Problema do conversor electromecânico rotativo elementar
Considere um sistema electromagnético constituído por duas bobinas como o indicado na
figura
Os coeficientes de indução destas bobinas são:
Ls=1H, Lr=1H, Msr(θ)=0,9cos(θ).
a) Determine uma expressão para a co-energia magnética.
b) Determine uma expressão para o binário electromagnético.
c) Sabendo que as correntes são dadas por: is=10A, ir=10A, determine a expressão do
binário em função da posição θ.
d) Calcule o binário máximo.
e) Determine a posição de equilíbrio quando o binário exterior aplicado for 45Nm.
f) Analise a estabilidade dos pontos encontrados.
Resolução
a) A expressão para a co-energia magnética toma a forma:
Wm' (θ, i s , i r ) =
1
1
Ls i s2 + Lr ir2 + Mi s i r
2
2
Substituindo valores, tem-se:
Wm' (θ, i s , ir ) =
1 2 1 2
i s + i r + 0,9i s ir cos θ
2
2
b) O binário pode ser obtido através da derivada da co-energia magnética. Obtém-se:
M em =
∂Wm' (θ, i s , i r )
= −0,9i s ir sin θ
∂θ
c) Substituindo os valores das correntes, obtém-se: M em = −0,9i s i r sin θ = −90 sin θ
d) O binário máximo será 90Nm obtendo-se para θ = -π/2.
e) O movimento é regido pela segunda lei de Newton. Para o movimento de rotação, na
convenção motor, tem-se:
dω m
= M em − M ext
dt
O ponto de equilíbrio obtém-se quando o binário acelerador, dado pela diferença entre
Mem e Mext se igualar a zero, ou seja, quando Mem = Mext.
Desenhando ambos os binários no mesmo gráfico, o ponto de equilíbrio obter-se-á quando
os gráficos destes se cruzarem. Obtêm-se os pontos A e B. Para o ponto A tem-se θ=-π/6.
Para o ponto B tem-se θ=-π+π/6.
I
Mem
B
A
-π
Mext
−π/6
π
θ
f) O ponto A constitui um ponto de equilíbrio estável. Com efeito, se houver uma
perturbação no sistema e a posição se deslocar para a direita, o binário acelerador fica
negativo acelerando o rotor no sentido negativo, isto é, no sentido de regressar ao
ponto de equilíbrio. O mesmo se passa para a deslocação à esquerda. A análise está
feita graficamente na figura onde as setas a preto indicam o binário acelerador obtido
depois da perturbação e as setas a azul indicam o sentido de deslocamento do rotor.
Pode verificar-se que para o ponto A, depois da perturbação desaparecer, o sistema
regressa ao ponto de equilíbrio. Para o ponto B o sistema afasta-se do ponto de
equilíbrio.
Mem
B
-π
A
-π/6
Mext
π
θ
A figura ilustra o funcionamento do sistema nestas condições. Quando o binário exterior
aplicado for nulo, o ponto de funcionamento será dado por θ=0, isto é, as duas bobinas estão
alinhadas. O binário electromagnético será nulo também. Quando se aplicar um binário que
faça rodar a peça móvel no sentido negativo de θ, o rotor rodará para um novo ângulo θ
negativo e surge um binário electromagnético em oposição que vai equilibrar o sistema.
Obtém-se um ponto de equilíbrio de modo que os dois binários sejam iguais e de sinais
opostos. Estas duas situações estão ilustradas nas figuras seguintes.
Fs
Fr
Posição de equilíbrio com Mext=0
Posição de equilíbrio com Mext>0
Uma vez que o binário é função da posição, pode fazer-se uma analogia mecânica
considerando que tudo se passa como se existisse uma mola entre o estator e o rotor.
Quanto maior for o binário aplicado maior será o ângulo de equilíbrio.