Aula 12 - Aplicação: O gás ideal quântico
MÓDULO 1 - AULA 12
Aula 12 - Aplicação: O gás ideal quântico
Meta
Tratar a estatı́stica do gás ideal sem restrições para concentração e
temperatura.
Objetivos
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
1. Desenvolver diferentes formas para o cálculo da grande função de partição
ou soma de Gibbs.
2. Reconhecer as diferenças entre férmions e bósons.
3. Calcular a grande função de partição e as ocupações médias para gases
de férmions e bósons.
4. Obter o modelo para o gas ideal clássico como o limite de alta temperatura dos gases quânticos.
Pré-requisitos
Esta aula requer que você revise as Aulas 8, 9 e 10 desta disciplina, e
a Aula 19 de Introdução à Mecânica Quântica
Introdução
Na Aula 8 aprendemos a calcular a função de partição para o gás ideal
no regime clássico, ou de baixa concentração. Esse regime apareceu naturalmente, como um efeito da correção de contagem, a divisão por N!, que levou
em conta a indistinguibilidade dos átomos. Sem essa aproximação não seria
possı́vel calcular a função de partição, mas a sua introdução inviabiliza o estudo dos gases em baixas temperaturas ou altas concentrações, justo quando
efeitos quânticos são relevantes e visı́veis. Nesta aula usaremos os conceitos
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de potencial quı́mico e grande função de partição para descrever a estatı́stica
do gás ideal em qualquer regime.
A grande função de partição para o gás ideal
P
ε
− κTj
Nj µ
κT
exp
,
A expressão (11.15) da Aula anterior, Z ≡ j exp
mostra a grande função de partição sendo indexada por um ı́ndice corrido para os microestados, considerando todas as possibilidades de energia e
número de partı́culas. A menos que haja poucos microestados, essa forma de
calcular Z não é muito prática. Se as partı́culas são independentes, podemos
organizar a soma em termos de dois ı́ndices, um para os valores de energia,
outro para N, ou para as ocupações. Vamos ver como.
Variando E primeiro, depois N
Neste caso podemos reescrever Z como
ε j
exp −
λNj
κT
j
X
X
X
=
λN
g(E) exp[−βE(N)] =
λN ZN ,
Z =
X
N
E
(12.1)
N
onde ZN é a função de partição usual, calculada para um sistema com N
P
ε
partı́culas: ZN ≡ ε g(ε) exp − κT
. O que fizemos foi primeiro considerar
todas as possibilidades de energia para um certo valor de N e depois levamos
em conta todos os valores de N pertinentes. Neste caso, é necessário que o
cálculo da função de partição para um dado N seja possı́vel.
Escrevendo a energia total em termos das ocupações
Aqui escrevemos a energia total de um dado microestado k como Ek =
j ηjk εj , onde as ηjk são as ocupações dos orbitais com energia εj no microestado k, ou seja, os ηjk nos dizem quantas partı́culas há com cada valor
de energia εj . Os valores de ηjk são variados de forma independente, sem
qualquer vı́nculo, gerando configurações com diversos valores de Nk . DefinP
imos o número de partı́culas num dado microestado k como Nk ≡ j ηjk ,
sendo a soma sobre os orbitais. Cada termo gerado pode ser classificado de
P
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acordo com seu valor de Nk . Temos assim:
Z =
=
XX
P
...λ
j
ηjk
η1k η2k
YX
j
ηjk
λ
exp −β
exp (−βηjk εj )
X
j
ηjk εj
!
(12.2)
ηjk
|
{z
Zj
}
P P
As somas η1k η2k sigificam somar sobre η11 , η12 . . . η21, η22 . . . . Neste caso
tomamos um orbital j, com energia εj , e o consideramos ocupado com ηj = 0,
1, 2 etc partı́culas. É como se tivéssemos vários sistemas, cada um com energia εj , podendo estar ocupado com ηj partı́culas, e energia ηj εj , ou desocupado com energia zero, de forma independente.
No caso do gás ideal, nosso problema é com o cálculo de ZN , por isso
vamos preferir o segundo método. Nosso problema será calcular:
X
Zj =
[λ exp (−βεj )]ηj .
(12.3)
ηj
Usamos aqui uma notação simplificada, abandonando o ı́ndice referente ao
microestado. Neste caso j refere-se ao orbital considerado, sendo ηj os
possı́veis valores de ocupação e εj a energia do mesmo. Agora nos deparamos
com uma nova questão: quais são os valores de ηj possı́veis? A resposta é:
depende do tipo de partı́cula que estamos considerando, ou seja, se são bósons
ou férmions.
Atividade 1
(Objetivos 1)
Considere um sistema com dois nı́veis de energia não degenerados, com energia ε1 e ε2 , que podem ser ocupados por nenhuma, uma ou duas partı́culas.
(a) Classifique todas as possı́veis configurações do sistema, pela energia total,
ocupação de cada nı́vel, e número total de partı́culas.
(b) Escreva a grande função de partição para o sistema como uma soma corrida sobre os macroestados, na forma (12.1) e na forma (12.2)
Diagramador: deixe 15cm
Resposta comentada
(a) Vamos chamar de η1 e η2 as ocupações dos nı́veis ε1 e ε2 , respectivamente.
Podemos organizar todas as possibilidades de ocupação de cada nı́vel numa
tabela. Os microestados serão numerados pelo ı́ndice k. Por exemplo, n1k é
a ocupação do orbital com energia ε1 no microestado k e assim por diante.
A tabela com os valores pedidos é:
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k
η1k
η2k
Nk
Ek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
0
1
2
1
2
2
0
0
0
1
1
1
2
2
0
2
0
1
1
2
3
3
4
2
2
0
ε1
ε2
ε1 + ε2
2ε1 + ε2
ε1 + 2ε2
2ε1 + 2ε2
2ε1
2ε2
(b) Vamos usar a expressão (11.15) com as informações da tabela. Seguindo a
ordem das linhas para escrever Z pelo ı́ndice corrido dos microestados temos:
X
Z =
λNk exp (−βEk )
k
= 1 + λ exp [−βε1] + λ exp [−βε2] + λ2 exp [−β(ε1 + ε2)]
+λ3 exp [−β(2ε1 + ε2)] + λ3 exp [−β(ε1 + 2ε2 )]
+λ4 exp [−β(2ε1 + 2ε2 )] + λ2 exp [−β2ε1] + λ2 exp [−β2ε2]
Agora vamos organizar pelas energias. Não temos uma expressão genérica
para ZN , então vamos calcular a função de partição para cada N possı́vel,
ou seja, N = 0, 1, 2, 3 e 4.
Z0 = 1
Z1 = exp [−βε1] + exp [−βε2]
Z2 = exp [−β(ε1 + ε2 )] + exp [−β2ε1] + exp [−β2ε2]
Z3 = exp [−β(2ε1 + ε2)] + exp [−β(ε1 + 2ε2 )]
Z4 = exp [−β(2ε1 + 2ε2 )]
Obtemos Z multiplicando cada ZN pelo λN e somando:
Z = λ0 Z0 + λ1 Z1 + λ2 Z2 + λ3 Z3 + λ4 Z4 ,
que leva à expressão anterior para Z.
Finalmente vamos organizar pelos orbitais. O produto sobre os orbitais
terá os termos j = 1 e j = 2. Cada Zj terá três termos, correspondendo ao
orbital desocupado, ocupado por uma partı́cula e por duas partı́culas.
Z = 1 + λ exp [−βε1] + λ2 exp [−β2ε1] 1 + λ exp [−βε2] + λ2 exp [−β2ε2]
|
{z
}|
{z
}
Z1
Efetuando o produto teremos a expressão desejada.
Fim da atividade
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Z2
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Spin, bósons e férmions
Na Aula 19 de Introdução à Mecânica Quântica você aprendeu que
p
o momento angular de uma partı́cula é dado por L = `(` + 1) ~, sendo
` um número que pode ser inteiro ou semi-inteiro. Para cada valor de `
existem (2` + 1) valores de projeção de momento angular, correspondendo
a m` = −`, −` + 1 . . . ` − 1, `. A origem do momento angular pode ser
do movimento orbital ou do spin, sendo este uma propriedade intrı́nseca
à partı́cula. Quando se trata de momento angular de spin normalmente
usamos as letra s e S no lugar de ` e L, respectivamente. Devido ao spin,
toda partı́cula tem um momento magnético intrı́nseco proporcional a S, e por
isso interage com campos magnéticos externos. Foi exatamente a deflexão
de um feixe de elétrons por um campo magnético (experimento de SternGerlach) em 1922, uma das principais evidências da existência desse momento
magnético intrı́nseco. Normalmente usa-se o termo spin, simplesmente, no
lugar de momento angular de spin.
Observa-se experimentalmente que as partı́culas podem ser classificadas
de acordo com seu spin como bósons, caso tenham spin inteiro, ou férmions
se o spin for semi-inteiro. Essa classificação aplica-se a partı́culas compostas
também. São férmions: elétrons (e), prótons (p) e neutrons (n)(S = 1/2),
átomos de He3 (2p+1n+2e, S = 1/2) e todos os átomos com número ı́mpar
de constituintes. Alguns exemplos de bósons são: fótons e fônons (s = 1),
átomos de He4 (2p+2n+2e, S = 0) e átomos com número par de constituintes.
É uma lei da Natureza que a função de onda, descrevendo um sistema
de partı́culas idênticas, deve ser simétrica ou antissimétrica pela troca de
partı́culas. A descoberta dessa lei em 1925 se deve a Pauli, e o levou a
estabelecer o Princı́pio da Exclusão, formulado como:
• Sistemas constituı́dos por partı́culas idênticas de spin semi-inteiro são
descritos por funções de onda antissimétricas. Essas partı́culas (férmions)
obedecem à estatı́stica de Fermi-Dirac.
• Sistemas constituı́dos por partı́culas idênticas de spin inteiro são descritos por funções de onda simétricas. Essas partı́culas (bósons) obedecem à estatı́stica de Bose-Einstein.
Boxe de curiosidade:Enrico Fermi (1901 - 1954) foi um fı́sico italiano, que
se destacou pelo seu trabalho sobre o desenvolvimento do primeiro reator
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nuclear e por sua contribuição ao desenvolvimento da Mecânica Quântica,
Fı́sica Nuclear e de Partı́culas, e Mecânica Estatı́stica. Fermi nasceu na Itália
e desde cedo mostrou grande interesse por fı́sica e matemática. Recebeu seu
diploma de graduação e de doutorado na Scuola Normale Superiore em Pisa.
Após alguns anos na Alemanha, regressou à Universidade de Roma, onde,
em 1926, dedicou-se à mecânica estatı́stica de partı́culas que obedecem ao
princı́pio de exclusão de Pauli, como os elétrons, levando ao que conhecemos
hoje como estatı́stica de Fermi-Dirac, uma vez que Dirac chegou independentemente às mesmas conclusões. Em 1933, Fermi introduziu o conceito de
interação fraca, que em conjunto com o recém postulado neutrino, entrariam
na teoria do decaimento beta. Juntamente com um grupo de colaboradores,
Fermi começou uma série de experiências em que foram produzidos artificialmente núcleos radioativos, pelo bombardeamento com neutrons de vários
elementos. Alguns dos seus resultados sugeriram a formação de elementos
transuranianos. De fato, o que eles observaram, e que mais tarde foi comprovado por Hahn, foi a cisão nuclear. Em 1938 Fermi recebeu o Prémio Nobel
da Fı́sica por este trabalho. Foi então para os Estados Unidos da América,
onde viria a participar no projeto Manhattan e dirigir o projeto de construção
do primeiro reator nuclear na Universidade de Chicago. Depois da Guerra,
Fermi dedicou-se à Fı́sica das partı́culas, com diversas contribuições importantes. O elemento quı́mico de número atômico 100, criado sinteticamente em
1952, recebeu o nome de Férmio em sua homenagem. Fermi morreu prematuramente, aos 53 anos de idade, vı́tima de câncer no estômago, provavelmente
causado pela exposição a materiais radioativos.
Fim do boxe de curiosidade
Boxe de curiosidade:Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) foi um
fı́sico teórico britânico responsável por contribuições fundamentais para o
desenvolvimento da Mecânica Quântica e Eletrodinâmica Quântica. Dirac
estudou engenharia elétrica na Universidade de Bristol, Inglaterra, completando o curso em 1921. Em 1923, se formou em matemática e recebeu uma
bolsa de pesquisa no St. John’s College, na Universidade de Cambridge. Em
sua tese, defendida em 1926, desenvolveu uma versão da Mecânica Quântica,
mesclando a Mecânica Matricial de Heisenberg com a Mecânica Ondulatória
de Erwin Schrödinger num único formalismo matemático. Foi Professor de
Matemática da Universidade de Cambridge e passou os últimos catorze anos
da sua vida na Florida State University. Entre outras descobertas, formulou a Equação de Dirac, que descreve o comportamento do férmion e que
o levou à previsão da existência da antimatéria. Em 1928, desenvolveu a
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chamada Equação de Dirac, que descreve o comportamento relativı́stico do
elétron. Essa teoria o levou a prever a existência do pósitron, a antipartı́cula
do elétron, que foi observado experimentalmente em 1932 por Carl Anderson. Partilhou o Prêmio Nobel de Fı́sica de 1933 com Erwin Schrödinger
pelo Desenvolvimento de novas teorias atômicas.
Fim do boxe de curiosidade
Boxe de curiosidade:Satyendra Nath Bose (1894 - 1974) foi um fı́sico indiano especializado em fı́sica matemática. Ele é mais conhecido pelo seu
trabalho em Mecânica Quântica por volta de 1920, gerando as bases para a
estatı́stica de Bose-Einstein e a teoria do condensado de Bose-Einstein. O
nome bóson para as partı́culas de spin inteiro recebem este nome em sua
homenagem.
Embora mais de um prêmio Nobel tenha sido agraciado a pesquisas
envolvendo bósons, a estatı́stica de Bose-Einstein e o condensado de BoseEinstein, Bose nunca recebeu esse prêmio.
Bose nasceu em Calcutá onde realizou seus estudos até o curso superior. De 1916 a 1921 foi professor no departamento de fı́sica da Universidade
de Calcutá. Em 1921 passou para o departamento de fı́sica da então recentemente fundada universidade Dhaka, agora em Bangladesh. Em 1924 ele
escreve um trabalho derivando a lei da radiação de Planck de uma forma
alternativa, sem qualquer referência à fı́sica clássica. A aceitação desse trabalho não foi imediata, o que o fez enviá-lo a Einstein na Alemanha. Einstein
reconheceu a importânca do trabalho, o traduziu para o alemão e o submeteu em nome de Bose à então prestigiosa revista alemã Zeitschrift für Physik.
Com isso, a importância do trabalho foi reconhecida e Bose deixou a Índia
pela primeira vez, passando dois anos na Europa onde trabalhou com Louis
de Broglie, Marie Curie e Einstein.
Fim do boxe de curiosidade
Vamos ver que implicações o princı́pio da exclusão tem na estatı́stica de
partı́culas idênticas.
Suponha o caso de duas partı́culas idênticas e independentes, obedecendo ao hamiltoniano
H = H1 + H2
onde
Hi =
p2i
+ U(~ri ) .
2m
Seja ψni (~ri ) uma auto função de Hi , ou seja, Hi ψni (~ri ) = εni ψni . Neste
caso, n1 e n2 representam um conjunto de números quânticos definindo o
orbital da partı́cula, ou seja, se a partı́cula 1 está no orbital n1 , sua função
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de onda é ψn1 (~r1). O produto ψn1 ψn2 tem auto valor E = εn1 + εn2 , como
pode ser visto abaixo:
(H1 + H2 ) ψn1 ψn2 = H1 ψn1 ψn2 + ψn1 H2 ψn2
= εn1 ψn1 ψn2 + εn2 ψn1 ψn2
= (εn1 + εn2 )ψn1 ψn2
De acordo com a lei descoberta por Pauli, a função de onda correta para o
sistema deve ter sua simetria definida. Neste caso, a função de onda das duas
partı́culas deve ser construı́da a partir das combinações lineares simétrica e
antissimétrica, e normalizada, como:
1
ΨS (~r1 , ~r2) = √ [ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) + ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1 )]
2
e
1
ΨA (~r1 , ~r2) = √ [ψn1 (~r1 )ψn2 (~r2 ) − ψn1 (~r2 )ψn2 (~r1)] ,
2
respectivamente. Note que se n1 = n2 , ΨA = 0, ou seja, no caso antissimétrico não podemos ter as duas partı́culas no mesmo orbital, ou seja, com
todos os números quânticos iguais. Isso vai ser crucial para definir as regras
de ocupação de sistemas formados por férmions idênticos.
Suponha três orbitais, representados pelas letras A, B e C. Nas tabelas
abaixo, você pode ver como esses orbitais podem ser ocupados por bósons ou
férmions. Os ı́ndices numéricos identificam as partı́culas
Bósons:
Férmions:
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A
B
C
função de onda
1,2
-
-
ψA (~r1 )ψA (~r2 )
-
1,2
-
ψB (~r1 )ψB (~r2)
-
-
1,2
ψC (~r1 )ψC (~r2 )
1
2
-
√1
2
[ψA (~r1 )ψB (~r2) + ψB (~r1)ψA (~r2 )]
-
1
2
√1
2
[ψB (~r1 )ψC (~r2) + ψC (~r1)ψB (~r2 )]
1
-
2
√1
2
[ψA (~r1 )ψC (~r2) + ψC (~r1)ψA (~r2)]
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MÓDULO 1 - AULA 12
A
B
C
função de onda
1
2
-
√1
2
[ψA (~r1 )ψB (~r2 ) − ψB (~r1)ψA (~r2)]
-
1
2
√1
2
[ψB (~r1 )ψC (~r2 ) − ψC (~r1 )ψB (~r2)]
1
-
2
√1
2
[ψA (~r1 )ψC (~r2 ) − ψC (~r1 )ψA (~r2)]
Cálculo da grande função de partição e da ocupação
média para bósons e férmions
Vamos voltar ao gás ideal estudado na Aula 8. Esse sistema consiste
em um gás de partı́culas não interagentes com energias cinéticas dadas pela
~2 πn 2
expressão (8.4): εn = 2m
. O orbital a ser considerado no cálculo de
L
Zj corresponde a uma dada escolha de nx , ny , nz para a função de onda da
partı́cula numa caixa, e uma dada projeção de spin. Vamos ver as diferenças
entre termos um gás de bósons ou de férmions.
Bósons
Neste caso, podemos ter qualquer número de partı́culas em um orbital,
ou seja, as ocupações ηj podem assumir qualquer valor. Definindo x ≡
P∞
1
, para x < 1, podemos calcular Zj
λ exp (−βεj ) e usando que n=0 xn = 1−x
facilmente:
Zj =
∞
X
[λ exp (−βεj )]ηj =
ηj =0
1
.
1 − λ exp (−βεj )
(12.4)
A ocupação média de um dado orbital é
∞
1 X
ηj [λ exp (−βεj )]ηj
hηj i =
Z j η =0
(12.5)
j
Usando a definição de x podemos escrever hηj i como
∞
∞
X
1 X
ηj
hηj i =
ηj x = (1 − x)
ηj xηj .
Z j η =0
η =0
j
(12.6)
j
Note que
∞
∞
∞
d X ηj X
1X
ηj −1
x =
ηj x
=
ηj xηj .
dx η =0
x
η =0
η =0
j
j
(12.7)
j
163
CEDERJ
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Logo
∞
X
ηj

∞
X
d
ηj x = x 
dx η
=0
ηj
j =0
x

ηj 
d
=x
dx
1
1−x
=
x
.
(1 − x)2
(12.8)
Substuindo esse resultado na expressão para hηj i temos:
fBE = hηj i =
λ−1
1
1
=
.
exp(βεj ) − 1
exp[β(εj − µ)] − 1
(12.9)
A expressão (12.9) recebe o nome de distribuição de Bose-Einstein.
Examinando a equação (12.9) vemos que quando tivermos λ−1 exp(βεj ) =
1, ou εj = µ, fBE → ∞. Também, para que a grande função de partição seja
convergente, devemos ter x ≡ exp[β(µ − εj )] < 1 , ou seja, µ < εj . Como
isso tem que acontecer para qualquer valor de εj , concluı́mos que µ deve ser
menor que o mais baixo valor de εj , que chamaremos de ε0. Quando µ → ε0 ,
teremos fBE (ε0) → ∞, ou seja a ocupação desse orbital será muito maior que
a dos outros, mesmo numa temperatura não nula. Na Aula 13 estudaremos
com mais detalhes esse comportamento.
Atividade 2
(Objetivo 2)
No inı́cio desta Aula, dissemos que fótons e fônons são bósons. Nesse espı́rito,
compare a distribuição de Bose-Einstein com a distribuição de Planck (veja
as Aulas 9 e 10), dada por
hη(ω)i =
1
,
exp (β~ω) − 1
sendo hη(ω)i o número médio de fônons ou fótons com frequência ω,
Diagramador: deixe 5cm
Resposta comentada
Comparando a distribuição de Planck com a de Bose-Einstein, vemos que
a as duas são idênticas se µ = 0. Isto significa que o potencial quı́mico de
fótons e fônons é nulo. Para entender esse resultado, lembramos que o potencial quı́mico é a grandeza que controla o número de partı́culas do sistema,
permitindo que N seja variado independentemente de T . Por exemplo, num
gás de átomos numa dada temperatura e volume, podemos escolher qualquer
valor de N. Nos gases de fótons e fônons isso não pode ser feito. Ao escolhermos T e V , o número de partı́culas fica determinado, isso implica em µ = 0
para esses sistemas.
Fim da atividade
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Aula 12 - Aplicação: O gás ideal quântico
MÓDULO 1 - AULA 12
Férmions
De acordo com o princı́pio da exclusão, não podemos ter dois ou mais
férmions no mesmo orbital, logo, só há dois termos neste caso: ηj = 0 ou
ηj = 1. Temos assim
Zj = 1 + λ exp(−βεj )
Para a ocupação
∞
1 X
0 + λ exp (−βεj )
hηj i =
ηj [λ exp (−βεj )]ηj =
Z j η =0
1 + λ exp(−βεj )
j
ou
fFD = hηj i =
λ−1
1
1
=
exp(βεj ) + 1 exp[β(εj − µ)] + 1
(12.10)
A expressão (12.10) recebe o nome de distribuição de Fermi-Dirac.
Vamos analisar o comportamento de (12.10). Observamos:
• T = 0 (β = ∞), ε > µ : neste caso exp[β(ε − µ)] → ∞, logo fFD → 0.
• T = 0 (β = ∞), ε < µ : agora exp[β(ε − µ)] → 0, logo fFD → 1.
• T > 0, ε = µ : fFD = 0, 5.
Assim, para T = 0 temos uma função degrau, com descontinuidade em ε = µ.
O valor do potencial quı́mico em T = 0 recebe o nome de energia de Fermi.
Usaremos a notação εF para designá-lo já que também é a energia do último
orbital ocupado em T = 0. Temos então que, para T = 0, fFD (ε) = 1 para
ε < εF , indicando que todos esses orbitais estão preenchidos. Se ε > εF
temos fFD(ε) = 0, indicando que esses orbitais estão vazios. Para temperaturas diferentes de zero, fFD toma uma forma arredondada, nas vizinhanças
de εF . A Figura 12.1 mostra a forma da distribuição de Fermi-Dirac para
temperaturas não nulas (linha), e para T = 0. As áreas em cinza claro
mostram a diferença entre as distribuições para T = 0 e T > 0. A área cinza
claro superior corresponde aos orbitais esvaziados pelo aumento da temperatura. A área cinza claro inferior corresponde aos orbitais que passaram a
ser ocupados pelo aumento da temperatura.
Limite clássico
Na Aula 8, quando calculamos a função de partição para o gás ideal
clássico, não fizemos distinção entre bósons e férmions. É importante entender porque isso não foi preciso. A questão toda é a divisão por N! no cálculo
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Matéria Condensada
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Figura 12.1: Distribuição de Fermi-Dirac para T > 0 (curva em preto). As
áreas em cinza mostram a diferença entre as distribuições para T = 0 e
T > 0.
de ZN a partir de Z1 . Como vimos, essa divisão foi introduzida para corrigir
a contagem de estados já que as partı́culas eram indistinguı́veis. Entretanto,
essa correção acabou por penalizar os estados com mais de uma partı́cula
no mesmo orbital, já que a probabilidade de ocorrência desses estados ficou muito reduzida pela correção de contagem. Como consequência, o gás
resultante tem muitos orbitais vazios, e outros com apenas uma partı́cula,
tornando-se irrelevante a distinção entre férmions e bósons.
É possı́vel obter o resultado clássico a partir do quântico, se tomarmos
o limite correto. Como vimos na Aula 8, no regime clássico, φ φq , onde φq
m 3/2
,e
é a concentração quântica, definida na equação (8.23) como φq = κT
~2 2π
φ é a concentração do gás definida como φ = N/V . Como µ = κT ln (φ/φq )
para o gás clássico, temos que λ = φ/φq para esse gás, ou seja, o gás clássico
tem λ−1 1 sempre. Assim, podemos fazer λ−1 exp(βεj ) ± 1 ≈ λ−1 exp(βεj )
e escrever a ocupação de um orbital de energia εj no regime clássico como
fclássico = λ exp(−βεj ) .
(12.11)
Note que fclássico 1 para todos os orbitais. A Figura 12.2 mostra uma
comparação entre as distribuições quântica e a clássica, mostrando claraCEDERJ
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Figura 12.2: Comparação entre as distribuições de Bose-Einstein, FermiDirac e clássica. Como pode ser observado, o regime clássico é o limite das
duas distribuições quânticas quando ε − µ κT .
mente a última como o limite único das distribuições de Fermi-Dirac e de
Bose-Einstein quando a temperatura for muito alta.
Atividade 3
(Objetivos 1, 2 e 3)
Um sistema hipotético tem apenas dois orbitais, um com energia zero e outro
com energia . Os orbitais não são degenerados e podem ser ocupados de
forma independente.
(a) Calcule a grande função de partição para ocupação por bósons e por
férmions.
(b) Calcule o número médio de partı́culas no sistema para ocupação por
férmions e por bósons.
(c) No caso de férmions, qual a probabilidade de o sistema estar ocupado por
duas partı́culas? E por uma?
(d) Generalize o resultado do ı́tem (a), considerando agora quatro orbitais,
com energias zero, 1, 2 e 3.
(e) Refaça o ı́tem (a) considerando que o orbital com energia é triplamente
degenerado.
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Resposta comentada
(a) Como o enunciado diz que os orbitais são independentes, temos Z =
Z0 Z .
Para férmions, cada orbital pode receber no máximo uma partı́cula:
0
0
0
0
1
0
1
Z = λ exp −
+ λ exp −
λ exp −
+ λ exp −
κT
κT
κT
κT
h
i
= [1 + λ] 1 + λ exp −
κT
Se você tem dúvidas, com 2 orbitais é possı́vel montar a tabela das configurações:
0
E
N
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
2
Usamos a tabela para escrever a grande função de partição. Pela ordem das
linhas da tabela temos:
+ λ2 exp −
,
Z = 1 + λ + λ exp −
κT
κT
que é equivalente à expressão anterior.
Para bósons, um orbital pode ser ocupado sem restrições. Para um orbital
qualquer temos
Z =
∞
X
N =0
N
λ exp −
κT
N
Assim,
∞ h
iN
X
1
λ exp −
=
=
κT
1
−
λ
exp
−
κT
N =0
1
Z=
1−λ
(b) Basta usar
"
1
1 − λ exp − κT
#
dln Z
dλ
(b) Examinando a tabela das configurações, vemos que para que o sistema
tenha duas partı́culas, devemos ter uma em cada orbital, correspondendo à
última linha. Ou seja
λ2 exp − κT
P (2) =
Z
hNi = λ
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Podemos ter N = 1 de duas maneiras. Temos então
λ + λ exp − κT
P (1) =
Z
(c) Basta fazer o produto com os 4 orbitais. O mesmo que acima, fazendo
1 = 2 = 3 = .
Fim da atividade
Conclusão
A estatı́stica do gás ideal em qualquer temperatura ou concentração
pode ser estudada se usamos o formalismo da grande função departição ou
soma de Gibbs, trabalhando com as ocupações dos diversos orbitais individualmente. Neste caso, já que orbitais multiplamente ocupados não são
mais suprimidos pela correção de contagem, torna-se necessária a distinção
entre bósons e férmions, inerente ao tipo de spin da partı́cula. Desta forma
encontramos dois tipos de gases quânticos, de bósons e de férmions, com propriedades bem distintas. Os dois gases têm comportamento idêntico quando
T → ∞, tendendo ao comportamento clássico nessa região de temperaturas.
Leitura complementar
S. R. A. Salinas, Introdução à Fı́sica Estatı́stica, primeira edição São
Paulo, EDUSP, capı́tulo 8.
R. Eisberg e R. Resnick, Fı́sica Quântica, Editora Campus, capı́tulo 8.
Atividade Final
(Objetivo 4)
Como podemos introduzir os graus de liberdade internos na grande função de
partição para o gás clássico? Suponha como exemploo um gás de moléculas
poliatômicas. Neste caso cada molécula tem a possibilidade de movimentos de rotação e vibração além da translação do centro de massa. Os dois
primeiros movimentos referem-se a graus de liberdade internos à molécula
porque são referentes a propriedades estruturais da mesma. Supondo que
cada movimento é independente do outro, podemos escrever a energia total
de uma molécula como
ε = εj + εint ,
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onde εj corresponde à energia cinética de translação do centro de massa, e
εint às energias de rotação e vibração.
Diagramador: deixe 5cm
Resposta comentada
Como vimos acima, a ocupação média no regime clássico é muito menor
que um, assim, ao calcular a grande função de partição, Zj , só precisamos
nos preocupar com os termos ηj = 0 e ηj = 1. Vamos considerar que para um
dado microestado de translação, todas as possibilidades de estados internos
possam ocorrer. Assim,
Zj =
X
λη Zη = 1 + λ
η
X
exp[−β(εj + εint)] ,
(12.12)
int
sendo a segunda soma sobre os ı́ndices pertinentes aos movimentos internos
da molécula. Definindo a função de partição para esses graus de liberdade
como
X
Zint =
exp(−βεint)
int
podemos reescrever a equação (12.12) como
Zj = 1 + λZint exp(−βεj ) .
A probabilidade de que um dado estado translacional j seja ocupado,
independentemente dos movimentos internos da molécula é dada por
f(εj ) =
λZint exp(−βεj )
≈ λZint exp(−βεj ) .
1 + λZint exp(−βεj )
Comparando este resultado com a equação (12.11) vemos que a introdução
dos graus de liberdade internos tem o papel de alterar o valor de λ, ou µ.
Definimos λ∗ ≡ λZint , ou λ = λ∗ /Zint = φ/φq Zint . Assim, podemos usar os
resultados previamente obtidos para o gás monoatômico com λ∗ no lugar de λ.
Resumo
Nesta aula, aprendemos como usar a grande função de partição ou soma
de Gibbs para calcular as ocupações médias de gases quânticos organizando
a soma em termos de um produto sobre os orbitais. Desta forma foi possı́vel
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MÓDULO 1 - AULA 12
tratar cada orbital como um sistema independente, o que simplificou enormente o tratamento do problema. Vimos que a estatı́stica de férmions e
bósons é bem diferente devido ao princı́pio de exclusão de Pauli e o usamos
para calcular as ocupações médias para gases de férmions e bósons. Verificamos, também, que o limite de temperatura alta para ambos os gases é
dado pelo regime clássico, onde torna-se irrelevante o caráter fermiônico ou
bosônico da partı́cula porque as ocupações médias são sempre muito menores
que um.
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos aplicar a distribuição de Fermi-Dirac a um gás
de elétrons e a de Bose-Einstein a um gás de átomos em baixas temperaturas.
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