CADERNO DE
RESOLUÇÕES
CONCURSO AFA 2010
INGLÊS e MATEMÁTICA
O ELITE CURITIBA aprova mais porque tem qualidade, seriedade e
profissionalismo como lemas. Confira nossos resultados e comprove
porque temos mais a oferecer.
15/AGO/2009
Escola Naval
2009: Único a aprovar no PR e em SC!
2008: 9 aprovados
2007: 70% de aprovação na 1ª fase
2005: 100% de aprovação!
AFA
2009: 15 aprovados entre os 20 do Paraná
(incluindo os 3 primeiros lugares)
Leonardo Augusto Seki: 2º lugar nacional e
1º do Paraná!
2008: 13 aprovados
1ºs lugares do Paraná em
todas as opções de carreira
2007: 10 dos 14 convocados do Paraná
2006: 11 dos 18 convocados do PR, incluindo:
1º Lugar do Paraná (6° do Brasil) em Aviação
1º Lugar do Paraná (9º do Brasil) em Intendência
UFPR
2009: 17 aprovados
2008: 9 aprovados
2007: 70% de aprovação na 1ª fase
2006: 1° Lugar em Eng. Mecânica
2° Lugar em Eng. Eletrônica
2005: 1ºLugar Direito (matutino)
1ºLugar Relações Públicas
UFTPR
Inverno 2009:
16 aprovações nos
cursos mais concorridos
Inverno 2008:
1º, 2º e 4º lugares em Eng. Ind. Mecânica
1º e 2º lugares em Eng. Eletrônica /
Eletrotécnica
1º lugar em Eng. de Computação
Verão 2008: 13 aprovados
2007: 11 aprovados em vários cursos
2006: 1° Lugar em Eng. Mecânica
2° Lugar em Eng. Eletrônica
2005: 85% de aprovação em
Engenharia, com 5 dos 8 1ºs
colocados de Eng. Mecânica.
ITA
Elite Curitiba: 5 anos de existência,
5 anos de aprovações no ITA !!!
11 alunos aprovados!
LEONARDO FRISSO MATTEDI (ITA 2009)
JULIANO A. DE BONFIM GRIPP (ITA 2008)
LUCAS BRIANEZ FONTOURA (ITA 2008)
MAURICIO FLAVIO D. DE MORAES (ITA 2008)
CAMILA SARDETO DEOLINDO (ITA 2007)
VITOR ALEXANDRE C. MARTINS (ITA 2007)
GABRIEL KENDJY KOIKE (ITA 2006)
RICARDO ITIRO SABOTA TOMINAGA (ITA 2006)
YVES CONSELVAN (ITA 2006)
EDUARDO HENRIQUE LEITNER (ITA 2005)
FELLIPE LEONARDO CARVALHO (ITA 2005)
IME
2009: Do SUL inteiro foram 8 aprovados,
todos de Curitiba, e 6 são ELITE !!!
2008: 10 aprovados (3 primeiros da Ativa, 5º
da Ativa e 6 entre os 10 1ºs da
Reserva)
2007: 11 dos 16 aprovados do Paraná,
incluindo os 4 melhores da ativa e os
4 melhores da reserva
2006: Os 4 únicos aprovados do Paraná
2005: 7 aprovados e os 3 únicos
convocados do Paraná
Só no ELITE você encontra:
Simulados semanais/quinzenais;
A maior carga horária.
Os melhores professores!
ESPCEX
2009: Dos 10 primeiros colocados de
Curitiba, 5 são ELITE! E dos 26
aprovados em Curitiba, 10 são ELITE!
2008: 9 aprovados
GUILHERME PAPATOLO CONCEIÇÃO
1º do Paraná e 9º do Brasil
BRUNO TRENTINI LOPES RIBEIRO
2º do Paraná e 32º do Brasil
2007: 9 alunos convocados no Paraná
2006: 9 alunos convocados no Paraná (turma de
20 alunos)
2005: 100% de aprovação!
Fone :
EPCAr
2007: 3 dos 4 convocados do Paraná
2006: 2 convocados
2005: 1º lugar do Paraná
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EEAR
2009: 3 aprovações
MURILO RODRIGUES MESQUITA
ROMULO CORREA DA SILVA COSTA
GUILHERME RODOLFO HALUCH CASAGRANDE
2008: 4 aprovações
(2ºs lugares dos grupos 1 e 2)
2006: 2 convocados
CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA
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RESOLUÇÕES
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INGLÊS e MATEMÁTICA
04. Mark the option which contains the correct Question Tag of the
following sentence.
“She has not yet demonstrated a link between increased brainwaves and
suicidal tendencies…”
a) Hasn’t she?
b) Has she?
c) Does she?
d) Doesn’t she?
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 04: Alternativa B
Segundo a regra grammatical, toda Tag Question deve ser escrita na
forma contrária da oração principal, ou seja, se a oração principal vier na
negativa, a tag question virá na afirmativa. Caso a oração principal vier
na afirmativa, a tag question virá na negativa. Sempre obedecendo o
auxiliar ou verbo modal da oração principal. Como na questão, a oração
dada está no present perfect(have/hás+past participle of the main verb)
na negativa, a tag question virá então na afirmativa seguindo a mesma
forma verbal. Por essa razão a opção correta é a letra b.
INGLÊS
Read the text below to answer questions 01 to 05.
Spectacular Northern Lights linked to suicidal depression
05
10
15
20
25
30
15/AGO/2009
Alaska´s tragically high number of suicide may be
related to cosmic storms and the Northern Lights
(aurora borealis), according to an expert in the study
of brainwaves.
Depression in the Far North has in general been
attributed to
the deep, dark and long
winters.
But
Dr.
Anita
Bush,
_______
specializes
in
electroencephalography, has complicated
matters by
discovering a link between solar flames and brainwave
activity in two sets of Alaskans she has studied for the
past five years.
The
microscopic
electric
impulses
were
concentrated in the area of the brain known also to
cause seasonal affective depression (SAD), the
condition up to now blamed for dozens of suicides each
year in the remote Alaskan coast. Suicide levels among
the state’s 15 to 24-year-olds have risen sharply in
recent years, to six times the national average, says
Dr. Bush.
She has not yet demonstrated a link between
increased brainwaves and suicidal tendencies but she
thinks existing data on supposed SAD cases may in
fact include cases of suicide induced by geomagnetism.
For now she has suggested that special dark glasses,
worn against solar flames and the Northern Lights,
_______ elevate morale among the suicidal.
Some of her skeptical colleagues as Professor Tom
Hallinan, one of a team studying the aurora, recently
insisted that the most serious health risk in watching
the Alaskan night sky was a cricked neck.
05. Considering the Reported Speech, Dr. Bush said that
a)
Among the states, suicide levels are risen sharply to six times.
b)
Suicide levels rose sharply in recent years.
c)
In recent years, suicide levels had risen sharply to six times.
d)
Suicide among 15 to 24-year-olds rises in recent ten years.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 05: Alternativa B
Considerando que o assunto abordado na questão trata-se de forma de
discurso, podemos afirmar que a forma compatível de discurso com o
que foi dito, lembrando que o que foi dito já passou, é a letra b, pois
segue a norma de adaptação do tempo verbal do texto ao tempo verbal
da questão.
Read the dialogue between Melanie and Sam and then choose
the correct alternatives according to it.
05
Adapted from Advance Your English - Cambridge University Press
01. The correct words to fill the gaps (lines 07 and 26) are
a)
That/may
b)
Who/might
c)
Which/could
d)
That/should
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 01: Alternativa B
Na linha de número 7 completamos com o pronome WHO, pois estamos
fazendo referência a Doutora Anita e, de acordo com a gramática,
utilizamos WHO para fazermos referência à pessoa. A alternativa b é a
única compatível com a norma.
10
15
20
02. One of the causes of the high number of suicides in the Far North may
be the
a)
Microscopic electric impulses caused by brainwaves activities
attributed to dark glasses.
b)
Absence of light resulting from a long season associated to
geomagnetism.
c)
Northern lights that increase the morale among the Alaskans.
d)
Link between Aurora Borealis and serious health risks, such as
backaches, discovered by Dr. Anita.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 02: Alternativa B
Segundo o autor uma das causas da depressão é a falta de luz associada
a questões geomagnéticas da região. Na alternativa b e a alternativa d,
podem ser discutíveis. Sendo assim, devido ao texto não fazer menção a
problemas de saúde, elimina-se a questão de letra d.
25
Ad apted from True Co lo rs - L on gman
06. “…he´d be in touch.” (line 24) means that he
a) had already been in touch in the past.
b) has already been in touch.
c) will be in touch in the future.
d) was going to be in touch.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 06: Alternativa C
Quando o Sam diz o trecho apresentado, ele está reportando uma fala
do entrevistador. Como foi explicado na questão 05, quando passamos
o “will” do discurso direto para o discurso indireto, devemos usar o
“would”. Em “...he´d been in touch” temos a forma contraída de “would”.
Passando para o discurso direto, a frase ficaria: “…I will be in touch”,
dando a idéia de que ele entrará em contato no futuro. É exatamente
isso que expressa a alternativa C.
A alternativa A afirma que ele já havia entrado em contato no passado.
A alternativa B, que ele já entrou em contato e a D que ele iria entrar em
contato, mas por algum motivo não o fez.
03. The best word to describe Professor Hallinan’s reaction to Dr. Bush’s
proposition is
a)
Doubt
b)
Surprise
c)
Belief
d)
Confidence
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 03: Alternativa A
Na passagem, “Some of her skeptical colleagues as Professor Tom
Hallinan…”, o autor utilize a palavra, skeptical, que em inglês quer
dizer cético. Assim, a melhor palavra que descreve a proposição do
professor mencionado é letra a, com a palavra dúvida.
CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA
Mela nie: H i, Sam. H ow was you r interview?
Hi, ho ney…W e ll, I tho ugh t th e interview
itself w ent re ally we ll.
Mela nie: T hen wh y the sa d fa ce ?
Sa m:
I think I fa ile d. I was late g etting th ere .
Mela nie: Oh , no . Re ally? W ha t ha ppe ne d?
Sa m:
I missed the train. Th e interview wa s
su ppo se d to start at 1 0. W e ll, I wa s at the
train sta tion b y 8:30 .
I b oug ht m y ticket, a nd the n I p ut my wa lle t
do wn for a fe w se co nds. W hen I tu rn ed
aroun d, it was g on e. I sp ent te n or fifte en
minutes trying to fin d it.
But I ne ve r did.
Mela nie: W ha t did yo u te ll the interviewe r?
Sa m:
T he truth. I said I’d missed th e train. A nd I
sa id I was sorry for bein g la te .
Mela nie: Didn ’t you tell him a bo ut yo ur wallet?
Sa m:
No . I was sure h e’d think I wa s just ma king
an excu se. I do n’t th ink he even be lieved
me ab out missing the train.
Mela nie: W ha t did h e say a t the en d of th e in te rview?
Sa m:
He said my qu alifica tion s were really go od
an d he ’d b e in tou ch. You kn ow, “Do n’t call
us. W e’ll call you.”
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CONCURSO AFA 2010
INGLÊS e MATEMÁTICA
07. The Direct Speech of the two sentences “…I´d missed the train.” and
“… I was sorry…” (lines 16 and 17) is
a) “I missed the train” and “I am sorry”.
b) “I miss the train” and “I was sorry”.
c) “I have been missing the train” and “I was sorry”.
d) “I would miss the train” and “I have been sorry”.
05
10
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 07: Alternativa A
Novamente nos reportaremos ao quadro da resolução da questão 05
para formar o Discurso Direto das duas frases apresentadas.
A frase “...I´d missed the train” está no Passado Perfeito (I had missed).
A única alternativa que apresenta um tempo verbal passível de ser
transformado em Passado Perfeito é a A, em que “I missed the train”
está no Passado Simples. Da mesma forma, “I am sorry” é corretamente
transposto para o Discurso Indireto como “I was sorry”, em que o “to be”
passa do Presente para o Passado.
New York. ‘To start with the immigration officer
________ me where I was from and why I’d come to the
States. That wasn’t a problem. But then she wanted to
know how much money I had. When I told her, she said
$800 wasn’t enough for three weeks. She wondered why
I hadn´t brought more. She then ____ me if I intended
to work. She wanted to know if I really planned to go
back to the UK after three weeks.’
English Grammar in Stepts – Richmond
11. Mark the alternative that completes the gaps (lines 04 and 08) correctly.
a) asked / asked
c) said / tell
b) told to / said
d) tell / told to
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 11: Alternativa A
As lacunas das linhas solicitadas devem ser preenchidas por verbos que
estejam no Past Simple, pois trata-se de uma situação já ocorrida. Na
verdade, o verbo a ser utilizado é “to ask” porque o turista é questionado
sobre os motivos da sua ida aos Estados Unidos, bem como o valor
levado.
08. When the interviewer said, “Don´t call us” (line 25) he
a) suggested don´t call us.
b) told not to call him.
c) advised not to call them.
d) asked didn´t call us.
12. The contraction ‘d (line 04) means
a) had
c) did
b) would
d) do
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 08: Alternativa C
Mais uma vez, temos um caso de Discurso Indireto. Aqui, entretanto,
devemos transportar uma oração Imperativa Negativa.
Para fazê-lo devemos acrescentar o NOT+Infinitivo.
A alternativa A usa o “don´t” ao invés de somente o “not” e não usa o
infinitivo.
A alternativa B usa corretamente o not+infinitivo, mas transporta
incorretamente o pronome “us” (nós) para “him” (ele).
A alternativa D usa o “didn´t” ao invés do “not” e não usa o infinitivo.
A alternativa correta é a C, pois usa corretamente Not+infinitivo e
transporta o pronome “us” (nós) para “them” (eles). Lembrando que, no
contexto, “Don´t call us” significa “Não ligue para nós”. Assim, o que foi
pedido, é que o candidato não ligasse para eles.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 12: Alternativa A
A contração com apóstrofe, seguido da letra “d”, apresenta duas
possibilidades: valor de condicional ou Past Perfect (“passado do
passado”). Na situação do texto, teremos a segunda opção, pois
sabemos que a pergunta feita pelo funcionário do aeroporto foi realizada,
obviamente, depois da chegada do turista.
13. At the airport Nick
a) met his American girlfriend.
b) planned to go back to New York.
c) answered some questions.
d) talked to the policemen.
That’s my job
05
15/AGO/2009
This is a story about four people: Everybody,
Somebody, Anybody, and Nobody. There was an
important job to be done and Everybody was sure that
Somebody would do it. Anybody could have done it, but
Nobody did. Somebody got angry about that because it
was Everybody’s job. Everybody thought Anybody could
do it, but Nobody realized that Everybody wouldn’t do it.
It ended up that Everybody blamed Somebody when
Nobody did what Anybody could have done.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 13: Alternativa C
A linha 02 do texto deixa bem clara a situação: “the questions he was
asked at Kennedy Airport”.
14. The word “enough” (line 07) can be replaced in the text above by
a) inadequate.
c) efficient
b) enormous
d) sufficient
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 14: Alternativa D
O vocábulo “enough” traz a idéia de algo que esteja em quantidade
necessária. Portanto, seu cognato “sufficient” serve como sinônimo.
09. According to the text above you’ve just read, who in fact, performed the
job was
a) Everybody
b) Nobody
c) Anybody
d) Somebody
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 09: Alternativa B
O jogo de palavras utilizado ironicamente no texto pode induzir à alguma
confusão. Entretanto, é preciso perceber que os pronomes indefinidos
estão sendo utilizados como nomes próprios para quatro pessoas. Assim,
na linha 05 percebemos a referência a qual sujeito teria realmente
realizado a tarefa (“Nobody did”). Outra referência no texto pode ser
encontrada na última linha do texto, onde consta: “Everybody blamed
Somebody when Nobody did what Anybody could have done”.
Rosana Fisher works at an outdoor activities centre on the west coast of
Scotland. She teaches mountain climbing, scuba diving and hang-gliding.
She’s talking to some young people who’ve just arrived at the centre:
I.
‘You can’t do any of the activities unless you’re with an instructor.’
II.
‘We won’t let you start an activity if you don’t have the correct
equipment.’
III.
‘You can’t go scuba diving unless you’ve done the training course.’
IV.
‘Remember you can’t leave the centre unless you say where you’re
going.’
English Grammar in Steps – Richmond
10. The pronoun “it” (line 07) refers to
a) the story
b) someone
c) the job
d) Nobody
15. Mark the option witch shows another way to rewrite the conditional
sentences above, correctly.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 10: Alternativa C
O pronome objeto “it” substitui o substantivo “job” que aparece na linha
anterior. Essa substituição, utilizada principalmente para evitar a
repetição do mesmo termo e atribuir maior fluidez à linguagem, pode ser
verificada ao desfazermos o processo. Vejamos: “Somebody got angry
about that because it was Everybody’s job. Everybody thought Anybody
could do the job, but Nobody did”.
I. You can do none of the activities if you don’t be with an instructor.
II. We will not let you start an activity unless you have the correct
equipment.
III. You cannot going scuba diving if you haven’t done the training course.
IV. Remember you can’t leave the centre if you don’t say where you go.
a) I, II and III.
b) II and IV.
c) I, II and IV.
Nick, a British tourist, is telling his American girlfriend
about the questions he was asked at Kennedy Airport,
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d) III and IV.
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20. According to the paragraph
a) in the past people didn’t appreciate arts.
b) nowadays people spend less time visiting art galleries.
c) only ten years ago people liked to visit art galleries.
d) we only relax visiting interesting places.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 15: Alternativa B
I.
Corrigir-se-ia “...don’t be” por “aren’t”.
II.
CORRETA
III.
Após verbos modais como “can” deve-se usar base-form, logo a
forma correta seria “...cannot go...”
IV.
CORRETA
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 20: Alternativa B
Traduzindo o texto:
“Até mesmo quando relaxamos, nós fazemos tudo mais rapidamente. Dez
anos atrás, quando as pessoas iam às galerias de arte, elas passavam
dez segundos olhando para cada quadro. Hoje elas gastam apenas três
segundos!”
16. According to the text, Rosana Fisher is
a) explaimimg the importance of sports.
b) inviting the readers to practice her activities.
c) teaching who have always attended her classes.
d) establishing conditions.
A alternativa A afirma que no passado as pessoas não gostavam de arte,
o que não é verdade. A alternativa C afirma que somente dez anos atrás
as pessoas gostavam de visitar galerias de arte, o que também não se
sustenta pelo texto. A alternativa D diz que nós somente relaxamos
quando visitamos lugares interessantes, o que não está presente no
texto.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 16: Alternativa D
As frases dadas são condições para participar das aulas. Cabe destacar
também que as estruturas “if” e “unless” deixam claro o caráter
condicional das frases.
All light on the night
05
10
15
15/AGO/2009
A alternativa B diz que hoje em dia as pessoas passam menos tempo
visitando galerias de arte. Na verdade, o texto diz claramente que as
pessoas hoje gastam menos tempo apreciando cada quadro, o que não
necessariamente significa que as pessoas gastam menos tempo visitando
as galerias. Deve-se observar, por exemplo, que as galerias de arte
poderiam ter aumentado de tamanho neste período ou ainda que, com a
mudança de hábitos que tem ocorrido, poder-se-ia considerar que as
pessoas passaram a apreciar uma parcela maior do total de quadros das
galerias do que 10 anos atrás.
Our cities and towns are far from silent at
night. As most of _______ are going to bed, a lot of
workers are just going to their jobs. It is estimated
that up to a fifth of the working population carries
out its duties at night – running hospitals and
maintaining power stations, for example.
There is one problem: They have the same
biological clock as day workers. Night workers often
have trouble sleeping through the day, and
sometimes find _______ harder to stay awake, which
means mistakes are more likely to happen. Dr
Lawrence Smith, a psychologist, discovered that
among people who do the same job, night workers
suffered 20% more injuries than day workers.
He is now testing the theory that the light can
be used to fool the human body clock. The body clock
appears to be influenced by light, because one
chemical at its disposal is sensitive to light.
Em todo o caso, considerando o título do texto, que afirma que as pessoas
atualmente não têm tempo para relaxar, a alternativa B torna-se a única
alternativa válida.
NOTA: no trecho “when people went to art galleries they spend…” o verbo
“to spend” deveria ser empregado no passado, ou seja, deveria ser
utilizado spent ao invest de spend.
MATEMÁTICA
Adapted from Advance your English
21. Uma pequena fábrica de cintos paga a seus funcionários o salário,
conforme tabela abaixo
17. Mark the correct pronouns to fill in the blanks (lines 02 and 10).
a) us / it.
b) them / they.
c) you / him.
d) me / ours.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 17: Alternativa A
Como há o uso da preposição “of”, é necessário usar o pronome objetivo.
Logo usa-se “us” pelo sujeito da oração ser “our cities”. A segunda lacuna
também é completada pelo pronome objetivo “it” para representar o
objeto da oração, que indica o fato dos trabalhadores noturnos
frequentemente terem problemas para dormir durante o dia.
CARGO
COSTUREIRO(A)
SECRETÁRIO(A)
CONSULTOR
GERENTE
a)
b)
c)
d)
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 18: Alternativa C
A única alternativa que apresenta o present continuous para se fazer a
mudança da voz ativa para a passiva, como no enunciado, é a letra C.
5 500
5 000
3 300
3 000
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 21: Alternativa A
A média dos salários é dada por:
d) whom.
1000.10 + 1500.4 + 2000.3 + x.1 22000 + x
=
10 + 4 + 3 + 1
18
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 19: Alternativa A
O pronome relativo “who” pode ser substituído por “that”, por se referir a
“people”.
Aumentando-se todos os salários de 10%, a nova média salarial é
também aumentada de 10%. Assim temos:
No time to relax
1650.18
 22000 + x 
= 27000 ⇒

 .1,1 = 1650 ⇒ 22000 + x =
18
1,1


x = 27000 − 22000 = 5000
Even when we relax we do everything more quickly. Ten years
ago when people went to art galleries they spend ten seconds
looking at each picture. Today they spend just three seconds!
Oxford, New English File
CURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA
Nº DE
FUNCIONÁRIOS
10
4
3
1
Certo mês, houve um aumento de 10% sobre os salários da tabela acima
para todos os cargos.
Sabendo-se que a nova média salarial passou a ser de 1650 reais, o novo
salário do gerente é, em reais, igual a
18. The Passive Voice of the sentence ‘He is now testing the theory…’ (line
15) is
a) Now the theory was testing by him.
b) The theory was now tested.
c) The theory is being tested now.
d) He tested the theory.
19. We can the pronoun ‘who’ (line 13) by
a) that. b) whose.
c) which.
SALÁRIOS
(em reais)
1 000
1 500
2 000
x
O novo salário do gerente é 5000.1,1 = 5500 .
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24. Observe a função polinomial P esboçada no gráfico abaixo.
22. Sejam z = x + yi (x ∈ IR*, y∈ IR* e i a unidade imaginária), z o
conjugado de Z e λ o lugar geométrico dos pontos P (x,y) do plano
cartesiano para os quais. z. z = 2x+3. Se A e B são os pontos de
interseção de λ com o eixo
t
Ox
t
Oy
15/AGO/2009
e se A’ é o ponto de interseção de λ com
o eixo
que possui a menor abscissa, então a área do triângulo A’AB
é, em unidades de área, igual a
3
a) 2
c)
2
b) 2
3
2
d)
Sabe-se que x = 0 ou x = 2 são raízes de P e que o resto da divisão de
P(x) por [(x-2).(x-1).x] é R(x)
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 22: Alternativa C
Cálculo do módulo do complexo z=
Utilizando a relação
2
z. z = | z |
x +y
2
2
As raízes de R(x) são números
a) inteiros pares.
b) inteiros ímpares.
c) fracionários opostos.
d) irracionais opostos.
, vem:
2 x + 3 = x 2 + y 2 ⇒ ( x − 1) 2 + y 2 = 2 2
t
Oy
Logo, trata-se de uma circunferência de centro C: (1;0) e raio R=2.
Como os pontos A e B são os pontos de interseção com o eixo
sabemos que a abscissa desses pontos será x=0, assim:
(0 −1) 2 + y 2 = 22 ⇒ y = ± 3
,
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 24: Alternativa A
P(x) = [(x-2).(x-1).x].Q(x) + R(x)
t
Se o divisor de P(x) é de terceiro grau, então o resto R(x), é de grau 2.
Assim:
P(x) = [(x-2).(x-1).x].Q(x) + (ax2 + bx + c)
Como o ponto A’ é a interseção com a circunferência e o eixo Ox ,
sabemos que a ordenada vale y=0, assim:
( x − 1) 2 + 0 2 = 22 ⇒ x = 3 ou x = −1 , como se trata da menor
abscissa, x=-1
Com isso: A : ( 0 ; 3 ) , B : ( 0; −
Cálculo da áredo do triângulo AA’B:
S AA ' B
Pela inspeção do gráfico, é sabido os valores de P(0) = 0, P(1) = 1/2, e
P(2) =0. Portanto substituindo convenientemente os valores de x =0, x =1
e x =2 (‘zeros’ do divisor) na equação anterior, ficamos com o sistema:
3 ), A ': ( − 1;0 )
P(0) = a.0 + b.0 + c = 0
P(1) = a.1 + b.1 + c = ½
b =1 ; c =0
P(2) = a.4 + b.2 + c = 0
0
3 1
1
= 0 − 3 1 =| − 3 |⇒ S AA ' B = 3
2
−1
0
1
4a + 2b + c = 0
25. Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos e 6 alunas. Para uma
determinada atividade, o professor deverá escolher um grupo de 3 dessas
alunas e 3 dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos em
círculo de tal forma que alunos do mesmo sexo não fiquem lado a lado.
Isso poderá ocorrer de n maneiras distintas. O número n é igual a:
a) 24000
b) 2400
c) 400
d) 200
Considere os números A e B, tais que
Se o produto de A por B tende para o número
a) ímpar múltiplo de 9
b) par divisor de 10000
c) par múltiplo de 15
d) ímpar múltiplo de 25
à Solução: a = -1/2 ;
Cujas raízes são: (0,2)
x e g(x) = 2− x
2
A = f(1) + f(2) + K + f(50)
B = 1 + g(1) + g(2) + K + g(n) + K
c=0
a+b+c=½
Assim, o resto R(x), fica:
R(x) = -1/2 (x2) + x
23. Sejam as funções f : N → R e g : N → R definidas por
f(x) =
à
α , então, α
é
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 25: Alternativa B
5.4
6.5.4
1ª) Escolha dos alunos: C35 ×C36 =
×
= 200
2
3.2.1
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 23: Alternativa D
1 2
50
+ +K+
2 2
2
B = 1 + 2−1 + 2−2 + K + 2− n K
A=
2ª) Disposição circular:
O número A é dado pela soma de uma P.A. com 50 termos, primeiro
termo igual a 1 e razão igual a ½.
1 50
+
a1 + an
51 ⋅ 25
A=
⋅ n = 2 2 ⋅ 50 =
2
2
2
O valor de B é dado pela soma de uma P.G. com infinitos termos,
primeiro termo igual a 1 e razão igual a ½.
B=
a1
1
=
=2
1− q 1− 1
2
Disposição dos homens = 2!
Disposição das mulheres = 2!
Para cada arrumação dos homens e cada arrumação das mulheres
existem 3 posições relativas ⇒ 3
Então, para o produto AB temos:
AB =
51⋅ 25
⋅ 2 = 51⋅ 25 = 1275
2
Total = C35 ×C36 × 2!× 2!× 3 = 2400
O resultado é um número ímpar múltiplo de 25.
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26. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. Os
estudantes A e B têm a mesma probabilidade de vencer e cada um tem o
dobro da probabilidade de vencer do que o estudante C.
Admitindo-se que não haja empate na competição, é FALSO afirmar que a
probabilidade de
a) A ou B vencer é igual a 0,8
b) A vencer é igual a 0,4
c) C vencer é maior que 0,2
d) B ou C vencer é igual 0,6
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 26: Alternativa C
Supondo que temos apenas os três estudantes competindo e indicando
por P(A) a probabilidade de A vencer, por P(B) a probabilidade de B
vencer e por P(C) a probabilidade de C vencer, temos:
28. Para a fabricação de três modelos de avião, a Embraer precisa de
alguns equipamentos, conforme a tabela abaixo
Modelos
A
B
C
Equipamentos
Poltronas
20
30 60
Extintores
6
10 15
Para o ano de 2009, a Embraer recebeu encomendas dos três modelos,
conforme a tabela abaixo
Primeiro
Segundo Semestre
Modelo
Semestre
Ano de 2009
A
20
50% a mais que no 1º semestre
B
Y
25
C
10
20% a menos que no 1º
semestre
Sabendo-se que a quantidade necessária de poltronas para a fabricação
dos três modelos de aviões no ano de 2009 é 3280, então a soma dos
algarismos de y é igual a
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
P(A) + P(B) + P(C) = 1
P(A) = P(B) = 0, 4

P(A) = P(B)
⇔

 P(C) = 0,2

2P(C) = P(A)

Ainda temos, como não há empate:
P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 0
Analisando cada alternativa:
a) Verdadeira: A probabilidade de A ou B vencer é indicada por:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) = 0,8
1424
3
0
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 28: Alternativa B
O total de encomendas do modelo A em 2009 é 20 + 1,5.20 = 50.
O total de encomendas do modelo B em 2009 é y + 25.
O total de encomendas do modelo C em 2009 é 10 + (1-0,2).10 = 18.
b) Verdadeira: A probabilidade de A vencer é P(A) = 0,4 , obtida
anteriormente.
c) Falsa: A probabilidade de C vencer é P(C) = 0,2 , obtida
anteriormente.
d) Verdadeira: A probabilidade de B ou C vencer é indicada por:
O total de poltronas para aviões modelo A em 2009 é 20.50 = 1000.
O total de poltronas para aviões modelo B em 2009 é 30.(y+25).
O total de poltronas para aviões modelo C em 2009 é 60.18 = 1080.
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B
∩3
C) = P(B) + P(C) = 0,6
1424
0
Obs.: Vale comentar que a questão não indica que os três são os únicos
participantes da competição. Caso existam outros competidores com
chances de vitória, teríamos P(A) + P(B) + P(C) < 1 , o que nos levaria
aos seguintes resultados:
Assim 1000 + 30(y+25) + 1080 = 3280, então y = 15
Sendo assim, a soma dos algarismos de y vale 1+5 = 6.
29. Pedro e Maria com seus filhos Gabriel e João foram a uma clínica
médica para uma revisão de saúde. Fazia parte da avaliação aferir o peso
de cada um. A balança da clínica era muito antiga e tinha um defeito, só
indicava pesos maiores que 60 kg.
Para resolver a pesagem, procedeu-se da seguinte maneira:
Pesou-se
P(A) = P(B) < 0,4

 P(C) < 0,2

 P(A) + P(B) < 0,8

 P(B) + P(C) < 0,6
O que tornaria todas as alternativas falsas.
-
27. Seja o sistema S de equações nas incógnitas x, y e z e
parâmetro real m
 x + 2y − z = 0

S =  x − my − 3z = 0
 x + 3y + mz = m

 x + 2y − z = 0

 x − my − 3z = 0
 x + 3y + mz = m

1 2 −1
1 −m −3 = 0 ⇔ m = 0 ou m = − 3
3
m
 x + 2y − z = 0
x + 2y − z = 0


m = −3 :  x + 3y − 3z = 0 ⇔ x + 3y − 3z = 0 ⇒ SISTEMA IMPOSSÍVEL
 x + 3y − 3z = −3
0 = −3


 x + 2y − z = 0
 x + 2y − z = 0


m = 0 :  x − 3z = 0
⇔ 2y + 2z = 0
 x + 3y = 0
y + z = 0


x + 2y − z = 0

⇔ y + z = 0
⇒ SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO ⇒ S = (3t, − t,t ) : t ∈ £
0 = 0

{
}
m ≠ 0 e m ≠ −3 ⇒ SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
A opção b) é incorreta, pois S é determinado ⇔ m ≠ 0 e m ≠ −3 .
A opção c) também está incorreta, pois, apesar de termos
x + y + z = 3t , t não é necessariamente um número inteiro, logo não
se pode afirmar que x + y + z seja múltiplo de 3.
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Pedro, Maria e Gabriel, totalizando 150 kg
Pedro, Gabriel e João, totalizando 117 kg
Maria, Gabriel e João, totalizando 97 kg
Pedro, Maria, Gabriel e João, totalizando 172 kg
Com base nessas informações, é correto afirmar que
a) com essa balança é possível pesar Gabriel e João juntos.
b) a diferença entre os pesos de Pedro e Maria é o peso de João.
c) Pedro é mais pesado que Maria e João juntos.
d) não é possível pesar Maria sozinha nessa balança.
Analise as proposições a seguir e assinale a INCORRETA.
a) Se m = -3, então S é impossível.
b) S é determinado se, e somente se, m ≠ 0
c) Se S é homogêneo, então x + y + z é sempre um número múltiplo de 3
d) S admite solução para todo m ≠ -3
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 27: Alternativas B ou C !
1
15/AGO/2009
-6-
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 29: Alternativa D
Com as quatro pesagens realizadas é possível calcular o peso P de
Pedro, M de Maria, G de Gabriel e J de João. Temos quatro equações e
quatro incógnitas:
P + M + G = 150 (i)
P + G + J = 117 (ii)
M + G + J = 97 (iii)
P + M + G + J = 172 (iv)
Resolvendo o sistema acima, encontramos os pesos de cada pessoa:
P = 75 kg
M = 55 kg
G = 20 kg
J = 22 kg
Você pode, por exemplo, usar i e iv para encontrar J, depois usar J em iii
para descobrir M + G, usar M + G em i para encontrar P, usar P e J em ii
para descobrir G e finalmente usar G em M + G para descobrir M.
Assim, como Maria pesa menos do que 60 kg, ela não pode ser pesada
pela referida balança. (Alternativa D).
Dando uma olhada nas alternativas falsas:
a) Gabriel e João pesam juntos 44 kg, o que ainda é menor do que 60 kg.
b) a diferença entre os pesos de Pedro e Maria é o peso de Gabriel, e
não de João (75 – 55 = 20).
c) Maria e João juntos pesam 77 kg, o que é maior do que os 75 kg de
Pedro.
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30. Considere as circunferências dadas pela equação x2 + y2 = 1/b2 (b∈N*).
A circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 1250 é tal
que b pertence ao intervalo
15/AGO/2009
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 31: Alternativa C
a) h(0)=g(0)+2=4
hοh(0)=g(4)+2=0
hοhοh(0)=g(0)+2=4
a) ]0, 1 [
30
1
b) ]
, 1 [
30 28
c) ] 1 , 1 [
28 26
d) ] 1 , 1 [
26 24
b)
h(3)=g(3)+2=1
hοh(3)=g(1)+2=3
hοhοh(3)=g(3)+2=
h(2)=g(2)+2=2
hοh(2)=g(2)+2=4
hοhοh(2)=g(4)+2=0
hοhοhο(2)=g(0)+2=4
hοhοh(3)<hοhοhοh(2)
→ FALSO
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 30: Alternativa D
c)
h(1/2)=g(1/2)+2
→
hοh(1/2)=h(t)=g(t)+2
→
hοhοh(1/2)=h(y)=g(y)+2 →
→ VERDADEIRO
h(1/2)=t onde 2<t<3
hοh(1/2)=y onde 1<y<2
hοhοh(1/2)=k onde 2<k<3
d)
h(3/2)=g(3/2)+2
→ h(3/2)=t onde 2<t<3
hοh(3/2)=h(t)=g(t)+2
→ hοh(3/2)=y onde 1<y<2
hοhοh(3/2)=h(y)=g(y)+2 → hοhοh(3/2)=k onde 2<k<3
→ FALSO
32. Considere a reta r simétrica da reta (s )2x + y − 2 = 0 em relação à
Pela dado da área do quadrado podemos encontrar o valor de seus
lados:
reta (t )x − 3y − 2 = 0
Com base nisso, marque a alternativa verdadeira
Area = L2
a) Se −
L = Area
10
< y < 0 então r ∩ t = ∅
3
b) ∃P ( x, y ) ∈ r tal que x < 0 e y > 0
L = 1250 = 25 2
c) Na reta r, se x >
O raio da circunferência circunscrita é metade da diagonal desse
quadrado, portanto:
d) ∃P( x, y ) ∈ r tal que x > 0 e y < −
8
2
então y < −
7
7
10
3
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 32: Alternativas B ou C !
Podemos construir os gráficos das retas (s) e (t) como segue:
L 2
2
25 2 2
R=
= 25
2
R=
Da equação da circunferência temos:
1
1
1
= R2 ⇒ = R ⇒ b =
b2
b
25
Analisando as alternativas: 1/26 < 1/25 < 1/24
31. Analise o gráfico abaixo da função real g : IR → IR
Por hipótese, a reta (r) é a simétrica de (s) com relação à (t). Assim, a
reta (t) funciona como “um espelho” e a reflexão da reta (s) por esse
espelho é a reta (r). Isso significa que qualquer ponto da reta (t) é
equidistante das retas (r) e (s). Escolhendo um ponto em particular, por
exemplo, o ponto (2,0) que pertence à (t), a distância de (r) à (2,0) é igual
à distância de (s) à (2,0).
Além disso, a reta (r) passa pela intersecção das retas (s) e (t), que é a
solução do sistema formado pelas retas (s) e (t):


8
2x + y − 2 = 0  x0 =
7 .
0
0
⇔

 x0 − 3y0 − 2 = 0
y = − 2

 0
7
Se h é uma função real tal que h(x) = g(x) + 2, então, marque alternativa
verdadeira.
a) (hοhοh..... οh)(0) = 4
b) (hοhοh)(3) > (hοhοhοh)(2)
   1 
c) Se y = h  h  h     então y ∈ ]2,3[
   2 
Portanto, a equação da reta (r) é dada por:
y+
   3 
d) Se x = h  h  h     então x ∈ ]1,2[
   2 
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2
8

 8m 2 
= m  x −  ⇔ mx − y − 
+ =0
7
7
7

 7
Usando a hipótese das distâncias iguais ao ponto (2,0) que pertence a (t),
temos:
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2m −
dr,(2,0) = ds,(2,0) ⇔
⇔
6m − 2
2
7 m +1
=
2
5
⇔
8m + 2
7
m2 + 1
3m − 1
2
7 m +1
=
1
5
=
⇔
2⋅2− 2
5
15/AGO/2009
33. Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam
os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis
]
( 3m − 1)2
2
49(m + 1)
=
y (valor pago em reais)
1
⇔
5
⇔ 49m2 + 49 = 45m2 − 30m + 5 ⇔
70
⇔ 2m2 + 15m + 22 = 0 ⇔
50
11
⇔ m = −2 ou m = −
2
30
g
h
f
20
Com isso, temos duas possibilidades para (r):
0
- Para m = −2 : (r) 2x + y − 2 = 0 (não convém, pois representa a
própria reta (s))
- Para m = −
[
x ∈ m,+∞ , m ∈ IR para x quilômetros rodados por dia.
Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções.
⇔
100
x (km rodados por dia)
Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés
das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando
x ∈ ]m,+∞[, m ∈ IR
11
: (r) 11x + 2 y − 12 = 0
2
O menor valor possível para m é
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
Os gráficos contendo (r), (s) e (t) estão a seguir:
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 33: Alternativa A
m é a abscissa da interseção do gráfico de f e g.
f é a função constante f (x ) = 50
A função g é uma função afim determinada pelos pontos (0, 20) e
(100,70), logo seu coeficiente angular é 70 − 20 = 1 e seu coeficiente
100 − 0
2
1
linear é 20, e g (x ) =
x + 20 .
2
1
⇒ x + 20 = 50 ⇔ x = 60
2
Portanto, o menor valor possível para m é 60.
Assim, concluímos que:
34. Sobre a função real f: D → IR dada por
a) FALSA:
Existe a intersecção entre (r) e (t), no mesmo ponto onde ocorre a
INCORRETO afirmar que é
a) par
c) crescente se x ∈ [1,+∞[
8 2
10
2
, −  . Como −
< − < 0 , podemos
7
7
3
7


intersecção entre (s) e (t): 
dizer que para −
Seja
y ∈ IR , então
( )
c) VERDADEIRA:
8
2
então y < − .
7
7
As funções
y = x2
logo a função
d) FALSA:
Para a reta (r), temos que se x > 0 ⇔ y < 6 . Além disso, ela é uma
2
2
⇒ f é par
( )
y −1
2 .
e
y = log 2 x
são crescentes em
( )
f ( x ) = 1 + log 2 x 2
é crescente em
1, +∞ ,
1, +∞ .
Note que para chegarmos às conclusões acima foi necessário assumirmos
10
.
3
que D = IR , ou seja, o domínio mais abrangente possível, o que é
indicado pela expressão “função real” no enunciado.
Em um caso geral, dependendo do conjunto D, a função pode ser injetora
*
Poderíamos testar um ponto, como por exemplo (2, –5), que pertence a
10
.
3
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) = 1 + log (x ) = f (x )
Logo, todo real y é imagem de algum x e a função é sobrejetora.
Entretanto y é imagem de mais de um valor de x, logo f não é injetora.
2
7
Como a reta é decrescente e passa pelo ponto  , −  , temos que se
função monotônica. Portanto ∃P ( x, y ) ∈ r tal que x > 0 e y < −
2
y = 1 + log 2 x 2 ⇔ y − 1 = log 2 x 2 ⇔ x 2 = 2 y −1 ⇔ x = ±2
função monotônica. Portanto para todo x < 0 temos y > 0 .
(r) e apresenta x > 0 e y < −
(
f ( −x ) = 1 + log 2 ( − x )
b) VERDADEIRA:
Para a reta (r), temos que se x < 0 ⇔ y > 6 . Além disso, ela é uma
x>
b) sobrejetora ∀x∈D
d) injetora ∀x∈D
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 34: Alternativa D
10
8 2
< y < 0 temos r ∩ t =  , −  .
3
7 7
8
7
( )
f ( x ) = 1 + log 2 x 2 , é
e não sobrejetora, como no exemplo de
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D = [1,2] .
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35. Seja a função real f definida por
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SOLUÇÃO DA QUESTÃO 36: Alternativa B
A função f possui raízes 1 e 3 e pode ser escrita na forma:
π

f(x) = cos (4x ) − sen  − 6x 
2

f ( x) = a ( x − 1)( x − 3)
Marque a alternativa que possui a melhor representação, no ciclo
trigonométrico, de todas as raízes da função f
a)
b)
A coordenada x do vértice é a média aritmética das raízes,
portanto V = (2 ; 0,5).
Substituindo o ponto V na equação de f temos:
f ( x) = a ( x − 1)( x − 3)
0,5 = a( 2 − 1)(2 − 3)
a = −0,5
⇒ f ( x) = −0,5( x − 1)( x − 3)
c)
Nas condições do problema h(x) > g(x) > f(x), temos que h(x) é sempre
maior g(x). Assim temos como solução os valores de x à esquerda da
primeira interseção de f e g, e os valores de x a direita da segunda
interseção de f e g. Os valores das interseções são:
d)
f ( x ) = g ( x)
− 0,5( x − 1)( x − 3) = −x + 1
x2 − 4x + 3 = 2x − 2
x2 − 6x + 5 = 0
x =1
x=5
Portanto será solução o conjunto dos números reais exceto o intervalo
[1,5].
Solução = IR - ]1,5[.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 35: Alternativa A
Sabemos que é válida a transformação
qualquer α real.
Além disso, sabemos que
algum k inteiro.

π
sen − α  = cos (α ) para

2
37. Sejam as funções reais dadas por f ( x ) = 22x +1 e g ( x) = 3 x +1 . Se b ∈IR
cos(α ) = cos(β ) ⇒ α = ±β + 2kπ , para
 1
tal que f   =2g(b) e p = log3b, então sobre p é correto afirmar que
 2
a) não está definido.
b) é positivo e menor que 1
c) é negativo e menor que 1
d) é positivo e maior que 1
Assim, as raízes de f são:

π
cos(4x ) − sen − 6x  = 0

2
cos(4x ) − cos(6x) = 0
cos(6x) = cos(4x )
6x = ±4x + 2kπ
3x ± 2x = kπ
O resultado acima nos diz que
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 37: Alternativa A
( )
π
x = kπ ou x = k , para algum k
5
1
+1
( )
38. Sobre a função real f definida por f ( x ) = − 1 + 6(senx )(cos x ) , é
inteiro, o que pode ser resumido em apenas
x=k
2.
f 1 = 2 2 ∴f 1 = 4
2
2
2g(b) = 2.3b+1 ∴ 2g(b) = 2.3b+1
Igualando: 3b+1 = 2 ⇒ b + 1 = log32 ⇒ b = log32 – 1
Como p = log3b ⇒ p = log3(log32 – 1)
0 < log32 < 1, logo log32 – 1 < 0 portanto p não está definido, pois o
logaritimando deve se positivo.
INCORRETO afirmar que
a) Im(f ) = [ −1,2]
π
,k ∈ Z
5
π 3π 
b) é decrescente para todo x ∈  , 
4 4 
c) possui 8 raízes no intervalo [0,2π ]
d) tem período igual ao período da função real g dada por g(x)=2f(x)
Para visualizar estes pontos no ciclo trigonométrico podemos, por
exemplo, encontrar aqueles de -180° a 180°:
0°, ± 36°, ± 72°, ± 108°, ± 144° e ± 180°.
36. Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é
do 2° grau e g e h são do 1° grau.
Sabe-se que V é o vértice da parábola.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 38: Alternativa B
Reescrevendo a função:
f ( x ) = −1 + 6senx cos x = −1 + 3 ⋅ 2
senx
x = −1 + 3sen ( 2 x )
cos3
14
4244
s en (2 x )
Construindo o gráfico de f(x):
1º) f ( x ) = sen ( 2x )
O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é
a) IR - ]1,5[
b) IR - [1,5]
c) IR - [1,3]
d) IR - ]1,3[
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15/AGO/2009
39. A Revista Época publicou uma reportagem em fevereiro de 2009 a
respeito do impacto da crise financeira mundial no crescimento da
economia.
2º) f ( x ) = 3 ⋅ sen ( 2x )
Desaceleração recorde
Em 2009, a economia mundial deverá ter o menor crescimento desde a 2ª
Guerra Mundial – em % ao ano.
O gráfico abaixo indica o percentual de crescimento da economia mundial
de alguns anos, no período de 1980 a 2009.
3º) f ( x ) = 3 ⋅ sen ( 2 x )
Fonte: Revista Época – 02/02/2009/n.º 559 – pág. 85 (Adaptado)
Sabendo-se que no ano de 2009 o percentual foi estimado, analise o
gráfico e marque a alternativa FALSA.
4º) f ( x ) = − 1 + 3 ⋅ sen ( 2 x )
a) Houve um aumento superior a 42% do percentual de crescimento do
ano de 1995 para o ano 2000.
b) A queda de crescimento do ano de 2005 para o percentual estimado no
ano de 2009 é menor que 90%.
c) O aumento do percentual de crescimento do ano de 1985 em relação ao
ano de 1980 é aproximadamente 95% do percentual de crescimento do
ano de 1980.
d) A taxa de crescimento do ano de 2000 em relação ao ano de 1985 é a
mesma que a taxa de crescimento do ano de 1990 em relação ao ano de
1980.
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 39: Alternativa D
A dificuldade desta questão está claramente na interpretação e na
sobrecarga dada no enunciado a algumas palavras.
Analisando as alternativas:
a) CORRETA: Do gráfico acima, temos que Im(f ) = [ −1,2]
Obs.:
A imagem da função
f ( x ) = a + b ⋅ sen ( mx )
é igual a
Como se trata de uma questão de porcentagens, onde a própria função
temporal é um “percentual de alguma coisa” (no caso, “percentual de
aumento da economia mundial”), o aluno pode facilmente se confundir ao
analisar as alternativas.
Im = a, a + b  .
b) INCORRETA: Do gráfico acima, temos que f é decrescrente no
π π 
 π 3π 
intervalo  ,  , porém f é crescente no intervalo  ,  .
4 2
2 4 
c) CORRETA: Do gráfico, temos que a função f(x) intercepta o eixo Ox
em 8 pontos no intervalo [0,2π ] , logo, f tem 8 raízes neste intervalo.
Outra atenção de interpretação deve ser dada ao termo “taxa”, que indica
“variação no tempo”.
Com estas ressalvas em mente, percebe-se que a alternativa D está
equivocada:
π
d) CORRETA: Observando o gráfico de f(x), seu período é T = .
2
O aumento do “percentual de crescimento da economia” entre os anos de
1985 e 2000 foi de 4,7% – 3 ,7% = 1%, o mesmo aumento da referida
variável entre os anos de 1980 e 1990 (2,9% – 1,9% = 1%). Porém,
temos 15 anos entre 1985 e 2000, enquanto temos apenas 10 anos entre
1980 e 1990. Ou seja, os aumentos absolutos foram iguais nos dois
intervalos, mas suas “taxas de crescimento no tempo” foram diferentes.
Observe agora o gráfico de g ( x ) = 2f ( x ) = − 2 + 6sen (2 x ) :
Vamos conferir as outras alternativas, verificando que elas são
verdadeiras. Chamemos o “percentual de aumento da economia mundial
no ano x” de p(x).
p(2000) − p(1995) 4,7% − 3,3% 42,42...% > 42%
=
=
p(1995)
3,3%
p(2005) − p(2009) 4,5% − 0,5% 88,8...% < 90%
b)
=
=
p(2005)
4,5%
p(1985) − p(1980) 3,7% − 1,9% 94,7368...% ≈ 95%
c)
=
=
p(1980)
1,9%
a)
Note que o período da função g(x) também será T =
π
.
2
Obs.: O período da função y = a + bsen (mx ) é igual a p =
π
.
|m|
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40. Considere uma chapa de aço circular de espessura desprezível e raio
15 cm. Recortando-se, dessa chapa, dois setores circulares de ângulo
2 π rad cada, e juntando-se em cada um desses setores os lados de
3
mesma medida, sem perda de material, obtém-se dois objetos em forma
de cone.
Unindo-se as bases desses cones, obtém-se um objeto A.
Dentro desse objeto A foram inseridas esferas de ferro cuja área da
superfície de cada uma, é 9π cm2.
Sabendo-se que foram inseridas a maior quantidade possível dessas
esferas dentro do objeto A, o espaço vago dentro desse objeto, é tal que,
seu volume é, em cm3, igual a
Dado:
a) 2π
c) π/2
2 =1,41
b) π
d) π/4
SOLUÇÃO DA QUESTÃO 40: Alternativa B
A pessoa que escreveu a questão certamente esperava que o aluno
fizesse o seguinte:
Comprimento do setor = comprimento da base do cone = 10π cm
Então, o raio da base do cone = 5 cm
Geratriz do cone = raio original = 15 cm
Altura do cone = √(152 – 52) = 10√2 cm
Raio das esferas = √(9 π/4 π) = 1,5 cm
O que nos dá para o volume das esferas 9 π/2 cm2
Com esses dados temos:
Volume dos dois cones juntos = 235 π cm3
Razão entre o volume dos cones e das esferas = 52,222...
Volume de 52 esferas = 234 π cm3
Espaço vago = 235 π cm3 – 234 π cm3 = π cm3
Fone :
Obviamente não se levou em consideração neste problema nada a
respeito dos encaixes e dos pontos de contato entre as esferas dentro
dos cones.
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