Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Objetivo: Função de Transferência
Entrada
Entrada
Subsistema
Sistema
Saída
Subsistema
Subsistema
Saída
 Revisão sobre Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace é definida como:

L[ f (t )]  F (s)   f (t )e st dt
0
em que: s = σ + jω é uma variável complexa.
• O limite inferior da integral significa que, mesmo que f(t) seja descontínua em t=0, pode-se começar a integração antes da referido limite,
desde que a integral convirja.
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1
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
• A transformada inversa de Laplace é é dada por:
1   j
st
L [ F ( s)]  f (t )u (t ) 
F
(
s
)
e
ds



j

2j
1
onde u(t) = 1, p/ t > 0 ou u(t) = 0, p/ t < 0. (função degrau unitário)
 Algumas funções representativas
f (t )
F (s )
f (t )
 (t )
1
1
s
n!
s n 1
e  at u (t )
u (t )
t n u (t )
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sin tu (t )
cos tu (t )
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F (s )
1
sa

s2   2
s
s2   2
2
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 Problema:
Obter a transformada de Laplace de
f (t )  Ae at u(t )
Solução: como a função f(t) não contém impulsos, pode-se substituir o
limite inferior por 0, então:



F (s)   f (t )e dt  Ae e dt A e ( s  a )t dt
 st
0
 at  st
0
0
A ( s  a ) t 
A

e

|
0
sa
sa
 Teoremas da Transformada de Laplace
 Teorema da linearidade
L[kf (t )]  kF (s)
L[ f1 (t )  f 2 (t )]  F1 (s)  F2 (s)
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 Teorema do deslocamento de freqüência
L[eat f (t )]  F (s  a)
 Teorema do deslocamento no tempo
L[ f (t  T )]  e sT F (s)
 Teorema do fator de escala
1 s
L[ f (at)]  F  
a a
 Teorema da derivação
d n f
L n
 dt
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n
 n
n  k k 1

s
F
(
s
)

s
f (0  )


k 1

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 Teorema da integração
t
L[  f ( )d ] 
0
 Teorema do valor final
F (s)
s
f ()  lim sF ( s )
s 0
 Teorema do valor inicial
f (0)  lim sF ( s )
s 
 Problema:
Obter a transformada inversa de Laplace de
F1 (s)  1/(s  3)2
Solução: utilizando o teorema do deslocamento da freqüência:
L[eat f (t )]  F (s  a)
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Solução: e que
L[tu(t )]  1 / s 2
Pode-se concluir que a transformada de:
assim;
f1 (t )  e3t tu(t )
L[eat tu(t )]  1 /(s  a)2
 Expansão em Frações Parciais
• Para obter a transformada inversa de Laplace de funções mais
complicadas, pode-se convertê-la em uma soma de termos simples,
cujas transformadas são conhecidas.
 Se F(s) = N(s)/D(s), onde a ordem de N(s) é inferior a ordem de D(s),
então é possível fazer um expansão em frações parciais.
 Se N(s) possuir ordem superior a ordem de D(s), deve-se dividir N(s)
por D(s), sucessivamente, até que o resto tenha um numerador, com
ordem inferior ao denominador.
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 Expansão em Frações Parciais
Por exemplo, se:
s 3  2s 2  6s  7
F1 ( s) 
s2  s  5
Efetua-se a divisão de N(s) por D(s), o que resulta em:
F1 ( s)  s  1 
2
s2  s  5
Aplicando-se a tabela de transformada inversa de Laplace:
d (t )
2

1 
f1 (t ) 
  (t )  L  2
dt
 s  s  5 
 O termo restante pode agora ser expandido em frações parciais com
será apresentado a seguir.
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 Caso 1: Raízes reais e distintas
Considere:
F ( s) 
2
( s  1)(s  2)
A função F(s) em frações parciais como:
F ( s) 
2
k
k2
 1 
( s  1)(s  2) ( s  1) ( s  2)
onde k1 e k2 são denominados de resíduos da expansão.
Para obter k1, multiplica-se F(s) por (s+1), ou seja:
2( s  1)
k1 ( s  1) k2 ( s  1)
F ( s) 


( s  1)(s  2)
( s  1)
( s  2)
2
k1 
2
Agora, fazendo s = -1,
(1  2)
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 Caso 1: Raízes reais e distintas
2
 2
Analogamente para k2, k 2 
(2  1)
Substituindo k1 e k2 em F(s) e aplicando a Tabela da transformada de
Laplace, obtém-se que:
f (t )  (2et  2e2t )u(t )
Generalizando,
F ( s) 
N ( s)
N ( s)

D(s) ( s  p1 )(s  p2 )...(s  pm )...(s  pn )
km
kn
k1
k2


 ... 
 ... 
( s  p1 ) ( s  p2 )
( s  pm )
( s  pn )
Se a ordem de N(s) for inferior à ordem de D(s).
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 Caso 1: Raízes reais e distintas
Para calcular cada um dos resíduos, faz-se:
( s  pm ) N ( s)
( s  pm ) F ( s) 
( s  p1 )(s  p2 )...(s  pm )...(s  pn )

( s  pm )k1 ( s  pm )k2
( s  pm )kn

 ...  km  ... 
( s  p1 )
( s  p2 )
( s  pn )
Fazendo s = -pm, o termo km pode ser determinado como:
( s  pm ) N ( s)
 km
|
s


p
m
( s  p1 )(s  p2 )...(s  pm )...(s  pn )
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 Problema
Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) utilizando
Laplace. Admita condições iniciais nulas.
d2y
dy

12
 32 y  32u (t )
2
dt
dt
Solução: aplicando Laplace, obtém-se,
s 2Y ( s)  12sY ( s)  32Y ( s) 
32
32
 Y ( s) 
s
s( s 2  12s  32)
Conseqüentemente:
k3
32
32
k1
k2
Y ( s) 

 

2
s( s  12s  32) s( s  4)(s  8) s ( s  4) ( s  8)
onde,
k1 
32
1 ,
|
s

0
( s  4)(s  8)
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k2  2
e
k3  1
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Solução: portanto,
1
2
1
Y ( s)  

 y (t )  (1  2e 4t  e 8t )u (t )
s ( s  4) ( s  8)
 Caso 2: Raízes reais e repetidas
Seja: F ( s ) 
2
( s  1)(s  2) 2
A expansão da função F(s) em frações parciais é
F ( s) 
k3
2
k1
k2



( s  1)(s  2) 2 ( s  1) ( s  2) 2 ( s  2)
Na expressão acima, k1 = 2 pode ser obtido da forma convencional. K2
pode ser obtido como segue:
2(s  2) 2
k1 (s  2) 2 k2 ( s  2) 2 k3 ( s  2) 2



2
2
( s  1)(s  2)
( s  1)
(s  2)
( s  2)
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 Caso 2: Raízes reais e repetidas
O que resulta em:
2
k1 (s  2) 2

 k2  k3 (s  2)
(s  1)
(s  1)
fazendo s = -2, obtém-se k2 = -2. Para obter k3, deriva-se a expressão
acima em relação a s,
2
k s( s  2)
( s  1)
2

1
( s  1)
2
 k3
atribuindo s = -2; k3 = -2. Desta forma:
 2
2
2 
t
 2t
 2t
L 



2
e

2
te

2
e

2
(
s

1
)
(
s

2
)
(
s

2
)


1
Genericamente:
F ( s) 
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N ( s)
N ( s)

D( s) ( s  p1 ) r ( s  p2 )...(s  pn )
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 Caso 2: Raízes reais e repetidas
Ou seja:

kn
k1
k2
kr
kr 1


...


...


...

( s  p1 ) r ( s  p1 ) r 1
( s  p1 )
( s  p2 )
( s  pn )
Para determinar k1 a kr, determina-se F1(s) dada por:
N (s)(s  p1 ) r
2
r 1

k

(
s

p
)
k

(
s

p
)
k

...

(
s

p
)
kr
1
1
2
1
3
1
r
(s  p1 ) (s  p2 )...(s  pn )
kn (s  p1 ) r
kr 1 (s  p1 ) r

 ... 
 F1 (s)
(s  p2 )
(s  pn )
k1 pode ser determinado, fazendo s = -p1. k2 a kr é obtido por:
1 d i 1F1 ( s)
ki 
i  1,2,...,r; 0! 1
|
i 1
s


p
1
(i  1)! ds
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 Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Seja:
F (s) 
3
s( s 2  2s  5)
Esta função pode ser expandida como:
k 2 s  k3
3
k1


s( s 2  2s  5) s ( s 2  2s  5)
k1 é obtido pelo método habitual, ou seja; k1 = 3/5. Para obter k2 e k3,
2
2
2
faz-se:
3s(s  2s  5) k1s(s  2s  5) (k2 s  k3 )s(s  2s  5)


2
s(s  2s  5)
s
(s 2  2s  5)
Substituindo k1 = 3/5 e simplificando as frações, obtém-se:
3 2 
6
3


3   k2  s   k3  s  3   k2    0,
5
5
5



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6

k

 3
0
5

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 Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Desta forma; k2 = -3/5 e k3 = -6/5. Assim,
3
3/ 5 3
s2
F ( s) 


2
s( s  2s  5)
s
5 ( s 2  2s  5)
Por Tabela, obtém-se que:
L[ Aeat cost ] 
A( s  a)
( s  a) 2   2
L[ Beat sin t ] 
Adicionando os dois termos:
L[ Aeat cost  Beat sin t ] 
B
( s  a) 2   2
A( s  a)  B
( s  a) 2   2
Reescrevendo F(s) como:
F ( s) 
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3 / 5 3 ( s  1)  (1 / 2)(2)

s
5 ( s  1) 2  22
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 Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Comparando com a expressão anterior, obtém-se que:
3 3 t 
1

f (t )   e  cos 2t  sin 2t 
5 5 
2

Utilizando-se identidades trigonométricas,


3 3 2
1
1/ 2
2 t 
c(t )   1  (1 / 2) e
cos 2t 
sin 2t 
2
2
 12  (1 / 2) 2

5 5
1

(
1
/
2
)


Fazendo: 1 / 12  (1 / 2) 2  cos  e
(1 / 2) / 12  (1 / 2) 2  sin  ,
3 3 2
 1  (1 / 2) 2 e t cos  cos 2t  sin  sin 2t 
5 5
t
1

ou c(t )  0.6  0.671e cos(2t   ) onde   tan 0.5  26.57
c(t ) 
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 Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Generalizando:
F ( s) 
k 2 s  k3
N ( s)
N ( s)
k1



 ...
2
2
D( s) ( s  p1 )(s  as  b)... ( s  p1 ) ( s  as  b)
 Forma alternativa:
k3
3
k1
k2
F ( s) 
 

2
s( s  2s  5) s s  1  j 2 ( s  1  j 2)
k1 e k2 são determinados na forma convencional e k3 é o complexo
conjugado de k2, ou seja:
F ( s) 
donde,
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f (t ) 
3/ 5 3  2  j
2 j 

 

s
20  s  1  j 2 s  1  j 2 

3 3

(2  j )e (1 j 2)t  (2  j )e (1 j 2 )t
5 20
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
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 Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias
Como:
e j  e  j
 cos e
2
e j  e  j
 sin 
2j
Pode-se reescrever f(t) como,
3 3 t   e j 2 t  e  j 2 t
f (t )   e 4
5 20  
2
  e j 2t  e  j 2t
  2
2j
 



Utilizando as definições de cosseno e seno acima,
3 3 
1

f (t )   e t  cos 2t  sin 2t   0.6  0.671e t cos(2t   )
5 5 
2

onde:
  tan1 0.5  26.57
 É importante observar que os resíduos da expansão são números
complexos.
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Função de Transferência
Considere a representação de sistema mostrada a seguir:
R(s)
(bm s m  bm1s m1  ... b0 ) C (s )
(an s n  an1s n1  ... a0 )
A forma geral da Eq. diferencial de ordem n linear e invariante no tempo,
n
n 1
m
m 1
d
c
(
t
)
d
c
(
t
)
d
r
(
t
)
d
r (t )
n 1
m
m 1
an

a

...

a
c
(
t
)

b

b
 ...  b0 r (t )
0
n
n 1
m
m 1
dt
dt
dt
dt
onde c(t) é a saída e r(t) é a entrada. Por Laplace,
an s nC(s)  an1s n1C(s)  ... a0C(s)  termos de condição inicial de c(t)
 bm s m R(s)  bm1s m1R(s)  ... b0 R(s)  termos de condição inicial de r(t)
Admitindo-se, condições iniciais nulas:
(an s n  an1s n1  ... a0 )C(s)  (bm s m  bm1s m1  ... b0 ) R(s)
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Função de Transferência
Escrevendo a saída C(s) em função de R(s), obtém-se:
(bm s m  bm1s m1  ... b0 )
C ( s)
 G( s) 
R( s )
(an s n  an1s n1  ... a0 )
A relação de polinômios acima G(s), denomina-se de Função de
Transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais nulas.
 Problema:
Obter a função de transferência representada por:
dc (t )
 2c(t )  r (t )
dt
Solução: Aplicando Laplace,
sC ( s)  2C ( s)  R( s)  G ( s) 
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C ( s)
1

R( s ) s  2
21
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Resposta do Sistema a partir da Função de Transferência
 Problema:
Obter a resposta de c(t), a uma entrada r(t) = u(t) de:
dc (t )
 2c(t )  r (t )
dt
Solução: Aplicando Laplace, C ( s)  R( s)G ( s) 
1
s( s  2)
Expandindo em frações parciais, obtém-se
C ( s) 
1/ 2 1/ 2

s
s2
Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace,
c(t ) 
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1 1  2t
 e
2 2
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22
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedâncias
Componente
Capacitor
Resistor
Indutor
Tensão-corrente
Corrente-tensão
1 t
dv (t )
v(t )   i ( )d i (t )  C
C o
dt
v(t )  Ri(t )
di (t )
v(t )  L
dt
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i (t ) 
1
v(t )
R
1 t
i (t )   v( )d
L o
Tensão-carga
v(t ) 
1
q(t )
C
v (t )  R
dq (t )
dt
d 2 q(t )
v(t )  L
dt 2
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Impedância
Admitância
1
sC
sC
R
1
R
sL
1
sL
23
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Problema: Método das Malhas
Obter a função de transferência Vc(s)/V(s) do circuito abaixo
R
L
Solução: Somando as tensões,
t
i(t)
v(t) +-
+
C
Como q(t)= CvC(t),
vC(t)
di(t )
1
v(t )  L
 Ri(t )   i( )d
dt
C0
-
d 2 q(t )
dq(t ) 1
v(t )  L

R
 q(t )
2
dt
dt
C
d 2vC (t )
dvC (t )
v(t )  LC

RC
 vC (t )
2
dt
dt
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 Aplicando a transformada de
Laplace com condições iniciais
nulas:
24
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2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
Resulta em:


V ( s)  LCs 2  RCs  1 VC ( s) 
VC ( s)
1

V ( s) LCs 2  RCs  1
 Método da Transformada de Laplace
1 

V ( s)   Ls  R 
 I ( s)
sC 

R
sL
I(s)
V(s) +-
1
__
sC
+
-
VC (s)
Resolvendo em função de I(s)/V(s),
I ( s)
1

V (s) Ls  R  1
sC
V ( s)
1
1
 C

como: VC ( s)  I ( s)
sC
V ( s) LCs 2  RCs  1
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25
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Método dos Nós
 Circuitos complexos: Malhas
R
sL
1
2
I(s)
1
__
sC
V(s) +-
+
-
VC (s)
1. Substituir os valores dos elementos
passivos por suas impedâncias.
2. Substituir as fontes pelas suas
respectivas no domínio s.
3. Arbitrar o sentido das correntes.
0
Solução: Somando as correntes:
VC ( s ) VC ( s )  V ( s )

0
1 / sC
R  Ls
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4. Escrever as leis de Kirchhoff das
tensões para cada malha.
5. Resolver o sistema de equações.
6. Elaborar a função de transferência.
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26
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)
R1
R2
Solução: Resolvendo as malhas,
i1 (t)
v(t) +-
i2 (t)
+
L
C
-
• Na forma matricial, resulta em:
• Combinando os termos:
V (s)  ( R1  sL) I1 (s)  sLI 2 (s)
1
0   sLI1 ( s)  ( sL  R2  ) I 2 ( s)
sC
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vC(t)
V (s)  R1I1 (s)  sLI1 (s)  sLI 2 (s)
1
0  sLI 2 ( s )  R2 I 2 ( s ) 
I 2 (s)
sC
 sLI1 ( s)
R  sL
 sL
  I ( s) 
V ( s )  1
1



1
 I ( s )
 0 

sL
sL

R



1

 
sC   2 
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27
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s)
R1
R2
Usando a regra de Cramer
I1 (s)
I2 (s)
+
V(s) +-
sL
1/sC
-
VC (s)
 R1  sL V ( s)
  sL
0  sLV ( s)

I 2 ( s) 



Assim a FT é dada por:
onde:
 sL
 R1  sL


1 
sL  R1 
  sL

sC 

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G( s) 
I 2 ( s) sL


V ( s) 
LCs 2

( R1  R2 ) LCs 2  ( R1R2C  L)s  R1
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28
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Padrão de Solução:
Soma das
tensões da
malha 1
Soma das
tensões da
malha 2
=
=-
Soma das
impedâncias da
malha 1
Soma das
impedâncias
comuns as
malhas 1 e 2
I1(s) -
Soma das
impedâncias
comuns as
malhas 1 e 2
I2(s)
I1(s) +
Soma das
impedâncias da
malha 2
I2(s)
 Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT VC(s)/V(s)
G2
VL (s)
VC (s)
+
V(s)G1
G1
1/sL
sC
-
Solução: Resolvendo os nós,
1
V ( s )G1  G1VL ( s )  VL ( s )
sL
 G2[VL (s)  VC (s)]
0  sCVC (s)  G2[VL (s)  VC (s)]
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29
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Amplificador Operacionais: Características
+V
1. Entrada diferencial, v2(t)-v1(t).
+v1 (t)
2. Elevada impedância de entrada.
3. Baixa impedância de saída.
+v2 (t)
4. Elevado ganho de amplificação
-
v0 (t)
A
+
-V
 A saída vo(t) é dada por:
v0 (t )  A(v2 (t )  v1 (t ))
 Amplificador operacional inversor
Pela lei de Kirchhoff,
Z 2 (s)
Vi (s)
Z 1 (s)
I1 (s)
I2 (s)
V1 (s)
I a (s)  I1 (s)  I 2 (s)  0  I1 (s)  I 2 (s)
A
V0 (s)
+
gnd
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30
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Amplificador operacional inversor
(s)
Como o ganho A é elevado,
V ( s)
V1 ( s)  0  I1 ( s)  i
Z1 (s)
Vi (s)
Z 2 (s)
Z1
I2 (s)
-
I1 (s)
V1 (s)
A
+
Igualando as duas correntes,
Z 2 (s)
gnd
V0 ( s)
V ( s)
V ( s)
Z ( s)
 i
 0
 2
Z 2 ( s)
Z1 ( s)
Vi ( s)
Z1 ( s)
 Amplificador operacional não inversor
A tensão de saída Vo(s) é dada por:
V1 (s)
V0 (s)
+
Z 1 (s)
gnd
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-
A
Vi (s)
V0 (s)  A(Vi (s)  V1 (s))
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V0 (s)
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos
 Amplificador operacional não inversor
Usando a divisão de tensão,
Z1 ( s)
V1 ( s) 
V0 ( s)
Z1 ( s)  Z 2 ( s)
Z 2 (s)
V1 (s)
-
A
Vi (s)
V0 (s)
+
Substituindo na Eq. anterior,
V0 ( s)
A

Vi ( s) 1  AZ1 ( s) /(Z1 ( s)  Z 2 ( s))
Z 1 (s)
gnd
Para valores elevados de A, resulta em:
V0 ( s) Z1 ( s)  Z 2 ( s)

Vi ( s)
Z1 (s)
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32
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância
Componente
Força-velocidade
Força-deslocamento
Impedância
x(t)
t
Mola
x(t)
f(t)
f(t)
Amortecedor
x(t)
M
f(t)
f (t )  K  v( )d
f (t )  Kx (t )
K
dx (t )
dt
sf v
o
f (t )  f v
f (t )  f vv(t )
dv (t )
f (t )  M
dt
d 2 x(t )
f (t )  M
dt2
s2M
Massa
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33
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Problema: Obter a FT X(s)/F(s) do sistema abaixo
x(t)
X(s)
K
KX (s)
M
f(t)
sf v X (s)
M
F(s)
fv
s 2 MX (s)
Solução: Utilizando a Lei de Newton,
d 2 x(t )
dx(t )
M
 fv
 Kx(t )  f (t )
dt
dt
Aplicando Laplace para condições iniciais nulas,
s 2 MX (s)  sf v X (s)  KX (s)  F (s)  (s 2 M  sf v  K ) X (s)  F (s)
Consequentemente, a FT é
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X ( s)
1
 2
F ( s) s M  sf v  K
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34
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Problema: Obter a FT X2(s)/F(s) do sistema abaixo
x1(t)
x2(t)
K2
f(t)
K1
K3
M1
M2
fv3
fv2
fv1
Solução: Fazendo o diagrama de forças de cada bloco,
( K1  K 2 ) X1 (s)
s( f v1  f v3 ) X1 (s)
F (s )
s 2 M1 X 1 ( s )
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K 2 X 2 ( s)
M1
sf v3 X 2 (s)
( K 2  K3 ) X 2 ( s)
s( f v 2  f v 3 ) X 2 ( s)
2
K 2 X 1 ( s)
M2
sf v3 X1 (s)
s M 2 X 2 ( s)
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35
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:
[s 2 M1  s( fv1  fv3 )  (K1  K2 )]X1 (s)  (sf v3 K 2) X 2 (s)  F (s)
 (sf v3 K 2) X1 (s)  [s 2 M 2  s( fv 2  fv3 )  (K2  K3 )]X 2 (s)  0
A matriz que relaciona a entrada com as saídas é dada por:
[ s 2 M 1  s( f v1  f v 3 )  ( K1  K 2 )]

 ( sf v 3  K 2)


2

(
sf

K
)
[
s
M

s
(
f

f
)

(
K

K
)]
v3
2
2
v2
v3
2
3 

Conseqüentemente, a FT requerida é:
G( s) 
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X 2 ( s) ( sf v 3  K 2)

F ( s)

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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação
Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.
x3(t)
fv3
x1(t)
K1
fv1
M1
fv4
M3
x2(t)
K2
M2
f(t)
fv2
Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que:
[s 2 M1  s( fv1  fv3 )  (K1  K2 )]X1 (s)  K2 X 2 (s)  sf v3 X 3 (s)  0
 K2 X1 (s)  [s 2 M 2  s( fv 2  fv 4 )  K2 ]X 2 (s)  sf v 4 X 3 (s)  F (s)
 sf v3 (s) X1 (s)  sf v 4 (s) X 2 (s)  [s 2 M3  s( fv3  fv 4 )]X 3 (s)  0
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
Relações torque-velocidade, torque-deslocamento e impedância
Componente
Força-velocidade
Força-deslocamento
Impedância
T(t) (t)
t
T (t )  K   ( )d
Mola
T(t)
T (t )  K (t )
K
o
(t)
T (t )  D (t )
T (t )  D
d (t )
dt
sD
d (t )
T (t )  J
dt
d 2 (t )
T (t )  J
dt 2
s2 J
Amortecedor
T(t) (t)
J
Inércia
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
Problema: Obter a FT θ2(s)/T(s) do sistema abaixo
Solução: Escrevendo as expressões para o torque:
(s 2 J1  sD1  K )1 (s)  K2 (s)  T (s)
 K1 (s)  (s 2 J 2  sD2  K )2 (s)  0
A partir das Eqs. Acima, obtém-se que:
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G( s) 
 2 ( s)
T ( s)

K

39
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação
Em que:
s 2 J1  sD1  K

K


K

s 2 J 2  sD2  K 
Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo.
Escrevendo as equações para cada massa, obtém-se que:
(s 2 J1  sD1  K )1 (s)  K2 (s)  03 (s)  T (s)
 K1 (s)  (s 2 J 2  sD2  K )2 (s)  sD23 (s)  0
 01 (s)  sD22 (s)  [s 2 J3  s(D3  D2 )]3 (s)  0
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Considere o sistema com engrenagens abaixo:
Com base na Fig. ao lado:
r11  r2 2
ou
 2 r1 N1
 
1 r2 N 2
Admitindo que o sistema é conservativo,
T11  T2 2 
T2 1 N 2
 
T1  2 N1
 Portanto, os torques são diretamente proporcionais à relação do
número de dentes das engrenagens.
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Considere o sistema com engrenagens abaixo:
 O torque pode ser
refletido para outro lado
da engrenagem, como
mostrado na Fig. (b)
 As impedâncias mecânicas,
também podem ser refletidas
para o lado oposto ao da
engrenagem, mediante a
relações dos dentes das
engrenagens.
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42
Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Generalizando, pode-se afirmar o seguinte:
• As impedâncias mecânicas de rotação podem ser refletidas por meio
de trens de engrenagens, multiplicando-se as mesmas por:
2
Número de dentes da
Engrenagem do eixo destino
Número de dentes da
Engrenagem do eixo origem
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o diagrama esquemático do motor CC dado por:
• Em que a f.e.m. é dada por:
vb (t )  K b
Por Laplace,
d m (t )
dt
Vb (s)  Kb sm (s)
• A relação ia/ea é dada por:
Ea (s)  Ra I a (s)  sLa I a (s)  Vb (s)
• O torque produzido pelo motor,
1
Tm ( s)  K t I a ( s)  I a ( s)  Tm ( s)
Kt
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Substituindo o valor de Ia e Vb em Ea, obtém-se que
Ea (s) 
( Ra  sLa )Tm ( s)
 Kb s m ( s)
Kt
A relação torque x deslocamento angular é dado por:
Tm (s)  (s 2 J m  sDm )m (s)
( Ra  sLa )(s 2 J m  sDm ) m (s)
 Kb s m (s)
O que resulta em: Ea ( s) 
Kt
 Ra

consequentemente,
 ( sJ m  Dm )  K b  s m ( s)  Ea ( s)
 Kt

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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Manipulando a expressão anterior, obtém-se que:
 m ( s)
Ea ( s )

K t /( Ra / J m )

K t K b 
1 
 Dm 

s s 
Ra 
 Jm 
A expressão acima pode ser reescrita como:
 m ( s)
K

Ea ( s ) s ( s   )
Para utilização do modelo acima é necessário determinar K e :
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Para isso, deve-se obter, inicialmente, Jm e Dm, como:
 N1 

J m  J a  J L 
 N2 
2
e
N 
Dm  Da  DL  1 
 N2 
2
As constantes elétricas, podem ser obtidas com um dinamômetro, com
La = 0, ou seja, Ea = cte.
Ea ( s) 
Ra
R
Tm ( s)  K b s m ( s)  ea (t )  a Tm (t )  Kbm (t )
Kt
Kt
Escrevendo a expressão acima, em termos dos seus valores médios,
ea 
Ra
KK
K
Tm  Kbm  Tm   t b m  t ea
Kt
Ra
Ra
A equação acima descreve uma reta em função da velocidade.
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico
Essa reta descreve o comportamento do torque-velocidade da
máquina, cujo extremos são:
• Torque de partida: Tbloq
Tbloq 
Kt
ea
Ra
(m  0)
• Velocidade em vazio: vazio
ea
m 
Kb
consequentemente,
K t Tbloq

e
Ra
ea
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Kb 
ea
m
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Linearização
Algumas não linearidades
1. Reconhecer o componente não linear (Eq. diferencial).
2. Linearizar o sistema para pequenos sinais em torno do equilíbrio.
3. Aplicar a transformada de Laplace na Eq. Linearizada.
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Sistemas de Controle I
2. Modelagem no Domínio da Freqüência
 Linearização
Procedimento: considere o gráfico abaixo:
• Se o sistema deve operar no ponto A,
[ f ( x)  f ( x0 )]  ma ( x  x0 )
de onde:
f ( x)  max
e portanto,
f ( x)  f ( x0 )  ma ( x  x0 )
 f ( x0 )  max
( x  x0 )
df
ou f ( x)  f ( x0 ) 
| x  x0

dx
1!
( x  x0 ) 2
d2 f
 2 | x  x0
 ...
dx
2!
onde o novo conjunto de eixos, x e f(x) são criados no ponto A.
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