UEM - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
ISABEL SATICO OSHIMA
O LABORATÓRIO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
DE MATEMÁTICA (LEM)
Material Didático
PDE: Programa
Educacional
de
Desenvolvimento
SEED: Secretaria de Estado de Educação –
Paraná
Ano: 2008
O LABORATÓRIO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Isabel Satico Oshima∗
Rosângela Cristina Ottesbach∗∗
Regina Maria Pavanello∗∗∗
INTRODUÇÃO
Neste texto apresentamos, em primeiro lugar, a fundamentação sobre o Laboratório de
Ensino de Matemática e nossa apreciação sobre o trabalho com materiais manipuláveis. Em
seguida, são propostas atividades que podem ser feitas no campo da Geometria que podem servir
como material de apoio para os professores do Ensino Fundamental. Não queremos com isso
ensinar o professor, mas sim mostrar alguns caminhos, procedimentos e formas de trabalho que
possam contribuir para o melhor aproveitamento dos alunos nas aulas de matemática, permitindolhes que desenvolvam o raciocínio lógico-matemático e elaborem conceitos e conteúdos que, para
serem compreendidos, necessitam da visualização. As atividades sugeridas, que podem ser
realizadas tanto no Laboratório de Ensino como, na falta deste, em sala de aula, têm por
finalidade o ensino do conhecimento matemático para os alunos de forma mais significativa,
atraente e prazerosa, que lhes permita compreender melhor o próprio ambiente, para comunicar
idéias e também para melhor entender assuntos de outras áreas.
O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM)
Se ouço, esqueço; se vejo lembro; se faço, compreendo.
(Provérbio Chinês)
Um dos maiores desafios dos educadores está em encontrar métodos e processos para
tornar suas aulas mais interessantes e agradáveis e assim permitir aos alunos o acesso aos
conhecimentos, dando-lhes condições para explorarem a realidade, de modo que possam participar
e interferir de maneira positiva na sociedade em que vivem. O uso de material didático (MD), por
∗
Professora PDE da rede pública do estado do Paraná. E-mail: [email protected]
Professora PDE da rede pública do estado do Paraná. E-mail: [email protected]
∗∗∗
Professora do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática – UEM. Orientadora do PDE.
E-mail: [email protected]
∗∗
proporcionar aos alunos participar de atividades manipulativas e visuais que sirvam de suporte
para sua atividade cognitiva, pode ser de grande importância no processo de ensino e promover a
compreensão de conceitos e propriedades matemáticas.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Paraná (DCEs), um dos
objetivos da disciplina de matemática é transpor o objeto matemático construído historicamente
para a prática docente de maneira a possibilitar ao estudante conhecer e utilizar apropriadamente
esse objeto. As diretrizes enfatizam ainda a necessidade de se tornar o ensino de matemática mais
dinâmico, contextualizado, interdisciplinar, centrado na ética, voltado para a formação de cidadãos
organizados, críticos, autônomos em suas relações sociais e responsáveis. Consideram também ser
necessário, cada vez mais, educadores criativos, com visão histórica e crítica, comprometidos com
a educação e que apresentem uma atitude investigativa sobre sua área de atuação, fundamentada
em teorias pedagógicas e científicas; professores com domínio de sua prática, com autonomia e
capacidade para construir conhecimento pedagógico e para a tomada de decisões, capazes de
analisar e abordar os diferentes conteúdos de modo a solucionar os problemas que surgirem em
sala de aula e de proporcionar aos seus alunos um ensino da matemática com significado.
Neste contexto, o Laboratório de Ensino da Matemática pode ser um instrumento eficaz
para propiciar ao aluno formas de conhecer, criar, manipular, levantar hipóteses, discutir
afirmações, desenvolver e construir instrumentos matemáticos que possam ser utilizados como
facilitadores de sua aprendizagem e, ao mesmo tempo, proporcionar ao educador um local para
pesquisa, reflexão e trabalho, auxiliando-o neste grande desafio sobre as melhores formas de
ensinar e aprender Matemática.
Miguel e Miorim (2004) consideram que a finalidade da Educação Matemática é fazer o
estudante compreender e se apropriar da própria matemática, compreendida como um conjunto de
resultados, métodos, procedimentos, algoritmos etc. Outra finalidade, de acordo com os autores é
levar o estudante, por meio do conhecimento matemático, a construir valores e atitudes de
diferentes naturezas tendo como meta a formação integral do ser humano e do cidadão. Assim
sendo, para que o processo ensino-aprendizagem seja bem sucedido, deve possibilitar ao aluno
vivenciar experiências, que lhe permitam participar, de forma dinâmica, na elaboração de
conteúdos escolares.
Muitos foram os educadores que por muito tempo ressaltaram a importância da
visualização e manipulação de materiais para facilitar a aprendizagem, dentre os quais Claparède,
Freinet, Tamas Varga, os brasileiros Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan) e Manuel Jairo
Bezerra, além autores como Piaget, Vygotsky e Bruner, os quais, cada um a seu modo, reconheceu
que a ação do indivíduo sobre o objeto é básica para a sua aprendizagem.
Segundo Lorenzato (2006), o Laboratório de Ensino da Matemática (LEM) na escola é
uma sala-ambiente reservada para que as aulas de matemática aí aconteçam de maneira a
estruturar, organizar, planejar e construir o fazer matemático, facilitando tanto para o professor
como para o aluno o questionamento, a procura, a experimentação, a análise, a compreensão de
conceitos e a conclusão de uma determinada aprendizagem, inclusive com a produção de materiais
instrucionais que possam facilitar o aprimoramento da prática pedagógica. Deve ser um local de
referência dos trabalhos matemáticos, onde os professores possam se empenhar em tornar a
matemática mais compreensível para seus alunos. Neste local, o professor poderá também planejar
aulas e realizar outras atividades como exposições, olimpíadas, jogos, avaliações, entre outras.
Desta maneira, seria importante que os estabelecimentos de ensino tivessem um espaço no
qual os educadores pudessem realizar pesquisas, construir materiais didáticos diversos em um
processo de elaboração de conceitos, de aplicação dos mesmos em situações-problema, de modo a
sanar, em primeiro lugar, as dificuldades dos próprios professores no que diz respeito à sua
formação. Porque só assim eles terão condições para, depois, utilizar tais materiais com os alunos,
suscitando neles o interesse e a participação desejada e auxiliando-os na elaboração e
compreensão dos conhecimentos. Ou seja, seria fundamental, do ponto de vista da aprendizagem
dos alunos e dos próprios professores, a implementação do Laboratório de Ensino de Matemática
nas escolas.
A construção de um LEM pode partir de um professor de Matemática que reconhece a
necessidade de a escola possuir este espaço, mas isso só não basta. Esse professor deve contar com
o apoio e a colaboração de toda comunidade escolar (professores de diversas áreas, equipe
pedagógica, alunos, equipe administrativa) e até mesmo da comunidade local, pois não é possível
construir um laboratório de matemática sozinho. Os alunos também podem e devem participar
dessa construção, contribuindo com pesquisas, materiais de sucatas construídos por eles, na
organização do ambiente, etc. para que valorizem ainda mais a presença desse espaço de
aprendizagem na escola.
A forma de organização do ambiente e dos materiais deve ser discutida em grupo, que
deve decidir qual é a melhor forma de desenvolver o trabalho proposto naquela instituição. É
importante também selecionar os materiais de acordo com a clientela (educação infantil, ensino
fundamental ou médio), propiciando sempre um ambiente acolhedor e agradável.
A construção de um LEM não é objetivo para ser atingido a curto prazo; uma vez
construído, ele demanda constante complementação, a qual, por sua vez, exige que o professor se
mantenha atualizado. (LORENZATO, 2006, p. 11).
De acordo com Lorenzato, um laboratório de ensino de matemática, de modo geral, pode
ter:
•
revistas, jornais e artigos;
•
livros didáticos, paradidáticos e outros;
•
jogos;
•
quebra-cabeças;
•
problemas desafiadores e de lógica;
•
questões de olimpíadas, ENEM, e vestibulares;
•
textos sobre história da matemática;
•
cds, transparências, fotos;
•
figuras;
•
sólidos;
•
modelos estáticos ou dinâmicos;
•
materiais didáticos industrializados;
•
instrumentos de medidas;
•
computadores, calculadora;
•
materiais didáticos construídos pelos alunos e professores
•
materiais e instrumentos necessários à produção de materiais didáticos e
outros.
No entanto, apesar das recomendações de Lorenzato, ele também deixa claro que não
existe uma única concepção acerca do LEM porque a sua construção e encaminhamento devem
estar relacionados às reais necessidades e condições locais de cada instituição, a formação
matemática de alunos e professores, o espaço físico disponível, materiais e outros.
Embora vários autores enfatizem o papel do LEM e dos materiais didáticos manipulativos
no processo de aprendizagem da matemática, torna-se necessário tecer algumas considerações
quanto à forma como eles devem ser utilizados para que alcance os objetivos propostos.
A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS NA APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
Os materiais manipuláveis são recursos didáticos que podem interferir fortemente no
processo ensino-aprendizagem da matemática. Por certo seu uso depende do conteúdo a ser
estudado, dos objetivos a serem atingidos, do tipo de aprendizagem que se espera alcançar e da
filosofia e política escolar. Enfim, o material didático não está solto no contexto escolar: na opção
e na forma como será utilizado está implícita a concepção que cada educador tem de ensino e de
educação.
Muitas vezes, o professor desconhece a importância de se utilizar certo material
manipulável ou ainda não percebeu que conceitos e propriedades tanto ele como os alunos
poderiam explorar. Daí ser fundamental que os professores tenham oportunidades de refletir sobre
a sua utilização, analisando o que pode ser com ele trabalhado, sua efetividade pedagógica e como
ele poderá despertar o interesse e a curiosidade do aluno. Antes de utilizar um material
manipulativo é importante conhecer bem o material e ter claro o(s) objetivo(s) de seu uso: com
este material as aulas serão mais atraentes? Com ele, o aluno terá mais facilidade de compreender
o conteúdo? Ele oferece possibilidades ao aluno de relacionar, levantar conjecturas, pensar
matematicamente, discutir e concluir?
Esta reflexão vai permitir que os professores se apercebam ser necessário considerar que,
para a aprendizagem de certo conteúdo, pode não bastar apenas o uso de um material, uma vez que
este permite apenas uma visão parcial do objeto matemático em questão. Por outro lado, um
mesmo material pode servir para a aprendizagem de diferentes conteúdos desde que ele sirva de
suporte para o aluno pensar sobre diferentes questões.
Ao utilizar materiais manipuláveis, o professor deve tomar alguns cuidados, levando em
conta que o mau uso deste instrumento poderá ser contrário ao objetivo que pretende com ele
alcançar e, portanto, não contribuir em nada com o aprendizado de seu aluno. VALENTE (1991)
enfatiza a importância do material didático, porém demonstra uma preocupação quanto a sua
utilização:
A solução para evitar o ensino das técnicas
matemáticas tem sido o uso de material pedagógico. O
aluno
manuseia
um
material
que
propicia
o
desenvolvimento de conceitos matemáticos, mas apesar
disso nem sempre ocorre uma formalização do conceito,
onde ele tem a chance de sintetizar suas idéias, colocálas no papel, compará-las com outras soluções para
verificar sua validade (p.31).
Valente está querendo dizer com isso é que o educando não aprende matemática apenas
“manipulando” os objetos, pois o conhecimento não está no material em si, mas é elaborado a
partir das relações que o material o ajuda a estabelecer. Assim, cabe ao professor formular
questões adequadas, que permitam o aluno observar aspectos importantes para a construção do
conceito em questão. Por melhor que seja, material manipulativo deve ser considerado apenas
como uma “ferramenta” que auxilia aluno e professor no processo ensino-aprendizagem. O seu
potencial depende mais do professor, das questões que ele formula e que levam o aluno a pensar, a
analisar, do que do próprio material.
O material e as atividades a serem realizadas com ele devem ser bem selecionados para
servir ao objetivo a ser alcançado e devem ser adequados para que os alunos façam a correta
representação interna dos conceitos envolvidos a partir de sua manipulação. Por isso, a exploração
de todas as possibilidades do material escolhido deve ser feita antes da aplicação da atividade,
para que não aconteçam imprevistos na sua aplicação. Além disso, se as atividades não estiverem
bem preparadas corre o risco do material utilizado se transformar apenas em brinquedo para o
aluno.
Sendo os conhecimentos matemáticos de natureza abstrata, se o uso do material for
inadequado ou as atividades não forem bem dirigidas os resultados poderão ser muito diferentes
dos esperados. Como a passagem das ações concretas para a elaboração dos conceitos não pode
deixar de ser feita e com cautela, é importante que o professor faça a correlação entre os dois
domínios envolvidos, o do material concreto utilizado e o das representações simbólico-abstratas
para ter certeza de que o aluno compreendeu bem as relações entre os dois aspectos de ambos os
domínios. Muitas vezes, quando se trabalha com materiais manipulativos, não se vê a matemática,
só uma ação motora. Por isso é preciso observar atentamente e interferir para que o aluno faça as
abstrações necessárias e esperadas.
Quando se utilizam materiais manipuláveis no aprendizado da matemática, convém
enfatizar com os alunos que a partir da constatação da validade de uma afirmação em diversas
experiências, tal fato não é suficiente para comprovar essa afirmação é sempre válida. As
constatações que se repetem devem ser vistas como “dicas” importantes da possibilidade de essa
afirmação estar correta, motivo pelo qual os matemáticos utilizam a demonstração para comprovar
a sua validade.
Somente assim é possível evitar que a utilização de materiais manipulativos no ensino da
matemática não induza os alunos a construírem conceitos errôneos, criando assim obstáculos
cognitivos. E, nesse sentido, o professor tem papel fundamental.
REFERÊNCIAS
GERDES, P. Sobre o despertar do pensamento Geométrico. Curitiba: UFPR, 1992.
KALLEF, A. M. M. R.; HENRIQUE, A. S.; REI, D. M.; FIGUEIREDO, L.G., Desenvolvimento
do Pensamento Geométrico – o modelo de Van Hiele. Bolema, Rio Claro, n. 10, 1994. p. 21-30.
LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de
professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. Coleção Formação de Professores.
LORENZATO, S. O uso de materiais concretos. Anais do II Encontro Paulista de Educação
Matemática. Campinas, 1993.
MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo
Horizonte: Autêntica, 2004.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Programa de Desenvolvimento Educacional Documento Síntese. Curitiba: SEED, 2006.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da
Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.
VALENTE, J.A. (Org.) Liberando a mente: computadores na educação especial. Campinas, SP:
Gráfica da UNICAMP, 1991.
O LEM E O ENSINO DA GEOMETRIA
Isabel Satico Oshima1
Regina Maria Pavanello2
Uma das preocupações atuais dos educadores matemáticos é com o ensino da Geometria.
Apesar de ser um conteúdo de vital importância, importância esta ressaltada nas Diretrizes
Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná, pesquisas mostram que as
práticas pedagógicas nas escolas ainda negligenciam este estudo. As dificuldades encontradas por
alunos e professores no processo ensino-aprendizagem da geometria são muitas e, por isso, esse
conteúdo muitas vezes fica em segundo plano, tratado de maneira superficial e fragmentado.
Das diversas atividades pedagógicas que podem ser trabalhadas em um Laboratório de
Ensino de Matemática (LEM), muitas envolvem a Geometria. A Geometria é um campo rico da
matemática e podemos perceber sua utilização, em nosso ambiente natural, nas obras
arquitetônicas, manifestações artísticas, eventos tecnológicos, etc. São muitos os exemplos onde a
Geometria, a ciência, a tecnologia, a arte e outras áreas do conhecimento se inter-relacionam.
Além disso, o raciocínio geométrico, quando desenvolvido, faz o sujeito perceber melhor o
mundo, dando a ele condições de agir e refletir de forma mais organizada.
Uma das possibilidades do trabalho em um Laboratório de Matemática é discutir diferentes
alternativas para a elaboração de conceitos, para análise de relações e propriedades geométricas,
para a síntese de definições ou critérios de classificação, em uma abordagem diferente da massiva
memorização de fórmulas, que, muitas vezes, são esquecidas.
Segundo Scheffer (2006), a Geometria é um campo fértil para um ensino baseado na
exploração e na investigação, contribuindo assim, para uma compreensão de fatos e relações, o
que não se confunde com a simples memorização de fórmulas e técnicas de resolução de
problemas.
Um conhecimento básico de Geometria é fundamental, não só para os alunos interagirem
adequadamente com o seu meio, como também para se iniciarem num estudo mais formal desse
1
Professora PDE da rede pública do estado do Paraná. E-mail: [email protected]
Professora do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática – UEM. Orientadora do PDE.
E-mail: [email protected]
2
conteúdo. É importante que esse conhecimento básico - que compreende conceitos, propriedades e
relações simples de Geometria - seja apresentado a partir de uma abordagem experimental e
indutiva, trabalhando com a percepção espacial, a descoberta e a visualização.
Para o ensino da Geometria, as Diretrizes atuais recomendam o uso de materiais didáticos
porque com eles:
O aluno pode explorar situações que sugiram idéia de
forma como atributo dos objetos. Uma alternativa é usar
materiais, tais como: o geoplano, o tangran, a massa de
modelar e argila. Conhecer Geometria implica, ainda,
reconhecer-se num dado espaço e, a partir dele,
localizar-se no plano (p.31).
O uso de materiais manipulativos pode auxiliar, e muito, a compreensão de conceitos
geométricos, compreensão que parece tão distante para os alunos e muitas vezes para o próprio
professor.
SUGESTÕES DE ATIVIDADES COM A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS
MANIPULATIVOS PARA O ENSINO DA GEOMETRIA
Um laboratório não precisa ter necessariamente materiais sofisticados. Com a utilização de
material simples e de fácil aquisição podem-se explorar conceitos geométricos importantes.
Exemplo disso é o uso de canudos de plástico para refresco, com os quais é possível realizar
representações de polígonos e permitir uma melhor compreensão de conceitos e propriedades de
figuras geométricas planas. Além deste material, é possível propor atividades envolvendo vários
conteúdos matemáticos com o uso do geoplano, cuja construção também é bastante simples e de
baixo custo.
Neste texto, procuramos explorar, com estes materiais, conteúdos da geometria euclidiana
plana destinada ao ensino fundamental, em especial os polígonos, suas áreas e perímetros. Estas
atividades, embora elaboradas mais especificamente para a 5ª série, poderão também ser
adequadas para serem utilizadas com alunos de séries mais avançadas e até em atividades de
formação continuada de professores.
Com estas atividades é possível oferecer aos alunos que as realizam a oportunidade de
enriquecer seu vocabulário e, mediante modelos concretos, explorar características das figuras,
levantar conjecturas sobre elas, discutir conceitos, propriedades e relações matemáticas.
ATIVIDADES COM CANUDINHOS
1. Polígonos
Objetivos:
- Definir polígono;
- Verificar, experimentalmente, propriedades de algumas figuras planas (triângulos,
quadriláteros, pentágonos e hexágonos) cujos lados possuem a mesma medida;
- Classificar triângulos observando a medida de seus lados.
Material necessário: canudos plásticos para refresco (cortados ao meio), linha, agulha e
tesoura. De preferência, a agulha deve ser grande e sem ponta.
Observação: Dependendo do objetivo da atividade, os canudos podem não ter a mesma
medida.
1a. Linhas poligonais e polígonos
Pesquise juntamente com os alunos algumas definições de linhas poligonais. Discuta com
eles se há diferenças entre as definições pesquisadas e, de acordo com a definição encontrada,
peça que construam com linha e pedaços de canudos:
a) Uma linha poligonal fechada simples
b) Uma linha poligonal fechada não-simples
c) Uma linha aberta simples
d) Uma linha aberta não-simples
Peça a eles que pesquisem também nos livros definições sobre polígonos. Questione:
- Observando as figuras 1, 2, 3 e 4, qual delas podemos considerar um polígono?
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
FIGURA 4
1b. A construção de polígonos
Peça aos alunos que construam triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos de lados
de mesma medida, considerando cada canudo um segmento de reta que corresponde ao lado de
cada figura. Discuta com os alunos o significado das palavras utilizadas na atividade à medida que
as utilizar: polígono, congruente, rígido, regular, perímetro, área, ângulos, eqüilátero, eqüiângulo,
triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, paralelogramo.
Durante a construção, peça que exponham suas observações sobre cada figura. O professor
poderá anotar no quadro as idéias expressadas pelos alunos para possíveis discussões. É
importante fazer questionamentos do tipo:
- Compare as figuras, isto é, verifique se existem semelhanças e diferenças entre elas.
- Qual delas apresenta rigidez?(É conveniente explicar o que isto significa)
- Uma figura fechada que tem quatro lados de mesma medida, pode ser sempre chamada
de quadrado? Quando ela é um quadrado? Um quadrilátero possui a rigidez apresentada pelo
triângulo?
- Todo polígono eqüilátero é também eqüiângulo? O triângulo eqüilátero é eqüiângulo?
FIGURA 5
FIGURA 6
1c. Triângulos eqüiláteros:
Utilizando vários triângulos eqüiláteros, peça aos alunos que os juntem, lado com lado,
verificando a possibilidade de formarem novas figuras. Faça questionamentos do tipo:
- Quais figuras você conseguiu formar? Quais os nomes que elas recebem?É possível
formar triângulos isósceles e escalenos, usando os triângulos eqüiláteros?
FIGURA 7
FIGURA 8
Ainda utilizando os triângulos (eqüiláteros), peça aos alunos que construam as figuras 9,
10 e 11. E pergunte:
- Qual é o nome dessas figuras?
- Que relação existe entre elas e o triângulo eqüilátero? (esta questão refere-se ao número
de triângulo utilizados na construção de cada uma das figuras).
- Com quantos triângulos eqüiláteros foi possível obter um hexágono regular? Como você
definiria hexágono regular?
- Como fazer o trapézio? E o losango?
Peça que pesquisem nos livros e também na Internet a definição de trapézio e losango e
compare as definições encontradas.
FIGURA 9
FIGURA 10
FIGURA 11
1d. Quadriláteros com lados de mesma medida
Separe um quadrilátero e um triângulo construídos com os canudos de mesma medida.
Questione:
- O que difere o quadrilátero do triângulo?
- Esse quadrilátero possui lados de mesma medida. Qual o nome que se dá a esse tipo de
quadrilátero?
Peça que transforme o quadrilátero em outra figura.
- O que você observa?O que acontece com os seus ângulos internos?
- Tente transformar esta figura em um quadrado. É possível? Como devem ser os ângulos?
- Quando transformamos o quadrado em losango, destruímos alguma propriedade do
quadrado?
- Podemos dizer que todo quadrado é um losango?Todo losango é quadrado?
- O losango pertence ao grupo dos paralelogramos?Por quê?
- E o quadrado, pertence ou não ao grupo dos paralelogramos? Por quê?
- Como podemos definir losango?
- Que diferenças existem entre o quadrado e o losango?
- Quando efetuamos as “transformações”, o que acontece com os ângulos?
- E com suas áreas? Elas ficam iguais ou um deles tem uma área maior?
- Se um deles tem área maior, qual é o de maior área?
- O losango é um polígono regular?
- Todo quadrilátero possuí as medidas dos lados iguais?
FIGURA 12
FIGURA 13
1e. Pentágonos e hexágonos
Formas pentagonais e hexagonais são bastante utilizadas. Verifique com os alunos onde
eles podem encontrar essas formas.
Utilizando pentágonos e hexágonos eqüiláteros, questione-os:
- O que são pentágonos? E hexágonos?
- Esses polígonos podem ser regulares? De que forma?
- Sendo regulares é possível a sua utilização em pavimentações?
-Procure uma maneira de transformá-los. O que você observa nesta transformação?
- O que fica preservado depois da transformação? A área? As medidas dos ângulos
internos? O perímetro?
- É possível torná-lo não convexo?Como fazer?
FIGURA 14
FIGURA 15
FIGURA 16
1f. Triângulos de medidas diferentes
Desafiem os alunos a construírem os triângulos a, b e c (figuras 17, 18 e 19) utilizando
canudinhos com as seguintes medidas:
a-
4 cm, 5 cm. e 7 cm
b-
8 cm, 8 cm e 5 cm
c-
3 cm, 3 cm, 8 cm
Questione:
- Foi possível construir os três triângulos? Teve algum que não foi possível construir? Por quê?
Você sabe dizer de que tipo é o triângulo a? E o triângulo b?
FIGURA 17
FIGURA 18
FIGURA 19
A partir dessas e de outras atividades, bem como das descobertas realizadas pelos alunos
aos manipularem os objetos construídos a partir de canudos, o professor poderá introduzir
conceitos e propriedades geométricas de forma diferente e interessante aos alunos, desenvolvendo
a sua criatividade e ampliando os seus conhecimentos.
Análise Didática:
As discussões e observações realizadas devem levar os alunos a compreender que:
- O triângulo é uma figura rígida. O homem utiliza essa importante propriedade para o seu
benefício em diversos tipos de construções. Seria interessante para os alunos observarem este tipo
de aplicação nas casas, portões, andaimes, torres de ferro, etc. Ao observarem as outras figuras
planas representadas com os canudos e o barbante ou linha, os alunos podem perceber que elas
não apresentam a mesma rigidez do triângulo.
- Triângulos são polígonos que podem ser classificados a partir das medidas de seus lados:
eqüilátero (três lados de medidas congruentes); isósceles (dois lados de medidas congruentes) e
escaleno (três lados de medidas diferentes).
- Polígonos que são, ao mesmo tempo, eqüiláteros e eqüiângulos são denominados
regulares.
- Losangos são quadriláteros que possuem todos os seus quatro segmentos de mesma
medida e paralelos dois a dois.
- O quadrado é um losango regular que possui lados e ângulos internos de mesma medida.
Os ângulos do quadrado são todos retos.
- Quando modificamos a estrutura de quadriláteros, pentágonos, hexágonos de segmentos
de mesma medida, o que fica preservado é o seu perímetro porque, como eles continuam com os
mesmos lados, a soma de suas medidas – ou o comprimento da linha poligonal que os determina –
permanece igual.
- A medida de um lado qualquer de um triângulo não pode ser maior ou igual a soma dos
outros dois.
O GEOPLANO
O Geoplano é um recurso didático que pode auxiliar o trabalho com o ensino da
Geometria. O nome vem da junção de geo= geometria e plano= superfície plana. Ele foi criado
pelo matemático inglês Caleb Gattegno em 1961. Para a sua construção você precisará de uma
placa de madeira, com pregos cravados a meia altura formando um quadriculado (fig. 20). Pode-se
criar geoplanos de tamanhos e formas variadas (quadrado, circular, trelissado, oval e triangular). O
tamanho das malhas também pode variar de acordo com o objetivo da atividade. Usaremos, nas
atividades a seguir, o Geoplano quadrado, no qual a distância entre os dois pregos, que deve
sempre manter a mesma distância horizontal e verticalmente, é tomada como uma unidade de
medida linear; e a superfície do menor quadrado formado pelos pregos é tomada como a unidade
de área. Utilizaremos ainda borrachas do tipo usado em dinheiro de papel, de preferência de cores
variadas, esticadas entre um prego e outro, para formar polígonos.
O geoplano deve ser visto como um modelo matemático que permite a representação de
situações, traduzindo ou sugerindo idéias matemáticas, constituindo-se assim em um suporte
concreto para a representação mental. O material por si só não deve representar todo o ensino,
cabe ao professor, no decorrer dos trabalhos, ir orientando, questionando, complementando,
assessorando e mediando o processo. De acordo com Machado (2005), o geoplano é “um meio,
uma ajuda didática, que oferece um apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da
abstração, proporcionando uma experiência geométrica e algébrica aos estudantes”.
FIGURA 20
ATIVIDADES COM O GEOPLANO
1. Atividade inicial
A atividade inicial com o geoplano deve objetivar o aspecto lúdico. Os alunos poderão
construir figuras das mais diferentes formas, compará-las com os seus colegas de sala, pensar
sobre elas. Sugestão: imaginar e construir desenhos como: flor, bote, carrinho, etc.
2. O que é polígono?
Objetivos:
- Definir, classificar e construir polígonos com o auxílio do geoplano;
- Identificar diferenças nas diagonais do paralelogramo, losango e quadrado.
Material necessário: Geoplano, tiras circulares de borracha, folhas para anotação.
Desenvolvimento:
2a. Discuta com a turma o significado das palavras: linhas poligonais, polígono, diagonal,
perpendicular.
2b. Peça aos alunos que reproduzam no geoplano estas figuras (fig. 21).
FIGURA 21
- Que tipos de linhas poligonais foram reproduzidas?
- Quais dessas figuras são fechadas? Quais delas representam polígonos?A figura fechada
que se cruza é polígono?
- Desenhe as figuras que representam polígonos e nomeie os pontos que representam seus
vértices por meio de letras.
2c. Peça aos alunos que construam polígonos variados e que nomeiem cada um de acordo
com o número de seus lados. Peça-lhes para identificar as regiões delimitadas por eles (a interna e
externa), seus vértices, seus lados (segmentos de reta), seus ângulos internos e externos.
Questione:
- Dois segmentos de reta determinam um polígono? E três? Qual a quantidade mínima e
máxima de lados pode ter um polígono? Pesquise os nomes dos polígonos de acordo com o seu
número de lados.
2d. Com o uso do geoplano, peça que construam um polígono regular.
FIGURA 22
FIGURA 23
- O que são polígonos regulares? Qual o nome do polígono que foi possível construir? É
possível a construção de um triângulo eqüilátero no geoplano retilíneo? Qual o triângulo que
você conseguiu construir?
2e. Leve o aluno a observar a construção deste hexágono (fig.23). Ele pode ser
considerado um polígono regular? Por quê?
2f. Peça para construírem quadriláteros de diversos tipos e tamanhos e para reproduzirem,
no papel quadriculado, a figura obtida. Pergunte: Que diferenças ou semelhanças você encontra
nos quadriláteros produzidos pela turma? Como podemos classificar esses quadriláteros?
Recorte o desenho e organize numa tabela de classificação do tipo:
Quadrilátero
“qualquer”
Trapézio
Paralelogramo
Retângulo
Quadrado
FIGURA 24
- Por que a tabela pôde ser organizada desta forma? É possível organizá-la de outro
modo?
- As figuras que foram classificadas como retângulos poderiam estar no grupo dos
paralelogramos? E retângulos também são paralelogramos?
2g. Peça que construam paralelogramos de diferentes formas e que observem as suas
diagonais.
- As diagonais de qualquer paralelogramo são iguais? Como são as diagonais do
quadrado? E as do losango?
2h. Peça aos alunos que construam figuras de acordo com as condições dadas em cada
caso e, em seguida, leve-os a discutir se a solução é única ou não:
* Um paralelogramo com 4 unidades de base e 3 unidades de altura.
* Um retângulo, cuja base é o triplo da altura e tem perímetro igual a 8 unidades.
Análise Didática
Estas atividades e as observações realizadas pelos alunos deverão torná-los capazes de
perceber que:
- Polígonos são figuras geométricas planas delimitadas por uma linha poligonal fechada
simples. Assim, para que uma figura plana seja um polígono, ela deve obedecer as seguintes
condições: 1) ela deve ser uma figura fechada, 2) seus lados não podem se cruzar, e 3) ela não
pode ter dois lados consecutivos colineares, isto é, pertencentes a uma mesma reta.
- Não existe polígono com menos de três lados.
- Paralelogramos são quadriláteros que possuem lados opostos paralelos dois a dois.
- Losangos são quadriláteros que tem todos os lados de mesma medida.
- Retângulos são quadriláteros que possuem todos os ângulos iguais, ou seja, todos os
ângulos são retos. Um retângulo é um paralelogramo que tem os quatro ângulos iguais.
- O quadrado, por possuir ao mesmo tempo propriedades dos retângulos (ter os quatro
ângulos iguais) e dos losangos (ter os quatro lados de mesma medida), é um retângulo especial e
também um losango especial.
- As diagonais do losango e quadrado são perpendiculares. No caso do quadrado as
diagonais possuem a mesma medida.
3. Comparando áreas e perímetros de paralelogramos
Objetivo: Perceber que área e perímetro de um polígono medem coisas diferentes.
Perímetro é a medida do comprimento da linha da linha poligonal que limita o polígono. Área é a
medida da superfície limitada por essa linha poligonal. Por isso, é possível ter figuras geométricas
planas que possuem o mesmo perímetro, mas que têm áreas diferentes e, por outro lado, ter figuras
geométricas planas que têm a mesma área, embora tenham perímetros diferentes.
Materiais necessários: figuras planas recortadas (quadriláteros), geoplano e borracha
circular do tipo usado em dinheiro de papel, papel quadriculado para registro.
Desenvolvimento:
Obs. Esta atividade destina-se a alunos que já tenham noções de perímetro e área.
3a. Para rever a definição de paralelogramo realizar a seguinte atividade.
Pesquise, juntamente com os alunos, a definição de paralelogramo e trapézio. Ofereça a
eles, diversos modelos de quadriláteros (fig. 25), propondo que separem estes modelos em dois
grupos, a partir da consideração da quantidade de pares de lados paralelos que possuem.
Questione:
- Que critérios você utilizou para realizar a classificação?
- Dentre os paralelogramos separados, é possível formar outros grupos? Como? Quais os
critérios que você utilizou?
Nesta atividade o professor poderá levar os alunos a perceberem que existem
paralelogramos que possuem a mesma medida dos lados (losangos) e se possuir além das mesmas
medidas ângulos retos, recebe o nome de quadrado.
FIGURA 25
3b. Com o geoplano e a borracha circular peça os alunos que construam paralelogramos de
mesma base e mesma altura (fig.26). Questione:
- Paralelogramos que tenham bases de mesma medida e alturas também de mesma medida
podem ter perímetros diferentes? E suas áreas, podem terá mesma medida também? Qual dos
paralelogramos da figura 26 possui o menor perímetro?
altura
FIGURA 26
Você consegue me dizer qual desses paralelogramos é o de maior área?Por quê?
3c. A próxima atividade promove a idéia de conservação de área. (fig. 27).
Peça aos alunos que construam paralelogramos retângulos de mesma área e com
perímetros diferentes.
- O que você observa? Existe outra maneira de representar as dimensões desta área?
Figura 27
3d. Para trabalhar com o princípio de crescimento de áreas de figuras semelhantes, peça
aos alunos que construam um quadrado de perímetro igual a 8 unidades de medida linear. E
questione, então:
- Se você fizer um outro quadrado com um lado de medida igual ao dobro da daquele que
você fez antes, qual vai ser agora a medida do perímetro? Ela vai ser quantas vezes a do primeiro
quadrado?
E o que acontece a área do segundo quadrado se comparada com a do primeiro?
FIGURA 28
- Se você triplicar a medida do lado do quadrado o que acontece com a área do quadrado
resultante?
Além das atividades com os paralelogramos, o professor pode utilizar o geoplano para
“criar” atividades com triângulos que tenham bases de mesma medida, tanto no caso de suas
alturas também terem a mesma medida ou não.
Nestas atividades, levar os alunos a perceber que:
FIGURA 29
* Todos os triângulos que tenham mesmo valor para a base e alturas de mesma medida,
também têm o mesmo valor para a área.
* A altura do triângulo pode estar situada fora da figura. Observe a altura dos triângulos
(fig. 29) referente aos lados a, a1, e a2.
Análise Didática
Com estas atividades espera-se que o aluno possa compreender algumas propriedades das
figuras geométricas, como:
- Paralelogramos de mesmo valor para a base e altura podem ter perímetros diferentes (fig.
26).
- Dentre os paralelogramos com mesma base e altura, o quadrado é o que tem menor
perímetro.
- Retângulos com perímetros diferentes podem apresentar a mesma área.
- A partir do quadrado, quanto mais aumentamos uma dimensão em relação à outra, mais
aumentará o perímetro de paralelogramos de mesma área.
- Dobrando a medida do lado do quadrado o seu perímetro dobra, mas a sua área é quatro
vezes a área do quadrado original.
CONCLUSÃO
A implementação de um Laboratório de Ensino de Matemática exige que o professor
esteja sempre em formação continuada, analisando e desenvolvendo materiais e formas de
possibilitar ao aluno – e a si mesmo – a elaboração de novos conhecimentos e o contato com o
conhecimento acumulado ao longo da história da humanidade. Esse motivo, por si só, já justifica a
sua presença nas escolas. E quanto à Geometria é uma área do conhecimento que pode e deve
utilizar-se de materiais que levem as aulas a se tornarem atraentes e significativas para os alunos.
Se alcançarmos este e outros objetivos, estaremos cumprindo o nosso papel como educadores.
REFERÊNCIAS:
LEIVAS, José Carlos Pinto. Geoplano. In: Curso de Aperfeiçoamento em Matemática – FURG.
Disponível em http://mathematikos.psico.ufrgs.br/textos/geoplan.pdf. Acesso em 10/12/2007.
LINDQUIST, Mary Montgomery, SHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando
Geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, l994.
MACHADO, Rosa Maria. Explorando o geoplano. Minicurso ministrado na II Bienal da
Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf .
Acesso em 17 dez. 2007.
PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da Geometria: uma visão histórica. 196
fls. Dissertação (Mestrado em Educação). Campinas, Faculdade de Educação da UNICAMP,
1989.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da
Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2006.
SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Experiências Matemáticas: 5ª série. Versão preliminar. São Paulo: SE/CENP, 1996. 411 p.
SCHEFFER, Nilce. O LEM na discussão de conceitos de geometria a partir das mídias: Dobradura
e Software dinâmico. In: Lorenzato, Sérgio (org.) O Laboratório de Ensino de Matemática na
formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 93-112.