TM247 - Sistemas de Medição
Prof. Alessandro Marques
www.metrologia.ufpr.br
1ª Prova – 7 de junho
Fundamentos de metrologia
científica e industrial
Albertazzi e Souza
Quanto a erros de medição ...

Precisão e exatidão



são termos apenas qualitativos. Não
podem ser associados a números.
Precisão significa pouca dispersão. Está
associado ao baixo nível de erros
aleatórios.
Exatidão é sinônimo de “sem erros”. Um
sistema de medição com grande exatidão
apresenta pequenos erros sistemáticos e
aleatórios.
Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de canhões:





Canhão situado a 500 m de alvo fixo;
Mirar apenas uma vez;
Disparar 20 tiros sem nova chance para
refazer a mira;
Distribuição dos tiros no alvo é usada para
qualificar canhões.
Quatro concorrentes:
A
B
D
C
Ea
Ea
Es
Es
A
B
D
C
Ea
Ea
Es
Es
Tipos de erros


Erro sistemático: é a parcela previsível do
erro. Corresponde ao erro médio.
Erro aleatório: é a parcela imprevisível do
erro. É o agente que faz com que
medições repetidas levem a distintas
indicações.
Precisão & Exatidão



São parâmetros qualitativos associados ao
desempenho de um sistema.
Um sistema com ótima precisão repete
bem, com pequena dispersão.
Um sistema com excelente exatidão
praticamente não apresenta erros.
Representação absoluta e
relativa
Representação absoluta

Parâmetros expressos na unidade do
mensurando:




Emáx = 0,003 V
Re = 1,5 K
Sb = 0,040 mm/N
É de percepção mais fácil.
Representação relativa ou
fiducial

Parâmetro é expresso como um
percentual de um valor de referência

Em relação ao valor final de escala (VFE)
Emáx = 1% do VFE
 EL = 0,1% (do VFE)




Em relação à faixa de indicação
Em relação ao valor nominal (medidas
materializadas)
Facilita comparações entre SM distintos
Características estáticas e dinâmicas de
instrumentos
Características estáticas
Um sistema de medição, devido aos seus diversos
elementos, sempre apresenta incertezas nos valores
medidos.
Todo sistema de medição está sujeito a erros, o que
torna um sistema melhor em relação ao outro é diminuição
desse erro a níveis que sejam aceitáveis para a aplicação.
Calibração e padrões de medidas
Todo instrumento de medição e conseqüentemente
todo sistema de medição deve ser calibrado ou aferido para
que forneça medidas corretas.
A calibração é o processo de verificação de um
sistema de medição contra um padrão que pode ser
primário ou secundário.
O padrão primário é definido por entidades
especializadas, renomados institutos de pesquisa ou
entidades governamentais especificas de cada país.
Devido a RASTREABILIDADE das medições ,
dificilmente se faz na prática a calibração pelo padrão
primário.
definições das
unidades do SI
PPPP
± 0,000005 mm
PPP
± 0,00005 mm
1/10
1/10
PP
± 0,0005 mm
P
± 0,005 mm
SM
± 0,05 mm
1/10
1/10
Rastreabilidade

É a propriedade do resultado de uma
medição, ou do valor de um padrão, estar
relacionado a referências estabelecidas,
geralmente padrões nacionais ou
internacionais, através de uma cadeia
contínua de comparações, todas tendo
incertezas estabelecidas.
Rastreabilidade
unidades do SI
padrões internacionais
padrões nacionais
padrões de referência de
laboratórios de calibração
padrões de referência de
laboratórios de ensaios
padrões de trabalho
de laboratórios de
chão de fábrica
Estatística aplicada a sistemas de medição
Cálculo de incerteza de grandezas com várias medidas :
Valor médio das medidas
desvio padrão da amostra
n
I
Ii
I
n
 Ii
i 1
n
n
s
2
(
I

I
)
 i
i 1
n 1
i-ésima indicação
média das "n" indicações
número de medições repetitivas efetuadas
Valor da medida e sua incerteza :
Exemplo :
Medição do diâmetro de uma barra circular :
São efetuadas n medidas em diâmetros diferentes:
10,14 mm
10,15 mm
10,17 mm
10,12 mm
10,15 mm
10,18 mm
10,14 mm
10,15 mm
10,16 mm
10,13 mm
10,16 mm
10,15 mm
média: 10,15 mm
12
u
2
(
I

10
,
15
)
 i
i 1
12  1
u = 0,0165 mm
 = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 0,0165
Re = 0,037 mm
Valor da medida e sua incerteza :
Exemplo :
Medição do diâmetro de uma barra circular :
-0,037
10,15 +0,037
10,15
Estimativa da Incerteza em Medições não
Correlacionadas (MNC)
c ± u(c)
b ± u(b)
A=b.c
u(A) = ?

Como estimar a incerteza
do valor de uma
grandeza que é calculada
a partir de operações
matemáticas com os
resultados de outras
grandezas medidas?
Caso Geral de MNC
G  f ( X 1 , X 2 , , X n )
2
2
 f

 f
  f

u ( G ) = 
u ( X 1 )   
u ( X 2 )     
u ( X n ) 
 X 1
  X 2

 X n

2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Podem ser calculados analitica ou numericamente
2
Exemplo: Caso Geral de MNC

Na determinação da massa específica (ρ) de
um material usou-se um processo indireto,
medindo-se em um laboratório, com uma
balança, a massa (m) de um cilindro cujo
diâmetro (D) e altura (h) foram determinados
por um micrômetro e um paquímetro
respectivamente. Após a compensação dos
erros sistemáticos, foram encontrados os
seguintes resultados e os respectivos
números de graus de liberdade para cada
grandeza de entrada:
Medições Realizadas
Para a massa:
m = (1580 ± 22) g
νm = 14
h
D
Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm
νD = ∞
Para a altura:
h = (77,35 ± 0,11) mm
νh = 14
Massa Específica
 = f (m , D , h)
h
D
m
=
Vol
=
4m
D h
2
Considerando que as medições foram efetuadas em
condições de laboratório e as componentes sistemáticas
foram compensadas, é muito provável que as medidas das
três grandezas sejam não correlacionadas.
A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida
será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo
coeficiente t de Student:
u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g
u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm
u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
Cálculo da incerteza combinada
2
2
 f
  f
  f

u (  ) = 
u ( m )   
u ( D )   
u ( h ) 
 m
  D
  h

2
2
 4
   8m
   4m

2
u (  ) =  2 u (m )    3 u ( D )    2 2 u (h) 
 D h
  D h
  D h

2
2
u 2 (  ) =  6 4 9 2 8 1 2 4 8 7  3 ,6 1 6 4 4 4 1 8 3  2 7 ,1 3 0 1 5 2 3 9 . 1 0  1 7
u (  )  0,00025481 g mm 3
2
Cálculo do número de graus de
liberdade efetivos
4
 f

u (  ) 

 
 
 ef
 f
  f
  f

u (m)  
u ( D )   u (h) 

 m
   D
   h

m
D
h
4
4
 4
   8m
   4m

u
(
m
)
u
(
D
)
u
(
h
)






4
2
3
2 2
u (  )  D h
D h
D h








 ef
14

14
4
0,000256312 
 ef
4

0,00025481

14
 ef  14 ,33
4
4
4
4

- 9,5016268. 10  - 2,6024548. 10 


- 06 4

- 05 4
14
t  2 ,2 0
Valor da massa específica:
U() = 2,20 . u()
U() = 2,20 . 0,000256312 = 0,00056389 g/mm3
4 .m
4 . 1580
3
=


0,040239
g/
m
m
 . D 2 .h 3 ,141 59 .(25 , 423 )2 .77,35
 = (0,0402  0,0006) g/mm3
Estimativa da Incerteza
Combinada de Medições
Correlacionadas (MC)
Estimativa da Incerteza Combinada de Medições
Correlacionadas (MC)
Caso Geral
G  f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
2
n 1 n
 f  2
f f
 u ( X i )  2  
u ( G )   
u ( X i ).u ( X j ).r ( X i , X j )
i 1   X i 
i 1 j  i  1  X i  X j
n
2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Pode ser calculado analitica ou numericamente
r ( X i , X j )  co eficien t e d e co rrela çã o en tre X i e X
j
Medições correlacionadas e não
correlacionadas

Para múltiplos termos:
A B
G=A+B+C+D
r
A
B
C
D
A
+1
-1
0
B
+1
-1
0
C
-1
-1
0
D
0
0
0
D
C
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
 f 
 f 
 f  2
 f  2
u 2 ( G )    u 2 ( A)    u 2 ( B )  
 u (C )  
 u ( D) 
 A 
 B 
 C 
 D 
f f
f f
f f
2
u ( A).u ( B ).r ( A, B )  2
u ( A).u (C ).r ( A, C )  2
u ( A).u ( D ).r ( A, D ) 
A B
A C
A  D
f f
f f
f  f
2
u ( B ).u (C ).r ( B , C )  2
u ( B ).u ( D ).r ( B , D )  2
u (C ).u ( D ).r (C , D )
B C
B D
C D
2
2
2
2
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
u 2 (G )  u 2 ( A )  u 2 ( B )  u 2 (C )  u 2 ( D ) 
 2 u ( A).u ( B ). 1  2 u ( A).u (C ).(  1)  2 u ( A).u ( D ). 0 
 2 u ( B ).u (C ).(  1)  2u ( B ).u ( D ). 0  2u (C ).u ( D ). 0
u 2 ( G )  u 2 ( A )  u 2 ( B )  u 2 ( C )  u 2 ( D )  2 u ( A ).u ( B )  2 u ( A ).u ( C )  2 u ( B ).u ( C )
u 2 ( G )  u ( A )  u ( B )  u ( C )   u 2 ( D )
2
Propagação de Incertezas
Através de Módulos
Motivação



Algumas vezes é necessário compor
sistemas de medição reunido módulos já
existentes.
O comportamento metrológico de cada
módulo é conhecido separadamente.
Qual o comportamento metrológico do
sistema resultante da combinação dos
vários módulos?
Transdutores
UTS
0.000
0.000
0.000
0.000
Dispositivos
mostradores
0.000
6.414
Composição de sistemas de
medição
sistema de medição
ESM
Módulo
1
Módulo
2
...
Módulo
n
SSM
Modelo matemático para um
módulo
E(M1)
Módulo
1
S(M1)
Idealmente:
K(M1) : sensibilidade
S(M1) = K(M1) . E(M1)
C(M1) : correção
u(M1) : incerteza padrão
Em função dos erros:
S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)
Modelo para dois módulos
E(M1)
Módulo 1
S(M1)
Módulo 2
E(M2)
S(M2)
S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1)
S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2)
E(M2) = S(M1)
S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2)
S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]

Sensibilidade Equivalente
Modelo matemático para n módulos
E(SM)
Módulo
1
Módulo
2
Módulo
n
...
K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2)
K(Mn), C(Mn), u(Mn)
sensibilidade
S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM)
K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)
S(SM)

Correção Relativa Equivalente
Modelo matemático para n módulos
correção
Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn)
sendo:
Cr = correção relativa, calculada por:
C(M k ) para o módulo “k”
Cr(M k ) 
S(M k )
CE(SM) CS(SM)
para o sistema de medição
Cr(SM ) 

E(SM)
S(SM)
CE(SM) = correção na entrada do SM
CS(SM) = correção na saída do SM

Incerteza Padrão Relativa Equivalente
Modelo matemático para n módulos
incerteza
ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2
sendo:
ur = incerteza relativa, calculada por:
u(M k ) para o módulo “k”
ur(M k ) 
S(M k )
uE(SM) uS(SM)
para o sistema de medição
ur(SM) 

E(SM)
S(SM)
uE(SM) = incerteza na entrada do SM
uS(SM) = incerteza na saída do SM
Modelo matemático para n módulos
graus de liberdade efetivos
ur ( M n ) 4
ur ( SM ) 4 ur ( M 1 ) 4 ur ( M 2 ) 4


 ... 
 ( SM )
 (M1 )
 (M 2 )
 (M n )
sendo:
 (SM ) número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição
ur (SM ) a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição
ur ( M i ) a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
 ( M i ) n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
Modelo matemático para n módulos

Se o número de graus de liberdade com que cada
incerteza padrão é determinada é o mesmo, a
equação também pode ser escrita em termos da
incerteza expandida como:
Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2
U(M k ) para o módulo “k”
Ur(M k ) 
S(M k )
UE(SM) US(SM)
para o sistema de medição
Ur(SM) 

E(SM)
S(SM)

Correção e Incerteza em Termos Absolutos
Correção e Incerteza
Na entrada do SM:
CESM  ESM .CrSM
uE SM  ESM .urSM
Na saída do SM:
CSSM  S SM .CrSM
uS SM  S SM .urSM
Problema:

A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V.
Determine o resultado da medição do
deslocamento, efetuado com o sistema de
medição especificado abaixo, composto de:
ESM= ?
transd.
indutivo
amplificador
voltímetro
2,500 V
ESM= ?
transd.
indutivo
amplificador
voltímetro
2,500 V
transd. indutivo de deslocamentos
faixa de medição: 0 a 20 mm
sensibilidade: 5 mV/mm
correção: - 1 mV unidade de tratamento de sinais
u = 2 mV
faixa de medição: ± 200 mV (entrada)
ν=16
amplificação: 100 X
correção: 0,000 V disp. mostrador: voltímetro digital
u = 0,2 % (VFE)
faixa de medição: ± 20 V
ν=20
correção: 0,02% do valor indicado
u = 5 mV
ν=96
5,00 mm
ESM= ?
KT = 5 mV/mm
CT = - 1 mV
uT = 2 mV
CrT = - 1/25 = -0,04
urT = 2 /25 = 0,08
25,00 mV
transd.
indutivo
2,500 V
amplificador
KUTS = 0,1 V/mV
CUTS = 0,000 V
uUTS = 0,2 % . 0,20 V
CrUTS = 0,000
urUTS = 0,0004/2,5
= 0,00016
voltímetro
2,500 V
KDM = 1 V/V
CDM = 0,02 % . 2,5V
uDM = 5 mV
CrDM = 0,0005/2,5
= 0,0002
urDM = 0,005/2,5
= 0,002
sensibilidade
KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V
KSM = 0,5 V/mm
correção
CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002
CrSM = -0,0398
na entrada:
CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm
CESM = -0,199 mm
incerteza
(urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2
(urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2
(urSM)2 = 10-4 . [64 + 0,00026 + 0,04]
urSM = 0,080025
na entrada:
uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm
uESM = 0,4001 mm
graus de liberdade efetivos
4
urSM
 SM

ur14
1
(0,08005) 4
 SM

ur24
2
 ... 
urn4
n
(0,080) 4 (0,00016) 4 (0,002) 4



16
20
96
 SM  16,02
UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm
Resultado da medição
RM = I + CESM ± UESM
RM = 5,000 + (-0,199) ± 0,868
RM = (4,80 ± 0,87) mm
Ajuste de curvas - Método dos Mínimos
Quadrados
Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa
aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão
numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente
utilizado na calibração estática de sistemas de medição.
Pode-se utilizar este método para vários tipos de
curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para
medidor de vazão tangencial, calibrado através do método
gravimétrico.
Equacionamento:
 x   B     y 
 A
x
      x y 
 n

  x
A
Q
l/s
0,09
0,20
0,31
0,39
0,48
0,57
0,65
0,74
0,84
0,93
2
n xy   x y
n  x   x 
2
2
y  A x

B
n
1,2
Q [l/s]
i
1,0
0,8
0,6
Qi
l/s
0,09
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,91
1,00
0,4
Qi = 1,105 . Q - 0,0246
0,2
Q = 0,902 . Qi + 0,0232
0,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Q [l/s]
Bibliografia:
ALBERTAZZI, A.; SOUZA, A. R.; Fundamentos Metrologia Científica e
Industrial”. 407p., Editora Manole, 2008. (Slides PowerPoint® 2003)
DOEBELIN, E., Measurement Systems - Application and Design, Ed.
McGraw Hill 4th Edition, 1992.
BALBINOT, A.; BRUSAMARELLO, V. J.; Instrumentação e fundamentos
de medidas, volume 1 e 2, 2010.
Notas de aula Prof. Marcos Campos (UFPR)