Cálculo Diferencial e Integral I - Derivação
Implícita
José Carlos de Souza Junior
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc_jc
Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas
Abril - 2015
Derivação Implícita
A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora são da
forma y = f (x), em que a variável y é dada diretamente ou explicitamente, por uma expressão definida em termos da variável x. Por
exemplo:
y = sen(x), y = x2 − 5x + 6, y = ln(x), y = cos(5x + 7), etc.
Derivação Implícita
No entanto, na resolução de problemas práticos, frequentemente a relação entre y e x é determinada por uma equação da forma F(x, y) = 0,
a qual não está resolvida para y. Por exemplo:
Derivação Implícita
Note que a curva, definida pelos pontos que satisfazem a equação
acima, não é gráfico de nenhuma função na variável x.
Derivação Implícita
Mas podemos decompô-la em partes, as quais são funções de x.
Derivação Implícita
Essas funções, cujos gráficos reunidos formam a curva original, recebem o nome de funções definidas implicitamente pela equação
F(x, y) = 0.
Derivação Implícita
Exemplo 1
2
2
Encontre
√ a√reta
tangente à circunferência x + y = 1, no ponto
P = 22 , 22 .
Derivação Implícita
Observação 1
Pode ser que não exista nenhum ponto P = (x, y) do plano que satisfaça a equação F(x, y) = 0, por exemplo, x2 + y2 + 4 = 0. Nesse caso,
a equação representa um conjunto vazio.
Derivação Implícita
Observação 2
Nem sempre é fácil obter y = f (x) definida implicitamente pela equação F(x, y) = 0. Por exemplo, a equação x3 + y3 − 4xy = 0 representa
uma curva chamada de Folium de Descartes.
Derivação Implícita
A obtenção das funções definidas implicitamente pela equação
x3 + y3 − 4xy = 0 é um problema muito complicado, o qual buscaremos evitar!
Derivação Implícita
Daremos agora uma técnica chamada Derivação Implícita que nos
dy
ajuda a calcular dx
quando y é definida implicitamente por uma equação da forma F(x, y) = 0 sem a necessidade de obtermos y = f (x)!
Método da Derivação Implícita
Suponha que para a equação dada seja possível determinar y implicitamente como função diferenciável de x.
Neste caso, podemos determinar
dy
dx
do seguinte modo:
Derive ambos os membros da equação em relação à x, lembrando que
y é função de x (e portanto, deve-se usar a regra da cadeia, quando
dy
necessário) e depois resolva a equação resultante para obter o dx
.