FUNÇÕES
Prof.ª Adriana Massucci
Introdução:
Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano
dependem uma da outra, isto é, a variação de uma delas
tem como consequência a variação da outra.
Exemplo: Angélica vende maravilhosos “chup-chup” ao
preço de R$ 0,80 cada. Para não ter de fazer contas a toda
hora, ela montou a seguinte tabela:
Note que o preço é função da quantidade a ser comprada.
Sendo assim, a fórmula matemática que traduz esta relação
de interdependência entre o valor (y) e a quantidade (x) é:
𝒚 = 𝟎, 𝟖𝒙
NOÇÃO DE FUNÇÃO:
 Produto Cartesiano:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, o produto
cartesiano de A por B (AXB), “lê-se A cartesiano B”, é
o conjunto dos pares ordenados (x, y) onde x é
elemento do conjunto A e y é elemento do conjunto B.
𝐴 𝑋 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵 }
Exemplo: Sejam os conjuntos A={1,2} e B = { 0, 2, 4 }
A X B = {(1;0), (1;2), (1;4), (2;0), (2;2), (2;4)}.
Observações:
 O produto cartesiano 𝐴𝑋𝐴 = 𝐴2 ;
 Se 𝐴 ≠ 𝐵, então 𝐴 𝑋 𝐵 ≠ 𝐵 𝑋 𝐴;
 O número de elementos de A X B é dado por:
n(A X B) = n(A).n(B),
onde n(A) e n(B) são, respectivamente, número de
elementos do conjunto A e número de elementos do
conjunto B.
RELAÇÃO de A em B (𝑅: 𝐴 → 𝐵)
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação
binária de A em B é um subconjunto de A X B
formado pelos pares (x, y) que possuem uma relação
associando o elemento x de A ao elemento y de B.
Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B =
{ 1, 2, 3, 4 }, então a relação R = { x e A X B | x < y } é
dada por :
R = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}.
OBSERVAÇÕES:
 O Domínio de uma relação R, de A em B, é o
conjunto formado pelos elementos x dos pares
ordenados (x, y);
 A Imagem de uma relação R, de A em B, é o
conjunto formado pelos elementos y dos pares
ordenados (x, y).
No exemplo acima:
 D (R) = { 1, 2, 3 },
 Im (R) = { 2, 3, 4 }.
EXERCÍCIOS
01. (UFES) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 0, 2, 4, 5 } então o
número de elementos distintos do conjunto (𝐴𝑋𝐵) ∪
(𝐵𝑋𝐴) é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 20
e) 24
02. (U.E. Londrina) sejam os conjuntos A e B tais que
A X B = { (–1; 0), (2; 0), (–1;2), (2; 2), (–1;3), (2;3) }.
O número de elementos do conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
FUNÇÃO de A em B ( 𝒇: 𝑨 → 𝑩)
Sejam A e B conjuntos não vazios.
Uma função f, de A em B, é uma relação que associa a
cada elemento de A uma e somente uma imagem
em B.
Toda função 𝒇: 𝑨 → 𝑩 é uma relação, entretanto, nem
toda relação 𝑹: 𝑨 → 𝑩 é uma função.
Abaixo, as figuras ( 1 ) e ( 2 ) são exemplos de relações
que são funções de A em B, e as figuras ( 3 ) e ( 4 ) são
exemplos de relações, de A em B, que não são funções.
Observações:
1. A figura ( 3 ) não representa uma 𝑓: 𝐴 → 𝐵, pois
existe um elemento do conjunto A que não está
associado a nenhum elemento do conjunto B;
2.A figura ( 4 ) não representa uma 𝑓: 𝐴 → 𝐵, pois um
elemento do conjunto A está associado a mais de um
elemento do conjunto B.
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO
IMAGEM
Observe que:
“Cada elemento do domínio está
associado a uma e somente uma
imagem no contradomínio”.
Em outras palavras, considerando
os pares ordenados (x,y) da
relação-função, de A em B, um
elemento x do domínio não pode
estar associado a mais de um
elemento y do conjunto imagem.
RECONHECIMENTO
FUNÇÃO
GRÁFICO
DE
UMA
RELAÇÃO OU FUNÇÃO??? POR QUÊ???
É FUNÇÃO
No diagrama cartesiano de uma relação, função ou não, a
projeção ortogonal do gráfico no eixo horizontal informa seu
domínio e a projeção no eixo vertical informa o conjunto
imagem relacionado.
FUNÇÃO COMPOSTA
Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e
C = { 0, 1, 4, 9, 16 }, vamos considerar as funções:
f: AB definida por f(𝑥) = 2𝑥
g: BC definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
A função h(x) pode ser obtida
aplicando f(x) aos elementos de A;
em seguida, essas imagens são
transformadas para g(x), ou seja:
(𝑨 → 𝑩) → 𝑪 = 𝑨 → 𝑪 .
A função h(x) representa a função g
composta com f . Logo: h(x) = gof
Exemplos:
1. (Cesgranrio) Sejam f e g funções definidas em R por
f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O valor de g ( f(3) ) é:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução:
x = 3 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 7
g ( f(3) ) = g ( 7 ) g ( f(3) ) = (7) – 3 g ( f(3) ) = 4
2. Sejam as funções f e g de R em R, definidas por f(x)
= x + 5 e g(x) = x – 5. O conjunto solução da equação (
f o g )(x) = 3 é:
a) S =  b) S = { 3 } c) S = { 5, –5 } d) S = { 5, –3 }
Resolução:
𝑓 𝑥 =𝑥+5⇒𝑓 𝑔 𝑥
=𝑔 𝑥 +5
3=𝑥−5+5
𝑥=3
FUNÇÃO INVERSA 𝑓 − (𝑥)
Uma função só é inversível se, e somente se, for
bijetora.
Sendo assim, se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 for bijetora (injetora e
sobrejetora), sua inversa 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴 terá domínio e
contradomínio iguais aos contradomínio e domínio
de f.
EXEMPLO:
Sejam os conjuntos A = { 0, 2, 4 }, B = { 1, 5, 9 } e as seguintes
funções:
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝑥−1
𝑔: 𝐵 → 𝐴 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑔 𝑥 =
2
REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA
𝑓 −1 (𝑥)
Exemplo: Determine a inversa da função f(x) = 2x – 3.
∴ 𝒇−𝟏 𝒙 =
𝒙+𝟑
𝟐
GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA:
Observe que o
gráfico de uma
função e a sua
inversa
são
simétricos
em
relação à bissetriz
dos
quadrantes
ímpares.
ISTO QUER DIZER QUE...
Por meio de simetria, podemos, a partir do gráfico de
uma função inversível dada, construir o gráfico da
função inversa correspondente.
EXERCÍCIO
A função inversa da função 𝑓 𝑥 =
𝑎) 𝑓 −1
𝑥+3
𝑥 =
2𝑥 − 1
b) 𝑓 −1 𝑥 =
2𝑥−1
𝑥−3
c) 𝑓 −1 𝑥 =
1−2𝑥
3−𝑥
𝑥 =
3𝑥−1
𝑥−2
e) 𝑓 −1 𝑥 =
3𝑥+1
2−𝑥
d)
𝑓 −1
2𝑥−1
𝑥+3
é: