FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Cálculo Diferencial e Integral III – Exercícios de revisão (relembrando...)
Questão 1 - Complete quadrados das equações quadráticas abaixo.
a) 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0
b) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
c) 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0
Questão 2 – Escreva as equações gerais da circunferência abaixo na sua forma reduzida e
esboce o gráfico.
a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 − 45 = 0
c) 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑦 − 44 = 0
Questão 3 - Escreva as equações gerais da elipse abaixo na sua forma reduzida.
a) 25𝑥 2 + 4𝑦 2 = 100
b) 9𝑥 2 + 16𝑦 2 − 144 = 0
c) 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 25
Questão 4 – Se 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 1}, então a equação 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 1 define a função 𝑓
explicitamente. Mas nem todas as funções são definidas dessa forma. Se tivermos a equação
𝑑𝑦
𝑥 6 − 2𝑥 = 3𝑦 6 + 𝑦 5 − 𝑦 2 , como podemos calcular 𝑑𝑥 ? (Sugestão: derivação implícita)
Questão 5 - Dadas as equações abaixo, calcule
a) (𝑥 + 𝑦)2 − (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 4 + 𝑦 4
b) 𝑥 cos(𝑦) + 𝑦 cos(𝑥) = 1
𝑑𝑦
.
𝑑𝑥
Questão 6 - Dada a equação 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36, faça o que se pede:
𝑑𝑦
a) Calcule
por derivação implícita;
𝑑𝑥
b) As duas funções definidas pela equação;
c) A derivada de cada função obtida na letra b por derivação explícita;
d) Comprove o resultado obtido na letra a e os resultados obtidos na letra c.
Questão 7 - Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑥 3 + 𝑦 3 = 9, no ponto (1,2).
Questão 8 - Ache uma equação da reta normal à curva 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3𝑦 = 10 no ponto (2,3).
Questão 9 - Sabendo que 𝐷𝑥 (sen 𝑥) = cos 𝑥 e 𝐷𝑥 (cos 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥, prove que:
a) 𝐷𝑥 (𝑡𝑔 𝑥) = sec 2 𝑥
b) 𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
Questão 10 - Sejam f(x) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e g(x) = 𝑥 2 + 3, defina a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 e calcule f’(g(x)).
Defina também a função composta 𝑔 ∘ 𝑓 e calcule g’(f(x)).
Questão 11 - Sejam f(x) = 𝑒 𝑥 e g(x) = log 𝑥 2 , defina a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 e calcule f’(g(x)).
Defina também a função composta 𝑔 ∘ 𝑓 e calcule g’(f(x)).
Questão 12 – Calcule
a) 𝑦 = log(𝑥 2 + 𝑧)
2
b) 𝑦 = 𝑒 𝑥 +𝑥 − 𝑒 𝑡
c) 𝑦 = √4𝑥2 + 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
das funções a seguir:
Questão 13 – Encontre o domínio da função.
a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥 2 +𝑥−2
b) 𝑔(𝑥) =
3
√𝑥
𝑥 2 +1
c) ℎ(𝑥) = √3 − 𝑥 + √𝑥 2 − 1