FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Cálculo Diferencial e Integral III – Exercícios de revisão (relembrando...) Questão 1 - Complete quadrados das equações quadráticas abaixo. a) 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 b) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 c) 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0 Questão 2 – Escreva as equações gerais da circunferência abaixo na sua forma reduzida e esboce o gráfico. a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 − 45 = 0 c) 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑦 − 44 = 0 Questão 3 - Escreva as equações gerais da elipse abaixo na sua forma reduzida. a) 25𝑥 2 + 4𝑦 2 = 100 b) 9𝑥 2 + 16𝑦 2 − 144 = 0 c) 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 25 Questão 4 – Se 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 1}, então a equação 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 1 define a função 𝑓 explicitamente. Mas nem todas as funções são definidas dessa forma. Se tivermos a equação 𝑑𝑦 𝑥 6 − 2𝑥 = 3𝑦 6 + 𝑦 5 − 𝑦 2 , como podemos calcular 𝑑𝑥 ? (Sugestão: derivação implícita) Questão 5 - Dadas as equações abaixo, calcule a) (𝑥 + 𝑦)2 − (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 4 + 𝑦 4 b) 𝑥 cos(𝑦) + 𝑦 cos(𝑥) = 1 𝑑𝑦 . 𝑑𝑥 Questão 6 - Dada a equação 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36, faça o que se pede: 𝑑𝑦 a) Calcule por derivação implícita; 𝑑𝑥 b) As duas funções definidas pela equação; c) A derivada de cada função obtida na letra b por derivação explícita; d) Comprove o resultado obtido na letra a e os resultados obtidos na letra c. Questão 7 - Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑥 3 + 𝑦 3 = 9, no ponto (1,2). Questão 8 - Ache uma equação da reta normal à curva 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3𝑦 = 10 no ponto (2,3). Questão 9 - Sabendo que 𝐷𝑥 (sen 𝑥) = cos 𝑥 e 𝐷𝑥 (cos 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥, prove que: a) 𝐷𝑥 (𝑡𝑔 𝑥) = sec 2 𝑥 b) 𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 Questão 10 - Sejam f(x) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e g(x) = 𝑥 2 + 3, defina a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 e calcule f’(g(x)). Defina também a função composta 𝑔 ∘ 𝑓 e calcule g’(f(x)). Questão 11 - Sejam f(x) = 𝑒 𝑥 e g(x) = log 𝑥 2 , defina a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 e calcule f’(g(x)). Defina também a função composta 𝑔 ∘ 𝑓 e calcule g’(f(x)). Questão 12 – Calcule a) 𝑦 = log(𝑥 2 + 𝑧) 2 b) 𝑦 = 𝑒 𝑥 +𝑥 − 𝑒 𝑡 c) 𝑦 = √4𝑥2 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 das funções a seguir: Questão 13 – Encontre o domínio da função. a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 𝑥 2 +𝑥−2 b) 𝑔(𝑥) = 3 √𝑥 𝑥 2 +1 c) ℎ(𝑥) = √3 − 𝑥 + √𝑥 2 − 1