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Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000
Sobre a Lei de Distribuic~
ao de Energia
no Espectro Normal
M. Planck
I
Introduc~ao
As medidas espectrais recentes realizadas por O. Lummer e E. Pringsheim1 e aquelas, ainda mais notaveis, de
H. Rubens e F. Kurlbaum2 , conrmam ambas um resultado estabelecido anteriormente por H. Beckmann3 .
Elas mostram que a lei da distribuic~ao de energia no espectro normal, inicialmente estabelecida por W. Wien
a partir de considerac~oes de cinetica molecular e deduzida, em seguida, por mim mesmo, a partir da teoria
da radiac~ao eletromagnetica , n~ao tem validade universal.
Em cada um desses casos, a teoria necessita de
uma correc~ao. Tentarei, no que se segue, fazer isto,
baseando-me na teoria da radiac~ao eletromagnetica que
eu mesmo desenvolvi. Sera necessario indicar, ent~ao, na
sequ^encia de raciocnios que conduzem a lei da distribuic~ao de energia de Wien, o argumento a ser modicado; este argumento devera ser ent~ao abandonado e
substitudo de forma apropriada.
Mostrei, em minha ultima exposic~ao sobre o
assunto4 , que as bases fsicas da teoria da radiac~ao
eletromagnetica, e inclusive a hipotese da \radiac~ao
natural"5 , resistem as crticas mais severas. Como, de
acordo com meu conhecimento, os calculos n~ao apresentam erros, ca estabelecido que a lei da distribuica~o
de energia no espectro normal se torna inteiramente
determinada quando se pode calcular a entropia S de
um ressonador radiante, oscilando de maneira monocromatica, em func~ao de sua energia de oscilac~ao U .
Obtem-se, ent~ao, a partir da relac~ao dS=dU = 1=, a
depend^encia da energia U em func~ao da temperatura
. Como, por outro lado, uma relac~
ao simples6 liga a
energia U e a densidade de radiac~ao a frequ^encia de
oscilac~ao correspondente, ocorre o mesmo com a depend^encia da densidade de radiac~ao em funca~o da tem-
peratura. A distribuic~ao de energia normal e, ent~ao,
aquela para a qual as diferentes densidades de radiac~ao,
correspondendo as diferentes frequ^encias de oscilac~ao,
possuem a mesma temperatura.
Assim todo o problema se resume a encontrar S em
func~ao de U , e o essencial da analise que se segue e
consagrado a soluc~ao dessa quest~ao. Em meu primeiro
estudo desse assunto, tinha, sem outra justicativa, colocado S como sendo, por denic~ao, uma funca~o simples
de U , e havia me contentado, em seguida, em provar que
esta forma da entropia satisfazia todas as exig^encias impostas pela termodin^amica. Pensava ent~ao que ela era a
unica express~ao possvel, e, portanto, que a lei de Wien,
que se seguia diretamente dela, possua necessariamente
uma validade universal.
Um exame ulterior mais aprofundado7 mostroume que devia haver outras express~oes satisfazendo as
exig^encias, e que uma condic~ao suplementar e necessaria para se calcular S sem ambiguidade. Acreditava ter encontrado esta condic~ao armando o que,
a epoca, me parecia plausvel e evidente a escolha
seguinte: na presenca de perturbac~oes irreversveis, pequenas e constantes, um sistema composto de N ressonadores id^enticos, colocados em um mesmo campo estacionario de radiac~ao, e encontrando-se nas vizinhancas
do equilbrio termico, vera aumentar sua entropia total SN = N S em func~ao apenas de sua energia total
UN = N U e de suas variac~
oes, sem que intervenha a a
energia U dos ressonadores individuais. Esta armac~ao
conduz necessariamente a lei de distribuica~o de energia
de Wien. Mas, como essa n~ao e vericada experimentalmente, somos levados a concluir que este princpio
n~ao pode ser correto em sua inteireza, e que a teoria
deve ser modicada.8
Deve-se, portanto, introduzir uma outra condic~ao
para permitir o calculo de S e, para isso, deve-se ana-
Artigo publicado no Annalen der Physik 4, 553 - 563 (1901), em que a id
eia de quantizaca~o de energia e aprimorada e calculos
mais elaborados s~ao apresentados em relac~ao a sua comunicac~ao de 14 de dezembro de 1900 numa sess~ao da Academia Alem~a de Fisica,
publicada em Verhandlungen den Deutshen Physicalishen Gessellschaft Bd. 2, 237-245 (1900). Traduc~ao de Ildeu de Castro Moreira.
1 O. Lummer e E. Pringsheim, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 2, 163 (1900)
2 H. Rubens e F. Kurlbaum, Stizungber. d. k. Wissensch. (Berlim), sess~
ao de 25 de outubro, p. 929 (1900).
3 H, Beckmann, Tese, T
ubingen, 1898. Ver tambem H. Rubens, Wied. Ann. 69, 582 (1899).
4 M. Planck, Ann. d. Physik 1, 719 (1900)
5 Radia
c~ao do corpo negro, N.T.
6 Ver tamb
em a Eq. (8) abaixo.
7 M. Planck, op. cit. p. 730 e seguintes.
8 Compare-se isto com as crticas j
a provocadas por esta armac~ao: ver W. Wien [Rapport au Congres de Paris 2, p. 40, 1900] e O.
Lummer [id. 2, p. 92, 1900].
539
M. Planck
lisar mais profundamente o signicado do conceito de
entropia. Uma indicac~ao sobre o caminho a seguir nos
e fornecida ao se examinar a insustentabilidade das suposic~oes anteriores. No que vem a seguir, exploramos
uma via que conduz a uma express~ao simples para a
entropia e consequentemente a uma nova formula para
a radiac~ao, que parece n~ao estar em contradic~ao com
varios dos resultados experimentais hoje observados.
II Calculo da Entropia de um
Ressonador em Func~ao da
Energia
1. A entropia depende da desordem, e esta desordem, de acordo com a teoria da radiac~ao eletromagnetica para oscilac~oes monocromaticas de um ressonador, quando ele se encontra em um campo de radiac~ao permanentemente estacionario, depende das irregularidades pelas quais ele varia constantemente em
amplitude e fase desde que consideremos intervalos
de tempo grandes em relac~ao a durac~ao de uma oscilac~ao, mas pequenos em relac~ao a durac~ao de uma
medida. Se amplitude e fase fossem ambas absolutamente constantes, as oscilac~oes se tornariam perfeitamente homog^eneas, a entropia n~ao poderia existir e a
energia de oscilac~ao deveria poder se transformar livre
e completamente em trabalho.
A energia constante U de um ressonador individual
oscilando de maneira estacionaria deve ser considerada
como um valor medio no tempo ou, o que que da no
mesmo, como o valor medio das energias de um grande
numero N de osciladores id^enticos, dentro do mesmo
campo estacionario de radiac~ao, sucientemente afastados uns dos outros para n~ao se inuenciarem mutu nesse sentido que nos referiremos a energia
amente. E
media U de um unico ressonador. Ent~ao, a energia total
UN = N U
(1)
de um tal sistema, formado por N ressonadores, corresponde uma certa entropia total
SN = N S
(2)
do mesmo sistema, em que S representa a entropia
media de um ressonador particular. Esta entropia SN
depende da desordem com a qual a energia total UN se
reparte entre os diferentes ressonadores individuais.
2. Consideremos agora que a entropia SN do sistema
e, a menos de uma constante aditiva arbitraria, proporcional ao logaritmo da probabilidade W , sendo que os
N ressonadores
UN :
t^em todos em conjunto a energia total
S
= k (log W ) + const:
(3)
No fundo, esta relac~ao se torna, me parece, uma
denic~ao da probabilidade W , porque, nas hipoteses
sobre as quais se baseia a teoria da radiac~ao eletromagnetica, nenhuma indicac~ao nos permite dar a esta
probabilidade um sentido ou outro. Convem utilizar
esta denic~ao por sua simplicidade, e tambem pela sua
conex~ao ntima com um teorema da teoria cinetica dos
gases9 .
3. Importa agora encontrar a probabilidade W , de
modo que os N ressonadores possuam em conjunto a
energia total UN . Para isto, sera necessario que UN
n~ao seja uma quantidade contnua, innitamente divisvel, mas antes uma grandeza discreta, composta de
um numero inteiro de partes nitas iguais. Denominemos " a tal parte elementar de energia; teremos, portanto:
UN = P ";
(4)
onde P representa um numero inteiro, em geral grande.
Deixaremos, no momento, indeterminado o valor de ".
evidente que agora a distribuic~ao dos P elemenE
tos de energia entre os N ressonadores so pode ocorrer
segundo um numero nito e determinado de maneiras.
Chamaremos cada uma destas repartic~oes de um \complexo" [complexion], segundo o termo utilizado por Boltzmann para uma noc~ao semelhante. Se designarmos os
ressonadores pelos numeros 1, 2, 3, ..., N , se os escrevermos uns em seguida aos outros, e se, debaixo de cada
ressonador, colocarmos o numero de elementos de energia que lhes s~ao atribudos quando de uma repartic~ao
arbitraria, obtemos para cada complexo um padr~ao da
seguinte forma:
1
7
2
38
3
11
4
0
5
9
6
2
7
20
8
4
9
4
10
5
Fizemos a suposic~ao aqui de que N = 10, P = 100.
O numero R de todos os complexos possveis e visivelmente igual ao numero de todos os arranjos possveis de
numeros que se pode obter para a linha inferior, quando
N e P forem xos. Para sermos precisos, notemos que
dois complexos devem ser considerados como distintos
se apresentarem os mesmos numeros, mas dispostos em
ordem diferente. A analise combinatoria nos diz que o
numero de complexos possveis e:
c
R
=
N (N
+ 1)(N + 2):::(N + P
1:2:3:::P
1)
=
(N + P 1)!
:
(N 1)!P !
9 L. Boltzmann, Sitzungber. d. k. Wissensch. zu Wien (Anais das sess~
oes da Academia Imperial de Ci^encias de Viena), (II) 76, 428
(1877).
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Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000
De acordo com a formula de Stirling temos, em primeira
aproximac~ao
N! = NN;
e, consequentemente, dentro dessa aproximac~ao
R
=
(N + P )N +P
NNP P
4. A hipotese sobre a qual queremos basear os calculos
a seguir pode ser assim enunciada: a probabilidade W
para que os ressonadores possuam em conjunto a energia de oscilac~ao UN deve ser proporcional ao numero
R de todos os complexos possveis formados pela repartic~ao da energia UN entre os N ressonadores. Em
outros termos, um complexo qualquer e t~ao provavel
quanto qualquer outro. Se essa hipotese e verdadeiramente realizada na natureza, em ultima analise so a experi^encia pode decidir. Se, de fato, a experi^encia decidir
a seu favor, a validade desta hipotese devera conduzir
a novas conclus~oes no domnio especco das oscilaco~es
dos ressonadores, notadamente sobre o carater \indiferenciado das celulas do espaco de fases de grandeza
inicialmente comparaveis" que aparece aqui, para retomar os termos de J. v. Kries.10 Prosseguir, contudo,
dentro desta via de reex~ao, parece prematuro no estado atual da quest~ao.
5. De acordo com a hipotese introduzida em conex~ao
com a Eq. (3), a entropia do sistema de ressonadores
sob considerac~ao, depois da determinac~ao adequada da
constante aditiva, e:
c
SN
= k log R = k f(N + P ) log(N + P )
e, considerando (4) e (1):
SN
= kN (1 +
N log N
U
U
) log(1 + )
"
"
U
"
P
log P g ;
(5)
U
log( ) :
"
Ent~ao, de acordo com a Eq. (2), a entropia S de um ressonador como func~ao da sua energia U sera dada por:
U
U
U
U
S = k (1 + ) log(1 + )
log( ) :
(6)
"
"
"
"
d
III
Introduc~ao a Lei de Deslocamento de Wien
6. Em seguida ao teorema de Kirchho da proporcionalidade do poder emissivo e absortivo, a chamada lei do
deslocamento, descoberta e batizada por W. Wien, que
inclui como um caso especial a lei de Stefan-Boltzmann
da depend^encia da radiac~ao total com a temperatura,
fornece a contribuic~ao mais valiosa aos fundamentos rmemente estabelecidos da teoria da radiac~ao termica.
Na forma dada por M. Thiesen11 , ela e assim expressa:
Ed = 5
()d;
em que e o comprimento de onda, Ed representa a
densidade volumetrica da radiac~ao do \corpo negro"12
dentro da regi~ao espectral e + d, representa a
temperatura, e (x) e uma certa func~ao do argumento
x apenas.
7. Desejamos agora examinar o que a lei de deslocamento de Wien arma sobre a depend^encia da entropia
de nosso ressonador em relac~ao a sua energia U e
seu perodo caracterstico, particularmente no caso geral em que o ressonador esteja situado em um meio
diatermico arbitrario.Com este objetivo, generalizamos
em seguida a forma da lei de Thiesen para a radiac~ao em
um meio diatermico arbitrario com a velocidade da luz
c. Desde que n~
ao temos que considerar a radiaca~o total,
mas somente a radiac~ao monocromatica, sera necessario
introduzir a frequ^encia , em vez do comprimento de
onda , para comparar diferentes meios diatermicos.
Vamos designar, ent~ao, por ud a densidade volumetrica de energia da radiac~ao correspondente as
frequ^encias e + d , com as substituic~oes: ud por
Ed, c= por e cd= 2 por d. Chegamos ent~
ao a
c 2 c u = 5
:
S
Ora, a lei bem conhecida de Kircho-Clausius nos
diz que a energia emitida por unidade de tempo por
uma superfcie negra em um meio diatermico e, para
10 Joh. v. Kries, Die principien der Wahrschleinlichkeitsrechnung (Os princpios do c
alculo das probabilidades) p. 36, Freiburg,
(1886).
11 M. Thiessen, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 2, 67 (1900).
12 Poder-se-ia falar, de maneira mais apropriada, de radia
c~ao \branca", generalizando convenientemente o que se chama habitualmente
de luz perfeitamente branca.
541
M. Planck
uma temperatura e um numero de ondas dado, inversamente proporcional ao quadrado c2 da velocidade
de propagac~ao da luz. A densidade espacial de energia
e portanto inversamente proporcional a c3 e obtemos
5 u=
2 3 f
da a relac~ao:
em que as constantes da func~ao f s~ao independentes de
c.
Em lugar disso, podemos escrever, se f sempre designar, no que se segue, uma nova func~ao de um so
argumento:
3 u=
;
(7)
3 f
em que c n~ao aparece mais explicitamente. Em lugar
disto podemos escrever tambem
U
:
= f
c
u=
na qual reencontramos o resultado bem conhecido que
a energia radiante u3 , contida em um cubo de um
comprimento de ondas a uma dada temperatura e
frequ^encia, e a mesma para todos os meios diatermicos.
8. Para passar agora da densidade espacial de radiac~ao u para a energia U de um ressonador estacionario
sncrono com o campo de radiac~oes onde se encontra,
com o numero de onda , utilizaremos a formula (34)
de minha exposic~ao13 sobre os processos radiantes irreversveis:
2
< = c2 U
(< e a intensidade de uma radiac~ao monocromatica, polarizada linearmente); o que, junto com a equac~ao bem
conhecida
8
u=
<
c
c3
Da e de (7), resulta:
U
c
8 2
= f
(8)
U:
;
9. Vamos introduzir nalmente a entropia S do ressonador, colocando
1 dS
=
:
(9)
Resulta que:
dU
1
dS
dU
= f
U
e integrando:
S
=f
U
(10)
;
ou seja, a entropia de um ressonador oscilando em um
meio diatermico depende apenas da variavel U= , e n~ao
contem nada alem do que constantes universais. Essa
e, a meu conhecimento, a forma mais simples da lei do
deslocamento de Wien.
10. Se aplicamos a lei do deslocamento de Wien, sob a
ultima forma, a express~ao (6) da entropia S , nos damos
conta que o elemento de energia " deve ser proporcional
ao numero de oscilac~oes , e que portanto
c
" = h:
Assim
S
=k
1+
U
h
log 1 +
U
h
U
h
log
U
h
d
gia procurada
em que h e k s~ao constantes universais.
Substituindo em (9), obtem-se:
k
h
1
=
log 1 +
;
h
U
=
u=
U
h
eh=k
1
;
(11)
e, a partir de (8), obtemos a lei de distribuic~ao de ener13 M.
Planck, Ann. Phys. 1, 99 (1900).
8h 3
c3
1
eh=k
1
:
(12)
Ou ainda, se substituirmos o numero de ondas pelo
comprimento de onda e, com a ajuda da relac~ao indicada no item 7, temos:
8ch
1
E=
:
5
ehc=k 1
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Revista Brasileira de Ensino de F
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Quanto as express~oes para a intensidade e para a entropia de uma radiac~ao se propagando em um meio
diatermico, e a lei do aumento da entropia total, em
processos de radiac~ao n~ao estacionarios, eu os desenvolverei em outro artigo.
IV Valores Numericos
11. Os valores das duas constantes naturais h e k podem ser determinados de maneira bastante precisa com
a ajuda das medidas disponveis. F. Kurlbaum14 encontrou que, se designamos St como a energia total radiada
no ar por 1 cm2 de um corpo negro, levado a uma temperatura de t graus centgrados, durante um segundo
c
S100
S0
= 0; 0731 Watt=cm2 = 7; 31 105 erg=cm2 s:
Da se obtem a densidade espacial da energia total da radiac~ao no ar a temperatura absoluta:
4 7; 31 105
3 1010
(3734
2734) = 7; 061 10 15 erg=cm3 grau4 :
Por outro lado, segundo (12), a densidade espacial da energia total radiada e, para = 1:
Z1
Z
8h 1 3 d
u =
ud = 3
c
0 Z
0 eh=k 1
1
h
i
8h
=
3 e h=k + e 2h=k + e 3h=k + ::: d
3
c
e, por integrac~oes sucessivas:
u=
0
4 h
1
1
1
48k 4
6
1
+
+
+
=
1; 0823:
c3
k
24 34 44
c3 h3
8h
d
Se colocarmos isto igual a 7; 061 10 15 , obtemos,
com c = 3 1010 :
k4
h3
= 1; 1682 1015 :
=
ch
4; 961k
:
Segue-se que:
= 0; 294 cm:grau:
Por outro lado, de (13), quando iguala-se a zero a derivada de E em relac~ao a , em que = m , tem-se:
ch
ch
1
exp
=1
5km km 14 F. Kurlbaum, Wied. Ann. 65, 759 (1898).
15 O. Lummer e E. Pringsheim, Verh. Deutsch.
m (13)
12. O. Lummer e E. Pringsheim15 determinaram que o
produto m , em que m e o comprimento de onda do
maximo da distribuic~ao em E no ar e a temperatura ,
vale 2940 .grau. Ou ainda, em unidades absolutas:
m e esta equac~ao transcendental fornece:
h
k
=
4; 9651 0; 294
= 4; 866 10 11 :
3 1010
Da e de (14) encontram-se os valores das constantes
naturais:
10 27 erg:s;
k = 1; 346 10 16 erg=grau:
h = 6; 55
Estes s~ao os mesmos valores indicados em minha comunicac~ao anterior.
Phys. Ges. 2, 176 (1900).