UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRIGONOMETRIA
Aula 05
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
2014.1
Círculo Orientado
Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos.
Quando um deles é escolhido e denominado positivo, dizemos
que o círculo está orientado.
A circunferência unitária,
orientada e com origem,
Sentido positivo será representada por:
B
��
A
A medida algébrica de
arcos será denotada por
1
Origem
dos arcos
� (��)
Funções Trigonométricas
Por enquanto, definimos relações trigonométricas (nos triângulos)
para ângulos entre 0° e 90°, ou, equivalentemente, 0 rad e π/2 rad.
A ideia é estender este conceito para todos (ou quase todos) os
números reais que representem um ângulo.
b
P
a
x
Dado um número real x, podemos
associar a este número um arco sobre
a circunferência unitária.
A
Supondo x positivo, temos o arco
como na figura.
Fazendo as projeções do ponto P, temos
as coordenadas (a,b).
3
Funções Trigonométricas
Note que para cada número real x, existe um único ponto P
sobre a circunferência unitária.
Portanto, existe uma função E: R → S1.
Vamos representar tal função da
seguinte forma:
��� �
P(a,b)
b
E(x)=(a,b)=(cos x, sen x)
1
x
x
a
A(1,0)
Assim, para cada x real, existe cos x
e sen x, que também são funções.
��� �
Repare ainda que se x é um ângulo
entre 0 rad e π/2 rad, esta definição
coincide com as relações
trigonométricas vistas para triângulos
retângulos.
4
Funções Trigonométricas
Vejamos a função E(x) para alguns valores de x.
Para x entre 0 rad e π/2 rad
��� �
b
P
x
a
A
Para x entre π/2 rad e π rad
��� �
x
P
b
a
��� �
��� � > �
��� � > �
A
��� �
��� � < �
��� � > �
5
Funções Trigonométricas
Vejamos a função E(x) para alguns valores de x.
Para x entre π rad e 3π/2 rad
x
a
P
��� � < �
��� � < �
��� �
b
Para x entre 3π/2 rad e 2π rad
x
��� �
A
��� �
b
��� � > �
��� � < �
a
A
P
��� �
6
Funções Trigonométricas
Para valores de x maiores que 2πou menores que zero, começam
a ocorrer repetição nos valores de cos x e sen x
Para x menor que 0 rad
y
��� � =��� �
a
b
� � � � =� � � �
Para x maior que 2π rad
x
P
b
y
A
x
��� �
=��� �
a
��� �
=� � � �
A
2π
P
7
Funções Trigonométricas
A≡P
Quando x=0 ou x=2kπ, temos
P=A. Daí, P tem coordenadas
(1,0).
��� � = �
��� � = �
��� �
����
8
Funções Trigonométricas
� � ��
x
P
Quando x=π ou x=(2k+1)π, temos P
como na figura, isto é, suas
coordenadas são (-1,0).
A
��� � = −�
��� � = �
��� �
9
Funções Trigonométricas
� � ��
P
Se x=π/2 ou x=(4k+1)π/2, temos
AOP sendo um ângulo reto e as
coordenadas de P são (0,1).
x
O
A
��� � = �
��� � = �
��� �
10
Funções Trigonométricas
Se x=3π/2 ou x=(4k-1)π/2,
então as coordenadas de P
são (0,-1).
x
A
O
��� � = �
� � � � = −�
P
��� �
� � ��
11
Funções Trigonométricas
Periodicidade:
P
sen x
O cos x
Dado um ângulo de x radianos, sabemos
que qualquer outro ângulo da forma
x x+2kπ determina um mesmo ponto no
círculo unitário.
Desta forma:
A
sen(x+2kπ)=sen x
cos(x+2kπ)=cos x
Os ângulos x e x+2kπsão chamados
côngruos.
x +2kπ são as várias determinações do arco AP.
As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π
12
Funções Trigonométricas
Periodicidade:
Com isso, conhecendo o comportamento dessas funções
no intervalo [0,2π], sabemos como elas se comportam em
toda a reta real.
Vamos restringir o estudo das funções seno e cosseno ao
intervalo [0,2π], isto é, a uma volta na circunferência unitária.
13
Funções Trigonométricas
Sinal:
2°
1°
3°
4°
As fatias da circunferência unitária determinadas
pelos eixos coordenados são chamadas
quadrantes (quarta parte da circunferência).
A Os quadrantes são designados, no sentido
anti-horário: 1°, 2°, 3° e 4° quadrantes
Ficou implícito no que vimos anteriormente,
que:
No
No
No
No
1º
2º
3º
4º
quadrante: � � � � > �,��� � > �
quadrante: � � � � > �,��� � < �
quadrante: � � � � < �,��� � < �
quadrante: � � � � < �,��� � > �
14
Funções Trigonométricas
Imagem:
(0,1)
(-1,0)
Na circunferência unitária, as projeções nos
eixos coordenados estão compreendidas
no intervalo [-1,1].
Assim, os valores de seno e cosseno
também estão nesse intervalo, isto é,
(1,0)
Im(sen)=[-1,1]
Im(cos)=[-1,1]
(0,-1)
15
Funções Trigonométricas
Paridade:
A função seno é uma função ímpar, pois:
��� �
� � � (−�)
x
sen(-x)=-sen x
-x
16
Funções Trigonométricas
Paridade:
A função cosseno é uma função par, pois:
x
��� �
cos(-x)=cos x
��� (−�)
-x
17
Funções Trigonométricas
Relação Fundamental
1
��� �
A relação fundamental pode
também ser estendida para todo
x real
x
��� �
Se x está no primeiro quadrante,
temos a situação da figura:
Pelo Teorema de Pitágoras,
��� � � + � � � � � = �
18
Funções Trigonométricas
Relação Fundamental
x
��� �
1
��� �
Se x está no segundo quadrante,
temos a seguinte situação:
Novamente, pelo Teorema de
Pitágoras,
��� � � + � � � � � = �
Se x está no 3° ou 4° quadrante,
procedemos de maneira análoga.
19
Funções Trigonométricas
Tangente
T
Consideremos um ângulo x no
intervalo [0,π/2]
Observe que os triângulos POB
e TOA são semelhantes. Assim
P
x
O
B
�� ��
=
�� ��
A
Ou seja
��
�
��� �
=
⇒ �� =
� � � � ��� �
��� �
Funções Trigonométricas
Tangente
T
P
Vejamos que para x nos demais
quadrantes, TA também é definido
pelo quociente
x
O
B
O segmento TA é denominado
tangente de x
A
��� �
��� �
Funções Trigonométricas
Tangente
Veja que a continua valendo a
semelhança entre os triângulos
POB e TOA.
x
P
Portanto, como visto anteriormente,
��� �
�� =
��� �
B
O
A
T
A seguir, veremos que o mesmo
é válido quando x está no 3° ou
no 4° quadrante.
Funções Trigonométricas
Tangente
T
x
x
B
P
O
A
O
B
A
P
T
Funções Trigonométricas
Tangente
Assim, a relação trigonométrica “tangente” pode ser definida
para ângulos fora do intervalo [0,π/2]
��� �
��� =
��� �
CUIDADO: para alguns valores de
x, não é possível definir a tangente
(ponto T), como veremos a seguir.
Funções Trigonométricas
Tangente
P
P
x
B=O
x
A
B=O
A
Funções Trigonométricas
Tangente
Logo a tangente de x também é uma função real.
Seu domínio é o conjunto
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
27
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
28
28
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
29
29
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
30
30
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
31
31
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
32
32
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
33
33
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
34
34
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
35
35
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
36
36
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
37
37
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
38
38
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
39
39
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função cosseno:
40
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função Seno:
41
Funções Trigonométricas
Gráficos
Função Tangente:
42
Funções Trigonométricas
Exercício: Encontre os gráficos das funções
� � ���
−���� �
� � � � e � � ���
|� � �|
Funções Trigonométricas
Exercício: Encontre os gráficos das funções
� � ���
−���� �
|� � �|
��� � e −���� �
Funções Trigonométricas
Exercício: Encontre os gráficos das funções
� � ���
−���� �
|� � �|
� � � e |� � �|
Funções Trigonométricas
Secante
Consideremos um ângulo x no
intervalo [0,π/2]
P
Observe que os triângulos OPS e
PBO são semelhantes. Daí,
x
O
B
A
�� ��
=
�� ��
S
Ou seja
��
�
=
⇒ �� = � � � �
�
��� �
Funções Trigonométricas
Uma outra maneira de ver a secante (geometricamente).
S
Observe que os triângulos PBO e
SAO são semelhantes. Daí,
P
�� ��
=
�� ��
x
O
B
A
Ou seja
��
�
=
⇒ �� = � � � �
�
��� �
Funções Trigonométricas
Cossecante
Consideremos um ângulo x no
intervalo [0,π/2]
C
Observe que os triângulos CPO
e OBP são semelhantes. Daí,
P
x
O
B
A
�� ��
=
�� ��
Ou seja
��
�
=
⇒ �� = ��� � � � �
�
��� �
Funções Trigonométricas
Uma outra maneira de ver a cossecante
(geometricamente).
Observe que x e y são complementares
D
y S’
P
O
B
Por definição,
x
A
��′ = � � � �
Os triângulos OBP e S’DO são
semelhantes. Daí,
��′ ��
=
�� ��
Ou seja
��′
�
=
⇒ ��′ = ��� � � � �
�
��� �
Funções Trigonométricas
Analogamente, podemos ver as relações secante e cossecante
para valores de x nos demais quadrantes.
Como tais relações são dadas a partir das relações seno e
cosseno, e estas foram estendidas à funções, podemos definir
as FUNÇÕES secante e cossecante: