UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE TECNOLOGIA
LABORATÓRIO DE HIDRÁULICA
Vladimir Caramori
Josiane Holz
Irene Maria Chaves Pimentel
Davyd Henrique de Faria Vidal
Guilherme Barbosa Lopes Júnior
Marllus Gustavo F. Passos das Neves
Maceió - Alagoas
Maio de 2012
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
2
Aula prática 01: MEDIDAS E ERROS
1 - INTRODUÇÃO
Uma medida experimental é satisfatoriamente representada quando, a esta
medida é atribuído um erro, ao qual a medida está sujeita.
Quando efetuamos uma medida ou várias medidas, nas mesmas condições,
de uma mesma grandeza, o valor dessa grandeza deve ser expresso pela relação:
x = (x ± σ x ) unidade (1)
onde x representa a estimativa intervalar e a média dos valores medidos x é a
estimativa pontual do valor real procurado, ou seja, espera-se que o valor real da
medida esteja no intervalo acima. O chamado erro padrão σ x é inversamente
proporcional ao número de medições realizadas, de forma que, quanto maior a
amostra, menor o intervalo acima e assim mais preciso o valor x , isto é, a média fica
cada vez mais próxima do valor real procurado. Para os casos onde é realizada uma
única medida, x é a própria medida e para várias medidas é a média dos valores
medidos.
A equação e o que foi dito acima têm origem na teoria das distribuições
amostrais da estatística e representam o chamado teorema do limite central. Este
possibilita dizer que, para um número grande de observações, as flutuações
aleatórias, para cima ou para baixo, fazem com que aproximadamente a metade das
medidas realizadas esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para
menos, afetando a precisão da medida
Na prática, isto é utilizado para avaliar a incerteza nas medidas de
instrumentos. Em uma única medida, o termo σ x (erro padrão para várias medidas),
chamado de incerteza, é estimado como a metade da menor medida do instrumento.
2 - MEDIDAS
As medidas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas suas
definições são especificadas a seguir.
Medidas diretas: são aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida.
Como exemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas
diretamente de trenas e cronômetros, respectivamente.
Medidas indiretas: são aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o
auxílio de equações. Por exemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a
vazão de um rio ou canal.
3 - ERRO EXPERIMENTAL
Conceitualmente, o erro experimental é a diferença entre o real valor de uma
grandeza física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido
através de medições experimentais.
Mesmo que o experimento seja realizado com o máximo de cuidado, há
sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros experimentais podem ser de dois
tipos: erros sistemáticos e erros aleatórios.
3.1
Erros Sistemáticos
São causados por fontes identificáveis; em princípio, podem ser eliminados ou
compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam
consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida.
3
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de
medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado.
3.2
Erros aleatórios
Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima ou
para baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas
esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a
precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de
medição, que impede que medidas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível
identificar as fontes de erros aleatórios.
Precisão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetida várias vezes a
variação da mesma em relação ao valor médio medido é baixa. A acurácia ou exatidão
está associada a ausência de erros sistemáticos, mantendo as medidas em torno do
valor real.
Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a
medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figuras 1
a e 1b). Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a
precisão da medida é alta (Figuras 1 c e 1d), e os valores medidos tem uma
distribuição de baixa dispersão.
a) Baixa precisão e
baixa exatidão
b) Baixa precisão e alta
exatidão
c) Alta precisão e baixa
exatidão
d) Alta precisão e alta
exatidão
Figura 1: Representação da precisão e exatidão em medidas experimentais
4 - TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS
Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas,
se forem realizadas muitas medições aproximadamente a metade das medidas feitas
estará acima e metade estará abaixo do valor correto.
Isto vem do chamado teorema do limite central, da estatística. Se a população
de onde as amostras foram retiradas segue uma distribuição normal ou se o tamanho
da amostra for grande (maior que 30 na prática), a média aritmética é um bom
estimador da média populacional e ainda, a dispersão em torno dela é pequena, de
forma que o valor obtido pela média aritmética dos valores medidos se torna uma boa
estimativa para o valor correto da grandeza (valor da população):
x=
1
N
N
∑x
i
(2)
1= i
Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas
condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam
distribuídos em torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode
ser caracterizada através do desvio padrão amostral, definido como:
4
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
n
∑ (x − x )
2
i
S=
i=1
n −1
(3)
Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que
quando o desvio padrão é alto. Quanto maior o número de medidas realizadas maior
será a precisão, devido a compensação dos erros aleatórios.
O erro padrão da média σ x (ver equação 1) é definido como σ x =
S
.
N
Doravante, o mesmo será representado por:
∆x = S m =
S
(4)
n
onde n é o tamanho da amostra ou o número de medições realizadas. Observa-se
através da equação 4 que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada de n.
Portanto, quanto maior o número de medições melhor é a determinação do valor
médio.
O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, expresso em
porcentagem, é obtido através da expressão:
(∆x)r =
∆x
⋅ 100% (5)
x
Como propagar os erros obtidos por medidas diretas nas medidas indiretas?
Como propagar os erros de medidas (diretas) de comprimentos na determinação de
um volume (medidas indiretas)? O tópico a seguir tratará deste assunto.
5 - PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS
Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de
equações (medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de
equipamentos (medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados
também os erros, tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida
original pode afetar a grandeza final.
5.1
SOMA E SUBTRAÇÃO DE GRANDEZAS COM ERRO
A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos
grandezas estatisticamente independentes o erro no resultado será dado pela raiz
quadrada da soma dos quadrados dos erros de cada uma das grandezas.
Por exemplo, se tivermos três grandezas:
x ± ∆x , y ± ∆y e z ± ∆z
w =x+y+z
a soma (ou subtração) delas, será afetada por erro de valor:
∆w = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 (6)
5
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
Como aproximação, pode-se usar que, se o erro de uma das grandezas da
soma (ou subtração) for consideravelmente maior que os das outras, ∆x >> ∆y, ∆z
por exemplo, o erro do resultado será dado por este erro: ∆w ≅ ∆x
5.2
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE GRANDEZAS COM ERROS
Neste caso, o erro relativo do resultado será dado pela raiz quadrada da soma
dos quadrados dos erros relativos de cada fator.
Por exemplo, se w = x/y teremos:
2
2
∆w
 ∆x   ∆y 
 (7)
= 
 + 
w
 x   y 
5.3
ERROS EM FUNÇÕES DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS
Frequentemente, é necessário estimar qual é o erro que afeta uma variável y
que é uma função de x, y = f(x), quando se conhece o erro ∆x na determinação de x.
Quando a função for bem comportada nas vizinhanças do ponto de interesse, pode-se
estimar o erro ∆y em y de duas maneiras:
1 - O método da força bruta consiste em calcular o valor de y em x − ∆x , e em
x + ∆x , obtendo-se:
y + ∆y = f(x + ∆x)
y − ∆y = f(x − ∆x)
de onde se calcula:
∆y =
f(x + ∆x) − f(x − ∆x)
(8)
2
2 - O método clássico usa a noção de derivada da função, e supõe que erro
∆x seja suficientemente pequeno para que possamos escrever:
 df 
∆y =   ⋅ ∆x (9)
 dx  x = x
6 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que
seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos
uma medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza
de estarem corretos, admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de
algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja,
quanto mais precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos.
Exemplo: Se o resultado de uma medida é 3,24cm, os algarismos 3 e 2 são
corretos e o algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer
algarismo após o 4.
Observações importantes em relação aos algarismos significativos:
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
6
1. A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é considerada
ao se tratar da identificação de algarismos significativos. Por exemplo, uma medida
de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas três algarismos significativos.
2. Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo
diferente de zero.
3. Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo.
4. É significativo o zero situado entre algarismos significativos.
5. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por exemplo, que 5;
5,0; 5,00 e 5,000 são iguais. Entretanto, ao lidarmos com resultados de medidas
devemos sempre lembrar que 5 cm; 5,0 cm; 5,00 cm e 5,000 cm são diferentes,
pois a precisão de cada uma delas é diferente.
6. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número,
utiliza-se a seguinte regra:
- quando a direita do último algarismo significativo for menor a 5 este é
abandonado;
- quando a direita do último algarismo significativo for maior ou igual a 5,
somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior.
7. Operações com algarismos significativos:
- Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todas as parcelas a mesma
unidade. Após isto, deve-se observar qual a parcela que possui o menor
número de casas decimais, esta deve ser mantida e as demais devem ser
arredondadas para o mesmo número de casas decimais. Após deve ser
realizada a soma.
- Produto e divisão: A regra é dar ao resultado da operação o mesmo número
de casas decimais do fator que tiver o menor número das mesmas. Portanto, a
operação deve ser realizada da forma em que são apresentadas e o
arredondamento é realizado no resultado.
8. Algarismos significativos em medidas de erro: se o erro da medida esta na casa
dos décimos, por exemplo, não faz sentido fornecer os algarismos
correspondentes aos centésimos e milésimos.
7 - EXERCÍCIO
Os dados abaixo foram coletados para o ensaio de vertedores, com o objetivo
de calibrar uma curva experimental de vazão dos vertedores em função da carga nos
mesmos, que é definida aqui de forma simplificada como sendo a profundidade à
montante do vertedor menos a altura da soleira do vertedor.
Para a resolução deve ser utilizada a seguinte fórmula (Francis, 1883):
Q = 1,838 ⋅ L ⋅ H1,5 (10)
onde:
Q é a vazão do vertedor em m3/s;
L é a largura do vertedor em m;
H é a carga em m.
Para diferentes valores de profundidade foi medida a velocidade de
escoamento por meio de um molinete (Tabela 1). A equação do molinete, apresentada
abaixo, relaciona o número de rotações por segundo e a velocidade. Para determinar
a vazão associada a essa medição de velocidade, multiplica-se essa velocidade pela
área transversal do escoamento. A área de escoamento é definida como o produto dos
valores da coluna "Cota da superfície" pela "Largura do Canal". A carga do vertedor,
por sua vez, é definida como a diferença entre os valores da coluna "Profundidade da
seção" e o valor da "Cota da soleira do vertedor".
7
Laboratório de Hidráulica – Aula prática 01 – Medidas e erros
Com esses dados, calcule para cada um dos valores de leitura experimental,
fazendo a correspondente propagação dos erros experimentais:
1. A velocidade de rotação do molinete em rotações por segundo
2. Os valores de velocidade V de escoamento em m/s
3. As áreas de escoamento A em m2
4. A vazão Q de cada uma das leituras em m3/s (a partir dos dados abaixo)
5. As cargas hidráulicas H no vertedor
Com esses dados obtidos, desenhe o gráfico dos pontos experimentais de Q x
H com as respectivas barras de erro. No mesmo gráfico, desenhe uma linha contínua
com a previsão teórica a partir da equação de Francis. Compare com os valores
calculados a partir da equação de Francis e analise a aplicabilidade dessa equação
aos dados coletados.
Tabela 1: Dados do experimento de vertedores
Leitura
1
2
3
4
5
6
Cota da
superfície
(cm)
0
20,860 ± 0,005
21,630 ± 0,005
23,455 ± 0,005
24,720 ± 0,005
26,295 ± 0,005
Profundidade Profundidade do
da seção
molinete
(cm)
(cm)
0
0
20,600 ± 0,005
8,0 ± 0,5
21,395 ± 0,005
8,5 ± 0,5
23,260 ± 0,005
9,2 ± 0,5
24,290 ± 0,005
9,7 ± 0,5
25,750 ± 0,005
10,3 ± 0,5
Rotação do
molinete
135,0
160,0
204,3
243,0
306,0
0
±
±
±
±
±
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
Tempo (s)
60,0
60,0
60,0
60,0
60,0
0
±
±
±
±
±
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Largura do canal: (30,200 ± 0,005) cm
Cota do fundo do canal: (-0,095 ± 0,005) cm
Cota da soleira do vertedor: (15,095 ± 0,005) cm
Número da hélice do vertedor: 1
Número do molinete: 14538
Equação do molinete:
v = 0,0562 ⋅ m + 0,038 , para m < 6,47
(11)
v = 0,0545 ⋅ m + 0,049 , para m > 6,47
onde m é o número de rotações por segundo
8 - BIBLIOGRAFIA
UNB. Apostila do Curso de Hidráulica Experimental, 2ª versão. Universidade Federal
de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil e
Ambiental. Brasília – DF, 2007.
UNICAMP. Guia para Física Experimental. Caderno de laboratório, Gráficos e Erros.
Universidade de Campinas, Intituto de Física. Campinas – SP, 1997.
UEM. Manual de Laboratório. Universidade Estadual de Maringá, Departamento de
Física. Maringá – PR, 2007.
UFJF. Medidas físicas. Universidade Federal de Juiz de Fora. Instituto de Ciências
Exatas. Departamento de Física. Juiz de Fora – MG, 2007.
CAUDURO, F.A. & DORFMAN, R. Manual de Ensaios de Campo para Irrigação e
Drenagem. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Pesquisas
Hidráulicas. Porto Alegre / RS, [1995].