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2. Análise da função Quadrática
Para 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 , observamos o
gráfico com concavidade para cima
e seu vértice no ponto (0; 0).
Para 𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 , observamos o
gráfico com concavidade para baixo e
seu vértice no ponto (0; 0).
Para 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 2 , observamos que
a concavidade da parábola se
fecha em relação ao gráfico da
função 𝑥 2 .
Para 𝑓(𝑥 ) = −4𝑥 2 , observamos que a
concavidade da parábola se fecha em
relação ao gráfico da função −𝑥 2 .
1
Para 𝑓(𝑥 ) = 4 𝑥 2 , observamos que
a concavidade da parábola se abre
em relação ao gráfico da função 𝑥 2 .
1
Para 𝑓(𝑥 ) = − 4 𝑥 2 , observamos que a
concavidade da parábola se abre em
relação ao gráfico da função −𝑥 2 .
2
Para 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 + 3, observamos
um deslocamento do gráfico de 3
pontos no sentido positivo do eixo y
em relação ao gráfico da função 𝑥 2 .
Para 𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 + 3, observamos um
deslocamento do gráfico de 3 pontos
no sentido positivo do eixo y em
relação ao gráfico da função −𝑥 2 .
Para 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 − 3, observamos
um deslocamento do gráfico de 3
pontos no sentido negativo do eixo
y em relação ao gráfico da função
𝑥 2.
Para 𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 − 3, observamos um
deslocamento do gráfico de 3 pontos
no sentido negativo do eixo y em
relação ao gráfico da função −𝑥 2 .
Para 𝑓(𝑥 ) = (x − 3)2 observamos
um deslocamento do gráfico de 3
pontos no sentido positivo do eixo x
em relação ao gráfico da função 𝑥 2
Para 𝑓(𝑥 ) = −(x − 3)2 observamos um
deslocamento do gráfico de 3 pontos
no sentido positivo do eixo x em
relação ao gráfico da função −𝑥 2
3
Para 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + 3)2 observamos um
deslocamento do gráfico de 3 pontos
no sentido negativo do eixo x em
relação ao gráfico da função 𝑥 2
Para 𝑓(𝑥 ) = −(x + 3)2 , observamos
um deslocamento do gráfico de 3
pontos no sentido negativo do eixo x
em relação ao gráfico da função −𝑥 2
Para 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + 3)2 + 2 observamos
um deslocamento do gráfico de 3
pontos no sentido negativo do eixo x
e um deslocamento do gráfico de 2
pontos no sentido positivo do eixo y,
ambos em relação ao gráfico da
função 𝑥 2
Para 𝑓(𝑥 ) = −(𝑥 + 3)2 + 2
observamos um deslocamento do
gráfico de 3 pontos no sentido
negativo do eixo x e um
deslocamento do gráfico de 2 pontos
no sentido positivo do eixo y, ambos
em relação ao gráfico da função −𝑥 2
Tabela 1 – Gráficos de Funções Quadráticas
Tendo verificado o comportamento dessas funções e seus respectivos
gráficos, vamos construir uma função quadrática genérica da forma
𝑓 (𝑥 ) = 𝑎 ∗ (𝑥 − 𝑏 ) 2 + 𝑐
na qual, os coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são números reais com 𝑎 ≠ 0. Esta
forma de escrever a função Quadrática é interessante para o nosso trabalho,
pois ela permite um posicionamento do gráfico da parábola no plano cartesiano
a partir de seu vértice dado pelo ponto de coordenadas (𝑏; 𝑐). Assim a posição
deste gráfico no plano cartesiano pode ser previamente estabelecida,
permitindo que o professor escolha a região do plano ele deseja desenhar o
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gráfico. Para entendermos melhor, vamos colocar esta função Quadrática no
Geogebra e construir o seu gráfico.
1ª Etapa: Estabelecer os valores dos coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, utilizando o
comando “controle deslizante”. Posicione o cursor na décima primeira seção da
barra de Ferramentas e selecione o ícone
controle deslizante.
Em seguida, clique na janela de
Visualização, na posição que você
deseja
que
fique
o
controle
deslizante. Em seguida vai abrir a
janela do controle deslizante –
Figura 15 - para que seja editada.
Verifique o nome “a” e na aba
Figura 1 – Controle Deslizante
“intervalo” determine “-10” para
valor
mínimo,
“10”
para
valor
máximo e incremento de “0,1. Clique em “aplicar” e estará estabelecido os
valores para o coeficiente “a”.
Repita o processo da primeira etapa alterando o nome para “b”, na aba
intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo (max) “10” e
para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os
valores para o coeficiente "𝑏".
Repita novamente o processo da primeira etapa alterando o nome para
“c”, na aba intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo
(max) “10” e para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará
definido os valores para o coeficiente "𝑐".
2ª Etapa: Vamos definir a função quadrática 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎 ∗ (𝑥 − 𝑏)2 + 𝑐 e
determinar as coordenadas de seu vértice como (𝑏; 𝑐 ) .Digite no Campo de
Entrada “f(x)=a*(x-b)^2+c”
e tecle “Enter” para concluir.
Posicione o cursor novamente no Campo de Entrada e digite “V=(b,c)”
e tecle “Enter” para concluir.
Altere a cor do gráfico posicionando o cursor sobre ele e clicando com o
botão direito do mouse. Na janela que abrir clique em “propriedades” e em
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seguida na aba “cor” selecione a cor (vermelha) desejada clicando sobre ela. A
Figura 16 ilustra este procedimento.
Figura 2 – Janela de Preferências da Função
Feche esta janela e estará concluída a construção da função
Quadrática.
Verifique o comportamento da parábola alterando os valores de seus
coeficientes “𝑎, 𝑏, 𝑐” utilizando o comando “controle deslizante”. Para alterar
esses valores, clique no ícone “mover”
na primeira seção da Barra de
Ferramentas e em seguida clique e arraste sobre o controle
que deseja alterar. Posicione o cursor sobre o controle deslizante “a” e clique,
segure e arraste para os lados. Observe que o gráfico apresenta uma dilatação
ou uma compressão da concavidade da parábola. Podemos perceber também
que para valores positivos a parábola apresentará concavidade para cima e
para valores negativos, concavidade para baixo.
Alterando os valores do coeficiente “b” podemos verificar um movimento
de translação horizontal da parábola.
Alterando os valores do coeficiente “c” podemos verificar um movimento
de translação vertical da parábola.
Esses movimentos de translação horizontal e vertical podem ser muito
úteis quando queremos posicionar a Parábola em certa região do plano
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Cartesiano, pois eles estão diretamente ligados com os valores das
coordenadas do vértice da parábola 𝑉(𝑏, 𝑐).
Outra forma de escrever a função Quadrática, sempre apresentada nos
livros didáticos, é a forma 𝑓(𝑥) = 𝑎2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Com o intuito de comparar as
duas formas, vamos construí-la também.
1ª Etapa: Definir os valores dos coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐. Para definir tais
valores, posicione o cursor na décima primeira seção da barra de Ferramentas
e clique sobre o ícone “controle deslizante”
”. Em seguida, leve o cursor na
janela de Visualização e dê um clique, vai abrir uma janela chamada “controle
deslizante” com mostra a Figura 17.
Nesta janela defina o nome como
“a”, na aba intervalo defina para
valor mínino (min) “-10”, para valor
máximo
(max)
incremento
“10”
“0,1”.
e
Para
para
o
finalizar,
clique em “aplicar” e estará definido
Figura 3 – Controle Deslizante
os valores para o coeficiente “a”.
Repita o processo da primeira etapa alterando o nome para “b”, na aba
intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo (max) “10” e
para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará definido os
valores para o coeficiente “b”.
Repita novamente o processo da primeira etapa alterando o nome para
“c”, na aba intervalo defina para valor mínino (min) “-10”, para valor máximo
(max) “10” e para o incremento “0,1”. Para finalizar, clique em “aplicar” e estará
definido os valores para o coeficiente "𝑐".
2ª Etapa: Definir a função quadrática 𝑦 = 𝑎2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, digitando no
Campo de Entrada “f(x)=a*x^2+b*x+c”
e tecle “Enter”
para concluir. Altere a cor do gráfico posicionando o cursor sobre ele e clicando
com o botão direito do mouse. Na janela que abrir clique em “propriedades” e
em seguida na aba “cor” selecione a com desejada clicando sobre ela. A
Figura 18 ilustra este procedimento.
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Figura 4 – Janela de Preferências da Função
Feche a janela para concluir.
3ª Etapa: Construir o ponto “A” com as coordenadas do vértice da
parábola
f(x).
Sabemos
que
o
vértice
da
parábola
é
dado
por
(−𝑏⁄2𝑎 ; −(𝑏2 − 4𝑎𝑐 )/4𝑎), portanto, no Campo de Entrada digite “A=(-b/(2*a),(b^2-(4a*c))/(4a))”
Desta forma está construída a parábola da função quadrática com os
valores dos coeficientes determinados pelos controles deslizantes. Para
verificar o comportamento da parábola, vamos alterar os valores de seus
coeficientes no controle deslizante. Para alterar esses valores, clique no ícone
“mover”
na primeira seção da Barra de Ferramentas e em seguida clique e
arraste sobre o controle
que deseja alterar.
Alterando os valores de “a“ podemos perceber uma alteração na
abertura (dilatação ou compressão) da concavidade da parábola, percebemos
também que para valores positivos a parábola está com concavidade para cima
e para valores negativos a parábola está com concavidade para baixo.
Alterando os valores de “c” podemos verificar um movimento de
translação da parábola na direção vertical do plano cartesiano.
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Até aqui não observamos diferenças entre o comportamento do gráfico
da função escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e da forma 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 ∗ (𝑥 − 𝑏)2 +
𝑐.
Para verificar o comportamento da parábola
alterando o coeficiente “b”, vamos primeiramente
habilitar o rastro do ponto “A” (vértice da parábola).
Para isto, clique sobre o ponto “A” com o botão direito
do mouse e na caixa que abrir - Figura 19 - selecione
a opção “Habilitar Rastro”. Em seguida, leve o cursor
sobre o controle deslizante “b” e clique com o botão
direito, na caixa que abrir - Figura 20 - selecione a
opção “animar”. Observe que o rastro deixado por “A”
vai mostrar um caminho parabólico produzido pela
Figura 5 – Habilitar Rastro
parábola 𝑓(𝑥).
Neste exemplo, vamos adotar 𝑎 = 1 , 𝑐 = 0.9 e
como dissemos, o valor de “b” variando de −10
a 10. Ao passo que “b” vai tomando esses
valores, o gráfico da 𝑓(𝑥) vai caminhando no
plano
cartesiano
em
um
deslocamento
parabólico como descreve o rastro do ponto “A”
no gráfico apresentado na Figura 21.
Figura 6 – Comando Animar
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𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Figura 7 – Rastro do Vértice da função 𝒚 = 𝒂. 𝒙𝟐 + 𝒃. 𝒙 + 𝒄
Observe que quando a função quadrática está escrita na forma
𝑦 = 𝑎. 𝑥 2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 o deslocamento do seu vértice é parabólico quando alterado
o coeficiente “b”. Já no exemplo anterior, quando a função Quadrática está
escrita na forma 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 ∗ (𝑥 − 𝑏)2 + 𝑐, o seu movimento é apenas na direção
do eixo “x” apresentando um movimento de translação horizontal.