GUIA DO PROFESSOR
- MARÉS, ONDAS, MATEMÁTICA –
- COLÉGIO MÓBILE -
1 – Introdução:
Um contexto significativo: ondas e marés
Partimos do princípio de que há uma série de grandes temas sobre os quais
podemos identificar aplicações de conteúdos matemáticos. Esses temas formam o
contexto de trabalho onde serão desenvolvidos tais conteúdos. O contexto nesse
caso, considerado significativo, permite que diferentes significados conceituais
sejam aproximados uns dos outros de maneira que possam ser visualizados
caminhos para a condução do trabalho sobre a malha conceitual.
A escolha de um contexto de trabalho passa pela avaliação quanto à
pertinência do tema em relação a dois aspectos principais, que denominaremos
aqui de significatividade social e significativade conceitual. Vamos detalhar como
entendemos cada um desses aspectos.
A significatividade social diz repeito à possibilidade de que as idéias
englobadas pelo tema estejam incorporadas, de alguma forma, às práticas sociais
dos sujeitos. Um determinado tema pode estar próximo da vivência de
determinado grupo, de determinada região geográfica, e, dessa forma, revestir-se
de significatividade, e, ao mesmo tempo, não evidenciar qualquer proximidade
com outros grupos sociais. Assim, na escolha do tema, para que ele possua
significatividade social, torna-se importante refletir sobre as proto-relações
estabelecidas entre a cultura do grupo e as idéias, os objetos, os conceitos, que
podem ser ligados ao tema. Visto dessa forma, quanto maior for a universalidade
do tema, maior também será sua significatividade.
Denominamos significatividade conceitual à propriedade que um tema pode
possuir de agregar a maior quantidade possível de conteúdos matemáticos. O
trabalho escolar deve, por princípio, transcorrer com base no desenvolvimento de
conteúdos. Para construir seu conhecimento matemático, no nível que for, um
aluno necessita dominar conteúdos. Sendo assim, parece fundamental que o
contexto de trabalho, no qual será desenhado um caminho conceitual, um
percurso temático, permita que nele sejam detectadas aplicações, de toda
natureza, de inúmeros conteúdos matemáticos.
A escolha pelo tema Ondas e Marés, que fundamenta a produção e a
aplicação do Objeto Virtual de Aprendizagem, passou pela avaliação de que esse
tema é significativo tanto socialmente quanto conceitualmente. Devemos apontar
os motivos dessa conclusão.
Julgamos ser possível afirmar que não há ser humano capaz de ficar
indiferente à observação do mar. Se para uns, o mar é motivo de inspiração para a
realização de passeios imaginários, para poesias, contos, telas, e todo tipo de
manifistação artística, evidenciando a admiração pela beleza do ambiente
marinho, para outros, o mar é mais do que isso: é a fonte no qual
buscam
elementos para sua subsistência. Existe também quem sinta medo do mar, de
seus mistérios, da fúria que às vezes o acompanha. Medo, nesses casos, não
está, de forma alguma, relacionado à indiferença.
Vários fenômenos observados no ambiente marinho podem ser, e de fato o
são, analisados com base em modelos matemáticos. Podemos enunciar, dentre
outros, a formação e a propagação de ondas, as correntes marinhas, a dispersão
de poluentes em emissários submarinos, e o subir e descer das marés. Na análise
desses casos deparamos com vários tipos de funções – lineares, polinomiais,
trigonométricas etc. Assim, escolhemos o mar e as marés como contexto de
trabalho por avaliarmos que ele é significativo sob os dois aspectos apontados
anteriormente, social e conceitual.
2. Objetivos de Aprendizagem
São estes os principais objetivos previstos para a aplicação do objeto de
aprendizagem Marés, Ondas, Matemática:
1. Identificar a existência e as características de alguns fenômenos naturais
periódicos.
2. Reconhecer as principais características da geração e propagação de ondas:
freqüência, período, amplitude e velocidade.
3. Avaliar a possibilidade de que fenômenos naturais periódicos venham a ser
modelados por funções trigonométricas.
4. Analisar as causas e associar o movimento de subida e descida da maré em
determinado lugar à posição relativa entre Sol, Lua e Terra
3. Pré-requisitos
É esperado que os alunos dominem a construção e a interpretação de
gráficos cartesianos.
4. Duração da atividade
Para a aplicação do Objeto, propriamente dito, é previsto um tempo de duas
aulas de 50 minutos. No entanto, toda a atividade de estudo dos conceitos
envolvidos no Objeto exigirá dos alunos o envolvimento com outras rotinas de
trabalho, virtuais ou não, conforme será descrito na seqüência deste guia.
A necessidade de outras rotinas de trabalho justifica-se devido à extensão e
importância do corpo de conteúdos envolvidos no Objeto, que envolve,
principalmente, o estudo das funções trigonométricas seno e cosseno, as
características da propagação das ondas e as causas da formação das marés.
5. Possível seqüência de aplicação do Objeto
Sugerimos que o Objeto Virtual componha um percurso temático com várias
atividades, conforme relataremos em seguida. Nesse processo, os conteúdos
matemáticos envolvidos serão:
1. Circunferência trigonométrica
2. Senos e cossenos na circunferência trigonométrica
3. Função seno e função cosseno – gráficos
4. Equações e inequações trigonométricas com seno e cosseno
As atividades que comporão o percurso, além do Objeto de Aprendizagem,
são:
:
•
Atividade 1
o Todo dia ela faz tudo sempre igual
•
Atividade 2
o As sombras longas
•
Atividade 3
o Usando o software Grafhmática
•
Atividade 4
o Modelando o subir e descer das marés
•
Atividade 5
o Interagindo com o Objeto Virtual de Aprendizagem
Apresentamos a seguir o detalhamento dessas atividades, acrescidas de
algum comentário.
Atividade 1 – O desenvolvimento das atividades em sala de aula parte da
caracterização da periodicidade de determinados fenômenos
naturais. Assim, vamos convidar os alunos a refletirem sobre o
movimento relativo entre Terra e Sol e a formação de sombras, a
partir de narrativas, na situação descrita no texto seguinte.
Todo dia ela faz tudo sempre igual (Chico Buarque)
Você já parou para pensar em quantas coisas faz hoje que são parecidas às que fez
ontem, e anteontem, e que não serão diferentes das que fará amanhã ou depois de amanhã?
São muitas, não são? Nesse aspecto somos semelhantes à natureza.
Todo dia o sol nasce e depois se põe; todo mês a Lua fica cheia, mingua e depois cresce
novamente; todo ano temos o verão, outono, inverno e, por fim, a primavera. Em Belém, no
Pará, chove quase todo dia; no sertão, quase nunca. A maré enche e esvazia duas vezes por dia
em toda praia de mar do Brasil e do mundo. Como se vê, há muitos fenômenos naturais que se
repetem quase sempre nas mesmas condições. São fenômenos periódicos.
Faz bastante tempo que os homens começaram a entender a periodicidade da natureza
e a criar instrumentos para acompanhá-la. Assim surgiram os primeiros calendários. No começo
uma simples estaca enfiada no chão ajudava a perceber a regularidade do movimento aparente
do Sol.
O comprimento da sombra projetada no chão pela estaca varia de acordo com a
inclinação do movimento aparente do Sol. No verão, o Sol passa mais “a pino”, enquanto no
inverno passa “mais baixo”. Assim, o comprimento da sombra é menor no verão e maior no
inverno.
Se acompanharmos a variação do comprimento da sombra da estaca durante um ano, e
sempre no mesmo horário, começando pelo inicio do verão, veremos que ele vai de um valor
mínimo a um valor máximo, e depois retorna ao mínimo inicial.
Essa “monotonia” do movimento relativo Terra-Sol foi, talvez, a primeira periodicidade
percebida pelo homem. Hoje, percebemos muitas outras, e as estudamos. A Matemática é uma
das ciências que nos ajuda a compreender a periodicidade dos fenômenos naturais.
Como podemos mostrar a variação do tamanho da sombra de uma estaca? Uma das
possibilidades é desenhar um gráfico. Discuta com seus colegas como produzir esse gráfico,
use sua imaginação para projetar o tempo passando rapidamente, e desenhe esse gráfico para
um intervalo de tempo de dois anos.
Atividade 2 – Dando continuidade à atividade 1, os alunos poderão agora refletir
sobre outra situação envolvendo o movimento relativo Terra-Sol,
descrita no texto seguinte.
As sombras longas
O movimento aparente do Sol, como sabemos é periódico. Todo dia ele surge no
horizonte, a Leste, e desloca-se até o horizonte do outro extremo, a Oeste.
Devido à inclinação do eixo de rotação da Terra, de cerca de 23°, o Sol não é visto à
mesma altura no céu de qualquer lugar. Perto da linha do Equador o Sol passa mais “à pino”,
enquanto nas regiões próximo dos pólos o Sol passa bem perto da linha do horizonte.
Imagine a sombra de uma pessoa projetada no chão e imagine a alteração no
comprimento dessa sombra dependendo da região do planeta em que essa pessoa estiver.
Estando na linha do Equador, a sombra dessa pessoa, ao meio dia, terá comprimento quase nulo.
Por outro lado, se a pessoa estiver perto do pólo Norte, terá, não apenas ao meio dia, uma
sombra de grande comprimento, uma sombra longa.
Os desenhos (I), (II) e (III) nos dão uma idéia de como a sombra da estaca cresce à
medida que o ângulo de inclinação do Sol diminui. Já o desenho (IV), mostra uma situação
limite, em que o Sol está tão baixo que o comprimento da sombra, de tão grande, é impossível
de ser medido.
(I)
( III )
( II )
( III )
No dia seguinte, ao nascer do Sol, o comprimento da sombra muda de lado, partindo de
um valor incomensurável e diminuindo com a passagem das horas.
Converse com seus colegas de grupo e resolvam como representar em um gráfico a
variação do comprimento da sombra de um objeto, colocado, por exemplo, em Manaus, em
relação à passagem das horas de um dia.
Atividade 3 – Nesta etapa os alunos interagirão com o software Grapfmática,
desenhando
gráficos
questionados
sobre
de
as
funções
trigonométricas
propriedades
e
e
regularidades
sendo
que
observavam nos gráficos desenhados pelo software. Esta atividade
pode
ser
composta
das
3
fichas
de
acompanhamento
apresentadas a seguir.
FICHA NÚMERO 1
Gráficos do tipo y = A.senx
1. Desenhe, com o graphmática, em um mesmo sistema de eixos os gráficos:
( I ) y = senx ( II ) y = 2 senx
( III ) y = 3 senx
Pronto? Agora faça no papel um esboço do que o computador desenhou para você.
2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III ) e desenhe mais dois gráficos:
( IV ) y = 5 senx
( V ) y = - 3 senx
Qual é a alteração produzida no gráfico de y = senx quando multiplicamos toda a função
por um valor constante A?
a) Sem usar o graphmática, desenhe no sistema de eixos seguinte os gráficos:
( VI ) y = 4 senx
( VII ) y = - 2 senx
3. Observando todos os gráficos desenhados até agora, responda:
a) Qual é o domínio de uma função do tipo y = Asenx?
b) Qual é a imagem de uma função do tipo y = Asenx?
c) Qual é o período d e uma função do tipo y = Asenx?
Gráficos do tipo Y = A.cosx
Repita os exercícios 1, 2 e 3 que você fez anteriormente, trocando seno por cosseno. Não se
esqueça de identificar cada gráfico com a equação correspondente.
4. ( igual ao exercício 1)
5. (Igual ao exercício 2)
a)
b)
6. ( Igual ao 3)
a)
b)
c)
7. Os gráficos das funções y = senx e y = cosx têm semelhanças e diferenças. Aponte uma
semelhança e uma diferença
Semelhança: ..........................................................................................
Diferença: ..............................................................................................
FICHA NÚMERO 2
Gráficos do tipo
y = Asen(Bx) ou y = Acos(Bx)
8. Usando o graphmática desenhe em um único sistema de eixos os gráficos:
( I ) y = senx
( VIII ) y = sen 2x
( IX ) y = sen4x
Faça um esboço desses 3 gráficos no sistema de eixos seguinte:
9. Você deve ter percebido diferença entre as formas “senoidais” dos 3 gráficos que você
acabou de desenhar. Explique a diferença.
10. Ainda usando o graphmatica desenhe em um único sistema de eixos:
( I ) y = senx
( X ) y = sen
x
2
( XI ) y = sen
Faça os esboços desses gráficos no sistema de eixos:
11. Ainda no graphmática, desenhe os gráficos e depois faça os esboços:
( XII ) y = cosx
( XIII ) y = cos2x
( XIV) y = cos
x
2
x
4
12. Agora sem o graphmática. Desenhe no sistema de eixos seguinte os gráficos:
( I ) y = senx
( XV ) y = 3 sen4x
( XVI ) y = - 2 sen
x
2
13. Em funções do tipo y = A.senBx ou do tipo y = A.cosBx, qual é:
a) O domínio? ...................................................................................
b) A imagem? ...................................................................................
c) O período? ..................................................................................
14. Responda:
a) Qual é o domínio da função y = - 4 sen4x? ..............................
b) Qual é a imagem da função y = 5 sen
x
? ...............................
5
c) Quais são os períodos das funções dos itens a e b aí de cima?
.............................
.............................
15. Sem usar o graphmática e faça o esboço do gráfico da função
y = 5 sen3x
FICHA NÚMERO 3
Gráficos do tipo y = D + AsenBx
16. Desenho com o Graphmatica e também no papel os gráficos:
( I ) y = senx
(XVII) y = 2 + senx
( XVIII) y = -1 + senx
17. Repita o exercício anterior trocando seno por cosseno
18. Qual é o período e qual é a imagem de uma função do tipo y = D + senx ou
cosx?
19. Sem computador! Faça o esboço de um período do gráfico da função
y = 1 + 2 senx
y = D +
20. Desenhe na tela do computador e também no papel os gráficos:
( I ) y = senx
( XIX) y = -1 + sen2x
21. O gráfico desenhado a seguir representa uma função do tipo y = AsenBx. Determine a
equação dessa função.
3
1
0
2π
4π
-1
Resposta: ..................................
Atividade 4 - Completado e avaliado o trabalho com as fichas da atividade 3, os
alunos poderão agora pesquisar, em algum site de busca, os
valores das tábuas de marés de alguma região da costa brasileira 1 .
Nessa etapa, escolhida determinada região, os alunos anotarão os
valores das marés altas de dois meses consecutivos, transportarão
os dados para uma planilha eletrônica e desenharão, com a ajuda
de uma planilha eletrônica, como o Excel, por exemplo, os gráficos
relacionando os dias de observação às alturas das marés altas. De
posse dos gráficos, os alunos receberão a incumbência de
determinar a equação que se ajusta aos gráficos. Vale frisar que,
nessa etapa, será necessário realizar algumas simplificações para
que os gráficos possam, de fato, serem associados à funções do
tipo y = Asen(Bx). Apresentamos a seguir o resultado de alguns
desses trabalhos, produzidos por alunos de 2º ano de Ensino
Médio.
1
O site do Instituto Climatempo, www.climatempo.com.br/, apresenta medidas de altura de marés de vários
portos brasileiros.
Vale ressaltar que a construção dos gráficos, além de ser
acompanhada pela obtenção das equações das funções, o que se
traduz em uma autêntica vivência de modelagem matemática, deve
ser acompanhada também por uma discussão sobre as causas
das marés e das variações observadas nos gráficos. Dessa forma,
os alunos poderão pesquisar sobre a influência da gravidade da
Lua e do Sol na formação das marés e avaliar a relação entre as
fases da Lua e as cristas e os vales observados na onda de maré
representada nos gráficos.
Atividade 5 – Como última etapa do trabalho os alunos interagirão com o Objeto
de Aprendizagem Marés, Ondas, Matemática
Divididos em duplas, os alunos “navegarão” pelo objeto virtual
contextualizado sobre a propagação de ondas e a periodicidade
das marés. Durante esse processo, tomarão contato com os
seguintes conceitos relativos às ondas:
1.
Amplitude
2.
Velocidade de propagação
3.
Período
4.
Freqüência
Variando amplitude e freqüência de ondas geradas pelo sistema,
os alunos poderão perceber, intuitivamente, a relação entre o
comportamento da onda e os valores desses parâmetros.
Será possível, também, comparar o gráfico das funções y = senx e
y = cosx com as ondas geradas pelo sistema.
Poderão ser discutidas as causas principais
da produção das
marés: influência da gravidade do Sol e da gravidade da Lua.
Durante esse trabalho de interação com o Objeto Virtual, os alunos
preencherão um roteiro de acompanhamento de atividade que
associa uma ficha de trabalho a cada novo grupo de conceitos que
lhes era apresentado pelo Objeto Virtual. Essas fichas e as
correspondentes telas do Objeto Virtual são apresentadas a seguir.
Telas de Introdução
Tela “Caranguejo”
Nesta simulação, um objeto flutua na superfície da água e, ao sabor das ondas,
sobe e desce em determinada freqüência. O caranguejo abre e fecha sua garra
em uma freqüência ajustada pelo usuário, com o objetivo de pegar o objeto que
flutua.
INTERVENÇÕES – 1 – CARANGUEJO
1. Qual é a freqüência como que o caranguejo abre e fecha sua garra?
2. Qual é a freqüência da onda gerada?
3. Descreva as condições que devem ser obedecidas pelas freqüências da onda e da garra, e
também pela amplitude da onda, para que o caranguejo consiga pegar a pipoca.
4. Qual é o movimento executado pela pipoca devido à passagem da onda?
5. Suponha que o caranguejo pudesse pegar a pipoca com qualquer uma de suas duas garras.
Suponha também que as garras abrem e fecham em freqüências diferentes. Nessas
condições, estipule valores para as freqüências das garras e da onda para que uma das
garras abra e feche 4 vezes sem pegar a pipoca, enquanto a outra garra pegue a pipoca na
3ª vez que fechar.
Tela “Seno na circunferência trigonométrica”
Esta simulação apresenta um ponto girando sobre a circunferência e a
correspondente projeção sobre o eixo vertical. O usuário pode parar o movimento
no ponto que desejar a fim de avaliar o valor do seno do arco fixado.
INTERVENÇÕES – 2 – SENO NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
1. Complete as tabelas com os valores do seno dos arcos que dividem os quadrantes e com o
sinal do seno em cada quadrante
Arco(rad)
π
0
3π
2
π
2
2π
Seno
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Sinal do Seno
2. Repita o procedimento para o cosseno.
Arco(rad)
π
0
3π
2
π
2
2π
Cosseno
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Sinal do
Cosseno
3. Acompanhando o movimento do ponto sobre a circunferência, avalie, em cada quadrante, se
aumentando a medido do arco aumenta, em correspondência, o valor do seno. Se isso
ocorrer, diremos que o seno é crescente no quadrante. Em caso contrário, o seno é
decrescente no quadrante. Complete a tabela:
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Seno:crescente ou
decrescente?
4. Repita o procedimento para o cosseno
Quadrante
1º
2º
3º
4º
Cosseno: crescente ou
decrescente?
5. Observe o sistema de eixos coordenados representado abaixo, e assinale
a) no eixo horizontal a posição dos números reais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Estabeleça uma
escala.
b) os números reais
π
2
, π,
3π
e 2π , respeitando a escala estabelecida anteriormente
2
c) no eixo vertical os valores -1 e +1, respeitando a mesma escala
d) os pontos (x, y) nos quais x corresponde aos números reais que são medidas de arcos
que dividem os quadrantes, e y é o valor do seno correspondente.
e) Unindo os pontos assinalados é possível desenhar o gráfico de y = senx. Discuta com os
colegas sobre a melhor maneira de unir esses pontos e obter o gráfico
Tela “O gráfico do seno”
Nesta tela, o movimento de um ponto sobre a circunferência é
acompanhado da construção do gráfico que mostra a variação do comprimento da
projeção obtida no eixo vertical.
INTERVENÇÕES – 3 – O GRÁFICO DO SENO
1. Observando o movimento do ponto sobre a circunferência e lembrando do gráfico que você
desenhou na folha anterior, desenhe agora o gráfico da função y = senx no intervalo [0,
4π]
2. O gráfico que está sendo desenhado na tela do computador não é idêntico ao que você
desenhou. Descreva a diferença entre eles.
3. Converse com seus colegas para avaliar a forma do gráfico da função y = cosx. Em seguida,
faça um esboço desse gráfico.
Tela “Seno x Tempo”
Nesta tela o usuário pode variar a velocidade com que o ponto gira em torno
da circunferência e observar, simultaneamente, a construção do gráfico que
relaciona a variação do seno com o tempo.
INTERVENÇÕES – 4 – SENO X TEMPO
1. Descreva as alterações sofridas pelo gráfico à medida que é aumentada a velocidade do
ponto girando sobre a circunferência.
2. Período é o intervalo de tempo correspondente a uma volta do ponto em torno da
circunferência. Desenhe no sistema de eixos o gráfico da variação do seno em função do
tempo para o caso de um período de 3 segundos e tempo de observação igual a 9 segundos.
3. Faça um esboço do gráfico da variação do cosseno em função do tempo, para um período de
2 segundos e 6 segundos de observação.
Tela “Marés: solar e lunar”
Tela mostrando uma das simulações previstas. Nesse caso, o sistema mostra ao
usuário o formato das curvas de marés se apenas houvesse a influência do Sol ou
da Lua. O usuário deverá imaginar a composição das duas curvas e prever um
momento em que será possível observar, no gráfico, a ocorrência das marés mais
baixas possíveis durante o intervalo de um mês. Na seqüência, o sistema analisa
a resposta do usuário, emitindo feedback sob a forma de uma simulação da altura
da maré no dia previsto.
INTERVENÇÕES – 5 – MARÉS: SOLAR E LUNAR
1. Complete:
a) o período de rotação da Terra em torno de seu eixo é igual a .............
b) o período de rotação da Lua em torno da Terra é igual a ....................
2. Suponha que as marés fossem causadas apenas pela atração gravitacional do Sol sobre a
Terra. Nesse caso, desenhe o gráfico de observação da altura da maré em uma praia,
durante dois dias de observação. Comece com a observação de uma maré alta.
3. Suponha que as marés fossem causadas apenas pela atração gravitacional da Lua sobre a
Terra. Nesse caso, desenhe o gráfico de observação da altura da maré em uma praia,
durante dois dias de observação. Comece com a observação de uma maré alta.
4. Justifique matematicamente o motivo pelo qual o período de uma maré lunar é igual a 12,4
horas, e não, simplesmente, igual a 12 horas, como é o caso da maré solar.
5. Desenhe dois gráficos no mesmo sistema de eixos:
( I ) Gráfico da maré solar em um intervalo de 3 dias
( II ) Gráfico da maré lunar em um intervalo de 3 dias
Para isso, suponha
a) que em t = 0, as duas marés sejam as mais altas possíveis.
b) Que a amplitude da onda da maré lunar seja o dobro da amplitude da onda da maré
solar
6. Avaliação
As várias atividades, de 1 a 5, que compõem o módulo no qual o Objeto
Virtual representa o mais importante papel, poderão ser utilizadas pelo professor
para avaliar a aprendizagem dos alunos.