Fase II - Refinamento
Aurora Pozo
Refinamento
• Uma vez isolada uma raiz em um intervalo
[a,b], procura-se, nesta fase, considerar uma
aproximação para a raiz e melhorá-la
sucessivamente até se obter uma
aproximação com a precisão requerida
Critérios de parada
Por outro lado, como um determinado
método pode não convergir em uma dada
aplicação, é comum impor-se, também,
um número máximo de iterações.
Método da Bisseção
• A idéia do Método da Bisseção é reduzir o
intervalo [a, b] que contém a raiz, dividindo-o
ao meio a cada iteração.
function [raiz,iter]=bissec1(f,a,b,eps1),
//calcula a raiz de f(x) no intervalo [a,b]
// com precisão eps1
x0=a;
x1=b;
xm=(x0+x1)./2;
it=0;
while (min(abs(f(xm)),(x1-x0))>eps1)&it<=150 do
if f(x0).*f(xm) > 0 then
x0=xm; else x1=xm; end;
xm=(x0+x1)./2;
it=it+1;
end;
raiz=xm;
iter=it;
endfunction;
Estimativa do número de iterações
Vantagens e Desvantagens do Método
da Bisseção
• A maior vantagem do Método da Bisseção é que, para sua
convergência, não há exigências com relação ao
comportamento do gráfico de f no intervalo [a; b].
• Entretanto, ele não é eficiente devido à sua convergência
lenta. Pode ser observado que f(x) não decresce
monotonicamente. Isto decorre do fato de que na escolha
de uma aproximação x = a+b/2 não se leva em
consideração os valores da função nos extremos do
intervalo. No pior caso, a raiz está próxima a um extremo.
• O Método da Bisseção é mais usado para reduzir o
intervalo antes de usar um outro método de convergência
mais rápida.
Método da Falsa Posição
function [raiz,iter]=falpos1(f,a,b,eps1),
//calcula a raiz de f(x) no intervalo [a,b]
// com precisão eps1
x0=a;
x1=b;
if f(x0)*f(x1)>=0 then error("O valor de f(a) e f(b) devem ter sinal
diferente");end;
xp=(x0.*f(x1)-x1.*f(x0))./(f(x1)-f(x0));
it=0;
while (min(abs(f(xp)),(x1-x0))>eps1)&it<=150 do
if f(x0).*f(xp) > 0 then
x0=xp; else x1=xp; end;
xp=(x0.*f(x1)-x1.*f(x0))./(f(x1)-f(x0));
it=it+1;
end;
raiz=xp;
iter=it;
endfunction;
Vantagens e Desvantagens do Método
da Falsa Posição
• A grande vantagem do Método da Falsa
Posição é que ela é uma técnica robusta, que
converge independentemente da forma do
gráfico de f no intervalo [a; b].