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Resolução de “Curso
Básico de Física” de H.
Moysés Nussenzveig
Capítulo 09 - Vol. 2
Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos
11/9/2009
*Conseguimos algumas resoluções pela internet, outras foram feitas por nós.
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Capítulo - 9
1 - O tubo de vidro de um barômetro de mercúrio tem secção reta de 1 cm ² e 90 cm de
altura acima da superfície livre do reservatório de mercúrio. Num dia em que a
temperatura ambiente é de 20°C e a pressão atmosférica verdadeira é de 750 mm/Hg, a
altura da coluna barométrica é de 735 mm. Calcule a quantidade de ar (em moles)
aprisionada no espaço acima da coluna de mercúrio.
H
h
a = 1 cm² = 10-4 m2
Po = 750 mmHg = 99967,10 Pa
𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟑𝟑
Temos que as pressões:
𝑻𝑻
= 𝑷𝑷𝒐𝒐 − 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 . 𝒈𝒈. 𝒉𝒉 ⇒
𝑽𝑽
(𝑯𝑯 − 𝒉𝒉). 𝒂𝒂
𝑽𝑽
𝒏𝒏 = �𝑷𝑷𝒐𝒐 − 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 . 𝒈𝒈. 𝒉𝒉�.
⇒ 𝒏𝒏 = �𝑷𝑷𝒐𝒐 − 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 . 𝒈𝒈. 𝒉𝒉�.
⇒
𝑹𝑹. 𝑻𝑻
𝑹𝑹. 𝑻𝑻
(𝟎𝟎, 𝟗𝟗 − 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟓𝟓). 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝒏𝒏 = [𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗, 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 . 𝟗𝟗, 𝟖𝟖𝟖𝟖. 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕].
𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)
∴ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑. 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑷𝑷𝒐𝒐 = 𝑷𝑷 + 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 . 𝒈𝒈. 𝒉𝒉 ⇒ 𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒐𝒐 − 𝝆𝝆𝑯𝑯𝑯𝑯 . 𝒈𝒈. 𝒉𝒉 ⇒ 𝒏𝒏. 𝑹𝑹.
2 – Dois recipientes fechados de mesma capacidade, igual a 1 l, estão ligados um ao
outro por um tubo capilar de volume desprezível. Os recipientes contêm oxigênio,
inicialmente à temperatura de 25°C e pressão de 1 atm.
a) Quantas gramas de O2 estão contidas nos recipientes?
b) Aquece-se um dos recipientes até a temperatura de 100°C, mantendo o outro
a 25°C. Qual é o novo valor da pressão?
c) Quantas gramas de O2 passam de um lado para o outro? Despreze a condução
de calor através do capilar.
a) Pela relação dos gases ideais:
𝒎𝒎
𝒎𝒎𝒎𝒎. 𝑷𝑷. 𝑽𝑽
𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 . 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 . 𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝑷𝑷. 𝑽𝑽 = 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻 =
. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻 ⇒ 𝒎𝒎 =
⇒ 𝒎𝒎 =
𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑹𝑹. 𝑻𝑻
𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
∴ 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
b) Pela relação dos gases:
2
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Capítulo - 9
𝑷𝑷
𝑷𝑷
𝑷𝑷. 𝑽𝑽 𝑷𝑷. 𝑽𝑽 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 𝑷𝑷. 𝑽𝑽 𝑷𝑷. 𝑽𝑽 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐
+
=
+
⇒
+
=
+
⇒
+
𝑻𝑻𝟐𝟐
𝑻𝑻𝟏𝟏
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝟏𝟏 𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝟏𝟏
𝟐𝟐𝑷𝑷𝒐𝒐
𝑷𝑷𝒐𝒐 𝑷𝑷𝒐𝒐
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟐𝟐𝑷𝑷𝒐𝒐 𝑻𝑻𝟏𝟏 . 𝑻𝑻𝒐𝒐
=
+
⇒ 𝑷𝑷 � + � =
⇒ 𝑷𝑷 =
�
� ⇒ 𝑷𝑷
𝑻𝑻𝒐𝒐 𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝟏𝟏 𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐
𝑻𝑻𝒐𝒐 𝑻𝑻𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝒐𝒐
𝟐𝟐. 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
=
�
� ∴ 𝑷𝑷 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
c) Pela relação obtida no item a:
𝒎𝒎𝒎𝒎. 𝑷𝑷. 𝑽𝑽
𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 . 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 . 𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝒎𝒎 =
⇒ 𝒎𝒎` =
⇒ 𝒎𝒎` = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑹𝑹. 𝑻𝑻
𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
Portanto, a variação é:
∆𝒎𝒎 = 𝒎𝒎` − 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∴ ∆𝒎𝒎 = −𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗
* O sinal negativo do ∆m indica que houve perda de massa.
3 - Um recipiente de paredes adiabáticas é munido de um pistão adiabático móvel, de
massa desprezível e 200 cm² de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg. A
pressão externa é de 1 atm. O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual CV =
(3/2)R, à temperatura de 20°C.
a) Qual é a densidade inicial do gás? Faz-se funcionar um aquecedor elétrico
interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente até 70°C.
b) Qual é o volume final ocupado pelo gás?
c) Qual é o trabalho realizado pelo gás?
d) Qual é a variação de energia interna do gás?
e) Quanto calor é fornecido ao gás?
Dados:
A = 200 cm² = 2 x 10-2 m² ; m = 10 kg ; MHe = 4 g/mol ; CV = (3/2)R ∴ CP = (5/2)R
V1 = 3 l = 3 x 10-3 m³
P0 = 1 atm = 1,013 x 105 N/m²
T1 = 20°C =293 K
a)
P1 = P0 +
F
m.g
10 x 9,8
= P0 +
= 1,013 x 105 +
⇒ P1 = 1,062 x 105 N/m²
-2
A
A
2 x 10
P1.V1
= 0,13 mols
R.T1
m n.M He
⇒
ρ= =
V
V
n=
ρ = 0,174 kg/m³
b) T2 = 70°C = 343 K ; P1 = P2
V1 V2
⇒
V2 = 3,51 l
=
T1 T2
c)
d)
V2
V2
V1
V1
W1→2 = ∫ P.dV = P ∫ dV ⇒W1→2 = P.(V1-V2)⇒ W1→2 = 1,062.105.(3,51-3).10-3
∴ W1→2 =54,34 J
∆U = n.CV.∆T = P.V.(R.T)-1.CV.∆T = 1,062.105.3.10-3.(293)-1.(3/2) .50
3
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e)
Capítulo - 9
∴ ∆U = 81,51 J
∆U = ∆Q – W ⇒ ∆Q = 136 J
4 – Um mol de um gás ideal, com γ = 7/5, está contido num recipiente, inicialmente a 1
atm e 27°C. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até ¾ do volume
inicial V0; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii)
expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume
constante, até voltar à pressão inicial.
a) Desenhe o diagrama P-V associado.
b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás.
c) Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii).
d) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas.
e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii).
γ = 7/5
n = 1 mol
P1 = 1 atm
T1 = 27°C = 300 K
V2 = (3/4)V1
a)
AB:
∴
CP = (7/2)R ;
CV = (5/2)R
P1.V1 = n.R.T1
⇒
V1 (3 4 )V1
⇒
=
T1
T2
T2 = 225 K
P1 P2
=
T2 T1
P2 = 1,33 atm = (4/3) atm = 1,35 x 105 N/m²
V1 = 24,6 l
BC:
b)
⇒
W = WAB + WBC + WCD + WDA
mas
3
3
V




W = P1  − 1V1 + P2 1 − V1 = 1 (− P1 + P2 )
4
 4
4 
W = 207,67 J ≅ 208 J
4
WBC = WDA = 0
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c)
Capítulo - 9
 1
 1
W(i) = WAB = P1 . − .V1 = 1,013.10 5. − .24,6.10 −3 = - 623,5 J
 4
 4
5
∆U(i) = n.CV.(T2 – T1) = 1. .8,314.(225,1125 − 300,15) = - 1559,655 J
2
∆Q(i) = ∆U + W
⇒
∆Q(i) = - 2183,156 J
W(ii) = WBC = 0
∆U(ii) = n.CV.(T1 – T2) = + 1559,655 J
∆Q(ii) = + 1559,655 J
∆QT = - 2183,156 + 1559,655 = - 623,50
d)
e)
⇒
P2 .V1 1,33 x 2406
= 399 K
⇒
=
n.R
1 x 0,082
P .V
1,013 x 2406 x 3
= 224,98 K
= 1 2 =
n.R
4 x 8,314
∆QT = - 624 J
Tmáx =
Tmáx = 400 K
Tmin
⇒
∆U (i ) = −107,875 J 

∆U (ii) = +107,875 J 
Tmin = 225 K
∆U (i ) + ∆U (ii ) = 0
5 – Um mol de um gás ideal, contido num recipiente munido de um pistão móvel,
inicialmente a 20°C, se expande isotermicamente até que seu volume aumenta de 50%.
a seguir, é contraído, mantendo a pressão constante até voltar ao volume inicial.
Finalmente, é aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial.
a) Desenhe o diagrama P-V associado.
b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo.
a) Em AB:
𝑷𝑷. 𝑽𝑽 = 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 ⇒ 𝑷𝑷. 𝑽𝑽𝒐𝒐 .
𝟑𝟑
𝟐𝟐
= 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 ⇒ 𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝒐𝒐
𝟐𝟐
𝟑𝟑
b) Temos que o trabalho é dado por:
5
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𝑾𝑾 = 𝑾𝑾𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑾𝑾𝑩𝑩𝑩𝑩
Capítulo - 9
𝟑𝟑
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟐𝟐
𝟑𝟑
⇒ 𝑾𝑾 = 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �𝟐𝟐 � + 𝑷𝑷𝒐𝒐 �𝑽𝑽𝒐𝒐 − 𝑽𝑽𝒐𝒐 �
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟑𝟑
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟐𝟐
𝟑𝟑
= 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �𝟐𝟐 � + 𝑷𝑷𝒐𝒐 𝑽𝑽𝒐𝒐 �𝟏𝟏 − �
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟑𝟑
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟏𝟏
= 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �𝟐𝟐 � + 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻 �− � = 𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝐥𝐥𝐥𝐥 � � − �
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝟑𝟑
𝟐𝟐
𝟑𝟑
∴ 𝑾𝑾 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱
6 – 0,1 mol de um gás ideal, com CV = (3/2)R,
descreve o ciclo representado na fig. no planto
(P, T).
a) Represente o ciclo no plano (P, T),
indicando P (em atm) e V (em l) associados aos
pontos A, B e C.
b) Calcule ∆W, ∆Q e ∆U para os
processos AB, BC, CA e o ciclo.
a)
P (atm)
A
C
B
V(l)
b) Processo AB:
W = n.R.T.ln(VB/VA) = 0,1 . 8,31 . 300 . ln (2,46/1,23) = 173 J
Q = W = 173J
∆U = 0 (não há variação de temperatura)
Processo BC: (Volume Constante)
W = 0 (Não realiza Trabalho)
Q = nCvΔT = 0,1x12,5x300 = 375J
6
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Capítulo - 9
ΔU = nCvΔT -W = 375J
Processo CA: (Pressão Constante)
W = nRΔT = 0,1x8,31x300 = - 249J (O trabalho será negativo pois o volume diminui)
Q = 0,1x(2,5)x(8,31)x300 = -623J
ΔU = 623 – 249 = -374J
7 – 1 g de gás hélio, com CV = (3/2)R, inicialmente nas condições NTP, é submetida aos
seguintes processos: (i) Expansão isotérmica até o dobro do volume inicial; (ii)
Aquecimento a volume constante, absorvendo 50 cal; (iii) Compressão isotérmica, até
voltar ao volume inicial.
a) Represente os processos no plano (P, V), indicando P (em atm), V (em l) e T
(em K) associado a cada ponto.
b) Calcule ∆U e ∆W para os processos (i), (ii) e (iii).
AB: p1V1 = p2V2
1V0 = p2 x 2V0
P2 = 0,5 atm
Processo AB:
∆U = 0 (não há variação de temperatura)
W = Q = n.Cv.∆T = 393 J
Processo BC: (Volume constante)
∆W = 0
∆U = Q = nCv∆t = 209 J
Processo CD: (transformação isotérmica)
∆U = 0
W = Q = n.Cv.∆T = -490 J
7
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Capítulo - 9
8 – Um mol de um gás ideal descreve o ciclo ABCDA representado na fig., no plano (P,
V), onde T = T1 e T = T2 são isotermas. Calcule o trabalho total associado ao ciclo,
em função de P0, T1 e T2.
Em A:
Em B:
𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟏𝟏 ⇒ 𝑽𝑽𝟏𝟏 =
Logo, o trabalho total é:
𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟐𝟐 ⇒ 𝑽𝑽𝟐𝟐 =
𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟏𝟏
𝑷𝑷𝒐𝒐
𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒐𝒐
𝑽𝑽𝟏𝟏
𝑽𝑽𝒐𝒐
� − 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 � �
𝑽𝑽𝟐𝟐
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝑽𝑽𝒐𝒐 . 𝑷𝑷𝒐𝒐
𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟏𝟏
∴ 𝑾𝑾 = 𝑹𝑹(𝑻𝑻𝟐𝟐 − 𝑻𝑻𝟏𝟏 ) + 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �
� − 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �
�
𝑹𝑹. 𝑻𝑻𝟐𝟐
𝑽𝑽𝒐𝒐 . 𝑷𝑷𝒐𝒐
𝑾𝑾 = 𝑾𝑾𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑾𝑾𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑾𝑾𝑫𝑫𝑫𝑫 = 𝑹𝑹(𝑻𝑻𝟐𝟐 − 𝑻𝑻𝟏𝟏 ) + 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �
9 - Um mol de gás hélio, com CV = (3/2)R, inicialmente a 10 atm e 0°C, sofre uma
expansão adiabática reversível até atingir a pressão atmosférica, como primeiro estágio
num processo de liquefação do gás.
a) Calcule a temperatura final (em °C).
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão.
a) O hélio é um gás monoátomo se Cv = 3/2R então Cp = 5/2R
γ =
Cp
= 5/3
Cv
Dados:
Estado inicial
Pi = 10 atm
Vi = ?
Ti = 0ºC = 273 K
Estado Final
Pf = 1 atm
Vf = ?
Tf = ?
n =11 (nº de mols)
R = 8,3145 J/mol K
8
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γ
PiVi = Pf V f
Capítulo - 9
γ
PiVi = nRTi
Pf V f = nRT f
 Vi

V
 f
 Pi

P
 f
γ
  Pf 
 =   (A)
 P 
  i 
 Vi   Ti 
  =  
 V   T 
 f   f 
Elevando – se ambos os lados desta expressão pelo expoente γ, temos:
 Pi

 Pf





γ
 Pi

P
 f




γ
 Pi

P
 f




γ −1
γ
 Vi

Vf

  Ti 
 = 
 T 
  f 
 Pf

 Pi
  Ti
 = 

  Tf
T
= i
T
 f
P
T f = Ti  i
P
 f




γ −1








γ
Substituindo A na expressão temos:
γ
γ
χ
Substituindo os dados temos:
 10 
Tf = 273  
1
5 / 3−1
5/3
Tf = 108,7 K = -164,3 ºC
b) O trabalho numa expansão adiabática entre os estados (i) e (f) é:
Wi – f = -nCv (Tf - Ti)
Wi – f = 2045J
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Capítulo - 9
10 – 1 l de H2 (para o qual γ = 7/5), à pressão de 1 atm e temperatura de 27°C, é
comprimido adiabaticamente até o volume de 0,5 l e depois resfriado, a volume
constante, até voltar à pressão inicial. Finalmente, por expansão isobárica, volta à
situação inicial.
a) Represente o processo no plano (P, V), indicando P (atm), V (l) e T(K) para
cada vértice do diagrama.
b) Calcule o trabalho total realizado.
c) Calcule ∆U e ∆Q para cada etapa.
V1 = 1 l ; V2 = 0,5 l ; M H 2 = 2 g/mol ; TA = 27°C = 300 K ; P1 = 1 atm
5

C V = 2 R

7
CP = R
2

7
γ=
5
a) AB:
P1.V1γ = P2 .V2γ
⇒
V2 = 2,64 atm = 2,64 x (1,013 x 105) N/m²
T1.V1γ −1 = T2 .V2γ −1
⇒
TB = 395,85 K ≅ 396 K
P2 P1
=
TB TC
⇒
TC = 149,9 K ≅ 150 K
BC:
b)
W A→ B = −
(P2 .V2 − P1 .V1 )
γ −1
(2,64.1,03.10 .0,5.10
=−
5
−3
− 1,013.10 5.1.10 −3
7 / 5 −1
WA→B = - 81,04 J
WB→C = 0
WC→A = P1(V1 – V2) = 1,013.10 5.(1 − 0,5).10 −3 ⇒ WC→A = 50,65 J
WT = -30,3 J
c)
n=
P1.V1
R.TA
⇒ n = 0,041 mol H2
∆UAB = - WA→B (QAB = 0)
∆UBC = n.CV.(TC – TB)
∆QCA = n.CP.(TA - TC)
∆UCA = ∆QCA - WC→A
⇒
⇒
⇒
⇒
∆UAB = + 81 J
∆UBC = ∆QBC = -207,5 J
∆QCA = 177,3 J
∆UCA = 126,6 J
10
)
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Capítulo - 9
11 - Um mol de um gás ideal, com CV = (3/2)R, a 17°C, tem sua pressão reduzida à
metade por um dos quatro processos seguintes: (i) a volume constante; (ii)
isotermicamente; (iii) adiabaticamente; (iv) por expansão livre. Para um volume inicial
Vi, calcule, para cada um dos quatro processos, o volume e a temperatura finais, ∆W e
∆U.
n = 1 mol ; Pi = 2.Pf ; T1 = 17°C = 290 K.
5

C
R
=
P

3
2
CV = R 
5
2
 γ=
3

(i): Volume constante.
2Pf Pf
Vf = Vi
⇒ T2 = 145 K
=
T1 T2
∆W = 0
∆U = n.CV.(T2 – T1) ⇒ ∆U = -1808,3 J
(ii): Temperatura constante.
2.Pf.Vi = Pf.Vf
∆U = 0
⇒ Vf = 2.Vi
 2.Vi 

∆W = n.R.T. ln
 Vi 
(iii): Adiabático.
⇒
∆W = 1671 J
(2.Pf ).Viγ = Pf .Vfγ
⇒
Vf = 1,52 Vi
T1.Viγ −1
⇒
T2 = 219,4 K
=
T2 .Vfγ −1
∆Q = 0
∆U = - ∆W ⇒ n.CV.∆T
∆W = + 885 J
⇒
∆U = - 885 J
(iv): Expansão livre.
2.Pf.Vi = Pf.Vf
T2 = T1
∆Q = 0
∆U = 0
∆W = 0
⇒ Vf = 2.Vi
12 - No método de Rüchhardt para medir γ = Cp / Cv do ar, usa-se um grande frasco
com um gargalo cilíndrico estreito de raio a, aberto para a atmosfera (p0 = pressão
atmosférica), no qual se ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m. Na posição de
equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no frasco é V (fig.).
a) Calcule a força restaurador a sobre a bolinha quando ela é empurrada de uma
distância x para baixo a partir do equilíbrio, o movimento sendo suficientemente rápido
para que o processo seja adiabático. Mostre que a bolinha executa um movimento
harmônico simples e calcule o período τ em função de a, m, V, p0 e γ.
11
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Capítulo - 9
b) Numa experiência em que a = 0,5 cm, m = 10 g, V = 5 l, p0 = 1 atm, o período
observado é τ = 1,5 s. Determine o valor correspondente de γ para o ar.
13 - Um mol de um gás ideal, partindo das condições NTP, sofre: (i) uma compressão
isotérmica até um volume de 5 l, seguida de (ii) uma expansão adiabática até retornar ao
volume inicial, atingindo uma pressão final de 0,55 atm.
a) Calcule P ao fim da etapa (i) e T ao fim de (ii).
b) Calcule Cp e Cv para este gás.
c) Calcule a variação total de energia interna.
d) Calcule o trabalho total realizado.
Na CNTP, temos:
Vo=22,4L; Po=1atm; To=273K
a) Analisando i:
T=To; V=5L
𝑷𝑷. 𝑽𝑽 = 𝑷𝑷𝒐𝒐 . 𝑽𝑽𝒐𝒐 ⇒ 𝑷𝑷 =
Analisando ii:
V`=22,4L; P`=0,55 atm; W= - ∆U
𝟏𝟏 × 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟒𝟒
∴ 𝑷𝑷 = 𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂
𝟓𝟓
𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒
𝜸𝜸
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �
�
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥�𝑷𝑷�𝑷𝑷`�
𝑽𝑽`
𝑷𝑷
𝟕𝟕
𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓
𝑷𝑷. (𝑽𝑽)𝜸𝜸 = 𝑷𝑷`. (𝑽𝑽`)𝜸𝜸 ⇒ � � =
⇒ 𝜸𝜸 =
⇒ 𝜸𝜸 =
∴ 𝜸𝜸 =
𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟒𝟒
𝑽𝑽
𝑷𝑷`
𝟓𝟓
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥�𝑽𝑽`�𝑽𝑽�
𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �
�
𝟓𝟓
Logo:
𝑻𝑻
𝜸𝜸−𝟏𝟏
𝑷𝑷 𝜸𝜸
=
𝑻𝑻`
𝜸𝜸−𝟏𝟏
𝑷𝑷` 𝜸𝜸
𝑷𝑷
⇒ 𝑻𝑻` = 𝑻𝑻. � �
𝑷𝑷`
𝜸𝜸−𝟏𝟏
𝜸𝜸
⇒ 𝑻𝑻` =
b) Pela relação temos:
𝟕𝟕
−𝟏𝟏
𝟓𝟓
𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟕𝟕
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. �
� 𝟓𝟓
𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟒𝟒
∴ 𝑻𝑻′ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑹𝑹
𝑹𝑹
𝟓𝟓
⇒ 𝑪𝑪𝒗𝒗 =
∴ 𝑪𝑪𝒗𝒗 = 𝑹𝑹
𝟕𝟕� − 𝟏𝟏
𝜸𝜸 − 𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟓𝟓
⎨𝑪𝑪𝒑𝒑
𝟓𝟓 𝟕𝟕
𝟕𝟕
⎪ = 𝜸𝜸 ⇒ 𝑪𝑪𝒑𝒑 = 𝑪𝑪𝒗𝒗 . 𝜸𝜸 ⇒ 𝑪𝑪𝒑𝒑 = 𝑹𝑹. ∴ 𝑪𝑪𝒑𝒑 = 𝑹𝑹
𝟐𝟐 𝟓𝟓
𝟐𝟐
⎩𝑪𝑪𝒗𝒗
⎧
⎪
𝑪𝑪𝒗𝒗 =
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Capítulo - 9
𝟓𝟓
c) ∆𝑼𝑼 = 𝒏𝒏. 𝑪𝑪𝒗𝒗 . ∆𝑻𝑻 ⇒ ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏. . 𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) ∴ ∆𝑼𝑼 = −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
d) Trabalho total é igual à soma dos trabalhos de i e ii. Logo:
𝑽𝑽
𝟏𝟏
𝑽𝑽
𝑾𝑾𝒕𝒕 = −∆𝑼𝑼 + 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. � . 𝒅𝒅𝒅𝒅 ⇒ 𝑾𝑾𝒕𝒕 = −∆𝑼𝑼 + 𝒏𝒏. 𝑹𝑹. 𝑻𝑻. 𝐥𝐥𝐥𝐥 � � ⇒
𝑽𝑽𝒐𝒐
𝑽𝑽𝒐𝒐 𝑽𝑽
𝟓𝟓
𝑾𝑾𝒕𝒕 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏. 𝟖𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝐥𝐥𝐥𝐥 �
� ∴ 𝑾𝑾𝒕𝒕 = −𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟒𝟒
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