SIMULADO SAEB - 2015
Matemática
3ª série do Ensino Médio
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
QUESTÕES E COMENTÁRIOS
Questão 1
Descritor:
D4 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros
expressa em um problema.
Uma caixa no formato de um poliedro precisa ser reforçada com 3
parafusos em cada vértice, um revestimento de metal nas suas 7 faces
e uma aplicação de uma cola especial em todas as 15 arestas. A
quantidade necessária de parafusos será igual a
(A) 72.
(B) 66.
(C) 24.
(D) 30.
(E) 10.
Comentário
O solido em questão possui 7 faces e 15 arestas. Pela relação de Euler, que
relaciona o número de vértices (V), número de arestas (A) e o número de faces (F)
em qualquer poliedro convexo, temos V – A + F = 2.
Substituindo os dados fornecidos
V – 15 + 7 = 2 → V = 2 + 15 – 7 → V = 10
O solido em questão possui 10 vértices. Como cada vértice e reforçado com 3
parafusos, fazendo 10 x 3 = 30. A alternativa correta é (D).
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1
Questão 2
Descritor:
D9 – Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com
a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.
Um empresário prevê que o custo total Ct para a produção de certa
quantidade q de geladeiras e a receita total Rt, obtida com a venda de
todas as geladeiras produzidas, variam como mostra o gráfico a seguir.
O ponto P indica que o empresário não tem lucro, nem prejuízo, com a
produção e venda de certo número de geladeiras. Nesse caso, esse
empresário não terá lucro nem prejuízo quando produzir e vender
(A) 1000 geladeiras.
(B) 500 geladeiras.
(C) 300 geladeiras.
(D) 200 geladeiras.
(E) 150 geladeiras.
Comentário
A equação da reta Ct = 0,2q + 100 representa o custo para a produção de q
geladeiras e a equação da reta Rt = 0,3q representa a receita com as vendas das q
geladeiras.
Temos então o sistema:
Resolvendo o sistema pelo método da comparação
0,3q = 0,2q + 100 → 0,1q = 100 → q = 1000
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2
O ponto P(n,y) de interseção das retas, onde o custo e a receita se igualam e
(1000,300), que indica a necessidade de se produzir e vender 1000 geladeiras. A
alternativa correta é (A).
Questão 3
Descritor:
D10 – Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que
representam circunferências.
Observando as equações abaixo, assinale a que representa a equação
de uma circunferência.
(A) x2 – y2 = 9
(B) x2 – y2 + 3xy + 8 = 0
(C) x2 + 3x - 5 = 0
(D) (x - 3)2 - (y2 + 4)2 = 16
(E) x2 + 2y + y2 = 8
Comentário
A equação de uma circunferência de centro C(a, b) e raio r e expressa por
(x - a)2 + (y - b)2 = r2. Ao ser desenvolvida, tem-se x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2
→ x2 - 2ax + y2 - 2by = r2 - a2 - b2, logo, a alternativa correta e (E). Trata-se de uma
circunferência de centro (0,1) e raio 3, pois,
-2ax = 0x → a = 0
-2by = 2y → b = -1
r2 - a2 - b2 = 8 → r2 - 0 - 1 = 8 → r2 = 9 → r = 3
Questão 4
Descritor:
D13 – Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um solido
(prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).
Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com agua
até a altura de 8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de
gude, e o nível da agua atingiu a boca do copo, sem derramamento. Qual
e o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas?
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3
(A) 32π.
(B) 48π.
(C) 64π.
(D) 80π.
(E) 96π.
Comentário
O volume do cilindro e obtido pelo produto da área da base pela altura. A base e um
círculo de raio 4 cm, portanto, sua área (π.r2) e π.42, que nos da 16π cm2.
Temos então, para o volume do cilindro apresentado na situação (1), 16.π.8 = 128.π
cm3 e o da situação (2), 16.π.12 = 192.π cm3.
A diferença entre os volumes, 64.π cm3, se dá após colocar as bolinhas de gude
dentro do copo, o que nos fornece o volume das mesmas. A alternativa correta é
(C).
Questão 5
Descritor:
D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma
tabela.
Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa,
acrescida de uma taxa que varia de acordo com o número de quilômetros
rodados. A tabela abaixo mostra o custo (C) do aluguel, em reais, em
função do número de quilômetros rodados (q).
Quilômetros Rodados (q)
10
20
30
40
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Custo (c)
55
60
65
70
4
(A) C = 5q + 5
(B) C = 4q + 15
(C) C = q + 45
(D) C = q/2 + 50
(E) C = q/10 + 55
Comentário
Sugestão 1
Substituindo os valores q e C da tabela nas equações dadas verifica-se que os
mesmos satisfazem apenas a equação C = q + 50, logo, a alternativa correta é (D).
Sugestão 2
O custo do aluguel e composto por uma taxa fixa (b) acrescida de uma taxa que
varia de acordo com os quilômetros rodados (aq). Temos C = b + a.q
para 10 km rodados o custo e 55  55 = b + 10a
para 20 km rodados o custo e 60  60 = b + 20ª
temos o sistema
resolvendo o sistema pelo método da adição
Substituindo na equação 55 = b + 10a, o valor de a obtido anteriormente, temos
55 = b + 10 . ½  55 = b + 5  b = 50
Logo, a equação que melhor representa esse custo e C = q + 50. A alternativa
correta é (D).
Questão 6
Descritor:
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.
Para ir de sua casa ao ponto de ônibus, uma pessoa andava 120 m em
linha reta até a esquina e dobrava à esquerda numa rua perpendicular,
onde andava mais 160 m. Um dia, descobriu que podia atravessar um
terreno que separava a sua casa do ponto de ônibus e passou a fazer
esse trajeto em linha reta. Nessas condições, essa pessoa passou a
andar quantos metros?
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5
(A) 110
(B) 120
(C) 160
(D) 200
(E) 280
Comentário
Um esboço do caminho que a pessoa fazia, ligando também o novo caminho, é
possível perceber que se trata da aplicação do Teorema de Pitágoras.
Assim, fazendo x2 = 1202 + 1602, obtém-se para x o valor de 200 metros. Logo a
alternativa correta é a (D).
Questão 7
Descritor:
D22 – Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a formula do termo geral.
Luciano resolveu fazer economia guardando dinheiro num cofre. Iniciou
com R$ 30,00 e, de mês em mês, ele coloca R$ 5,00 no cofre. Considere
que an = a1 + (n - 1)r, em que an é a quantidade poupada; a1, a quantia
inicial; n, o número de meses; e r, a quantia depositada a cada mês.
Após 12 meses o cofre conterá
(A) R$ 41,00.
(B) R$ 42,00.
(C) R$ 55,00.
(D) R$ 65,00.
(E) R$ 85,00.
Comentário
quantidade poupada: an
número de meses: n = 12
quantidade inicial: a1 = 30
quantidade depositada a cada mês: r = 5
Substituindo os valores na fórmula do termo geral da P.A. , an = a1 + (n – 1). r,
temos
an = 30 + (12 – 1) . 5
an = 85
Após 12 meses a quantia contida no cofre é de R$ 85,00. A alternativa correta é (E)
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Questão 8
Descritor:
D25 – Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no
gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
Na década de 80, a seleção brasileira de vôlei começou a utilizar um
saque intitulado “Jornada nas Estrelas”. A função f(x) = - x2 + 10x,
representada pelo gráfico abaixo, descreve a trajetória da bola em um
desses saques.
Nessas condições, a altura máxima atingida pela bola é
(A) 30 m.
(B) 25 m.
(C) 8,15 m.
(D) 25,10 m.
(E) 8,10 m.
Comentário
Como o gráfico da parábola é simétrico e o eixo de simetria em questão, intercepta
o eixo das abscissas em x = 5, podemos obter a ordenada (y) de seu vértice, que
neste caso, nos fornecerá a altura máxima atingida pela bola, representada pela
equação y = -x² + 10 x.
Substituindo x = 5,
y = - (5)² + 10 . 5, portanto y = 25
Concluímos que a altura máxima atingida pela bola foi de 25 m. Logo, a alternativa
correta é (B).
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Questão 9
Descritor:
D32 – Resolver o problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou
noções de permutação simples, arranjos simples e/ou combinação simples.
Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e
precisa escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior,
sem fazer nenhuma mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes
essa casa pode ser pintada usando-se apenas as 6 cores de tinta que
ele possui?
(A) 6.
(B) 15.
(C) 20.
(D) 30.
(E) 60.
Comentário
Temos 6 cores para o interior e 5 cores para o exterior. Utilizando o principio
multiplicativo 6 x 5 = 30, obtemos o número de maneiras possíveis de a casa ser
pintada, conforme as condições dadas. A alternativa correta é (D).
Questão 10
Descritor:
D34 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou
gráficos.
A tabela mostra a distribuição dos domicílios, por Grandes Regiões,
segundo a condição de ocupação, no Brasil, em 1995.
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Fonte: IBGE - Diretoria de Pesquisas - Departamento de Emprego e Rendimento - PNAD.
Em 1995, nos domicílios particulares do Nordeste, qual a porcentagem
de domicílios alugados e cedidos?
(A) 9,8%.
(B) 12,7%.
(C) 22,5%.
(D) 22,9%.
(E) 27,6%.
Comentário
A tabela já apresenta seus valores em porcentagem (%). Observando a Região
Nordeste, temos 9,8% de domicílios alugados e 12,7% de domicílios cedidos, então
temos, 9,8 + 12,7 = 22,5%.
A alternativa correta é (C).
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