Departamento de Matemática e Engenharias
MATEMÁTICA GERAL
Licenciatura em Biologia
2o Semestre 2004/2005
Resoluções da folha de exercícios no 5
Funções reais de variável real
1. Valor lógico das afirmações:
1
1.1. Df = ]−∞, 0[ ∪ , +∞ é o domínio da função real de variável real
6
1
.
f (x) = log 3 −
2x
A afirmação é verdadeira, pois
1
1
6x − 1
Df = x ∈ R : 3 −
> 0 ∧ 2x = 0 = x ∈ R :
> 0 = ]−∞, 0[∪ , +∞ .
2x
2x
6
′
2
1.2. 8log8 (cos x) = − sin2 x.
′ ′
2
2
A afirmação é falsa, pois 8log8 (cos x) = log8 cos2 x 8log8 (cos x) log 8 =
=
−2 cos x sin x log8 (cos2 x)
8
log 8
log 8 cos2 x
1.3. A função g(x) =
sin 2x log8 (cos2 x)
= − cos
.
2 x8
5x − x2 − 6
, tem uma assímptota vertical em x = 2.
x−2
A afirmação é falsa, pois
5x − x2 − 6
− (x − 2) (x − 3)
lim g(x) = lim
= lim
= lim − (x − 3) = 1.
x−2
x−2
x→2±
x→2±
x→2±
x→2±
√
x2 − 9
tem um máximo.
1.4. Em x = 3 3 a função h(x) =
x3
A afirmação é verdadeira.
2
′
x −9
4
2
2x4 −3x2 (x2 −9)
′
Temos h (x) =
=
= −x x+27x
=
6
6
x
3
x
1
−x2 +27
.
x4
Assim, h′ (x) = 0 ⇔
x
h′ (x)
h (x)
√
= 0 ⇔ −x2 + 27 = 0 ∧ x = 0 ⇔ x2 = 27 ⇔ x = ±3 3
√
√
−3 3
0
3 3
+∞
0
+ / +
0
−
−
min . ր / ր Máx. ց ց
−x2 +27
x4
−∞
−
ց
−
ց

1 − x2



x
1.5. A função f(x) =

2x
−1


x−2
x>0
não é diferenciável em x = −1.
x≤0
A afirmação é falsa.
Para x < 0 temos
f ′ (x)
=
2x − 1
x−2
′
=
2(x−2)−2x+1
(x−2)2
3
= − (x−2)
2,
3
1
portanto f ′ (−1) = − (−3)
2 = −3.
2. Calculo da expressão da derivada de ordem n da função j(x) = 2−5x .
j(x) = 2−5x ⇒ j ′ (x) = −5 · 2−5x · ln 2 ⇒ j ′′ (x) = (−5)2 · 2−5x · ln2 2 ⇒
⇒ j ′′′ (x) = (−5)3 · 2−5x · ln3 2
Concluimos, assim, que j (n) (x) = (−5)n · 2−5x · lnn 2, para n ≥ 0.
3. Calculo de limites:



π

2 cos 2x − sin
+x
 sin 2x + cos 2 + x 


2  = lim  
3.1. lim 



 = +∞
x→0
3
3
3
R.C. x→0
3
x sin
sin
πx
πx + x 2 π cos
πx
2
2
2
2x
log x2 + 1
2
2x
= lim x +1 = lim 2 log π(x
3.2. lim
2 +1) = 0
x→+∞
x→+∞
R.C. x→+∞ 2 log π
2x log π
π
4. k =? para que lim
n→+∞
lim
n→+∞
3n − k
3n + 2k
n
1
= e−3k 3 = e−k ,
Assim, lim
n→+∞
3n − k
3n + 2k
n
= e2 .

3n  13
3n−k
1−
3n
 = lim
= lim  3n+2k
n→+∞
n→+∞
1+
3n
3n − k
3n + 2k
n
k 3n 3
3n
2k 3n
3n
= e2 ⇔ e−k = e2 ⇔ −k = 2 ⇔ k = −2.
2
1
=
e−k
e2k
31
=
5. Estudo completo da função

x2 − 1



x − x3
f(x) =

x2


x+1
Domínio: Df = R
x < −2
−2 ≤ x ≤ 2
x>2
2
2
x
3
=0∧x>2 ⇔
Zeros: f (x) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ∧ x < −2 ∨ x − x = 0 ∧ −2 ≤ x ≤ 2 ∨
x+1
⇔ x2 = 1 ∧ x < −2 ∨ x 1 − x2 = 0 ∧ −2 ≤ x ≤ 2 ∨ (x = 0 ∧ x = −1 ∧ x > 2) ⇔
⇔ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1
Assimptotas:
- Verticais:
Analisando a função f, verificamos que as únicas possíveis assimptotas verticais são x = −2
e x = 2.
lim f (x) = lim x − x3 = −2 + 8 = 6
x→−2+
x→−2+
lim f (x) = lim x2 − 1 = 3, logo x = −2 não é assimptota vertical.
x→−2−
x→−2−
lim f (x) = lim
x→2+
x→2+
x2
=
x+1
4
3
lim f (x) = lim x − x3 = 2 − 8 = −6, logo x = 2 não é assimptota vertical.
x→2−
x→2−
- Obliquas: (assimptotas com equações do tipo y = mx + b)
f (x)
x→+∞ x
m = lim
x2
1 = lim
= lim x +
x
x2
= 1,
x→+∞ x2 + x
x→+∞
x2
x2 − x2 − x
− x = lim
= −1
x→+∞ x + 1
x→+∞
x+1
b = lim (f (x) − mx) = lim
x→+∞
m = lim
x→−∞
f (x)
x
= lim
x→−∞
x2 −1
x
= −∞,
Concluimos assim que existe uma assimptota obliqua: y = x − 1 (quando x → +∞).
Monotonia e Extremos:
′
Para x < −2, f ′ (x) = x2 − 1 = 2x
′
Para −2 < x < 2, f ′ (x) = x − x3 = 1 − 3x2
3
Para x > 2,
f ′ (x)
f ′ (2− ) = lim
x→2−
f ′ (2+ ) = lim
x→2+
=
x2
x+1
′
=
2x(x+1)−x2
(x+1)2
=
x2 +2x
(x+1)2
−(x−2)(x2 +2x+3)
x−2
f (x)−f (2)
x−2
= lim
f (x)−f (2)
x−2
x2
+6
1 = lim
= lim x +
x−2
x→2−
x−x3 +6
x−2
= lim
x→2−
x→2+
x→2+
= −11
x2 + 6x + 6
= +∞, portanto ∄f ′ (2).
(x + 1) (x − 2)
−(x+2)(x2 −2x+3)
x+2
f ′ (−2+ ) = lim
f (x)−f (−2)
x+2
= lim
x−x3 −6
x+2
= lim
f ′ (−2− ) = lim
f (x)−f (−2)
x+2
= lim
x2 −1−6
x+2
= +∞, portanto ∄f ′ (−2).
x→−2+
x→−2−


 2x
′
1 − 3x2
Assim f (x) =

 x2 +2x2
x→−2+
x→−2−
x→−2+
= −11
, se x < −2
, se −2 < x < 2
, se x > 2
(x+1)
f ′ (x) = 0 ⇔ 1 − 3x2 = 0 ∧ −2 < x < 2 ⇔ 3x2 = 1 ∧ −2 < x < 2 ⇔ x = ± 13
3
2
1
E temos, f ± 13 = ± 13 − ± 13 = ± 13 ∓ 3√
= ± 3√
3
3
Concavidades e Pontos de Inflexão:
Para x < −2, f ′′ (x) = (2x)′ = 2
′
Para −2 < x < 2, f ′′ (x) = 1 − 3x2 = −6x
Para x > 2,
′
2
x +2x
=
f ′′ (x) = (x+1)
2
(2x+2)(x+1)2 −2(x+1)(x2 +2x)
4
(x+1)


 2
′′
−6x
Assim f (x) =

2

3
(x+1)
−
+
ց
⌣
−2
/
/
6
−
+
ց
⌣
(2x+2)(x+1)−2(x2 +2x)
(x+1)3
=
2
(x+1)3
, se x < −2
, se −2 < x < 2
, se x > 2
f ′′ (x) = 0 ⇔ x = 0
x
f ′ (x)
f ′′ (x)
f(x)
=
−1
−
+
0
−
+
ց
⌣
− 13
0
+
2
− 3√
3
min .
+
+
ր
⌣
4
0
+
0
0
P.I.
+
−
ր
⌢
1
3
0
−
2
√
3 3
Máx.
−
−
ց
⌢
1
−
−
0
−
−
ց
⌢
2
/
/
−6
+
+
ր
⌣
Representação Gráfica:
6
4
2
-4
0
-2
-2
-4
-6
5
2
x
4