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3. Análise de Sinais no Domínio da Frequência
Como se viu, pode-se extrair um grande número de informações de sinais periódicos e
aperiódicos no domínio do tempo. A questão agora é: quando se torna mais conveniente
analisar um sinal no domínio da frequência?
Desde já se sabe que o domínio da frequência pressupõe periodicidade no tempo, isto
é, para existir um mapeamento entre os domínios do tempo e da frequência deve-se assumir
que os fenômenos no domínio do tempo se repetem em intervalos iguais a T, sendo T o
período de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f. Com isso se estabelece a
regra básica de mapeamento entre os dois domínios:
1
f =
T
Tudo se passa como se o domínio da frequência enxergasse o domínio do tempo sob a
ótica de intervalos regulares de tempo. Para perceber melhor as vantagens que essa
representação de sinais pode trazer, tome-se um sinal com representação simples nos dois
domínios: a senóide.
3.1 Representação no Domínio do Tempo
No domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros que a
caracterizam, por exemplo:
x(t ) = A.sen(2πft − ϕ)
Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo.
portanto, tem-se três parâmetros característicos (A, T, ϕ ):
A= amplitude
1 2π
T= =
= período
f
ω
ϕ = fase inicial
No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função
analítica (no caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do
tempo.
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1
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3.2 Representação no Domínio da Frequência
No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus
parâmetros, ficando subentendida a função temporal escolhida como referência na
decomposição:
x( f ) → [ A, f ,ϕ ]
Amplitude
A
Fase
f
0
0
f
−ϕ
Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência.
Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da
frequência, a caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas
dos parâmetros resultantes da decomposição.
3.3 Representação de Sinais Periódicos Compostos: (ondas triangular, quadrada, etc.)
Um sinal periódico qualquer pode ser expresso como série de senos e cossenos. Por
exemplo a função:
1
1
1
f 1 ( t ) = sen ω 1 t − sen 2ω 1 t + sen 3ω 1 t − sen 4ω 1 t + ...
2
3
4
produz uma onda dente de serra, com valor de pico
π
2
.
Figura 3.3 Primeiros 5 termos da série da onda dente de serra.
4⎡
1
1
⎤
cos
t
cos
3
t
−
+
cos 5ω 1 t − ...⎥
ω
ω
1
1
⎢
3
5
π⎣
⎦
produz uma onda quadrada de amplitude unitária.
Por outro lado a função:
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f2( t ) =
2
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T/2
T
Figura 3.4 Primeiros 5 termos da série de uma onda quadrada.
A função correspondente a uma onda triangular é dada por:
f3( t ) =
4⎡
1
1
⎤
sen ω 1 t − sen 3ω 1 t +
sen 5ω 1 t − ...⎥
⎢
π⎣
9
25
⎦
T/2
T
Figura 3.5 Primeiros 3 termos da série da onda triangular.
Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes das denominadas
séries de Fourier ou, como são também chamadas, as séries harmônicas:
1 - as séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental ( f h =
ω1
).
2π
As frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).
2 - se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno; se for ímpar
[f(t) = -f(-t)], contém apenas termos em seno.
3 - se a função apresentar simetria de meia onda [ f (t ) = − f (t + T2 )] então a série não
contém harmônicos pares, pois só as ímpares satisfazem essa propriedade.
4 - se a série for truncada, aparece o efeito Gibbs nas descontinuidades, devido à falta dos
termos de alta frequência.
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3
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3.4 Como aplicar a Análise de Fourier
As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém se
necessita de uma técnica para "quebrar" a função em sua série harmônica. Para isso recorre-se
à decomposição do sinal periódico através da combinação de funções cosseno e seno,
resultando na chamada série de Fourier:
∞
∞
h =1
h =1
f (ωt ) = A0 + ∑ Ah cos(hω1t ) + ∑ Bh sen(h ω1t )
2π
ω1 =
T
A análise pela série de Fourier, no domínio da frequência, para sinais periódicos,
resume-se a determinar os valores dos coeficientes A e B da série, uma vez que se conhece o
período T da função de referência. Sabendo que as funções cosseno e seno são ortogonais, a
decomposição de Fourier pode ser vista como uma operação de projeção em base de sinais
ortogonais:
fe
f1
fe
c12.f2
f2
Figura 3.6 Decomposição ortogonal do sinal f1.
C12 é a medida da projeção ortogonal da função f1 sobre a função f2. Para determinar
C12 sobre um intervalo de tempo [ta,tb] pode-se utilizar a técnica de erro quadrático médio
mínimo para a função de erro fe , dada por
fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t), ou seja, Î f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t)
O erro quadrático médio no intervalo será, portanto:
O mínimo dessa função será encontrado impondo:
eab =
1
tb − t a
∫
tb
ta
f e2 (t ).dt
∂ eab
=0
∂ c12
Por essa técnica chega-se à relação seguinte (ver demonstração no final do capítulo): i
C 12 =
∫
b
a
f 1 ( t ). f 2 ( t ) dt
∫
b
a
f 22 ( t ). dt
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4
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Se f1 e f2 forem ortogonais, então C12 é nulo no intervalo dado. No caso da série de
Fourier obtêm-se, por analogia, que:
π
A0
∫ f ( ω t ).1.dω t = 1 π f ( ω t ) .dω t = valor médio no período
= π π
2π ∫ π
∫ π 1 .dω t
−
−
−
Ah
∫
=
π
−π
f (ωt ) . cos(hω1t ).dωt
∫
π
−π
Bh
∫
=
π
−π
cos 2 (hω1t ).dωt
=
f (ω1t ) . sen(hω1t ) . dω t
∫
π
−π
sen 2 (hω1t ) . dωt
1 π
f (ωt ). cos(hω1t ).dωt
π ∫− π
=
1 π
f (ωt ) . sen(hω1t ) . dωt
π ∫− π
Cada coeficiente pode ser interpretado como sendo o dobro do valor médio da função,
ponderado pela respectiva base harmônica. Notar que os coeficientes (das funções seno ou
cosseno) serão números reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os
coeficientes, pode-se dispor o espectro na forma seguinte:
A
1
1/3
1/5
2f1
f1
4f1
5f1
3f1
f
1/4
-1/2
Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra.
Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem à fase de 180°.
3.5 Representação da Série de Fourier na Forma Exponencial
Existem vantagens, na hora de generalizar a análise de Fourier, em usar a
representação pela série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno:
f (t ) =
∞
∑ a .e
h = −∞
h
jhω1t
h = 0, ± 1, ± 2,...
onde: ah = coeficiente complexo
Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = ±1 resulta a onda
fundamental. Isso pode ser verificado impondo-se as condições de simetria par e ímpar:
se a h = a -h resulta termo cosseno
se a.h = -a -h resulta termo seno
para verificar, basta considerar que:
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e jωt − e − jωt
= sen ωt
2j
e jωt + e − jωt
= cos ωt
2
Î e jωt − e − jωt = 2 j sen ωt
resultando a forma de Euler: e j.ω.t = cos ωt + j.senωt
Uma vez que k pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é
bilateral.
3.5.1 Série Exponencial Complexa Unilateral
Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de série exponencial unilateral:
∞
[
f (t ) = a 0 + ∑ a h e
h =1
j h ω1 t
+ a−h e
− j h ω1 t
]
h=1, 2, 3....
Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja,
a−h = ah∗ , devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo
como no da frequência). Portanto:
∞
[
f (t ) = a0 + ∑ ah .e jhω1t + ah∗ .e − jhω1t
h =1
]
(I)
Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária na
forma:
1
ah = ( Ah − j Bh )
h > 0,
2
1
( Ah + jBh )
2
resulta que a equação (I) pode ser escrita como:
de modo que:
a−h = ah∗ =
∞
f (t ) = a0 + ∑ [Ah cos(hω1t ) + Bh sen(hω1t )]
h =1
que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente.
Portanto, as três formas de representação da série de Fourier:
série de senos e cossenos;
série exponencial complexa bilateral;
série exponencial complexa unilateral,
são equivalentes e intercambiáveis. Com os coeficientes de uma série pode-se determinar os
coeficientes da outra.
3.6. Da Série de Fourier à Transformada de Fourier
Existe uma relação direta entre a forma exponencial complexa e a forma em termos de
senos e cossenos da série de Fourier. Devido à relação entre os coeficientes das duas formas,
ou seja, para h > 0:
1
1
ah = ( Ah − jBh )
a−h = ( Ah + jBh )
2
2
Pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos coeficientes reais Ah e Bh:
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Ah =
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1 π
f (ωt ) cos(hω1t ). dωt
π ∫−π
Bh =
1 π
f (ωt ).sen(hω1t ). dωt
π ∫−π
resultando:
ah =
1 π
f (ωt )[cos(hω1t ) − j.sen(hω1t )]. dωt
2π ∫− π
ah =
1 π
f (ωt ) . e − j h ω1 t . dωt
∫
−
π
2π
h = 0, ±1, ±2....
− jhω t
1
é um operador de rotação cuja amplitude é 1. Portanto, cada
Notar que e
coeficiente ah corresponde ao valor médio da função f(ωt), ponderada pelo operador que gira
com velocidade hω1, a qual define a periodicidade harmônica.
3.6.1 Análise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsos
f(x)
2π/k
1
-π
x=0
π
2π
x=ω1t
T1
Figura 3.8 Trem de pulsos unitários.
Esse sinal é importante para se chegar à Transformada de Fourier. Por conveniência,
2π
2π
tome-se o sinal com período T1 =
, o pulso com amplitude 1 e duração Δt=
. Notar que
k
ω1
k agora pode ser interpretado como uma frequência múltipla de ω1, uma vez que Δt é uma
fração de T1.
Sabe-se que os coeficientes da série complexa de Fourier são dados por:
π
am =
1
2π
k
∫π e
−
− jm x
para
. dx
m=0, ±1, ±2...
k
resultando para:
e para
x = ω1t
⎡π π ⎤ 1
⎢⎣ k + k ⎥⎦ = k
m=0
a0 =
1
2π
m≠0
am =
1
e − jmk
− jm 2π
[
]
π
k
−
π
=
k
π
π
jm ⎤
1 ⎡ − jm k
1
⎛ π⎞
k
−
sen⎜ m ⎟
e
e
⎢
⎥=
− jm2π ⎣
⎝ k⎠
⎦ mπ
Logo, o trem de pulsos pode ser escrito como sendo a série:
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π
sen(m )
∞
1
k .e j m x =
f ( x) = ∑ .
am . e j m x
∑
π
k
m = −∞
m=− ∞
m
k
π
∞
1
onde os coeficientes valem: a m = k .
sen( m
A função
m
π
π
k
sen( m
m
π
k
m=0, ±1, ±2....
)
k
)
é chamada função sinc(.) e, para argumento contínuo, apresenta a
k
seguinte forma:
Figura 3.9 Função sinc(.).
Essa função define a envoltória para os valores dos coeficientes am do trem de pulsos.
No caso do trem de pulsos, verifica-se que os coeficientes são definidos para as abcissas da
função sinc apenas para valores específicos ou discretos, dados por:
2π
3π
mπ
π
= 0, ± , ±
,±
,....pois m=0, ±1, ±2, ±3....
k
k
k
k
Podemos visualizar o que ocorre com os coeficientes am se os representarmos para
dois casos, por exemplo, k=3 e k=5:
Figura 3.10 Coeficientes am do trem de pulsos para k=3.
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Figura 3.11 Coeficientes am do trem de pulsos para k=5.
Quanto menor a duração do pulso (maior k), mais os coeficientes se aproximam e
diminuem de amplitude. Se, ao invés de reduzir a duração, aumentar o período entre pulsos
(T1 ), tem-se, no limite, um trem de pulsos com período infinito, ou seja, apenas um pulso na
origem. Com isso, a frequência fundamental ( ω 1 = 2π ) tende a zero, e os componentes se
T1
aproximam tanto que formam um espectro contínuo com amplitudes infinitesimais:
1
am =
2π
π
∫π f ( x ).e
− jmx
−
1
. dx =
T1
T1 / 2
∫ f ( t ).e
− jmω 1 t
. dt
T1 / 2
Como am tende a zero, enquanto T1 tende a infinito, o produto am.T1 tende a uma constante:
a m T1 = ∫
( T →∞ )
∞
−∞
f ( t ). e − j ω t . dt
= ℑ( ω )
A função contínua ℑ(ω) é chamada transformada ou integral de Fourier.
A função inversa é obtida da série:
f (t ) =
∞
ω
1 ∞
ℑ(ω) j m ω1 t
.
e
=
ℑ(ω) 1 . e j m ω1 t =
ℑ(ω). e j ωt . dω
∑
∑
∫
−∞
T
2
2
π
π
m=− ∞
m=− ∞
1
↓
ω
↓
↓
1
T
am
1
∞
notar os limites usados para essas associações de operações contínuas e discretas:
T1 → ∞
ω1 → dω
m.ω1 → ω
∑
→
∫
Resumindo:
A Transformada de Fourier (TF) mapeia sinais aperiódicos para o domínio da
frequência, resultando um espectro contínuo através da Integral de Fourier:
∞
∞
1
ℑ( ω ) = ∫ f ( t ). e − j ω t . dt
f (t ) =
ℑ(ω). e j ωt . dω
∫
2π − ∞
−∞
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3.6.2 Exemplos de aplicação:
a) Obter a TF da seguinte onda retangular com período T1 =
2π
ω1
:
A
-τ
τ
t
T1
Figura 3.12 Trem de pulsos
Os coeficientes da TF são:
τ
1
2τ
(média do período)
a0 =
A . dt =
A
∫
T1 −τ
T1
e o termo genérico, de ordem k, vale:
τ
1
A
A.2
− j k ω1 t
ak =
A .e
. dt =
. e − j k ω 1 τ − e j k ω1τ =
. sen( kω 1τ ) ( k ≠ 0 )
∫
T1 −τ
− jkω 1T1
kω 1T1
[
]
portanto, multiplicando numerador e denominador por τ:
⎛ 2π ⎞
τ⎟
sen ⎜⎜ k
T1 ⎟⎠
2τA sen( kω 1τ ) 2τA
⎝
ak =
.
.
=
2π
T1
kω 1τ
T1
τ
k
T1
Esse coeficiente se anula cada vez que o argumento se torna múltiplo de π, ou seja,
2τ
quando
(inteiro).
k.
T1
=n
Para n=1 temos k =
T1
representa o inverso do ciclo de trabalho.
2τ
Figura 3.13 Coeficientes da Transformada de Fourier da onda retangular.
Portanto, para a onda periódica resulta um espectro discreto, cuja resolução é dada por
2π
Δω = ω 1 =
.
T1
Notar que a duração do pulso (2τ) define a largura da faixa de frequências (primeiro
cruzamento da função sinc por zero).
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b) Transformada de Fourier do pulso isolado:
A
A
-τ
τ
t
Figura 3.14
Pulso isolado e respectivo espectro contínuo do.
Neste caso, como T1 → ∞ , o pulso é expresso por:
∞
∞ ⎡ T1 / 2
⎤
jmω1t
= ∑ ⎢ ∫ f (t ).e − jmω1t .dt ⎥.e jmω1t
f (t ) = ∑ amT1.e
m = −∞
m = −∞ ⎣
⎢ −T1 / 2
⎦⎥
ℑ( ω ) = a m T1 =
portanto a TF é dada por:
T1 / 2
∫ f ( t ). e
− jmω 1 t
. dt
T1 / 2
e
a0T1 =
T1 / 2
τ
T1 / 2
−τ
∫ f (t ).dt = ∫ f (t ).dt = 2τ. A
Notar que para o pulso isolado o espectro é uma função contínua de ω.
A duração do pulso (2τ) continua definindo a largura da faixa de frequência do lóbulo
principal.
No caso do pulso ser estreito, o espectro se alarga na proporção inversa da duração do
pulso (2τ), enquanto que a amplitude diminui.
A
-τ τ
Figura 3.15
t
Pulso isolado estreito e seu espectro contínuo.
No caso de pulso largo, acontece o oposto, o espectro se estreita e aumenta amplitude
em torno da origem:
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A
τ
-τ
Figura 3.16
t
Pulso isolado largo e seu espectro contínuo.
Continuando essa expansão da duração do pulso, pode-se, no limite, considerar o
degrau como um pulso de duração infinita, daí o seu espectro de concentrar em um impulso
na origem.
ω
0
Figura 3.17
Espectro do degrau.
A questão é: quanto vale a amplitude da vareta do espectro do degrau? Ver próximo item.
3.7 Da Transformada de Fourier à Transformada de Laplace
Para existir a TF é preciso que no intervalo -∞ < t < ∞ a integral seja finita, ou seja:
∫
∞
−∞
f ( t ). e − j ω t dt < ∞
∫
Como e-j.ω.t tem magnitude 1, uma condição suficiente é que:
∞
−∞
f ( t ) . dt < ∞
Porém, essa condição não é satisfeita por várias funções de interesse prático, como as
funções seno, cosseno, degrau, as quais, portanto, não possuem transformada de Fourier.
No entanto, limitando as funções periódicas entre -T e +T e depois fazendo T→ ∞ pode-se
obter a transformada. Para o degrau u(t), pode-se utilizar outro processo, que é supor
decaimento exponencial (e-σ.t ) do degrau, e fazer o valor da atenuação tender a zero (σ→ 0)
após calcular a transformada.
1
e-σt
t
0
Figura 3.18 Função atenuação do degrau.
∞
G( ω ) = ∫ e −σ t . e − jω t . dt =
0
[
1
e −σ t .e − jω t
− ( σ + jω )
]
∞
0
=
1
σ + jω
(σ >0)
Para obter o espectro do degrau não basta zerar σ, pois em ω=0 ocorre uma
singularidade. Porém, levantando essa singularidade, vê-se que:
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para ω=0, resulta:
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1
G( 0 ) =
σ
e, para ω>>0, resulta: G( ω ) ≅
1
jω
ou seja, o espectro é contínuo e decrescente. A fase inicial é zero e atrasa até -90°.
G( ω )
1/σ
Degrau unitário
ω
1
∠G( ω )
0
ω
t
-90°
Figura 3.19 Transformada de Fourier do degrau unitário.
3.7.1 A Transformada de Laplace
Incorporando-se a técnica de atenuação à transformada de Fourier, resulta a
Transformada de Laplace.
∞
∞
G a ( ω ) = ∫ f ( t ). e −σ t .e − jω t . dt = ∫ f ( t ).e −( σ + j ω ).t . dt
0
0
Designando s = σ + jω resulta:
∞
L( s ) = ∫ f ( t ). e − s t . dt
0
A integral agora tem que começar em t=0 uma vez que para t<0 a atenuação vira
ampliação, e portanto a integral se torna divergente.
3.7.2 Comparação da Transformada de Laplace e de Fourier:
Uma vez que:
ℑ( ω ) = ∫
∞
−∞
− jω t
f ( t ). e
. dt
∞
L( s ) = ∫ f ( t ). e − s t . dt
0
percebe-se que, enquanto Fourier expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais tipo
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ej.ω.t, que dão origem a senos e cossenos sobre todo o intervalo -∞ < t < ∞, Laplace expande
f(t) em um conjunto infinito de exponenciais complexas tipo es.t, que dão origem não apenas a
senos e cossenos, como também a exponenciais crescentes e decrescentes, e combinações
deles, resultando modos oscilatórios decrescentes (amortecidos) e crescentes (instáveis).
Essa é uma importante generalização, mas que só se aplica para t ≥ 0. Essa
transformação atende a grande parte dos sinais físicos, e por isso encontrou grande aplicação
na área de controle moderno. Neste caso, convertendo cada sinal para o domínio da
frequência pela transformada de Laplace, descobre-se que a função de transferência descreve
a relação entrada-saída dos dispositivos que intervêm no processo.
Sistemas complicados podem ser analisados através das relações matemáticas no
domínio da frequência, gerando funções complexas H(s) que podem ser decompostas em
pólos e zeros que são as raízes dos polinômios do denominador e numerador de H(s). Os
pólos e zeros podem ser usados para caracterizar o comportamento dinâmico do sistema sob
diferentes condições de excitação e controle. Porém esse é assunto para outro curso.
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Apêndice: Exemplos de uso do MathCad para análise de Fourier
Ondas periódicas e aperiódicas
t := 0 , .001 .. 3
s1 ( t) := 2 ⋅cos ( 15 ⋅ t) + 5 ⋅sin( 20 ⋅ t)
10
5
0
s1 ( t)
5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
O máximo divisor comum entre as frequências de cada onda períodica é 5, logo o período é:
⎡⎛ 5 ⎞ − 1⎤
To := ⎢⎜
⎟ ⎥
2
⋅
π
⎣⎝
⎠ ⎦
s1 ( 0) = 2
s1 ( To ) = 2
To = 1.257
Seja outra forma de onda:
s2 ( t) := 2 ⋅cos ( 15 ⋅ t) + 1 ⋅cos ( 10 ⋅ π ⋅t)
4
2
s2 ( t)
0
2
4
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
Embora cada sinal, individualmente, seja periódico, como as frequencia não estão em uma
relação RACIONAL, ou seja, NÃO SÃO MÚLTIPLAS inteiras de um fator comum, a onda
resultante não é periódica
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15
3
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Coeficientes da série de Fourier para a onda s1(t)
w1 := 2 ⋅
π
To
To
⌠2
Ao :=
1 ⎮
⋅
s1 ( t) dt
To ⎮− To
⌡
2
Ao = 0
n := 1 .. 10
To
⌠2
An :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅cos [ n ⋅( w1) ⋅t] dt
To ⎮− To
⌡
2
To
⌠2
Bn :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) dt
To ⎮− To
⌡
2
An =
Bn =
0
0
0
502·10 -15
2
0
0
0
5
034·10 -15
0
0
0
0
0
612·10 -15
0
736·10 -15
0
0
DSCE – FEEC - UNICAMP
16
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
Outra forma de onda
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
s1 ( t) := sign( cos ( 15 ⋅t) ) +
1
2
2
s1 ( t)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
w1 := 15
To := 2 ⋅
π
w1
To = 0.419
To
⌠2
Ao :=
1 ⎮
⋅
s1 ( t) dt
To ⎮− To
⌡
Ao = 0.5
2
n := 1 .. 10
To
⌠2
An :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅cos [ n ⋅( w1) ⋅t] dt
To ⎮− To
⌡
2
An =
1.273
0
Bn =
0
0
0
0.255
0
0
0
0.182
0
0
0
0.141
0
0
0
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) dt
To ⎮− To
⌡
2
0
0.424
DSCE – FEEC - UNICAMP
Bn :=
To
⌠2
17
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Reconstrução do sinal:
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t)
2
x( t)
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t) + A3 ⋅cos ( 3 ⋅w1 ⋅t)
2
x( t)
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t) + A3 ⋅cos ( 3 ⋅w1 ⋅t) + A5 cos ( 5 ⋅w1 ⋅t)
2
x( t)
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t) + A3 ⋅cos ( 3 ⋅w1 ⋅t) + A5 cos ( 5 ⋅w1 ⋅t) + A7 ⋅cos ( 7 ⋅w1 ⋅t)
2
1
x( t)
0
1
0
0.5
1
1.5
t
DSCE – FEEC - UNICAMP
18
2
2.5
3
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
E := 2
Outra forma de onda
s1 ( t) := E ⋅( cos ( w1 ⋅t)
)
2
s1 ( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
To :=
π ⋅2
w1
To = 0.419
To
⌠2
Termo geral, para n par:
1 ⎮
Ao :=
⋅
s1 ( t) dt
To ⎮− To
⌡
2
Ao = 1.273
An :=
n := 1 .. 10
4 ⋅( −1)
n
2
(1 − n2) ⋅π
To
⌠2
An :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅cos [ n ⋅ ( w1) ⋅t] dt
To ⎮− To
⌡
An =
2
To
⌠2
Bn :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) dt
To ⎮− To
⌡
2
DSCE – FEEC - UNICAMP
19
Bn =
0
0
0.849
0
0
0
-0.17
0
0
0
0.073
0
0
0
-0.04
0
0
0
0.026
0
⋅E
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Reconstrução do sinal
x( t) := Ao + A1 ⋅ cos ( w1 ⋅t)
1.276
1.274
x( t)
1.272
1.27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t) + A2 ⋅cos ( 2 ⋅ w1 ⋅t)
3
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅ cos ( w1 ⋅t) + A2 ⋅ cos ( 2 ⋅w1 ⋅t) + A4 cos ( 4 ⋅w1 ⋅t)
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅ t) + A2 ⋅cos ( 2 ⋅ w1 ⋅ t) + A4 cos ( 4 ⋅w1 ⋅t) + A6 ⋅ cos ( 6 ⋅w1 ⋅t)
3
2
x( t)
1
0
0
0.5
1
1.5
t
DSCE – FEEC - UNICAMP
20
2
2.5
3
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
Análise de Trem de Pulsos
Pulso de largura variável
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
t := 0 , 0.0001 .. 1
w1 := 2 ⋅π ⋅5
s1 ( t) :=
sign( cos ( 2 ⋅π ⋅5 ⋅t) − 0.9) + 1
2
To := 2 ⋅
π
w1
1
s1 ( t) 0.5
0
0
0.2
0.4
1
n := 1 .. 30
To
⌠2
1 ⎮
⋅
s1 ( t) dt
To ⎮− To
⌡
Ao = 0.144
0.8
t
To = 0.2
Ao :=
0.6
2
To
⌠2
An :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅ cos [ n ⋅( w1) ⋅t] dt
To ⎮− To
⌡
2
An =
To
⌠2
0.277
0.251
0.209
0.156
0.099
0.045
Bn :=
2 ⎮
⋅
s1 ( t) ⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) dt
To ⎮− To
⌡
2
Bn =
0
419·10 -3
0
-0.036
0
-0.056
0
-0.063
0
-0.057
0
-0.04
0
-0.02
0
419·10 -3
0
0.02
0.032
DSCE – FEEC - UNICAMP
21
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Reconstrução do sinal
x( t) := Ao + A1 ⋅cos ( w1 ⋅t)
0.5
0
x( t)
0.5
0
5
x( t) := Ao +
∑
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
( An⋅cos ( n ⋅w1 ⋅t) + Bn⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) )
n=1
2
1
x( t)
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
t
30
x( t) := Ao +
∑
( An⋅cos ( n ⋅w1 ⋅t) + Bn⋅sin( n ⋅w1 ⋅t) )
n=1
1.5
1
x( t)
0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
t
DSCE – FEEC - UNICAMP
22
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Análise dos coeficientes
n := 0 .. 40
To
⌠2
an :=
1 ⎮
− i⋅n⋅w1⋅t
⋅⎮
dt
s1 ( t) e
To − To
⌡
an =
0.144
2
0.139
0.125
0.104
0.077
0.049
0.022
0.15
097·10 -4
-0.018
-0.028
0.1
-0.032
an
-0.028
-0.02
0.05
981·10 -3
097·10 -4
842·10 -3
0
0.016
0.019
0.05
0.017
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40
n
0.013
6.26·10 -3
096·10 -4
6.91·10 -3
-0.011
-0.013
-0.012
115·10 -3
468·10 -3
095·10 -4
393·10 -3
722·10 -3
DSCE – FEEC - UNICAMP
23
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Em direção ao impulso isolado e seu espectro contínuo e constante:
t := 0 , 0.0001 .. 0.2
w1 := 2 ⋅ π ⋅5
s1 ( t) :=
sign( cos ( 2 ⋅π ⋅5 ⋅t) − 0.995) + 1
2
To := 2 ⋅
π
w1
1
s1 ( t) 0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
To
⌠2
an :=
1 ⎮
− i⋅n⋅w1⋅t
⋅⎮
dt
s1 ( t) e
To − To
⌡
To = 0.2
2
an =
0.032
0.032
0.032
0.031
0.031
0.031
0.05
0.03
0.029
0.029
an
0
0.028
0.027
0.026
0.05
0.025
0.024
0.022
0
4
8
12 16 20 24 28 32 36 40
n
DSCE – FEEC - UNICAMP
24
0.021
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica
i
S.M.Deckmann e J. A.Pomilio
Demonstração
e ab =
1
tb − ta
∫ [f
tb
ta
( t ) − C 12 ⋅ f 2 ( t ) ] . dt
2
1
∂ e ab
∂ ⎧ 1
=
⎨
∂ C 12
∂ C 12 ⎩ t b − t a
⇒ 2 C 12
∫
⇒ C 12 =
∫
tb
ta
[f
2
1
( t ) − 2 C 12 f 1 ( t ) f 2 ( t ) + C
f 22 ( t ). dt − 2 ∫ f 1 ( t ). f 2 ( t ). dt = 0
∫
b
a
f 1 ( t ). f 2 ( t ) dt
∫
b
a
f 22 ( t ). dt
DSCE – FEEC - UNICAMP
25
2
12
]
⎫
. f 22 ( t ) . dt ⎬ = 0
⎭