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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo
Capítulo 3: Limite de uma Função e Continuidade
3.1- Noção de Limite de uma Função (Noção Intuitiva)
1
definida para todo x real e x ≠ 0.
x
Observe os valores da função f quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce
ilimitadamente. Observe também o seu gráfico.
Exemplo 1: Considere a função f ( x)  1 
Esta função se aproxima de 1 quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente.
Dizemos que esta função tende a 1 quando x tende a +∞ e quando x tende a – ∞ e denotamos
lim f ( x)  1 e lim f ( x)  1 .
x  
x  
Além disso, observando o gráfico da função, podemos dizer que f(x) cresce ilimitadamente
quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 e que f(x) decresce ilimitadamente quando x se
aproxima de 0 por valores maiores que 0. Neste caso nos referimos aos limites laterais e denotamos,
respectivamente, por lim f ( x)   e lim f ( x)   .
x 0
x 0
Exemplo 2: Considere a função f ( x)  x 2  3x  2 definida para todo x real.
Intuitivamente, analisando as sucessões nas tabelas seguintes, podemos dizer que f(x) tende para +∞
quando x tende para +∞ ou para –∞ e denotamos por lim f ( x)   e lim f ( x)   .
x  
x  
35
1
e a tabela a seguir podemos afirmar que o
x
gráfico oscila numa vizinhança de zero sem tender para um limite.
Exemplo 3: Observando o gráfico da função f ( x)  cos
(2 x  1).( x  1)
definida para todo x real e x ≠ 1 e as
( x  1)
tabelas abaixo podemos escrever lim f ( x)  3  lim f ( x) , ou ainda, lim f ( x)  3 .
Exemplo 4: Observando o gráfico da função f ( x) 
x 1
x 1
x 1
À medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 (x → 1), os valores de f(x)
tornam-se cada vez mais próximos de 3 (f(x) → 3), independentemente da sucessão de valores de x
usados.
Pode-se observar que é possível tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos, desde
que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1).
A idéia “tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos” é traduzido matematicamente
pela desigualdade f (x)  3   , sendo  um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa
imaginar.
A idéia “desde que tomamos x suficientemente próximo de 1 (x ≠ 1)” significa que deve existir
um intervalo aberto de raio   0 e centro a = 1 tal que se x ≠ 1 variar nesse intervalo, isto é,
se 0  x  1   então f ( x)  3   .
3.2- Definição de Limite de uma Função
Intuitivamente dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível
tomar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de x, x ≠ a, suficientemente
próximos de a.
Formalmente, temos:
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida em I,
exceto, possivelmente, no próprio a.
Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos lim f ( x)  L , se para todo
x a
  0 existir um   0 tal que se 0  x  a   então f ( x)  L   .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)  L    0,   0; 0  x  a    f ( x)  L    .
x a
36
Observação: Para a definição do limite, quando x tende a a, não é necessário que a função esteja definida
em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e lim f ( x)  f (a) . O que interessa é o
x a
comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f quando x = a.
3.3- Exemplos
(2 x  1).( x  1)
definida para todo x real e x ≠ 1. Assim, se x ≠ 1 então
( x  1)
f(x) = 2x + 1. Vamos mostrar, usando a definição, que lim f ( x)  3 .
1. Considere a função f ( x) 
x 1
Devemos mostrar que dado   0 , existe   0 tal que se 0  x  1   então f ( x)  3   .
Dado   0 , tomemos  

2
0  x 1    0  x 1 
Portanto, lim f ( x)  3 .
. Logo, obtemos:

2
 f ( x)  3  2 x  1  3  2 x  2  2 x  1  2.

2
.
x 1
2 x  1, se x  1
2. Seja f : R  R definida por f ( x)  
.
se x  1
5,
Temos lim f ( x)  lim (2 x  1)  3  f (1)
x 1
x 1
3. Demonstre, usando a definição, que lim x 2  16 .
x4
Devemos mostrar que dado   0 , existe   0 tal que se 0  x  4   então x 2  16   .
Notemos que x 2  16  ( x  4).( x  4)  x  4 . x  4 .
Se x  4  1 , obtemos:
x  4  1  1  x  4  1  3  x  5  7  x  4  9  9  x  4  9  x  4  9 .

 
Seja   min 1,  . Assim,   1,   e se 0  x  4   obtemos :
9
 9
0  x4   x4 1 e x4 

9
 x4 9 e x4 

9
 x 2  16  x  4 . x  4 

9
.9   .
Portanto, lim x 2  16 .
x4
3.4- Unicidade do Limite
Teorema 1
Se lim f ( x)  L1 e lim f ( x)  L2 então L1  L2 .
x a
x a
Demonstração:
Vamos supor L1 ≠ L2.
Seja   L1  L2  0 . Como lim f ( x)  L1 e lim f ( x)  L2 então existem 1,  2  0 tais que se
x a
0  x  a  1 então f ( x)  L1 

2
x a
e se 0  x  a   2 então f ( x)  L2 

2
.
37
Seja   min 1 , 2 . Assim   1 ,    2 e se 0  x  a   então f ( x)  L1 

Mas   L1  L2  L1  f ( x)  f ( x)  L2  L1  f ( x)  f ( x)  L2 
2
Portanto L1  L2 .


2

2
e f ( x)  L2 

2
.
  , o que é um absurdo.
3.5- Propriedades do limite de uma função
Seja a elemento do intervalo aberto I e em I – {a} estão definidas as funções envolvidas na propriedade.
L1 – Se f é uma função definida por f(x) = c, para todo x real, onde c  R, então lim f ( x)  lim c  c .
x a
x a
L2 – Se c  R e lim f ( x)  L então limc. f ( x)  c. lim f ( x)  c.L .
x a
x a
x a
L3 – Se lim f ( x)  L e lim g ( x)  M então lim ( f  g )( x)  L  M .
x a
x a
x a
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito de funções, isto é, se
 n
 n
lim fi ( x)  Li , i  N e 1  i  n, então lim   fi ( x)    Li .
x a
xa
 i 1
 i 1
L4 – Se lim f ( x)  L e lim g ( x)  M então lim ( f  g )( x)  L  M .
x a
x a
x a
L5 – Se lim f ( x)  L e lim g ( x)  M então lim( f .g )( x)  L.M .
x a
x a
x a
Obs.: Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número finito de funções, isto é, se
n
 n

lim fi ( x)  Li , i  N e 1  i  n, então lim  fi ( x)    Li .
x a
x a
 i 1
 i 1
L6 – Se lim f ( x)  L então lim f ( x)  Ln , para n  1,2,3,....
n
x a
x a
f
L
L7 – Se lim f ( x)  L e lim g ( x)  M  0 então lim ( )( x) 
.
x a
x a
x a g
M
L8 – Se lim f ( x)  L então lim n f ( x)  n L , com L  0 e n  N ou L  0 e n  N , n ímpar .
x a
x a


L9 – Se lim f ( x)  L então lim sen f ( x)  sen lim f ( x)  senL .
x a
x a
x a


L10 – Se lim f ( x)  L então lim cos f ( x)  cos lim f ( x)  cos L .
x a
x a
x a
Teorema 2
n
O limite de uma função polinomial f ( x)  a0  a1 x  a2 x  ...  an x   ai xi , ai  R , para x tendendo
2
n
i 0
para a, é igual ao valor numérico de f(x) para x = a, ou seja, lim f ( x)  f (a) .
x a
38
Demonstração:
É claro que lim x  a , pois, dado   0 tome    e se 0  x  a     então x  a   . Assim
 
x a
lim x  lim x i  ai , para i  1,2,3, ... , n .
i
x a
x a
Temos, então:
n
n
i 0
i 0


n
n
lim f ( x)  lim  ai xi   lim ai xi   ai lim xi  ai a i  f (a) .
x a
x a
x a
i 0
x a
i o
3.6- Exercícios
1.Calcular os seguintes limites:

a) lim x 2  3x  5
x 2
b) lim
x 3
x2  4
x 2 x2  2 x
6 x 2  11x  3
i) lim
2
3
x   2 x  5 x  12

h) lim
x5
x3  7
c) lim
x  2
2
x3  1
j) lim 2
x 1 x  1
x4  4x  1
 2x2  x  1 


lim
d)
x 1 
3
x

2


2
2 x3  x 2  4 x  1
k) lim 3
x 1 x  3 x 2  5 x  3
x3  2 x 2  3x  2
x  2
x2  4x  3
2x2  x
f) lim
x 2
3x
2
x 1
g) lim
x 1 x  1
3x3  4 x 2  x  2
x 1
2 x3  3x 2  1
1 x  2
m) lim
x 3
x3
2x  x  1
n) lim
x 1
x 1
e) lim 3
l) lim
Respostas: a) 15; b) -1/10; c) 5; d) 4; e) -2; f)
2 2 1 ;
3
 x 2  3x  2
,

2. Seja a função f definida por f ( x)   x  1
3,

 2 x 2  3x  2
,

3. Seja a função f definida por f ( x)  
x2
3,

4. Calcular lim
x2 3
5. Calcular lim
x  64 3
x2
.
3x  5  1
x 8
.
x 4
g) 2; h) 2; i) 7/11; j) 3/2; k) 2; l) 5/3; m) ¼; n)
se x  1
2
4
.
. Calcular lim f ( x) . (Resp.: -1)
se x  1
se x  2
se x  2
x1
. Calcular lim f ( x) . (Resp.: 5)
x 2
(Resp.: 1)
(Resp.: 3)
Livro texto: Páginas 72 a 75, exceto números 16, 35 e 37.
39
3.7- Limites Laterais
Ao considerarmos lim f ( x)  L , estamos interessados no comportamento da função nos valores
x a
próximos de a, isto é, nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a, mas diferentes de a,
e, portanto, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a.
Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando x está próximo de a, mas assume
valores menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando x está próximo de a, mas
assume valores maiores que a.
4  x, se x  1

se x  1 atribuindo a x valores próximos de 1, porém
Por exemplo, na função f ( x)  2,
 x  2, se x  1

menores que 1 (à esquerda de 1), temos que os valores da função ficam próximos de 3; e atribuindo a x
valores próximos de 1, porém maiores que 1(à direita de 1), temos que os valores da função ficam
próximos de – 1.
Definições:
1) Limite lateral à direita
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, b).
O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela direita, será L e escrevemos lim f ( x)  L se,
x a
para todo   0 , existir   0 tal que se a  x  a   então f ( x)  L   .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)  L    0,   0; a  x  a    f ( x)  L    .
x a
2) Limite lateral à esquerda
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (b, a).
O limite de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, será L e escrevemos lim f ( x)  L se,
x a
para todo   0 , existir   0 tal que se a    x  a então f ( x)  L   .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)  L    0,   0; a    x  a  f ( x)  L   .
x a 
Observação: As propriedades de limites e o teorema do limite de função polinomial são válidos se
substituirmos x  a por x  a  ou por x  a  .
Teorema 3
Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x  I – {a}. Temos lim f ( x)  L
x a
se, e somente se, existirem os limites laterais lim f ( x) e lim f ( x) e forem ambos iguais a L.
x a
xa
Demonstração:
() Dado   0 , como lim f ( x)  L , então existe   0 tal que se 0  x  a   temos f ( x)  L   .
x a
Logo, se
a  x  a   então 0  x  a   e, segue que, f ( x)  L   , ou seja,
lim f ( x)  L .
x a 
Também, se a    x  a então 0  x  a   e, assim, f ( x)  L   , ou seja, lim f ( x)  L .
x a
40
() Dado   0 , como
lim f ( x)  L  lim f ( x) , então existem 1  0 e  2  0 tais que se
x a 
x a
a  x  a  1 temos f ( x)  L   e se a   2  x  a temos f ( x)  L   . Assim, se   min 1, 2 
e se 0  x  a   temos a  x  a  1 ou a   2  x  a, o que implica f ( x)  L   .
Logo, lim f ( x)  L .
x a
Exemplos:
1. Dada a função f ( x)  1  x  3 , determinar, se possível, lim f ( x) e lim f ( x) .
x 3
x 3
 x 2  4, se x  1

2. Seja a função f definida por f ( x)   1,
se x  1 . Determinar, se possível, lim f ( x) .
x1
3  x, se x  1

3. Seja a função f definida por f ( x)  x . Determinar, se possível, lim f ( x) .
x 0
 x 2  1, se x  2

4. Seja a função f definida por f ( x)  2,
se x  2 . Determinar, se possível, lim f ( x) .
x 2
9  x 2 , se x  2

41
3.8- Exercícios
1. Calcular os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) não existir(em), especificar a razão.
3x  2, se x  1

se x  1
lim f ( x)
lim f ( x)
lim f ( x)
a) f ( x)  2,
x 1
x 1
x 1
4 x  1, se x  1

 x
,

b) f ( x)   x
1,

c) f ( x) 
se x  0
lim f ( x)
x 0 
se x  0
3x 2  5 x  2
x2
, x2
lim f ( x)
x 0 
lim f ( x)
x 2 
lim f ( x)
x 2 
lim f ( x)
x 0
lim f ( x)
x 2
Respostas: a) 1; 5; não existe; b) – 1; 1; não existe; c) 7; – 7; não existe.
3x  2, se x  1

se x  1 . Determinar a R para que exista lim f ( x) .
2. Dada a função f definida por f ( x)  3,
x  1
5  ax, se x  1

Resp.: a = – 10.
 x  1, se x  3
3. Seja f ( x)  
.
3x  7, se x  3
Calcular: a) lim f ( x) b) lim f ( x)
x 3
x 3
c) lim f ( x)
x3
d) lim f ( x)
x 5
e) lim f ( x)
x 5
f) lim f ( x) .
x5
Esboçar o gráfico de f.
Resp.: a) 2;
b) 2;
c) 2;
d) 8;
e) 8;
f) 8.
Livro texto: Páginas 79 e 80.
3.9- Cálculo de Limites – Formas Indeterminadas
0 
, ,   , 0., 00 , 0 , 1 são formas indeterminadas.
0 
f ( x)
Isso significa que nada podemos afirmar, por exemplo, sobre o limite do quociente
, quando
g ( x)
x tende a a, se f e g são funções tais que lim f ( x)  0  lim g ( x) . Para comprovar isto, vejamos:
Dizemos que as expressões
x a
x a
f ( x)
x3
 lim 2  lim x  0 .
1. Sejam f(x) = x e g(x) = x . Temos lim f ( x)  0  lim g ( x) e lim
x 0
x 0
x  0 g ( x)
x 0 x
x 0
3
2
f ( x)
x2
1
 lim 4  lim 2  
2. Sejam f(x) = x e g(x) = x . Temos lim f ( x)  0  lim g ( x) e lim
x 0
x 0
x  0 g ( x)
x 0 x
x 0 x
(explicação deste último resultado no próximo item).
2
4
Sobre as outras formas indeterminadas, veremos exemplos mais adiante.
42
Exemplo: Calcular os seguintes limites:
x3  3x  2
x  2
x2  4
a) lim
x2 2
x
b) lim
x 0
3
c) lim
x 1
d) lim
h 0
x 1
x 1
x  h2  x 2
h
3.10- Exercícios
Páginas 83 e 84 do livro texto.
43
3.11- Limites Infinitos
Definições:
1) Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, em a.
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce ilimitadamente e escrevemos lim f ( x)   se,
x a
para qualquer número M > 0, existir   0 tal que se 0  x  a   então f ( x)  M .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)    M  0,   0; 0  x  a    f ( x)  M .
x a
1
vemos que os
x  12
valores da função são cada vez maiores à medida que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos
tornar f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando valores
1
para x bastante próximos de 1 e escrevemos lim
  .
x 1  x  12
1
1
Formalmente, dado M > 0, seja  
 0 . Se 0  x  1 
M
M
2
1
1
1
então f ( x) 
  .

 M  M . Logo lim
2
2
x 1  x  12
x  1 x  1
Exemplo: Analisando o comportamento da função f definida por f ( x) 
 
2) Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, em a.
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente e escrevemos lim f ( x)  
x a
se, para qualquer número M < 0, existir   0 tal que se 0  x  a   então f ( x)  M .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)    M  0,   0; 0  x  a    f ( x)  M  .
x a
1
vemos que os
x  12
valores da função são cada vez menores à medida que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos
tornar os valores de f(x) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que qualquer número negativo,
1
  .
tomando valores para x bastante próximos de 1 e escrevemos lim
x 1  x  12
1
1
Formalmente, dado M < 0, seja  
 0 . Se 0  x  1 
M
M
1
1
1
1
2

  M  f ( x) 

M.
obtemos: x  1 
2
2
M
x  1 x  1 2
x 1
Exemplo: Analisando o comportamento da função f definida por f ( x) 
1
  .
x 1  x  12
Logo, lim
Observação: Os símbolos “+∞” e “–∞” não representam números reais, nos indicam apenas o que
ocorre com a função quando x se aproxima de a.
44
3) Limites laterais infinitos
lim f ( x)    M  0,   0; a  x  a    f ( x)  M 
x a 
lim f ( x)    M  0,   0; a    x  a  f ( x)  M 
x a 
lim f ( x)    M  0,   0; a  x  a    f ( x)  M 
x a 
lim f ( x)    M  0,   0; a    x  a  f ( x)  M 
x a 
Exemplo: Observando o gráfico da função f ( x) 
lim f ( x)   .
1
podemos afirmar que lim f ( x)  
x 1
x 1
e
x 1
Teorema 4
Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  L  0 e lim g ( x)  0 . Então:
x a
x a
f ( x)
f ( x)
1) lim
 , se
 0 quando x está próximo de a;
x  a g ( x)
g ( x)
2) lim
x a
f ( x)
f ( x)
 , se
 0 quando x está próximo de a.
g ( x)
g ( x)
Observação: Este teorema continua válido se substituirmos x  a por x  a  ou por x  a  .
Exemplo: Calcular os seguintes limites:
5x  2
x  1 x  1
3x  2
x 1  x  12
d) lim
1 x
x  2  x  2 2
e) lim
2x  1
x 1
2x  3
x  12
f) lim
2x  1
x 1
a) lim
b) lim
c) lim
x 1
x 1
x 1
45
3.12- Limites no Infinito
Definições:
1) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, +∞).
Dizemos que, quando x cresce ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos lim f ( x)  L se,
x  
para qualquer número  > 0, existir N > 0 tal que se x  N então f ( x)  L   .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)  L    0, N  0; x  N  f ( x)  L    .
x  
1
vemos que quando x
x
cresce ilimitadamente, os valores da função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar
f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se atribuirmos para x valores cada vez maiores e escrevemos
 1
lim 1    1 .
x  
 x
1
Formalmente, dado  > 0, tome N   0 . Se x > N obtemos:
Exemplo: Observando o comportamento da função f definida por f ( x)  1 

1
1
1 1
   f ( x)  1  1   1 
 .

x
x
x x
 1
Logo, lim 1    1 .
x  
 x
x
1
00
2) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (– ∞, a).
Dizemos que, quando x decresce ilimitadamente, f(x) se aproxima de L e escrevemos lim f ( x)  L
x  
se, para qualquer número  > 0, existir N < 0 tal que se x  N então f ( x)  L   .
Em símbolos, temos:
lim f ( x)  L    0, N  0; x  N  f ( x)  L   .
x  
1
vemos
x
que quando x decresce ilimitadamente, os valores da função f se aproximam cada vez mais de 1, isto é,
podemos tornar f(x) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se atribuirmos para x valores cada vez menores
 1
e escrevemos lim 1    1 .
x  
 x
1
Formalmente, dado  > 0, tome N    0 . Se x < N obtemos:
Exemplo: Observando novamente o comportamento da função f definida por f ( x)  1 

x
1

 0   
1
1
1
1
 1
 0  f ( x)  1  1   1 
    . Logo, lim 1    1 .
x


x
x
x
x
 x
3) Limites infinitos no infinito
lim f ( x)    M  0, N  0; x  N  f ( x)  M 
x  
lim f ( x)    M  0, N  0; x  N  f ( x)  M 
x  
lim f ( x)    M  0, N  0; x  N  f ( x)  M 
x  
lim f ( x)    M  0, N  0; x  N  f ( x)  M 
x  
46
Exemplo: Observando o gráfico da função f ( x)  x 2 podemos afirmar que lim f ( x)  
x  
e
lim f ( x)   .
x  
Observação:
As
propriedades
x  a por x   ou por x   .
de
limites
são
válidas
se
substituirmos
Teoremas
1) Se c  R então lim c  c  lim c .
x  
x  
2) Se n é um inteiro positivo então:
a) lim x n   ;
x  
 , se n é par
b) lim x n  
.
x  
 , se n é ímpar
3) Se n é um inteiro positivo então:
1
a) lim n  0 ;
x   x
1
b) lim n  0 .
x   x
4) Se f ( x)  a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n , an  0, é uma função polinomial, então lim f ( x)  lim an x n e
x  
x  
lim f ( x)  lim an x .
n
x  
x  
5) Se f ( x)  a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n , an  0, e g ( x)  b0  b1x  b2 x 2  ...  bm x m , bm  0, são funções
f ( x)
a
f ( x)
a
 lim n x n  m e lim
 lim n x n  m .
polinomiais então lim
x   g ( x)
x   b
x   g ( x)
x   b
m
m
Propriedades dos limites no infinito e limites infinitos
A tabela a seguir nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites envolvendo
infinitos, onde podemos ter x  a, x  a  , x  a  , x   ou x   .
Na tabela, 0+ indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores positivos e 0 indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero por valores negativos.
47
Exemplo: Calcular os seguintes limites:

5  4x
x   2 x  3

a) lim  3x3  2 x 2  5x  3
x  

b) lim 3x 4  7 x3  2 x 2  5 x  4
x  
e) lim

4x  1
x   3 x  5 x  2
f) lim
c) lim
x2  2x  2
g) lim
d) lim
x 2  3x  5
h) lim
x  
x  
x  
x  
2
2x  5
2x2  5
2x  5
2x2  5
3.13- Exercícios
Páginas 93, 94 e 95 do livro texto (exceto nº 14).
48
3.14- Assíntotas
Definições:
1) A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se f(x) tende para +∞ ou –∞ quando x
tende para a pela esquerda ou pela direita, ou seja, se pelo menos uma das seguintes afirmações for
verdadeira:
a) lim f ( x)  
x a
b) lim f ( x)  
x a
c) lim f ( x)  
x a
d) lim f ( x)   .
x a
2) A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função f se f(x) tende para b quando x tende para
+∞ ou –∞, ou seja, se pelos menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
a) lim f ( x)  b
x  
b) lim f ( x)  b .
x  
3) A reta y = ax + b é uma assíntota inclinada do gráfico da função f se pelos menos uma das seguintes
afirmações for verdadeira:
a) lim  f ( x)  ax  b  0
x  
b) lim  f ( x)  ax  b  0 .
x  
Exemplos:
1. A reta x = 2 é um assíntota vertical do gráfico de f ( x) 
lim
x2
1
  .
x  22
2. As retas y = 1
lim
x  
1
1
, pois lim
  , ou também,
2
2
x  2 x  2
x  2
x
x2  2
e
 1 e lim
x  
= –1 são assíntotas horizontais do gráfico de f ( x) 
y
x
x2  2
x
x 2
2
, pois
 1.
3. A reta y = 2x é assíntota do gráfico de f ( x) 
 2 x3

2 x3
  8x 
lim
 2 x   lim  2
,
pois

2
2
  0.
x   x  4
x 4

 x    x  4 
3.15- Teoremas adicionais sobre limites
Definição: (Função limitada)
Dizemos que uma função, definida no conjunto A, é limitada em B  A se existir um número M > 0 tal
que, para todo x pertencente a B temos f ( x)  M , isto é,  M  f ( x)  M .
Em símbolos, temos:
f é limitada em B  M  0; x  B  f ( x)  M .
49
Por exemplo, a função f(x) = cosx é limitada em R, pois –1 ≤ cosx ≤ 1, para todo x real; a função
f(x) = x3 + 1 não é limitada em R, mas é limitada no intervalo [-1, 1], pois – 2 ≤ x3 + 1 ≤ 2, para todo
x  [-1, 1].
Teoremas:
1) Se lim f ( x)  L então existe um intervalo aberto I contendo a tal que f é limitada em I – {a}.
x a
2) Conservação de Sinal
Se lim f ( x)  L  0 então existe um intervalo aberto I contendo a tal que f conserva o mesmo sinal de
x a
L em I – {a}.
3) Confronto (ou Sanduíche)
Se lim g ( x)  L  lim h( x) e se f é uma função tal que g ( x)  f ( x)  h( x) para todo x  I – {a},
x a
x a
onde I é um intervalo aberto contendo a, então lim f ( x)  L .
x a
4) Se lim f ( x)  L e lim g ( x)  M , com L < M, então existe um intervalo aberto I contendo a tal que
x a
x a
f ( x)  g ( x) em I – {a}.
5) Se lim f ( x)  0 e g (x) é limitada em I – {a} então lim  f ( x).g ( x)  0 .
x a
x a
Exemplos:
1, se x  Q
1. Calcule lim x 2 .g ( x), onde g ( x)  
.
x 0
 1, se x  Q
x2  1
2. Seja f uma função definida em R tal que, para todo x ≠ 1,  x  3x  f ( x) 
. Calcule lim f ( x)
x1
x 1
e justifique.
2
50

1
3. Calcule lim  x 2 . sen
x 0
x


 .

3.16- Limites Trigonométricos
Teoremas
1) lim senx  sena, a  R
x a
2) lim cos x  cos a, a  R
x a
3) lim tgx  tga , a  R, a  k 
x a

2
, k Z
Limite Trigonométrico Fundamental: lim
x 0
senx
1
x
Demonstração:
Consideremos a circunferência de raio 1 ao lado.
Seja x a medida em radianos do arco AOM. Limitamos a variação de x
 
ao intervalo  0,  . Podemos escrever:
 2
OA. . MM ' OA . AM
OA . AT


 MM '  AM  AT 
2
2
2
x
1
senx
 senx  x  tgx  1 

1
 cos x .
senx cos x
x
senx
  
 cos x
Para x no intervalo
é válida, pois
  ,0  , a desigualdade 1 
x
 2 
sen x   senx senx


e cos x   cos x .
x
x
x
senx
  
 cos x é válida para x    ,  e x  0 .
Portanto, a desigualdade 1 
x
 2 2
senx
 1.
Como lim cos x  cos 0  1 e lim 1  1 então, pelo teorema do confronto, obtemos lim
x 0
x 0
x 0
x
área MOA  área setor MOA  área AOT 
Exemplo: Calcular os seguintes limites:
a) lim
x 0
sen2 x
2x
b) lim
x 0
sen2 x
x
51
sen3x
x  0 sen 4 x
tgx
x 0 x
c) lim
d) lim
1

f) lim  x.sen 
x  
x

1

e) lim  x.sen 
x 0
x

1  cos x
x 0
x
g) lim
3.17- Limites da Função Exponencial
Teoremas
1) Se a  R e 0  a  1 então lim a x  1 .
x 0
2) Se a  R e 0  a  1 então lim a x  ab .
x b
3) Se a  R e a  1 então lim a x   e lim a x  0 .
x  
x  
4) Se a  R e 0  a  1 então lim a x  0 e lim a x   .
x  
x  
lim f ( x )
5) Se a  R, 0  a  1 e lim f ( x)  c então lim a f ( x )  a x b
x b
x b
 ac .
52
Exemplo: Calcular os seguintes limites:
a) lim 3
1
b) lim  
x  1 2
 
x
x2
1
d) lim  
x 3 e
 
x
1
e) lim  
x   3
 
g) lim e x
c) lim e x
x2
x
1
f) lim  
x   3
 
h) lim e x
x  
j) lim e
x
i) lim 3x
x  
3x  2
x 1
k) lim 3
x 0
2
x
6 x 2
x  2
x 1
x2 4
x2
l) lim e
x2
x 1
x 1
3.18- Limites da Função Logarítmica
Teoremas
1) Se a  R e 0  a  1 então lim log a x   0 .
x 1
2) Se a  R e 0  a  1 então lim log a x   log a b, onde b  0 .
x b
3) Se a  R e a  1 então lim log a x    e lim log a x    .
x  
x 0
4) Se a  R e 0  a  1 então lim log a x    e lim log a x    .
x  
x 0


5) Se a  R, 0  a  1 e lim f ( x)  c  0 então limlog a f ( x)  log a lim f ( x)  log a c .
x b
x b
x b
53
Exemplo: Calcular os seguintes limites:


b) lim  log 1 x 
x4
 2 
a) lim log 3 x 
x 2
c) lim2 ln x 
x e
d) lim log x 
e) lim log 2 x 


f) lim  log 1 x 
x  
 2 
g) lim ln x 


h) lim  log 1 x 
x 0 
 2 
i) lim log 2 4 x 2  7 x  5

3x 2  5 x  2 

j) lim  log 1
2

x 4
 2 2x  x  2 
6x  2 

k) lim  log

x 3
4x  3 


x 2  3x  2 


l) lim  log 3 2
x  1
x

5
x

4


x3 

n) lim  log

x 3
x 1  2 


3  1  4x 

o) lim  log

x  2
6

x

2


x 1000
x  
x 0

x  x3 

m) lim  log 2
x 0
x  x 

 
x  1

3.19- Limites Exponenciais Fundamentais
Teoremas
x
 1
1) Seja a função f ( x)  1   definida em x  R; x  1 ou x  0.
x

x
x
 1
 1
Então lim 1    e e lim 1    e , sendo e o número irracional neperiano (Constante de
x  
x


x
x


Euler), cujo valor aproximado é 2,718281828459... .
2) Seja a função f ( x)  1  x x definida em x  R;  1  x  0. Então lim 1  x x  e .
1
1
x 0
Demonstração:
1
Fazendo y  temos que x → 0+ se, e somente se, y → +∞ e x → 0- se, e somente se, y → – ∞.
x
Assim, lim 1  x 
x 0
1
x
y
 1
 lim 1    e e
y  
y

lim 1  x 
x 0 
1
x
y
 1
 lim 1    e .
y  
y

Portanto, lim 1  x x  e .
1
x 0
54
ax 1
 ln a .
x 0
x
3) Seja a > 0, a ≠ 1 então lim
Demonstração:
Fazendo a x 1  y temos que:
a) a x  1  y  ln a x  ln 1  y   x. ln a  ln 1  y   x 
b) x  0  y  0 .
ln 1  y 
;
ln a
Assim,
ax 1
y
y. ln a
y
1
1
lim
 lim
 lim
 ln a. lim
 ln a. lim
 ln a. lim

1
x 0
y  0 ln 1  y 
y  0 ln 1  y 
y  0 ln 1  y 
y 0 1
y 0
x
ln 1  y  y
ln 1  y 
ln a
y
ln a
ln a
ln a ln a




 ln a .
1
1
1
lim ln 1  y  y ln lim 1  y  y ln e
y 0
y 0
Exemplo: Calcular os seguintes limites:
 1
a) lim 1  
x  
x

2x

b) lim 1 
x  

x
3

x
 1
c) lim 1  
x  
x

x2
 2
d) lim 1  
x  
x

3x
 x 
e) lim 

x   x  1


x
 1
f) lim 1  
x  
 x
x
 3
g) lim 1  
x  
 x
2x
 x 1
h) lim 

x   x  1


x
 x3
i) lim 

x   x  2


x
55
 x2  1 

j) lim  2
x   x  3 


x2
 2x  1 
k) lim 

x   2 x  1


x
e2 x  1
x 0
x
l) lim
23 x  1
m) lim
x 0
x
e2 x  1
x  0 e3 x  1
n) lim
32 x  1
x  0 25 x  1
o) lim
e x  e2
x2 x  2
p) lim
ln 1  x 
x 0
x
q) lim
log 1  x 
x 0
x
r) lim
ln 1  2 x 
x 0
x
s) lim
2 x  3x
x 0
x
t) lim
e x 1  2 x 1
x 1
x2  1
u) lim
3.20- Exercícios
Livro texto:
Páginas 74 e 75 (números 16, 35 e 37);
Página 94 (número 14);
Páginas 103, 104 e 105.
56
3.21- Continuidade
Definições
1) Sejam f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é contínua em a se lim f ( x)  f (a) .
x a
Notemos que para falarmos em continuidade de uma função em um ponto é necessário que este ponto
pertença ao domínio da função.
Da definição decorre que se f é contínua em a  I então as três condições deverão estar satisfeitas:
 Existe f (a) ;
 Existe lim f ( x) ;
x a

lim f ( x)  f (a) .
x a
2) Sejam f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é descontínua em a se f não for contínua em a.
Observemos também que para falarmos em descontinuidade de uma função em um ponto é necessário
que este ponto pertença ao domínio da função.
Da definição decorre que se f é descontínua em a  I então as duas condições deverão estar satisfeitas:
 Existe f (a) ;
 Não existe lim f ( x) ou lim f ( x)  f (a) .
x a
x a
3) Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo aberto I se f for contínua em todos os pontos
desse intervalo.
4) Sejam f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.
Dizemos que f é contínua à direita de a se lim f ( x)  f (a) e dizemos que f é contínua à esquerda de a
x a
se lim f ( x)  f (a) .
x a
5) Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado a, b se f for contínua no intervalo
aberto a, b  e se também for contínua em a à direita, e em b, à esquerda.
Exemplos:
a) A função f ( x)  2 x  1 definida em R é contínua em 1, pois lim f ( x)  lim 2 x  1  3  f (1) .
x 1
x 1
Note que f é contínua em R, pois para todo a  R, temos: lim f ( x)  lim 2 x  1  2a  1  f (a) .
x a
x a
57
2 x  1, se x  1
definida em R é descontínua em 1, pois
f ( x)  
se x  1
4,
lim f ( x)  lim 2 x  1  3  4  f (1) . Note que f é contínua em R – {1} pois, para todo a  R – {1},
b)
A
função
x 1
x 1
temos: lim f ( x)  lim2 x  1  2a  1  f (a) .
x a
x a
 x  1, se x  1
c) A função f ( x)  
definida em R é descontínua em 1, pois lim f ( x)  lim x  1  2 ,
x 1
x 1
1  x, se x  1
lim f ( x)  lim 1  x   0 e, portanto, não existe lim f ( x) .
x 1
x 1
x1
d) Na função f ( x) 
x
definida em R* não podemos afirmar que f é descontínua em x = 0, pois 0 não
x
pertence ao domínio de f. Observe que f é contínua em R*, pois, para todo a  R*, temos:
se a  0, então lim f ( x)  lim1  1  f (a) ;
x a
x a
x a
x a
se a  0, então lim f ( x)  lim  1  1  f (a) .
58
Propriedades das Funções Contínuas
1) Se f e g são funções contínuas em a, então são contínuas em a as funções f  g , f  g , f .g e
f
,
g
sendo, neste último caso, g (a)  0 .
2) a) Uma função polinomial é contínua para todo número real.
b) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.
c) As funções f(x) = senx e g(x) = cosx são contínuas para todo número real x.
d) A função exponencial f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1) é contínua para todo número real x.
3) Teorema do limite da função composta
Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  b e g é contínua em b.
x a


Então lim gof ( x)  g (b), ou seja, lim g  f ( x)  g lim f ( x) .
x a
x a
x a
4) Se f é contínua em a e g é contínua em f (a) então a função composta gof é contínua no ponto a.
5) Seja f uma função definida e contínua num intervalo I. Seja J = Im(f). Se f admite uma função inversa
g = f-1: J → I então g é contínua em todos os pontos de J.
Obs.: A função g : R*  R definida por g ( x)  log a x (a  0, a  1) é contínua, pois é a inversa da
função exponencial f : R  R* definida por f ( x)  a x .
6) Teorema do Valor Intermediário
Se f é contínua no intervalo fechado a, b e L é um número real tal que f (a)  L  f (b) ou
f (b)  L  f (a) , então existe pelo menos um x  a, b tal que f ( x)  L .
Observações:
a) Este teorema nos mostra por que as funções contínuas em um intervalo
muitas vezes são consideradas como funções cujo gráfico pode ser traçado
sem levantar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico.
b) Como conseqüência deste teorema temos que se f é contínua em a, b
e se f (a) e f (b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número
c  a, b tal que f (c)  0 .
Exemplos:
1) Seja f ( x)  x 4  5x  3 . Determine um intervalo a, b onde f tem pelo
menos uma raiz real e justifique sua resposta.
2) Provar que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
3.22- Exercícios
Páginas 112, 113 e 114 do livro texto.
59