UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA
SEMANA DA MATEMÁTICA 2014
Ensinando a trigonometria através de materiais concretos
PIBID MATEMÁTICA 2009
CURITIBA 2014
Introdução
Segundo as Diretrizes Curriculares Escolar (DCE 0000 p.54) através
datrigonometria que integra o Conteúdo Estruturante Grandezas e Medidas, é
pretendido contemplar as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos
de um triangulo, relações essas desenvolvidas a partir da necessidade do
homem de determinar, por exemplo, distancias inacessíveis.
Após observações foi possível detectar a existência de diversas definições de
ângulos e radianos presentes nos livros didáticos, tal divergência, dificulta a
compreensão desse conceito tanto para alunos como para professores. Surge,
portanto questões como: O que é radiano? Porque o seu uso é necessário?
Esses e outros questionamentos acabam sendo omitidos a fim de facilitar e
agilizar o trabalho tanto daqueles que ensinam, quanto daqueles que
aprendem, embora acabe por acarretar uma série de problemas subsequentes.
Esses conflitos começam a se destacar à medida que os conteúdos avançam.
Notamos que, assim como nós, a maioria dos alunos, e até mesmo alguns
professores, confundem o conceito radiano com um mero algoritmo de
conversão para graus. Portanto, o primeiro objetivo deste projeto é apresentar
o conceito do radiano de forma significativa e em seguida realizar uma
proposta de atividades para a construção das funções trigonométricas através
de materiais concretos, destacando a importância do Radiano como a unidade
de medida angular pertinente à definição das funções reais circulares. Para
tanto, vemos no material concreto uma ferramenta capaz de ilustrar e auxiliar
na construção desse conhecimento, levando o aluno a um aprimoramento e
amadurecimento teórico.
SESSÃO 1
Ao pesquisarmos em livros didáticos a definição de radiano é possível
encontrar, pelo menos, duas abordagens diferentes:
1) RADIANO:
Define-se como 1 radiano o angulo central de uma circunferência quando este
esta subentendido ao arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência
Pode-se, então, estabelecer a seguinte relação:
MEDIDA DO ARCO
1 RAD
COMPRIMENTO DO ARCO
r
X
2πr
Logo podemos afirmar que uma circunferência tem um total de 2π radianos.
2) RADIANO
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio
da circunferência no qual está contido.
Uma circunferência de raio = 1 possui como medida 2 π radianos ( 2π rad).
SESSÃO 2
PARA CONSTRUIR O CÍRCULO VOCÊ IRÁ PRECISAR DE:
- 3 círculos de cores e tamanhos diferentes.
- 1 régua.
- 1 compasso.
-1 transferidor.
-1 barbante.
- Lápis, caneta e/ou canetinha.
- 1 borracha.
CONSTRUÇÃO:
1° Passo) Recorte três círculos com diferentes tamanhos,ou seja, a medida do
raio do segundo círculo será maior que a do primeiro círculo. O mesmo para o
terceiro círculo.
2° Passo) Trace o raio de cada um dos círculos.
3° Passo) Medir com o barbante o tamanho do raio e coloca-lo sobre o círculo,
como mostra a figura.
5° Passo) Marcar com o lápis a medida encontrada e com o transferidor
encontrar o ângulo correspondente a esse arco.
6° Passo) Repetir esse procedimento nos outros dois círculos.
OBJETIVO
O objetivo desse procedimento é de que o aluno possa construir a medida de
radiano e observar o que acontece quando a medida do raio aumenta. Assim,
pode concluir que não importa a medida do raio a ser utilizado o ângulo será
sempre o mesmo.
SESSÃO 3
Circunferência trigonométrica ou circulo trigonométrico
- Circunferência trigonométrica
Uma circunferência orientada de raio unitário (r=1), sobre a qual um ponto A é
a origem de medida de todos os arcos contidos, é uma circunferência
trigonométrica.
Vamos considerar uma circunferência trigonométrica cujo centro coincide com
a origem do sistema cartesiano e o ponto A (1,0) que é a origem de todos os
arcos como mostra a figura a seguir
Os eixos Ox e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos
de mesma medida (90º ou
), numerados no sentido anti-horario, como
vemos na figura. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas
quadrantes, também numeradas no sentido anti-horário.
- Arcos trigonométricos
Todo arco orientado cuja origem coincide com a origem da circunferência
trigonométrica que o contem, chamaremos de arco trigonométrico. Os arcos
trigonométricos podem ser:



Positivos, quando marcados no sentido anti-horário;
Negativos, quando marcados no sentido horário
Maiores que 360º ou 2 rad, quando tem mais de uma volta
Observe a figura abaixo em que temos um arco de origem A e extremidade E.
Ele pode assumir infinitos valores, dependendo do numero de voltas no sentido
anti-horário ou no sentido horário.
Sendo m(AE) = 20º, temos:
... -700º = -340º = 20º = 380º = 740º ... (20º coincidem com 380º...)
Quando medidos em graus,
algebricamente pela expressão
esses
arcos
podem
ser
representados
=
+ 360º. ∈ Z
Sendo
a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico (0≤
numero de voltas.
<360º)e k o
Quando medidos em radianos, os arcos trigonométricos são representados por:
=
+2
∈
- Função Seno
Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica,
com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(AP) = x
rad, dizemos que seno do arco x é a ordenada OP’, do ponto P
sen x = OP’
Chamamos de função seno a função f:R→R que, a cada numero real x, associa
o seno desse numero:
f:R→R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é – [-1,1] visto que, na circunferência
trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 ≤ senx ≤ 1, ou
seja|
D (sen x) = R
e
Im(sen x) = [-1,1]
- Sinal da função
Como sen x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:


f(x) = sen x é positiva no 1º e 2º quadrantes
(ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3º e 4º quadrantes
(ordenada negativa)
- Função Cosseno
Associando cada numero real x a um arco da circunferência trigonométrica,
com origem no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m(AP) = x
rad, dizemos que cosseno do arco x é a abcissa O ′ do ponto P
cos x = OP’
Chamamos de função cosseno a função f:R→R que, a cada numero real x,
associa o cosseno desse numero:
f:R→R, f(x) = cos x
O domínio dessa função é R e a imagem é [-1,1] visto que, na circunferência
trigonométrica, o raio é unitário e, pela definição de seno, -1 ≤ cos x ≤ 1, ou
seja
D (cos x) = R
e
Im(cos x) = [-1,1]
- Sinal da função
Como cos x é a abcissa do ponto-extremidade do arco:


f(x) = cos x é positiva no 1º e 4º quadrantes
(abcissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 2º e 4º quadrantes
(abcissa negativa)
SESSÃO 4
CONSTRUÇÃO DO MATERIAL DE APOIO PARA GRÁFICOS E FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS:
Você irá precisar de:
- 1 Folha milimetrada.
- 1 Barbante.
- Lápis, caneta e/ou canetinha.
- 1 Borracha.
- 1 Tachinha ou fita adesiva.
- 1 Régua.
- 1 Transferidor.
- 1 Compasso.
CONSTRUÇÃO
1° Passo) No papel milimetrado você irá traçar um círculo e um par de eixos x e
y, como mostra a figura:
3° Passo) Fixe o barbante no ponto zero da circunferência.
4° Passo) Com o auxílio do transferidor marque os ângulos de 30°, 45°,60°,90
°, 180°, 270° e 315°.
5° Passo) Meça o tamanho do arco de cada um desses ângulos com o
barbante e a seguir transfira-o para o eixo das abscissas. (Sugestão: você
poderá acrescentar outros pontos).
Observação: A sua construção deverá ficar igual à figura a seguir.
6° Passo) Após transferidos os pontos, terá que traçar uma reta perpendicular
no ponto A paralela ao eixo y. Em seguida, trace uma reta paralela ao eixo x no
ponto A1. Por fim, marque o ponto na interseção dessas duas novas retas,
assim obterá seu primeiro ponto do gráfico.
7° e último passo) Repita esse mesmo processo para os outros pontos.