Capítulo 2 – Zeros reais de funções reais
Atividades
1) Sabemos que delimitar um intervalo que possui apenas uma raiz é de
fundamental importância para a determinação de uma raiz aproximada, sendo
assim qual dos intervalos abaixo contém apenas uma raiz da função
f(x) = e x + cos(x) − 3 .
a) [1, 2]
b) [-1, 0]
c) [0, 1]
d) [-2, -1]
2) Quantas iterações a mais são necessárias pelo método da bisseção para
encontrar a raiz aproximada da função f(x) = tg(x) – cos(x), quando mudamos o
intervalo e a tolerância de [2, 3] e ε < 10-5 para [2,5] e ε < 10-8.
a) 20
b) 2
c) 12
d) 1
3) O método da bisseção é um processo de princípio simples pois divide o
intervalo pela metade cada vez que o processo se repete independente da
natureza da função. Utilizando este método qual das seguintes alternativas
representa a raiz aproximada da função f(x) = x 2 + ln x no intervalo [0,5; 1,0]
com um erro de ε < 0,1.
a) x = 0,7000
b) x = 0,68750
c) x = 0,62500
d) x = 0,6320
4) Sabemos que para facilitar a definição de um intervalo inicial esboçamos o
gráfico da função em questão. Dada a função, f(x) = x + 2cos(x) defina um
intervalo com uma unidade de comprimento e em seguida determine a raiz
após cinco iterações utilizando o método da bisseção.
Comentário das atividades
Na atividade um, escrevendo f(x) = e x + cos(x) − 3 como
f(x) = g(x) + h(x) e g(x) + h(x) = 0 , assim temos g(x) = e x e h(x) = cos(x) − 3 ,
esboçando o gráfico das funções g(x) = -h(x) podemos observar a raiz no
intervalo [0, 1], assim marcamos a letra c.
Na atividade dois, temos como alternativa correta a letra c, pois
substituímos o primeiro intervalo e a primeira tolerância na expressão, ou seja,
de [2, 3] e ε < 10-5.
ln[(3 − 2) /10−5 ]
ln2
n ≥ 16,609
n≥
n = 17.
Substituindo [2,5] e ε < 10-8
ln[(5 − 2) / 10 −8 ]
ln2
n ≥ 28,16
n = 29
n≥
Portanto devemos fazer 29 – 17 = 12 iterações a mais.
Na atividade três, como temos o intervalo, aplicou o método da
bisseção repetidas vezes até que tenha xn − x n−1 ≤ 0,1. Assim obtemos o
resultado 0,68750 e portanto, a alternativa correta é a letra b.
Na atividade quatro, inicialmente isolamos a raiz descobrindo que a raiz
está nas proximidade de -1, portanto escolhemos como intervalo [-2 ; -1]. A
resolução está a seguir.
1º Passo - verificar se o zero da função está no intervalo dado;
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −2 + 2cos ( −2 ) ⇒ f ( −2 ) = −1,218
f ( −1) = −1 + 2cos ( −1) ⇒ f ( −1) = 0,9996
f ( −2 ) ⋅ f ( −1) < 0 ( V )
2º Passo – obter o ponto médio e verificar em qual subintervalo está o zero da
função;
x1 =
−2 + ( −1)
2
⇒ x1 = −1,5
[ −2; −1,5] e [ −1,5; −1]
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −1,218
f ( −1) = 0,9996
f ( −1,5 ) = −1,5 + 2cos ( −1,5 ) ⇒ f ( −1,5 ) = 0,4993
f ( −2 ) ⋅ f ( −1,5 ) < 0 ( V )
f ( −1,5 ) ⋅ f ( −1) < 0 ( F )
O zero está no [ −2; −1,5]
4º Passo – repetir o 3º passo até obter a quantidade de iterações desejadas;
x2 =
−2 + ( −1,5 )
2
⇒ x 2 = −1,75
[ −2; −1,75] e [ −1,75; −1,5]
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −1,218
f ( −1,5 ) = 0,4993
f ( −1,75 ) = −1,75 + 2cos ( −1,75 ) ⇒ f ( −1,75 ) = 0,24906
f ( −2 ) ⋅ f ( −1,75 ) < 0 ( V )
f ( −1,75 ) ⋅ f ( −1,5 ) < 0 ( F )
O zero está no [ −2; −1,75]
x3 =
−2 + ( −1,75 )
⇒ x 3 = −1,875
2
[ −2; −1,875] e [ −1,875; −1,75]
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −1,218
f ( −1,75 ) = 0,24906
f ( −1,875 ) = −1,875 + 2 cos ( −1,875 ) ⇒ f ( −1,875 ) = 0,123929
f ( −2 ) ⋅ f ( −1,875 ) < 0 ( V )
f ( −1,875 ) ⋅ f ( −1,75 ) < 0 (F )
O zero está no [ −2; −1,875]
x4 =
−2 + ( −1,875 )
⇒ x 4 = −1,9375
2
[ −2; −1,9375] e [ −1,9375; −1,875]
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −1,218
f ( −1,875 ) = 0,123929
f ( −1,9375 ) = −1,9375 + 2cos ( −1,9375 ) ⇒ f ( −1,9375 ) = 0,0613
f ( −2 ) ⋅ f ( −1,9375 ) < 0 ( V )
f ( −1,9375 ) ⋅ f ( −1,875 ) < 0 ( F )
O zero está no [ −2; −1, 9375]
x5 =
−2 + ( −1,9375 )
⇒ x 5 = −1,96875
2
[ −2; −1,96875] e [ −1,96875; −1,9375]
f ( x ) = x + 2cos x
f ( −2 ) = −1,218
f ( −1,9375 ) = 0,0613
f ( −1,96875 ) = −1,96875 + 2cos ( −1,96875 ) ⇒ f ( −1,96875 ) = 0,03006
f ( −2 ) ⋅ f ( −1,96875 ) < 0 ( V )
f ( −1,96875 ) ⋅ f ( −1,9375 ) < 0 (F )
O zero está no [ −2; −1,96875]
O zero da função é x 5 = −1,96875 .