FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Cálculo Diferencial e Integral III
Solução da 2ª Lista de Exercícios
(Retirados do livro de James Stewart, Cálculo, vol. 2.)
1. Solução:
a. F ( x , y ) =
x −y
. Resposta: »2.
2
2
1+ x + y
b. F ( x , y ) = ln ( 2x + 3y ) . Resposta: {(x, y): 2x + 3y > 0}.
c. G ( x , y ) =
1
. Resposta: {(x, y): x2 + y2 ≠ 1}.
1 − x2 − y2
d. G ( x , y ) = arcsen ( x 2 + y 2 ) . Lembre que a função arco seno só está definida para
números no intervalo [-1, 1]. Resposta: {(x, y): x2 + y2 ≤ 1}.
2. Solução:
a. f ( x , y ) =
x − y ∂f 1 ⋅ ( x + y ) − ( x − y ) ⋅ 1
2y
:
=
=
;
2
2
x + y ∂x
(x + y )
(x + y )
−1 ⋅ ( x + y ) − ( x − y ) ⋅ 1
∂f
−2x
.
=
=
2
2
∂y
(x + y )
(x + y )
(
)
b. z = ln x + x 2 + y 2 :
2x
∂z 
= 1 +
∂x 
2 x2 + y2

∂z
2y
=
∂y 2 x 2 + y 2 x +
y
c.

x 2 + y2 + x
1
1

=
=
2
2
2
2
2
2
x + x +y
x
+
y
x
+
x
+
y

1
y
.
=
2
2
x +y
x 2 + y2 x + x 2 + y2
(
x
( )
f ( x , y ) = ∫ cos t 2 dt : f ( x , y ) = − ∫ cos (t 2 ) dt , logo
x
y
1
2
x + y2
;
)
∂f
= − cos ( x 2 ) e
∂x
∂f
= cos ( y 2 ) .
∂y
d. f ( x , y , z ) = xy 2z 3 :
∂f
∂f
∂f
= y 2z 3 ;
= 2xyz 3 ;
= 3xy 2z 2 .
∂x
∂y
∂z
3. Solução:
a. f ( u,v ) = sen ( 2u + 3v ) ,
∂f
( −6,4) : fv(u, v) = 3cos(2u + 3v), logo fv(−6, 4) = 3cos(0)
∂v
= 3. Resposta: 3.
∂f
( 2,0,3) .f v(u, v, w) = wusec2(uv), logo fv(2, 0, 3) =
∂v
(2)(0)sec2(0) = 0. Resposta: 0.
b. f ( u,v , w ) = w tan ( uv ) ,
 2
1
x y sen   se x ≠ 0,
4. f ( x , y ) = 
. Como a função tem duas fórmulas diferentes em
x

0
se x = 0.

torno de x = 0, para determinar a existência ou não das derivadas parciais
precisamos calculá-las pela definição. Temos:
f (h ,2) − f ( 0,2)
1 
∂f

 1  
 1 
= lim   h 2 2 sen     = 2lim h sen    = 0 ,
( 0,2) = lim
h
→
0
h
→
0
h
→
0
h
∂x
 h  
 h 

h 
já que a função seno é limitada. A derivada em relação a y é mais simples:
f ( 0,2 + h ) − f ( 0,2)
∂f
0
= lim = 0 .
( 0,2) = lim
h →0
h →0 h
h
∂y
Portanto as duas derivadas parciais existem no ponto (0, 2). Procedendo de maneira
semelhante, vemos que as derivadas parciais existem, de fato, em todos os pontos.
Para x ≠ 0, temos:
∂  2
 1 
1
1
1
1
2  −1 
 x y sen    = 2xy sen   + x y  2  cos   = 2xy sen   − y cos   ,
∂x 
 x 
x 
x 
x
x 
x
∂  2
 1 
1
2
 x y sen    = x sen   .
∂y 
 x 
x
Então

1
1
∂f 2xy sen   − y cos   se x ≠ 0,
=
x
x
∂x 
0
se x = 0,

 2
1
∂f x sen   se x ≠ 0,
=
x
∂y 
0
se x = 0.

Como cos(1/x) assume todos os valores possíveis quando x → 0, é claro que ∂f/∂x não
é contínua em todos os pontos da forma (0, y). Mas, como a função seno é limitada,
∂f/∂y é contínua em »2.
5. Usando diferenciação implícita, temos:
2
∂ 1
∂  1
1
1 
1 ∂R
1
∂R  R 
+
+
=− 2 ⇒
=  .

⇒− 2
 =
∂R1  R  ∂R1  R1 R 2 R3 
R ∂R1
R1
∂R1  R1 
Se quisermos explicitar a derivada parcial como função de R1, R2 e R3, basta
substituir R:
R R + R1R3 + R1R2
R1R2R3
1
1
1
1
=
+
+
= 2 3
⇒R =
R R1 R2 R3
R1R2R3
R2R3 + R1R3 + R1R2
2
2


R 
R2R3
R 2R 3
R
⇒
=
⇒
 .
 =
R1 R2R3 + R1R3 + R1R2
 R1 
 R2R3 + R1R3 + R1R2 
6. Como o quadrado da distância de um ponto (x, y) ao centro da placa é x2 + y2, a
temperatura é T(x, y) = k(x2 + y2).
a. Como a distância está aumentando e k > 0, a temperatura vai aumentar.
b. A taxa de variação da temperatura em relação à variável y no ponto (a/2, 0) é
(∂T/∂y)(a/2, 0). Como ∂T/∂y = 2ky, a taxa de variação é 0.
SolLista02
Cálculo Diferencial e Integral III
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