Matemática
e suas Tecnologias
Matemática
Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque,
Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico
8
0
Universidade Aberta do Nordeste e Ensino a Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução deste fascículo. Cópia não autorizada é Crime.
Caro Estudante
ções de inridades, estabelecer rela
ômenos, descrever regula
ceito de
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A necessidade de compre
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“fórmula matemática”.
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que a noção comum de
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quadrática, funções exp
a forma mais precisa e
s matemáticas: função
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fun
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função. Tal conceito é um
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nci
pri
das
aremos algumas
Neste fascículo, abord
e as trigonométricas.
cas
mi
ciais, funções logarít
Bons estudos!
Objeto do Conhecimento
Função Quadrática
Resumo gráfico
As aplicações da função quadrática abrangem situações
do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia,
problemas de otimização etc.
Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui
concavidade voltada “para cima”).
y
∆<0
y
∆=0
y
∆>0
Definição
Toda função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, em
que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de
função quadrática.
Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma
transformação do número real x no número real ax2 + bx + c.
Em símbolos:
x
y
As raízes de uma função são os valores que a variável x
pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, as
raízes de uma função representam as abscissas das coordenadas dos pontos nos quais o gráfico da função intersecta o eixo-x. Uma função quadrática, cujo gráfico é uma
parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente
designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidos
através da fórmula de Bhaskara.
x2
x
Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui
concavidade voltada “para baixo”).
x ax 2 + bx + c
Raízes da função quadrática
x1
x
x1 = x2
∆<0
x
y
∆=0
x1 = x2
x
y
∆>0
x1
x2
x
Para o traçado do gráfico de funções quadráticas, é útil
lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são
dadas por:
 −b − ∆ 
,

4a 
Vértice =  2a
Forma fatorada
O valor de = b2 – 4ac determina, portanto, o número
de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo, é chamado discriminante da equação.
Interpretação do discriminante
1º caso: se > 0, então haverá duas raízes reais diferentes.
2º caso: se = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.
3º caso: se < 0, então não haverá raízes reais.
114
Se os valores x1 e x2 representam as raízes de uma
função quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x2),
em que a é denominado coeficiente dominante.
Essa forma é especialmente útil para determinar a função
quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes.
Determinar as relações de interdependência entre as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem.
Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada
para obter a função quadrática desejada.
Exemplo:
A figura mostra um arco parabólico ACB de altura
CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto
médio de AB.
2º caso: a < 0
ponto
máximo
C
a<0
Nesse caso, como a concavidade da parábola está volA
M
tada para baixo, seu vértice V =
B
Tomando o ponto A como origem de um sistema cartesiano, teremos a figura abaixo:
y
 −b − ∆ 
,


2a 4a 
representa um
ponto de máximo, o ponto mais alto da parábola.
Dessa forma, yV representa o maior valor da função,
dado por:
C (20, 16)
x
A (0, 0)
M (20, 0)
B (40, 0)
Observação importante:
Interpretar corretamente o texto é essencial para responder com sucesso a questão. Assim, observe que a abscissa
não representa
do vértice da parábola, isto é,
Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma,
pode-se aplicar a forma fatorada:
nem o máximo, nem o mínimo valor da função. O valor
y = a(x – x1) (x – x2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x).
está relacionado à condição necessária para se atingir o
extremo da função (máximo ou mínimo). Isto é,
Como f(20) = 16, temos:
16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a
=
−1
25
y=
yV =
−∆
4a
xV =
−b
2a
2
−1 . 2
−x
8x
+
( x − 40 x ) ⇒ y =
25
25
5
Máximos e mínimos em função
quadrática
Para a função f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos a considerar com relação ao coeficiente a.
1º caso: a > 0
representa o mínimo, se a > 0
representa o máximo, se a < 0
Logo, a função procurada é:
é a condição (ou circunstância) para termos o máximo (ou
mínimo) valor da função. Acompanhe o quadro-resumo
abaixo.
representa a condição para se atingir o mínimo, se a > 0
representa a condição para se atingir o máximo, se a < 0
Por fim, note que se o exercício cobrar o máximo (ou
mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
. Entretanto, se a questão perguntar sobre uma
condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo
(ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
a>0
Em qualquer caso, a parábola que representa a
função y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no ponto de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria
em relação à reta vertical que passa por seu vértice
ponto
mínimo
(ou seja, a reta cuja equação é
tração a seguir.
Nesse caso, como a concavidade da parábola está vol-
y
tada para cima, seu vértice V =  2a 4a  representa um
ponto de mínimo, o ponto mais baixo da parábola.
Dessa forma, yV representa o menor valor da função,
dado por:
(0, c)
). Acompanhe a ilus-
eixo de simetria: x =
b
2a
 −b − ∆ 
,
0
yv
x1
xv
x2
x
v
Universidade Aberta do Nordeste
115
Para Fixar
|C5-H20|
01.A luz não influi na respiração das plantas. Mantendo-se
a planta em ambiente com O2 e temperatura constante, a
respiração é a mesma nas várias horas do dia. A fotossíntese
é influenciada pela quantidade de luz que a planta recebe.
Medindo-se o volume de O2 que a planta produz, obtém-se a
curva da fotossíntese indicada adiante.
volume de gás eliminado
Exemplo:
Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool
por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que,
para cada centavo de desconto que concedia por litro,
eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no
dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos
10 200 litros. Dessa forma, considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor
V, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool,
pode ser obtido pela relação:
(1,50 – x /100): preço do litro de combustível, em reais.
(1500 + 100x): quantidade vendida diariamente.
Então:
(
Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma
função quadrática com a concavidade voltada para
baixo, a receita terá um valor máximo, e o desconto necessário para que a receita seja máxima é
, isto é, se o proprietário conceder 25 centavos de desconto por litro de combustível e,
consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior
receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é
[
]
0
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
24
Horas do dia
Seja t ∈[0, 24), a opção que contém a função quadrática que
melhor modela o volume V(t) de O2 produzido através da
fotossíntese ao longo do dia é:
, em que k é uma
a)
constante real e negativa.
b) V(t) = k(t2 + 24t + 12), em que k é uma constante positiva.
, em que k é uma cons-
c)
tante real e negativa.
d) V(t) = k(t2 + 24t + 144), em que k é uma constante negativa.
Questão Comentada
|C5-H21|
Uma pequena localidade é abastecida com água extraída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de
1 100 litros de água por hora. Dessa forma, a vazão total é de
6 600 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende
aumentar o número de poços. Porém, para cada poço adicional
perfurado, estima-se que a vazão por poço diminui em 25 litros por
hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de
cada um dos 7 poços fica em 1 075 litros por hora, assim, a vazão
total passa a ser 7 525 litros de água por hora.
A quantidade de poços adicionais a serem perfurados de modo
que a vazão total seja a maior possível é:
a) 16 b) 17
c) 18
d) 19 e) 20
, em que k é uma cons-
e)
tante real e positiva.
|C5-H21|
02.Uma distribuidora de produtos alimentícios, ainda não implantada, deseja fornecer seus produtos para as cidades A,
B, C e D, situadas ao longo da mesma rodovia. A cidade A
está situada no quilômetro 10 da rodovia; a cidade B, no quilômetro 20; a cidade C, no quilômetro 80 e a cidade D, no
quilômetro 130.
km 0
km 10 km 20
km 80
km 130
C
D
Solução comentada:
De acordo com os dados, podemos escrever a vazão total como ;
Vazãototal = (quantidade de poços) · (vazão de cada poço). Seja n
a quantidade de poços adicionais, temos:
Vazãototal = (1100 – 25n) · (6 + n) ⇒ Vazãototal = – 25n2 + 950n + 6 600
Trata-se de uma função quadrática e seu gráfico é uma parábola
de concavidade voltada para baixo, assim, haverá um ponto de
máximo. A quantidade de poços adicionais a serem perfurados
de modo que a vazão total seja a maior possível representa uma
condição para se atingir o máximo e, dessa forma, devemos calcular o
. Logo, n =
Resposta correta: d
116
= 19 poços.
A
B
Os custos do transporte da distribuidora para as cidades A, B, C e D são dados respectivamente por
(x – 10)2, (x – 20)2, (x – 80)2 e (x – 130)2, em que x é a posição
(medida em quilômetros, a partir do Km 0) onde deverá ser
instalada a futura distribuidora.
Considerando que o proprietário deseja minimizar os custos
com transportes, o quilômetro onde a distribuidora deverá
ser construída é:
a) 0
b) 20
c) 60
d) 80
e) 100
•• a
Fique de Olho
aNtENas, radarEs, farÓIs E parÁbOLas
Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que podem ser captadas por
antenas ou radares na Terra. O que talvez você não
saiba é que esses objetos são construídos tendo a parábola como referência, isto porque tal curva possui
propriedades geométricas extremamente úteis. Na
construção de antenas parabólicas, radares ou faróis,
a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando
um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao
eixo de simetria de uma superfície paraboloide espelhada, sua reflexão ocorre de forma a fazer convergir
os raios em um único ponto. Da grande quantidade
de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco
(em latim focus significa fogo). Como os sinais recebidos
(ondas de rádio ou luz) são muito fracos, é necessário captá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam
naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho deve ser tal que todos os sinais recebidos
de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão. Aplica-se o mesmo princípio na
construção de espelhos para telescópios, antenas de radar,
antenas parabólicas e faróis.
guia direcional
O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional.
A secção de um farol de um automóvel tem o formato de
uma parábola (a superfície espelhada é um paraboloide). A
lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refletidos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo
de simetria da parábola.
Sup. espelhada
F
Farol de um automóvel
Secção de um farol
Objeto do Conhecimento
Função Exponencial e Logarítmica
As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar
de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde
estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e
morte de indivíduos de uma população (animais ou plantas) até a propagação de doenças em sistemas epidemiológicos, todos constituem casos típicos de situações cuja
modelagem é feita através de funções logarítmicas e exponenciais.
1º caso: se b > 1, então a função é crescente, isto é:
x > y ⇔ bx > by
Gráfico
y
Definição da função exponencial
A função f: R → R dada por f(x) = bx (com b ≠ 1 e b > 0)
é denominada função exponencial de base b e definida
para todo x real.
Se x = 0, então y = b0 = 1, isto é, o par ordenado (0, 1) satisfaz a lei y = bx. Isso quer dizer que o gráfico de qualquer
função desse tipo intersecta o eixo y no ponto de ordenada 1.
Com relação à base b, há dois casos a considerar:
1
x
0
f é crescente
Universidade Aberta do Nordeste
117
2º caso: 0 < b < 1, então a função é decrescente:
x > y ⇔ bx < by
Gráfico
y
1
x
0
f é decrescente
Uma generalização são as funções com a forma
. Nessas funções o coeficiente a é frequentemente associado ao valor inicial da função, pois
Exemplos
1º) log2 16 = 4, pois 24 = 16
2º) log3 9 = 2, pois 32 = 9
3º) log7 1 = 0, pois 70 = 1
Decorrências da definição
Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los
muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reconhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de
maneira imediata da definição.
Consideradas satisfeitas todas as condições de existência,
temos:
1ª decorrência: loga 1 = 0
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0,
apresenta resultado igual a 1.
2ª decorrência: loga a = 1
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1,
apresenta resultado igual a a.
Por sua vez, para cada aumento de k unidades
no valor de x, a função é multiplicada pelo fator b.
Essa compreensão dos coeficientes das funções do tipo
é de fundamental importância para montagem
rápida de modelos exponenciais. Acompanhe o exemplo
a seguir.
Exemplo:
Um agricultor está sofrendo com a infestação de
determinada espécie de formiga que está destruindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um
especialista, este recomenda a aplicação de certo inseticida, explicando que, após seu uso, a população
dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias.
A população inicial de formigas é estimada em 30 000
espécimes. A partir dessas informações, podemos escrever a população
de formigas em função do
tempo t, medido em dias, transcorrido após a aplicação
do inseticida. Nessa função temos a = 30 000 (população inicial), temos também
dessas formigas é
(pois a população
reduzida à metade
b=
1
2
3ª decorrência: loga aa = a
Pois a é justamente o expoente que devemos colocar na
base a para obtermos o resultado aa.
4ª decorrência: aloga N = N
Pois logaN é, por força de definição, justamente o expoente
que devemos colocar na base a para obtermos o resultado N.
Propriedades
A partir da definição, podemos desenvolver algumas utilizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em
propriedades que passaremos a estudar.
Considerando os números reais positivos a, N e M, com
a ≠ 1:
P1:
P2:
P3:
P4:
). Portan-
P5: Mudança de Base
, onde a é uma base convenientemente
to, a população de formigas poderá ser estimada pela lei
P(t) = 30 000 ·
Logaritmos
Definição
Dados os números reais N, a e a, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, o
expoente a que colocamos na base a para obtermos o número N é chamado logaritmo de N na base a. Em símbolos:
A nomenclatura usada é a seguinte:
N – logaritmando ou antilogaritmo
a – base (quando a base é omitida, diremos que a base é 10)
a – logaritmo
118
escolhida.
Função Logarítmica
Definição
É toda função f: R+* → R na forma f(x) = loga x, em que,
a > 0 e a ≠ 1.
Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfico na
página seguinte.
y
Solução comentada:
De acordo com a fórmula
o valor da luminosidade na superfície é 1000 luxes. Como o mergulhador não
consegue trabalhar sem luz artificial quando essa luminosidade
fica inferior a 10% de seu valor na superfície, então devemos ter:
y = logax
1
(a > 1)
1
a
x
Resposta correta: d
Para 0 < a < 1, tal função é decrescente. Acompanhe o gráfico abaixo.
Para Fixar
y
|C5-H22|
03.O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00,
é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação
y = logax
(0 < a < 1)
1
a 1
x
Logaritmo natural
O logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logaritmo cuja base é o número irracional e, que é aproximadamente igual a 2,718281828459045...
Tal logaritmo é normalmente representado por Ln x. Isto é:
a)
b)
c)
d)
e)
V (t) = 60 000 ·
, onde t é o tempo de uso em meses e
V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse
equipamento. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será
igual a:
R$ 3 750,00
R$ 7 500,00
R$ 10 000,00
R$ 20 000,00
R$ 15 000,00
|C5-H20 e H-21|
04.A inflação anual de um país decresceu no período de sete
anos. Esse fenômeno pode ser modelado por uma função
exponencial do tipo f(x) = a · bx, conforme o gráfico a seguir.
y = f(x)
n x é equivalente a log e x
960%
Questão Comentada
|C5-H21|
Admitindo-se que a luminosidade L(x) da luz solar a x metros
abaixo do nível do oceano seja dada, em luxes, por L(x) = 1 000 ·
e que um mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial
quando essa luminosidade fica inferior a 10% de seu valor na superfície, então a maior profundidade, em metros, que o mergulhador pode atingir sem ter de usar luz artificial é igual a:
Dado: Ln10 ≈ 2,3
a) 4,6
b) 2,3
c) 0,23
d) 23
e) 11,5
7,5%
0
a)
b)
c)
d)
e)
4
7
x (anos)
A taxa de inflação desse país, no quarto ano de declínio, foi de:
60%
50%
40%
30%
22,5%
Universidade Aberta do Nordeste
119
•• a
Fique de Olho
COmO sE rEaLIZa a prOva dO carbONO-14
para cONhEcEr a IdadE dOs rEstOs
ENcONtradOs pOr paLEONtÓLOgOs?
Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14
A técnica do carbono-14 foi descoberta nos anos quarenta
por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo
constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos
valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas
muito exatas dos anos decorridos desde sua morte.
Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material
que conteve carbono em alguma de suas formas. Como
o exame se baseia na determinação de idade através da
quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o passar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras
que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.
A radIOatIvIdadE dO carbONO-14
Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador
Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em
vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que
decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da
morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos) e
comparou esta com os resultados de sua radiodatação. Os
diferentes testes realizados demonstraram a viabilidade do
método até cerca de 70 mil anos.
O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre
o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa
aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para converter-se de novo em nitrogênio-14.
A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente
em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada
5 730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade
começa a ser pequena demais para uma datação precisa.
Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser protegido de qualquer contaminação que possa mascarar os resultados. Feito isso, leva-se ao laboratório onde se contará
o número de radiações beta produzidas por minuto e por
grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra
que se dividirá por dois por cada período de 5.730 anos de
idade da amostra.
Disponível em: <http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI109680EI1426,00.html>.
Objeto do Conhecimento
Trigonometria e suas aplicações
Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos
de triângulos deram início à Trigonometria, que com o
passar do tempo, transformou-se numa genuína ferramenta na resolução de um considerável número de problemas relacionados com a mecânica, a topografia, a navegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim,
esta abordagem tem como objetivo principal a aplicação
de conceitos trigonométricos em situações que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos
reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que
iremos apresentar, exigirá naturalmente um razoável domínio algébrico e geométrico do leitor.
C
C3
C2
C1
A
α
B1
B2
B3
B
Considerando que é amplamente conhecida a proporcionalidade dos lados homólogos em triângulos semelhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:
Trigonometria no triângulo retângulo
Considere um ângulo agudo a = med(CÂB). Construindo
perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C1, C2, C3
etc., os triângulos retângulos obtidos C1B1A, C2B2A, C3B3A
etc. serão semelhantes por terem o ângulo a comum.
120
Estas constantes k1, k2 e k3 dependem apenas do ângulo
a e não dos comprimentos dos lados envolvidos. É oportuno
dar nomes a essas constantes que dependem de a (agudo).
Assim, considerando o triângulo retângulo ABC e fixando
um ângulo agudo a, podemos definir:
C
hipotenusa
a
α
b cateto oposto
c
B
A
cateto adjacente
Logo, se tivermos as medidas de h e a (valores acessíveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente
determinar o raio da Terra:
Exemplo 2:
Uma outra situação-problema, para mostrar a importância
da Trigonometria na resolução de problemas relacionados com ângulos e lados de um triângulo, é a questão do
topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e
para tal toma como referência o ponto P, no pico. A partir
de um ponto A no solo, calcula a medida do ângulo a que
o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o ponto B, mede o ângulo θ de BP com a
horizontal. Fazendo um desenho ilustrativo, encontramos:
P
h
Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilitação nas resoluções de problemas aparentemente difíceis
é incontestável.
Exemplo 1:
Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o
raio r da Terra, que é um comprimento impossível de ser
obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os
gregos, é o seguinte:
Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo a que
faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar.
Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:
B
α
α
θ
B
1
A
x
P’
Temos que:
Substituindo (I) em (II), encontramos:
Torre
h
Portanto, a altura desejada é dada por:
C
R
e
nt
o
riz
a
h
Lin
do
ho
Terra
R
O
Usando as razões trigonométricas apresentadas, encontramos:
Trigonometria num triângulo qualquer
Em vista das numerosas aplicações em que se consideram
triângulos quaisquer, vamos apresentar duas leis de grande relevância na Trigonometria.
• Lei dos senos:
Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a
constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da
circunferência circunscrita.
Universidade Aberta do Nordeste
121
• Lei dos cossenos:
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do
produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Demonstração:
A
α
P
B
α
O
R
C
a
B
a
Lei dos cossenos:
^
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
^
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
^
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
C
a
sen (A)
c
é constante.
Acompanhe:
I. Seja O o circuncentro do DABC;
II. Prolongando o segmento BO até encontrar a circunferência, obtemos o diâmetro BP;
III. Observe que o triângulo PCB é retângulo em C , pois
BP é um diâmetro;
IV. Os ângulos inscritos  e P são iguais (arco capaz);
V. No triângulo retângulo PCB, temos:
sen  = sen P
a
= 2R → 2R =
a
sen A
Portanto, podemos escrever:
a
b
c
=
=
= 2R
sen C
sen B
sen A
Exemplo:
Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, viajando em linha reta, avista um farol em F, 45º à direita; após
ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção
que forma 75º com sua trajetória, como mostra a figura.
20 km
A
b
A
Observação:
Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis
na determinação dos ângulos de um triângulo, conhecendo as medidas dos lados.
Exemplo:
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo
pretende construir um teleférico, ligando o terminal de
transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a
figura a seguir.
C
20
0m
O teorema dos senos estabelece que
B
45º
75º
50º
N
B
300
√3
m
20º
A
F
Nesse ponto, a distância do navio ao farol pode ser calcu
lada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo AFB
é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:
122
P
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico
do morro (ponto C);
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e
o de chegada localizado no ponto C, sem parada
intermediária.
= 50º, a
Sendo
, BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN
distância entre os pontos A e C, pode ser facilmente calculada a partir da lei dos cossenos.
Por outro lado, tem-se:
•
•
Acompanhe:
Somando (III) e (IV), obtemos:
a2 · cos2 a + a2 · sen2 a = c2 + b2
a2 · (cos2 a + sen2 a) = a2
50º
Logo, cos2 a + sen2a = 1 (R. Fundamental), ∀a agudo.
20
0m
C
d
150º
N
B
300
Funções trigonométricas:
Seno e Cosseno
3m
√
As seis razões trigonométricas apresentadas até o momento variam conforme o ângulo a que se referem. São
perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos
compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse intervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As
razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a
que se referem e costumamos nomeá-las de funções trigonométricas. No entanto, as definições acima podem ser
generalizadas para qualquer ângulo a da seguinte forma:
20º
P
Temos:
Simplificando, obtemos:
d = 700 metros.
Pitágoras e a relação fundamental
da Trigonometria
A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra
grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos) a descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos, hoje universalmente conhecido pelo
seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um
triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre
os catetos. É sabido que esse teorema era conhecido pelos
babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio
antes, mas sua primeira demonstração geral pode ter sido
dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas
demonstrações desse teorema foram apresentadas.
Vejamos uma demonstração utilizando as razões trigonométricas:
b
C
θ
+
(arcos positivos, sentido anti-horário)
P(xp,yp)
yp
1
180º
(–1,0)
0º = 360º
a
O
xp
270º (0,–1)
θ
(1,0)
x
c
h
n
H
a
•
•
Somando (I) e (II), obtemos:
c2 + b2 = na + ma = a · (n + m) = a · a = a2.
Logo, c2 + b2 = a2 (Pitágoras).
–
Dessa forma, podemos definir o seno e o cosseno do
ângulo a para todos os valores de a e não somente para
aqueles entre 0º (ou 0 radianos) e 90º (ou radianos).
Vejamos:
α
m
y
(0,1) 90º
(arcos negativos, sentido horário)
A
α
A ampliação do domínio das funções trigonométricas a
toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigonométrica. Ela é definida por uma circunferência de raio unitário (raio = 1) centrada na origem dos eixos cartesianos.
B
e
Assim, as coordenadas do ponto P são:
P(xp, yp) = (cos a , sen a).
Consequentemente, temos:
e
De modo semelhante, para o ângulo a = p radianos
(meia-volta na circunferência), temos cos(p) = –1 e sen(p) = 0,
pois o ponto (xp, yp) = (0, –1).
Universidade Aberta do Nordeste
123
Quando a = 2p radianos, voltamos a ter o ponto (1, 0),
o que nos dá cos(2p) = 1 e sen(2p) = 0. Prosseguindo para
outros valores, verificamos que as funções trigonométricas se repetem cada vez que adicionamos 2p radianos ao
ângulo primitivo a. Da mesma forma que temos valores
possíveis para o seno e o cosseno quando a > 0, também é
possível atribuir valores às funções trigonométricas quando a < 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portanto, as
duas funções, seno e cosseno, ficam bem definidas para
todos os valores de a na reta real.
Observação:
É possível definir a função tangente do ângulo a de
modo semelhante.
• Representação geométrica das funções seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica.
eixo dos senos
eixo das tangentes
90º B(0,1)
P’
II Q
sen α
180º
(–1,0)
O
III Q
IQ
P
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = {y ∈ R| – 1 ≤ y ≤ 1} = [– 1; 1].
• f é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x, ∀x ∈ R.
• f é limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2p
• Gráfico
y
1
0
π π π
6 4 3
0º = 360º
eixo dos cossenos
A(1,0)
IV Q
270º (0,–1)
Para se ter uma ideia do comportamento geral de uma
função trigonométrica, é conveniente construir o seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfico, entretanto, o conjunto de pontos
notáveis discutidos anteriormente permite construir uma
figura bastante próxima do gráfico desejado.
124
y = sen x
0
0
p/6
1/2
p/4
2/2
p/3
3/2
p/2
1
p
0
3p/2
–1
2p
0
2π
x
x
y = cos x
0
1
p/6
3/2
p/4
2/2
p/3
1/2
p/2
0
p
–1
3p/2
0
2p
1
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = [– 1; 1].
• f é função par, pois cos(–x) = cos x, ∀x ∈ R.
• f é função limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2p.
• Gráfico da função seno
x
3π
2
• Gráfico da função cosseno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = cos x , construímos o gráfico da função cosseno no
intervalo de 0 a 2p.
T
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = sen x, construímos o gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2p.
2
π
-1
tg α
α
cos α
π
• Gráfico
y
1
0
π π π
6 4 3
π
π
2
3π
2
2π
x
-1
• Gráfico da função tangente
Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde
y = tg x, com x ≠
, construímos o gráfico da função
tangente no intervalo de 0 a 2p.
x
y = tg x
0
0
p/6
3/3
p/4
1
p/3
3
p/2
∃
2p/3
– 3
3p/4
–1
5p/6
– 3/3
p
0
2p
0
Questão Comentada
|C2-H8 e C3-H11|
Três ilhas, I1, I2 e I3, apare- I2
cem num mapa, em escala 1:10 000, como na figura
ao lado. Das alternativas, a
que melhor aproxima a
distância entre as ilhas
I1 e I2 é:
a) 2,3 km d) 1,4 km •
•
•
•
105º
I1
12 cm
I3
c) 1,9 km
Solução comentada:
Para encontrar a distância entre as ilhas I1 e I2, podemos recorrer à
= 45º, o
lei dos senos, pois claramente a medida do ângulo ACB
que nos permite escrever:
Propriedades
• D(f) =
b) 2,1 km e) 1,7 km
30º
.
Im(f) = R.
f é função ímpar, pois tg(–x) = – tg x, ∀x ∈ D.
f não é limitada.
f é periódica, de período p = p.
Como o mapa está na escala 1:10 000, podemos entender que 1 cm
no mapa equivale a 10 000 cm na realidade. Portanto, a distância
entre as ilhas I1 e I2 é igual a 17 vezes 10 000 cm, isto é, 1,7 km.
Resposta correta: e
• Gráfico
Para Fixar
y
π
2
π
3π
2
2π
x
20 m
0
|C2-H8|
05. Do alto de prédios circundantes, foram feitas
medições de ângulos
e outras, com vista a
determinar a altura da
45º
60º
Torre Eiffel.
Tendo em conta todas
471,4 m
as medições apresentadas na figura, a altura
total da torre, incluindo a antena, é, aproximadamente, igual
a: (considere
)
a) 217 m b) 279 m
c) 301 m
d) 319 m
e) 400 m
Exemplo:
Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de
Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo
era periódico e podia ser aproximado pela expressão:
,
|C2-H8|
06.Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
P
onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da
observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em
metros) no instante t.
30º
A
Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos
Consequentemente,
, com k
inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas
(k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da observação.
60º
1 000 m
B
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB. Após
a embarcação percorrer 1 000 m, no ponto B, o navegador
verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 500 3 c) 1 000
d) 700 3 e) 1 000 3
Universidade Aberta do Nordeste
125
Fique de Olho
FOrmULÁrIO TrIgONOmÉtrIcO
3
5
Fórmulas da adição
Admitindo-se que sen(a) = e que o barco se aproximou
sen(b + a) = sen b · cos a + sen a · cos b
do farol e uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, a nova distância x’ a
que o barco se encontrará da base do farol pode ser calculada facilmente usando a fórmula do arco duplo:
cos(b + a) = cos a · cos b – sen b · sen a
tg (β + α ) =
tg β + tg α
1 − tg β ⋅ tg α
tg 2 α =
Fórmulas da subtração
2 . tg α
1 − tg 2 α
sen(b – a) = sen b · cos a – sen a · cos b
cos(b – a) = cos b · cos a + sen b · sen a
Ilustração
tg β − tg α
tg (β − α ) =
1 + tg β ⋅ tg α
x’
Arco duplo
α
sen(2a) = 2 · sen a · cos a
α
36 m
cos(2a) = cos2a – sen2 a
tg (2α ) =
2 . tg α
1 − tg 2 α
Saiba que alguns problemas de geometria exigem a utilização de algumas dessas fórmulas.
Constatação:
Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir
de um ângulo a, conforme a figura:
• sen
α=
3
3
⇒ tg α = (I)
5
4
• tg (2α ) =
2 tg α
36
=
(II)
1 − tg 2 α x’
x
α
Substituindo (I) em (II), encontramos:
36 m
3
4 = 36 ⇒ x’ = 10,5 m.
2
x’
 3
1−  
 4
2.
Exercitando para o Enem
|C5-H21|
01. Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina,
quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Daí, se K é o volume da substância no organismo, pode-se utilizar a função
para estimar a sua eliminação depois de um
tempo t, em horas. Nesse caso, o tempo mínimo necessário
para que uma pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única
dose, é de:
a) 12 horas e meia. b) 12 horas. c) 10 horas e meia.
d) 8 horas. e) 6 horas.
126
|C5-H22|
02. O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22
horas. Às 22 h e 30 min, o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 ºC.
Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5 ºC. A temperatura do ambiente foi mantida constante
a 16,5 ºC. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva
seja 36,5 ºC. O médico sabe que o resfriamento do corpo da vítima segue um modelo exponencial do tipo:
Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela
seguinte.
TempeTempeDiferença
ratura do ratura do de tempecorpo (ºC) quarto (ºC) ratura (ºC)
Hora
t=?
Morte
36,5
16,5
D(t) = 20
t=0
22 h 30 min
32,5
16,5
D(0) = D0 = 16
t=1
23 h 30 min
31,5
16,5
D(1) = 15
Considerando os valores aproximados log25 = 2,3 e log23 = 1,6,
pode-se estimar a hora em que a pessoa morreu como sendo:
19 h 15 min
19 h 30 min
19 h 45 min
20 h 00 min
20 h 15 min
a)
b)
c)
d)
e)
Crescimento
populacional
Produção de
alimentos
Anos
Número de pessoas
Toneladas
Anos
b)
b)
Crescimento
populacional
Produção de
alimentos
Anos
Crescimento
populacional
Toneladas
Número de pessoas
Anos
c)
Produção de
alimentos
Anos
Crescimento
populacional
Toneladas
d)
Número de pessoas
Anos
d)
Produção de
alimentos
Anos
Crescimento
populacional
Toneladas
e)
Número de pessoas
Anos
e)
|C5-H22|
05.Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em
formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior
de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.
x
x
1m
40 cm
1m
1m
Toneladas
Número de pessoas
|C5-H20|
03.“Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em
25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo
que, dadas as condições médias da Terra disponíveis em seu
tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no
máximo, em progressão aritmética”.
Analise os gráficos e assinale a alternativa em que a Lei de
Malthus está representada.
a)
a)
|C5-H23|
04.A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação da água por resíduos industriais. A lei
n(t) = 5 000 – 10 · 2t – 1 fornece uma es­timativa do número de
espécies vivas n(t) em função do número de anos (t) transcorridos após a instalação do parque industrial na região.
Uma ONG divulgou que, se nenhuma pro­vidência for tomada, em uma década (a par­tir do início da instalação da indústria) não haverá mais peixes no lago. Com base nos dados
apresentados, podemos afirmar corretamente que:
a) tal informação não procede, pois sempre haverá peixes no lago.
b) tal informação é exagerada, pois haverá um redução do número de peixes no lago, mas não a ponto de extingui-los.
c) tal informação procede, pois em nove anos já não haverá
mais peixes.
d) tal informação é exagerada, pois levaria mais de 20 anos para
extinguir os peixes.
e) tal informação é procedente, pois em cinco anos já não haverá mais peixes.
a)
b)
c)
d)
e)
x
x
Interbits
Em que:
– t é o tempo, em hora;
– Do é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0;
– D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio
ambiente num instante t qualquer e;
– k é uma constante positiva.
Com relação ao volume que esse bloco retangular poderá
ter, podemos afirmar corretamente que:
seu máximo valor será 20 000 m3.
seu máximo valor será 10 000 m3.
seu máximo valor será 40 000 m3.
seu mínimo valor será 5 000 m3.
não dependerá da variável x.
|C5-H21|
06.Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazer uma pesquisa de
preços de passagens, os estudantes receberam de uma empresa uma proposta, na qual o preço de cada passagem dependeria do total de passageiros que as comprassem. Cada
passagem custaria R$ 90,00, mas seria cobrada uma multa
individual no valor de R$ 5,00 por cada lugar que, eventualmente, ficasse vago no ônibus. Considerando que o ônibus
tem 52 lugares, é correto afirmar que a máxima receita dessa
empresa ocorrerá se a viagem for realizada com:
a) 39 passageiros. b) 38 passageiros. c) 37 passageiros.
d) 36 passageiros.
e) 35 passageiros.
Produção de
alimentos
Anos
Anos
Universidade Aberta do Nordeste
127
|C5-H20|
07.A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco
parabólico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m.
y
C
|C5-H19 e H-22|
09.As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que,
para uma determinada maré, a altura h, medida em metros,
acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula:
em que t ∈ [0, 24) representa o horário
A
O
x
B
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o
vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
2,45 m
P
A
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m,
como ilustrado acima, toca sua extremidade P em determinado ponto do arco parabólico, a distância do ponto P ao
eixo vertical Oy é igual a:
a) 3 m
b) 3,5 m
c) 4 m
d) 4,5 m
e) 5 m
|C2-H6 e H-8|
08.Para representar as localizações de pontos estratégicos de
um acampamento em construção, foi usado um sistema de
eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura abaixo, em que os pontos F e M representam os locais onde serão
construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino
e R o refeitório.
de aferição.
O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura
necessária de água para que o navio flutue livremente) pode
permanecer nesta região está compreendido entre:
a) 12 e 18 horas. b) 6 e 12 horas. c) 2 e 10 horas.
d) 10 e 18 horas. e) 12 e 10 horas.
|C2-H8|
10.Um rolamento, peça largamente
utilizada na indústria, pode ser descrito de maneira bem simplificada
como um conjunto de dois cilindros de bases concêntricas e mesr
R
ma altura, além de várias esferas
idênticas, colocadas entre as superfícies laterais dos dois cilindros.
A figura ao lado mostra o esquema
de um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros medem r e R, respectivamente, e as esferas são tangentes entre
si e também tangentes às superfícies laterais dos cilindros. As
esferas ocupam todo o espaço entre os cilindros, mas apenas
cinco delas estão desenhadas na figura.
a
5º
10º
15º
20º
25º
sen a
1
10
7
40
13
50
1
3
21
50
y (metros)
F
R
30º
M (30,0)
x (metros)
O total de esferas existentes em um rolamento em que
r = 33 mm e R = 47 mm, usando, se necessário, as aproximações fornecidas na tabela, é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Para Fixar
Se o escritório da coordenação do acampamento deverá ser
equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das
abscissas, quantos metros ele distará do refeitório?
a) 10 3 b) 9 3 c) 8 3
d) 10
e) 9
01
02
03
04
05
06
a
c
b
a
d
b
Exercitando para o Enem
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
b
b
c
c
a
e
a
d
c
e
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Expediente
Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Sérgio Falcão
Coordenação do Curso: Fernanda Denardin e Marcelo Pena
Coordenação Editorial: Sara Rebeca Aguiar
Coordenação Acadêmico-Administrativa: Ana Paula Costa Salmin
Coordenação de Design Gráfico: Deglaucy Jorge Teixeira
Apoio
Parceria
ISBN 978-85-7529-512-0
Projeto Gráfico: Dhara Sena e Suzana Paz
Capa: Suzana Paz
Editoração Eletrônica: Antônio Nailton
Ilustrações: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e João Lima
Revisão: Maria Sárvia, Rosemeire Melo, Sara Rebeca Aguiar e Tony Sales
Realização
Promoção