Funções racionais
Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial I
Ficha de trabalho nº
---------------------------------------------1.
Considere a função real, de variável real, definida por: f ( x ) =
− 2x 3 − 5x 2 + x + 1
.
x 2 + 3x + 2
Determine as assímptotas da imagem geométrica do gráfico de f.
2.
y
Ao lado encontra-se a imagem geométrica do
gráfico de uma função g.
2.1. Determine a expressão analítica da
função g, sabendo que:
¾ existem duas assímptotas, uma vertical e
uma oblíqua;
¾ a expressão analítica é do tipo
g ( x ) = ax + b +
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
– 4
– 3
– 2
c
, com a,b,c,d ∈ IR.
x+d
– 1– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
– 10
– 11
– 12
– 13
– 14
– 15
– 16
1
2
3
4
5
6
7
x
9
x
2.2. Complete:
2.2.1. lim+ g ( x) = ____
x→2
2.2.2. lim− g ( x) = ____
x→2
2.2.3. lim  g ( x) − ( ax + b )  = ____ (ax + b é a expressão que se encontra em 2.1)
x →+∞
2.2.4. lim  g ( x) − ( ax + b )  = ____ (ax + b é a expressão que se encontra em 2.1)
x →−∞
2.2.5. g é descontínua no ponto de abcissa x = ____
3.
Considere a imagem geométrica do gráfico da função h, representada na figura ao
lado.
y
3.1. Indique o domínio e o contradomínio da
função.
8
3.2. Resolva a inequação h(x) < 0.
5
3.3. Indique os intervalos de monotonia de h.
3
7
6
4
2
1
–5
–4
–3
–2
– 1
–1
–2
–3
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–4
–5
1
2
5
3
3
4
5
6
7
8
3.4. Determine a expressão analítica da função h, sabendo que é do tipo
h( x ) = a +
b
, com a,b,c ∈ IR.
x−c
3.5. Complete:
3.5.1. lim h( x) = ____
x →+∞
3.5.2. lim h( x) = ____
x →−∞
3.6. Indique as assímptotas ao gráfico da função f, assim definida:
f ( x) = −1 + h( x + 2) .
3.7. Determine a equação reduzida da recta que passa pelo zero da função h e
tem uma inclinação de -60º.
4.
Considere a imagem geométrica do gráfico da função g, representada na figura
seguinte:
y
10
8
6
4
2
– 10
– 8
– 6
– 4
– 2
2
– 2
– 4
– 6
– 8
4
6
8
10
x
4.1. Desenhe, no mesmo
referencial, a imagem
geométrica do gráfico da
função inversa de g.
4.2. Complete o gráfico de
modo que se tenha a
imagem gráfica de uma
função ímpar.
– 10
5.
Considere a função real de variável real, definida por: f ( x ) =
3x − 1
.
x +1
5.1. Escreva a expressão analítica da função f, na forma: f ( x ) = a +
b
.
x+c
5.2. Indique o domínio e o contradomínio da função.
5.3. Indique as assímptotas ao gráfico da função f.
5.4. Resolva, analiticamente, a inequação h(x) < 0.
5.5. Determine f −1 (2) , de duas formas: analiticamente e usando a máquina de
calcular.
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6.
Considere duas funções reais de variável real, f e g, cujas imagens geométricas
estão representadas na figura seguinte:
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Calcule:
6.1. ( g o f )(3)
6.2. ( g × f )( 2)
g
( −1)
f
6.3. 
6.4. f
−1
(− 3)
6.5. lim g ( x)
x →+∞
6.6. lim f ( x)
x →−∞
6.7. D g
f
7.
– 10– 9– 8– 7– 6– 5– 4– 3– 2–– 11
– 2
f
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
– 8
– 9
– 10
f
1 2
Considere, em IR, as funções assim definidas: g(x) = x + 2
g
3
4 5
h(x) =
6
7 8
9 10
3
x −1
7.1. Calcule (g o h)(4), (h o g)(0) e (h o h)(0)
7.2. Caracterize as funções:
7.2.1. g
o
h
7.2.2. h
o
h
7.2.3. h-1
8.
Considere as seguintes funções racionais: f ( x ) =
x+3
x2 − 2x
8.1. Determine o domínio de cada uma das expressões.
8.2. Caracterize as seguintes funções:
8.2.1. f – g
8.2.2.
g
f
8.3. Estude a paridade da função g.
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e
g( x) =
x
x −4
2
x
9.
Considere a função real de variável real, definida por f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x + 12 .
9.1. Sabendo que 3 é um zero de f, decomponha f(x) em factores.
9.2. Determine os zeros da função h assim definida: h( x ) =
9.3. Determine o domínio de
f ( x)
x2 − 9
f (x )
10. Pretende-se relacionar o comprimento da base com o
comprimento da altura de um rectângulo inscrito
numa circunferência de raio 8 cm.
10.1. Obtenha uma tabela com diferentes valores
(aproximados) para a base e para a altura do
rectângulo (construa 12 rectângulos num papel
milimétrico e anote os valores). Passe os valores
para uma máquina de calcular gráfica.
y
x
10.2. A partir da tabela anterior, esboce o gráfico
que relaciona a base com a altura do rectângulo.
x≠0ey≠0
10.3. Determine a fórmula que relaciona a altura com a base.
10.4. Considerando a fórmula anterior como uma função, determine, utilizando
a máquina de calcular gráfica:
10.4.1.
o gráfico da função (compare com o esboço obtido em 10.2);
10.4.2.
o domínio da função;
os comprimentos da base e da altura de modo a maximizarmos a
área do rectângulo.
10.4.3.
10.5. Tente responder a estas questões utilizando algumas aplicações
informáticas, como por exemplo, o GSP, Cabri, etc.
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