 96 eram brasileiros (31 + 20 + 16 + 29);
8º passo: 242 passageiros (31 + 20 + 5 + 8 +16 + 6 + 29 + 127).
Com os dados obtidos na interpretação do diagrama de Venn,
podemos informar: a) 29. b) 5. c) 127.
Observação: Na resolução, efetuada pelo aluno, NÃO deverão ser informados os passos aqui
apresentados, ou seja, a leitura e interpretação do diagrama de Venn são exclusivas na
resolução matemática; os passos só foram apresentados, na resolução acima, com vistas ao
melhor entendimento por parte do aluno em sua fase revisional.
O recado que fica é que devemos ter muita criatividade na utilização do diagrama de Venn.
Respostas: a) 29.
b) 5.
c) 127.
Maneira 2: Utilizando TABELA ao invés de diagrama de Venn:
Homens
Não
Fumantes
Homens
Fumantes
Mulheres
Fumantes
Mulheres
Não
Fumantes
Total
Brasileiros
31
20
16
29
96
Estrangeiros
8
5
6
127
146
Total
64
178
242
1º passo: 20 eram homens brasileiros fumantes;
2º passo: 25 eram homens fumantes (20 + 5);
3º passo: 51 eram homens brasileiros (20 + 31);
4º passo: 64 eram homens (20 + 5 + 31 + 8);
5º passo: 36 eram brasileiros fumantes (20 homens + 16 mulheres);
6º passo: 47 eram fumantes (20 + 5 + 16 + 6);
7º passo: 96 eram brasileiros (31 + 20 + 16 + 29);
8º passo: 242 passageiros (31 + 20 + 5 + 8 +16 + 6 + 29 + 127).
Com os dados obtidos na interpretação do diagrama de Venn, podemos informar: a) 29.
Respostas: a) 29.
b) 5.
c) 127.
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b) 5.
c) 127.
5) (UERJ 2002 adaptada) Em um posto de saúde foram atendidas, em
determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando
pelo menos os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente
ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento
dessas pessoas, foi elaborada a tabela ao lado:
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram,
ao mesmo tempo, os três sintomas.
a) Calcule o valor de X;
b) Calcule quantas pessoas possuem dois, e somente dois sintomas;
c) Calcule quantas pessoas possuem pelo menos dois sintomas;
Sintomas
Diarréia
Febre
Dor no corpo
Diarréia e
febre
Diarréia e
dor no corpo
Febre e dor
no corpo
Diarréia,
febre e dor
no corpo.
Frequência
62
62
72
14
8
20
X
Resolução:
Considerando:
•
•
•
•
Conjunto D: pessoas com diarréia;
Conjunto F: pessoas com febre;
Conjunto C: pessoas com dor no corpo;
“d” (pessoas com apenas diarréia), “f” (pessoas com apenas febre) e “c” (pessoas com apenas dor no
corpo).
a) Com as informações do enunciado (e respectiva tabela de dados) podemos montar o diagrama de Venn:
d = 62 − [ X +(14 − X )
+(8 − X )] ⇒ d = X + 40
f
= 62 − [ X +(14 − X )
+(20 − X )] ⇒
c
= 72 − [ X +(20 − X )
+(8 − X )] ⇒
f = X + 28
c = X + 44
n(D ∪ F ∪ C )= 160
n(D )
+(20 − X )
+ f + c = 160
62 +(20 − X )
+(X + 28 )
+(X + 44 )
= 160
 d = 6 + 40 ⇒ d = 46
X = 6 ⇒  f = 6 + 28 ⇒ f = 34
 c = 6 + 44 ⇒ c = 50
b) Com os cálculos efetuados no item anterior ( a ):
[(14 − X )
+(8 − X )
+(20 − X )] = 8 + 2 + 14 = 24 pessoas possuem dois, e somente dois sintomas.
c) Com os cálculos efetuados no item anterior ( a ):
[ 160 −(d + f + c )= 160 −(46 + 34 + 50 )= 30 pessoas possuem pelo menos dois sintomas.
Respostas: a) X = 6.
b) 24 pessoas.
c) 30 pessoas.
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6) (UFRJ 2002) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três
universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das
universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da
universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo
menos uma das outras duas.
Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que,
dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de
aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em
apenas um dos três vestibulares prestados?
Resolução:
Todos os alunos aprovados na universidade A também foram
aprovados em pelo menos uma das outras duas universidades, ou
seja, não existe nenhum aluno aprovado apenas na universidade A;
Com base nas informações do enunciado, consideraremos as
incógnitas x, y, z e k como correspondentes aos números de alunos
representados no diagrama de Venn ao lado,
87
⇒ n( A ∩ B ∩ C )
= 29
3
n(B ∩ C )= 50 ⇒ 50 − 29 = 21
n( A ∩ B ∩ C )=
x + 29 = y + 29 ⇒ x = y
2 x + 29 = 51 ⇒ x = 11
x + z = 65 − 50 ⇒ 11+ z = 15 ⇒ z = 4
k = 87 −(65 + 11)⇒ k = 11
O número “N” de alunos aprovados em apenas um dos três
vestibulares prestados será:
N = 0 + k + z ⇒ N = k + z ⇒ N = 11+ 4 ⇒ N = 15 .
Resposta: 15 alunos.
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DISCURSIVAS – SÉRIE CASA – AULA 02
1) (UEPA.2012 adaptada) Uma ONG Antidrogas realizou uma pesquisa sobre o uso de drogas em uma
cidade com 200 mil habitantes adultos. Os resultados mostram que 11% dos entrevistados que vivem na
cidade pesquisada são dependentes de álcool, 9% são dependentes de tabaco, 5% são dependentes de
cocaína, 4% são dependentes de álcool e tabaco, 3% são dependentes de tabaco e cocaína, 2% são
dependentes de álcool e cocaína e 1% dependente das três drogas mencionadas na pesquisa. O número
de habitantes que não usa nenhum tipo de droga mencionada na pesquisa é:
Resolução: Considerando os conjuntos
A
T
C
dependentes de álcool
dependentes de tabaco
dependentes de cocaína
Como se trata de um caso envolvendo 3 conjuntos e todas as informações apresentadas, ou seja,
n(A )= 11%
∩ =
n(T )= 9%
∩ =
n(A ∩ T ∩ C )= 1%
∩ =
n(C )= 5%
n(A T ) 4%
n(T C ) 3%
n(A C ) 2%
Podemos, pois, aplicar a fórmula da união de três conjuntos com vistas a otimizar nosso processo de
cálculo.
FÓRMULA DA UNIÃO DE TRÊS CONJUNTOS:
Adaptando para o nosso problema:
n( A ∪ T ∪ C )= [ n( A )+ n( T )+ n(C )] − [ n( A ∩ T )+ n( T ∩ C )+ n( A ∩ C )] + n(A ∩ T ∩ C )
Precisamos encontrar o valor de x, ou seja, o número de habitantes que não usa nenhum tipo de droga
mencionada na pesquisa.
=
−
∪ ∪
....... ( 1 )
Em porcentagem:
Assim,
x 200 000 n(A T C )
n( A ∪ T ∪ C )=(11+ 9 + 5 )−( 4 + 3 + 2 )+ (1 )⇒
x = 100% − n( A ∪ T ∪ C )% ⇒ x = 100% −17%
Em número de habitantes:
⇒
83 ×(200 000 )⇒
n(A ∪ T ∪ C )= 100
Resposta: 166 000 habitantes.
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n(A ∪ T ∪ C )= 17%
x = 83%
x = 166 000 habi tan tes
2) (Cefet-MG.2012 adaptada) Na aplicação de uma avaliação com três questões A, B e C, em uma escola,
obteve-se os seguintes resultados:
Com base nesses dados, calcule o número de alunos que acertaram a questão C.
Resolução:
Com as informações da tabela apresentada no
enunciado podemos montar o diagrama de
Venn ao lado:
No diagrama de Venn, temos:
Observação:
A área destacada corresponde a 70% de n ( U ).





n(U )= n(A ∪ B ∪ C )+ 24
30  ⋅ n(U )
SC =  100

40
Podemos afirmar que:
678
 70 
 70 
= [ n(A )
+ 15 + 5 + 24 ] ⇒ 
= 84 ⇒

 ⋅ n(U )
 ⋅ n(U )
 100 
 100 
 30 
 30 
Assim, n(C )
=5+5+5+
= 15 + 
 ⋅ n(U )⇒ n(C )
 ⋅120 ⇒ n(C )= 15 + 36 ⇒
100


 100 
Resposta: 51 alunos acertaram a questão C.
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n(U )= 120
n(C )= 51
3) (UFPE) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química.
Sabendo que:
- o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número
de alunos que cursam as três disciplinas;
- existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;
- existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;
- o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150;
- o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.
Quantos alunos cursam as três disciplinas?
Resolução:
Considerando os conjunto M (alunos que cursam Matemática), Q (alunos que cursam Química) e F
(alunos que cursam Física), além das incógnitas “a” (alunos que cursam somente Matemática), “b”
(alunos que cursam somente Física), “c” (alunos que cursam somente Química) e “x” (alunos que
cursam as três disciplinas);
Montando o diagrama de Venn com as informações presentes no enunciado, teremos:
a b c 150 .......(1 )
a (5 6 7 )+ b + c + x = 190 ......(2 )
 + + =
 + + +

→ (2 )
: 150 + 18 + x = 190 ⇒
(1 )
Resposta: 22 alunos.
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x = 22