X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
UM ESTUDO SOBRE A FUNCÃO SENO E SEUS PARÂMETROS POR MEIO DA
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA
Rudolph dos Santos Gomes Pereira
Universidade Estadual do Norte do Paraná – UENP
[email protected]
Marlize Spagolla Bernardelli
Universidade Estadual do Norte do Paraná – UENP
[email protected]
Guataçara dos Santos Junior
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
[email protected]
Resumo: No presente trabalho apresentamos uma atividade de Investigação Matemática
desenvolvida na disciplina de Prática como Componente Curricular Obrigatório I, do
primeiro ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Norte
do Paraná - Campus Cornélio Procópio – UENP. O conteúdo matemático utilizado nesta
atividade pode ser aplicado em diversas situações reais contribuindo para a assimilação e
resolução de algumas questões. Para o desenvolvimento da atividade de investigação
proposta aos alunos, foi definida a função Seno, o domínio, a imagem, o período e
desenhado o gráfico da função. Em seguida os alunos foram convidados a investigar
alterações da função seno através de parâmetros A , B e m definidos pelo professor. Esta
atividade surge como uma possibilidade de demonstrar aos alunos que a investigação
permite-os identificar propriedades matemáticas numa dada situação bem como mais uma
alternativa pedagógica para os professores em sua prática diária.
Palavras-chave: Investigação Matemática; Alternativa Pedagógica; Função Seno.
INTRODUÇÃO
Grupos de pesquisa em Educação Matemática têm demonstrado a necessidade de
utilização de alternativas pedagógicas para o ensino da disciplina de Matemática com o
intuito de contribuir com o ensino e a aprendizagem desta disciplina. Tais pesquisas
denotam que as tendências educacionais visam um ensino que valorize o desenvolvimento
do raciocínio lógico, a capacidade de trabalhar em equipe e de interpretar fenômenos.
(...) a insatisfação de alunos e professores sobre os resultados escolares nessa
ciência, indica que existem problemas sobre sua prática de ensino e
aprendizagem que precisam ser encarados. A Matemática tem sido trabalhada
nas escolas como um amontoado de regras e procedimentos mecânicos a serem
decorados e, oportunamente, utilizados. Trabalhados dessa forma seus conteúdos
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
decorados não tem qualquer significado prático ou teórico para a vida dos
alunos. (BATHELT & CEOLIN, 2001, p. 21).
A busca por uma alternativa pedagógica que proporcionasse o desenvolvimento das
habilidades citadas anteriormente nos conduziram à Investigação Matemática em sala de
aula.
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), para os profissionais de
matemática, “... investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos e
desconhecidos, procurando identificar suas respectivas propriedades.”. Estes por sua vez
dividem a investigação em quatro etapas principais: identificar claramente o problema a
resolver; formulação de conjecturas sobre os dados; realização de testes e apurar
conjecturas; justificativa da conjectura e avaliação do raciocínio.
Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), a investigação matemática tem uma relação
muito forte com a resolução de problemas, mas vários autores recorrem às diferenças e
semelhanças entre elas para clarear o conceito de investigação. Ernest (1996) considera
que o primeiro ponto distintivo é a formulação do problema, pois na resolução de
problemas comumente as questão estão formuladas, enquanto no processo de investigação
este é o primeiro passo a ser realizado. Outra diferença são os objetivos, na resolução de
problemas procura-se a solução e na investigação o objetivo é a exploração.
As investigações matemáticas precisam estar em um lugar importante ao nível da
experiência matemática dos alunos, pois proporcionam as estes grandes experiências, a
identificação dos processos matemáticos envolvidos em uma exploração de investigação
além de contribuir para melhor entendimento do conceito de investigação matemática,
ajuda a perceber as características da atividade que se pretende que os alunos desenvolvam
ao investigar.
“(...) a atividade de investigação é caracterizada por vários processos
matemáticos que não podem ser apenas seguidos de uma forma linear e
ordenada. A recolha e organização dos dados, formulação e teste de conjecturas,
a prova, são fases do processo investigativo que devem ser percorridos tanto num
sentido como noutro, sendo fundamental analisar as interações entre
eles.”.(BROCARDO, 2001, p. 4).
O aluno aprende quando direciona seus recursos cognitivos e afetivos para um
objetivo. A investigação matemática como estratégia de ensino e aprendizagem faz com
que o aluno não só formule questões, conjecturas e realização de provas, mas que também
apresente os resultados e as argumentações e discuta com demais alunos e professor.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Segundo Christiansen e Walter (1996), na sala de aula, o trabalho investigativo
envolve geralmente três fases: a introdução da tarefa, o desenvolvimento do trabalho e a
discussão final. Quaisquer que sejam as diferenças entre estas três fases, pressupõe-se a
existência de um momento de interação entre professor e aluno. Para Ponte, Ferreira,
Brunheira, Oliveira e Varandas (1999), o professor pode interagir de duas formas: de modo
afirmativo, quando faz uma afirmação, explica ou valida, e de modo interrogativo, quando
pergunta ou pede justificativa.
Para que o aluno possa, realmente investigar, é necessário deixá-lo trabalhar de
forma totalmente autônoma e o professor deve ter somente um papel de retaguarda e ainda
sim, continua a ser um elemento chave na atividade, cabendo-lhe ajudar o aluno a
compreender o que significa investigar e aprender a fazê-lo, de acordo com Ferruzzi,
Almeida e Francisco (2005).
Ao propor uma tarefa por escrito aos alunos cabe ao professor fazer uma exposição
oral e garantir o significado do “investigar” independente do nível da classe em que se
atua, pois neste momento o aluno não está defronte de uma questão restrita, onde existe
apenas uma resposta resultante de diversos cálculos, mas o próprio aluno deve formular as
questões com base na investigação que lhe foi apresentada.
DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
Introduzimos o conceito da função “Consideremos a função f ( x)
sen x . Cada
ponto do gráfico é da forma ( x, sen x) , pois a ordenada é sempre igual ao seno da
abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a
medida do arco em radianos.
Sinais e valores da função
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Tabela 1 - Valores da função Seno para alguns arcos.
Neste momento pede-se aos alunos que investiguem a tabela e tentem concluir o
que acontece com o sinal da função em relação aos ângulos e o comportamento desta
função.
Os alunos fazem as seguintes conclusões após a análise da tabela:
a)
Para os ângulos de 0° a 90° os valores as função são crescentes.
b)
Para os ângulos a partir de 90° e até 180° os valores da função são
decrescentes.
c)
Já para os ângulos maiores que 180° e até 270° a função continua
decrescendo.
d)
E para os ângulos maiores 270° e próximos de 360°, a função
assume valores crescentes.
e)
Os valores da função voltam a se repetir para ângulos maiores que
360°.
Além dos valores da função, os alunos percebem o sinal dos valores dos ângulos:
a)
O sinal dos valores dos ângulos de 0° até 180° são positivos, já para
os ângulos maiores de 180° e menores que 360° os valores são negativos.
b)
Acompanhando os valores assumidos pela função, podemos perceber
que este valores nunca são maiores que 1 e menores que -1, ou seja, os valores
ficam no intervalo de -1 até 1.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Após análise dos valores e sinais da função, foi construído o gráfico da função seno
juntamente com os alunos no quadro e depois com auxílio do software Maple 10.
Figura 1 – Gráfico da função Seno
a)
Por meio do gráfico fica clara a afirmação de que os valores da
função ficam compreendidos entre -1 e 1, a qual defini-se matematicamente de
IMAGEM da função e seu domínio é o conjunto dos números Reais.
b)
Também é possível visualizar que a função está acima do eixo x, por
isso tem valores positivos para os ângulos até 180º. Como também podemos
afirmar que para os valores abaixo do eixo x, representa os sinais negativos para os
valores dos ângulos maiores que 180° e menores que 360°.
Após esta apresentação inicial foi solicitado aos alunos que iniciassem a
investigação.
ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO
Utilizando a função f ( x)
sen x e seu gráfico, INVESTIGUE a função seno de
modo mais geral, na forma de f ( x)
A Bsen(mx) quando comparado ao gráfico da
função seno.
Neste os alunos foram divididos em grupos e deixamos que discutissem sobre o que
significa investigar a função. Após alguns minutos, observamos que os alunos precisaram
de uma orientação e segundo atividades desenvolvidas por outros pesquisadores afirmam
que isso acontece, Ferruzzi (2005).
Então foi sugerido aos alunos que atribuíssem valores para os parâmetros A, B e m
e construíssem os respectivos gráficos.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Para iniciarmos a atividade deixamos os parâmetros B e m fixos e atribuímos
valores pré definidos para A :
a)
f ( x)
Considere
a
função
seno
cuja
expressão
é
dada
por
A Bsen(mx) . Isto é, o valor do parâmetro B e m são iguais a 1 e
atribuímos os valores -2, -1, 1 e 2 para A .
b)
f ( x)
O que ocorre quando comparamos esta função com a função
sen x inicial?
Foi construída a tabela de valores da função seno com os devidos parâmetros para
facilitar a construção do gráfico para posterior comparação, pois o objetivo não era
basicamente a construção gráfica e sim a análise da influência de cada parâmetro
graficamente.
Tabela 2 – Valores da função Seno na forma f ( x)
A sen x
Depois da construção da tabela foi utilizado o software Maple 10 para comparar os
gráficos das funções, conforme segue:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Figura 2 – Gráficos das funções para comparação na forma f ( x)
A sen x
Ao concluir esta etapa da atividade os alunos chegaram à seguinte conclusão:
“Quando colocamos valores para a variável A percebemos que o gráfico se
movimenta para cima se o valor da variável for positivo e para baixo se for negativo.”
Assim, os alunos puderam concluir que o parâmetro A interfere no deslocamento
da função, interferindo na sua imagem, e no ponto onde a função começa seu gráfico no
eixo y.
Para continuarmos a atividade deixamos os parâmetros A e m fixos e atribuímos
valores pré-definidos para B :
a)
f ( x)
Considere
a
função
seno
cuja
expressão
é
dada
por
A Bsen(mx) . Isto é, o valor do parâmetro A e m são iguais a 1 e
atribuímos os valores -2, -1, 1 e 2 para B .
b)
f ( x)
O que ocorre quando comparamos esta função com a função
sen x inicial?
Neste momento é dito que o valor do parâmetro B deve ser diferente de zero, pois
senão a função não se uma função seno e sim uma função constante real nula.
Novamente construímos a tabela de valores para a função e construímos o gráfico
para investigação.
Tabela 3 – Valores para a função Seno na forma f ( x)
Bsen x
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Figura 3 – Gráficos da função Seno na forma f ( x)
Bsen x
As seguintes conclusões foram feitas pelos alunos nesta etapa:
“Quando multiplicarmos a função seno por um número positivo, a “altura” da
nova função fica multiplicada por este número positivo, isto é, quando multiplicamos a
função f ( x)
sen x pelo numero dois a sua altura fica igual a dois, isto é, o dobro da
original. Por outro lado, quando multiplicamos a função por um número negativo, a altura
da nova função fica multiplicada por este número negativo, invertendo o gráfico da
função.”
Para continuarmos a atividade deixamos os parâmetros A e B fixos e atribuímos
valores pré-definidos para m :
a)
f ( x)
Considere
função
seno
cuja
expressão
é
dada
por
A Bsen(mx) . Isto é, o valor do parâmetro A igual a zero e B igual a 1 e
atribuímos os valores 3 e
b)
f ( x)
a
1
para m .
3
O que ocorre quando comparamos esta função com a função
sen x inicial?
Para finalizar a atividade construímos a tabela e o gráfico para comparação com a
função inicial.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Tabela 4 – Valores para função Seno na forma f ( x)
Figura 4 – Gráficos da função Seno para a forma f ( x)
sen(mx)
sen(mx)
A conclusão feita pelos alunos na análise deste parâmetro foi a seguinte:
“Ao multiplicarmos a função por um número inteiro, percebemos que a função
fica menor no eixo x, ou seja, ela é comprimida e têm três cumes positivos e três negativos
enquanto a função f ( x)
sen x possui um positivo e outro negativo. Já ao multiplicarmos
por um número racional (menor que 1) podemos verificar que o gráfico da função é
esticado, ou seja, possui um domínio maior.”
Após as análises de cada parâmetro da função fizemos uma tabela com resumo das
alterações percebida pelos alunos.
Tabela 5 – Alterações dos parâmetros e o comportamento gráfico.
Parâmetros
Comportamento Gráfico
A
Gráfico desloca-se no eixo y; a função
"sobe" ou "desce" alterando a imagem
em função dos valores dados para A.
B
Gráfico da função "aumenta", e invertese se o valor de B for negativo alterando
os valores da função no eixo y.
m
Gráfico da função fica "maior" ou
"menor", mas a imagem permanece a
mesma.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
É importante que os alunos façam as justificativas matemáticas de suas conclusões
e que em seguida o professor faça a tradução destas para a linguagem matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo deste artigo foi apresentar mais uma atividade realizada em sala de aula
que pode ser feita por outros professores visando o aprendizado do conceito de função
Seno e suas possíveis generalizações.
Durante esta atividade foi observado os alunos envolveram-se com o processo,
discutindo alternativas de solução, pesquisando conceitos ainda não aprendidos e revisando
conceitos já vistos e tudo isso com o intuito de investigar a situação dada pelo professor.
Esperamos que esta atividade de Investigação Matemática proporcione aos
professores mais uma alternativa pedagógica para sua prática diária, podendo ser repetida a
mesma atividade ou ainda investigar as funções Cosseno e Tangente ou ainda outras
funções.
REFERÊNCIAS
BATHELT, R. E; CEOLIN, G. M. Transformações Educacionais na Virada do século
XXI: Implicações para o ensino da Matemática. Disponível na página da web:
http://www.ufsm.br/adeonline/regina.html. acessada em 23-10-2001.
CHRISTIANSEN, B.; WALTER, G. Task and activity. In B. Christiansen, A. Howson, &
M. Otte (Orgs.), Perspective on mathematics education. Doedrecht: Reidel., 1986.
ERNEST, P. Investigações, resolução de problemas e pedagogia. In P. Abrantes, L. C.
Leal, & J. P. Ponte (Orgs). Investigar para aprender matemática: Textos seleccionados (p.
25-47). Lisboa: Projecto Matemática Para Todos e APM, 1996.
FERRUZZI, E. C.; ALMEIDA, L. M. W.A.; FRANCISCO, D. A. Uma proposta de
atividade utilizando modelagem e investigação matemática, Anais da IV Conferencia
Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática, p. 1-11, 2005.
BROCARDO, J. As investigações na aula de matemática: Um projeto curricular no 8º
ano, Tese (Doutorado) 645 f., Universidade de Lisboa, 2001.
PONTE, J. P., BROCADO, J., OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula.
Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
10
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
PONTE, J. P. et al. A relação professor aluno na realização de investigações
matemáticas, Projeto MPT e APM, Lisboa, 1999.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Pôster
11